第1卷 集合与充要条件（教师讲解卷） 2027版河北省（对口升学）《数学真题同源卷》（原卷板+解析版）

**基本信息** 以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，通过师生双卷设计，系统构建集合与充要条件的知识网络与解题方法，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合|含2024-2026年真题及模拟题|表格对比子集/真子集/相等的文字-符号-图形语言，总结子集个数公式与集合运算性质|从元素特征到集合关系，再到交并补运算，层层递进| |充要条件|含2022-2026年真题及模拟题|结合集合关系（A⊆B⇨p是q的充分条件）判定充分必要条件|从命题定义到条件分类，通过集合关联实现逻辑推理具象化|

编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第1卷 集合与充要条件 （教师讲解卷） 一、集合 【概念回顾】 1.集合的概念及表示方法 （1）集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性． （2）集合的三种表示方法： 列举法　、 描述法　、 图示法　. （3）元素与集合的两种关系：属于，记为 ∈　；不属于，记为 ∉　. （4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 正整数集　，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示 整数集　，Q表示 有理数集　，R表示实数集． 2.集合之间的关系 类别 文字语言 图形语言 符号表示 子集  集合A中 　任意一个  元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有　包含　关系,称集合　A　为集合　B　的子集   　A⊆B或 B⊇A 真子集  如果集合A⊆B,但存在元素 x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集    A⫋B　或    B⫌A　　  相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 【点睛】(1)空集用 ∅　表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为 2n　，真子集的个数为 2n－1　，非空真子集的个数为 2n－2　. (3)空集是任何集合的子集，是任何 非空集合　的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A ⊆C． 3.集合的运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 【点睛】1．A∩A＝A，A∩∅＝∅. 2．A∪A＝A，A∪∅＝A. 3．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 5．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 【真题精讲】 考点01 集合间的关系 1.（2026·河北对口升学）用集合表示阴影部分（ ） A. B. C. D. 考点02集合的运算 2.（2025·河北对口升学）已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3.（2024·河北对口升学）已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【举一反三】 1.（2023·河北对口升学）设集合M=，N=，则（ ） A. B. C. D. 2.（2022·河北对口升学）已知全集，，则集合M的补集为（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，则集合的子集个数为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 5. （2026·河北职教高考模拟）下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【拓展提升】 一、选择题 1.（2020·河北对口升学）下列集合中不是空集的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 3.（2026·河北职教高考模拟）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. （2026·张家口怀来模拟）已知集合，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 2或4 二、填空题 5.若为一个集合，则a的取值范围是__________．（用区间表示） 6．设全集，集合，集合，则_____________. 三、解答题 7. 已知集合，且，求实数所组成的集合. 8．集合，假设，且，求的所有值组成的集合. 二、充要条件 【概念回顾】 1.命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． 2.充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 【点睛】若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A⫌B，则p是q的必要不充分条件； 【真题精讲】 考点01 与集合间关系相结合 1.（2026·河北对口升学）已知是的充分条件，写出一个符合的的值___________. 考点02 与其他知识相结合 2.（2024·河北对口升学）“是锐角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.（2022·河北对口升学） “四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【举一反三】 1.（2023·河北对口升学） “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.（2026·河北职教高考模拟） “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3 .“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．“”是“且”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．，，则是的（  ）条件． A．充分 B．必要 C．充要 D．既非充分又非必要 【拓展提升】 一、选择题 1. “的解集是”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 2. （2026·张家口怀来模拟）已知，为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“”是命题“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 5．已知：是：的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 6．设，，是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是__ ____． 三、解答题 7．已知集合，集合 (1)当时，求 (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围 8．已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第1卷 集合与充要条件 （教师讲解卷） 一、集合 【概念回顾】 1.集合的概念及表示方法 （1）集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性． （2）集合的三种表示方法： 列举法　、 描述法　、 图示法　. （3）元素与集合的两种关系：属于，记为 ∈　；不属于，记为 ∉　. （4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 正整数集　，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示 整数集　，Q表示 有理数集　，R表示实数集． 2.集合之间的关系 类别 文字语言 图形语言 符号表示 子集  集合A中 　任意一个  元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有　包含　关系,称集合　A　为集合　B　的子集   　A⊆B或 B⊇A 真子集  如果集合A⊆B,但存在元素 x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集    A⫋B　或    B⫌A　　  相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 【点睛】(1)空集用 ∅　表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为 2n　，真子集的个数为 2n－1　，非空真子集的个数为 2n－2　. (3)空集是任何集合的子集，是任何 非空集合　的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A ⊆C． 3.集合的运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 【点睛】1．A∩A＝A，A∩∅＝∅. 2．A∪A＝A，A∪∅＝A. 3．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 5．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 【真题精讲】 考点01 集合间的关系 1.（2026·河北对口升学）用集合表示阴影部分（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用集合的交集含义即可得解. 【详解】由Venn图可知，图中阴影部分表示与的公共元素组成的集合，即与的交集，故A正确； 表示与的并集，不满足题意，故B错误； 表示在全集中的补集，不满足题意，故C错误； 表示在全集中的补集，不满足题意，故D错误； 故选：A. 考点02集合的运算 2.（2025·河北对口升学）已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据交集的定义求解． 【详解】集合，，则， 故选：A． 3.（2024·河北对口升学）已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据并集的定义即可得解. 【详解】集合，，则， 故选：. 【举一反三】 1.（2023·河北对口升学）设集合M=，N=，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据解一元二次方程可以求出集合N，再根据集合并集运算易得答案. 【详解】因为，所以. 故选：C 2.（2022·河北对口升学）已知全集，，则集合M的补集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据补集的定义即可求解. 【详解】已知全集，， 根据补集的定义可知：补集中的元素x满足且 所以集合M的补集为. 故选：B 3. 设集合，则集合的子集个数为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】C 【分析】先求出集合的元素个数，进而求出子集个数即可. 【详解】集合， 故集合的子集个数为. 故选：C. 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意结合补集的定义即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 5. （2026·河北职教高考模拟）下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据集合与元素，集合与集合之间的关系即可求解 【详解】对A: 为自然数集，为整数集，所以，故A正确； 对B：为有理数集，为无理数，所以，故B错误； 对C: 没有任何元素，所以，故C错误； 对D：为自然数集，所以，故D错误. 故选：A. 【拓展提升】 一、选择题 1.（2020·河北对口升学）下列集合中不是空集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】求解每个集合中的元素即可判断. 【详解】对于A，由可得：且，有1个元素，故A不是空集； 对于B，即，该方程无解，故是空集； 对于C，恒成立，故是空集； 对于D，即空集的符号表示. 故选：A. 2. 已知集合，则集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【分析】根据含含绝对值的不等式的解法求出集合A，再根据元素的个数求出子集的个数即可. 【详解】由不等式，解得， 因为，所以，故其子集个数为. 故选：D. 3.（2026·河北职教高考模拟）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由题意分别求出集合M和集合N，根据交集的定义即可求解. 【详解】因为集合，又由解得或， 所以集合或，则. 故选：B. 4. （2026·张家口怀来模拟）已知集合，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 2或4 【答案】C 【分析】根据可知或，据此即可求解． 【详解】∵，，∴或， ∴或， 故选：C． 二、填空题 5.若为一个集合，则a的取值范围是__________．（用区间表示） 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性求解即可. 【详解】因为为一个集合，所以，即， ，解得，所以a的取值范围是. 故答案为： 6．设全集，集合，集合，则_____________. 【答案】 【分析】利用区间的运算即可得解. 【详解】因为全集，，所以，又集合，集合A与集合用数轴表示如图所示，    由图可知. 故答案为：. 三、解答题 7. 已知集合，且，求实数所组成的集合. 【答案】 【分析】由得，然后分类讨论与，列出方程求解. 【详解】由题意得， 因为，所以. 当时，，符合题意； 当时，， 因为，所以或，解得或. 综上，实数所组成的集合为. 8．集合，假设，且，求的所有值组成的集合. 【答案】 【分析】分类考虑和，根据方程根的情况，结合即可求解. 【详解】因为，又， 当时，方程变为，解为，即，满足， 当，方程的判别式，得到， 又，所以， 所以的所有值组成的集合为 二、充要条件 【概念回顾】 1.命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． 2.充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 【点睛】若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A⫌B，则p是q的必要不充分条件； 【真题精讲】 考点01 与集合间关系相结合 1.（2026·河北对口升学）已知是的充分条件，写出一个符合的的值_______________________. 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【分析】利用集合与充要条件的关系即可得解. 【详解】因为是的充分条件， 所以，则， 故取（满足即可）. 故答案为：1（答案不唯一，满足即可） 考点02 与其他知识相结合 2.（2024·河北对口升学）“是锐角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据条件的充分性和必要性分别进行证明讨论，从而得出结论. 【详解】若“是锐角”，则，故，充分性成立； 若，则可能是第一或第二象限角或角的终边在y轴正半轴，，即必要性不成立； 所以“是锐角”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3.（2022·河北对口升学） “四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分条件,必要条件的定义及平行四边形与菱形的性质即可得解. 【详解】因为菱形是特殊的平行四边形.所以四边形是平行四边形四边形是菱形,不成立. 四边形是菱形四边形是平行四边形,成立.所以为必要不充分条件. 故选:. 【举一反三】 1.（2023·河北对口升学） “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据三角函数值求角和特殊角的三角函数值来进行判断. 【详解】因为当时，或， 而当时，成立，所以是的必要不充分条件. 故选：B. 2.（2026·河北职教高考模拟） “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若，则，充分性成立， 若，则，不一定有，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 3 .“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，结合充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】若，则不一定成立，如，故充分性不成立； 若，则一定成立，故必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．“”是“且”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据推出关系易得答案. 【详解】若,则必有且,反之，若且,则成立， 所以是且的充要条件. 故选：C. 5．，，则是的（  ）条件． A．充分 B．必要 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】求出集合的元素，利用充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为.解得或.所以. 因为，解得.所以.所以不成立，成立.所以是的必要条件. 故选：. 【拓展提升】 一、选择题 1. “的解集是”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】先求出的解集是的的取值范围，结合充分性及必要性的定义逐项判断即可得解. 【详解】若的解集是， 则，解得； 选项，当时，可以推出的解集是，故充分性成立； 当的解集是，推不出，故必要性不成立， 所以是的解集是的充分不必要条件，故正确； 选项，推不出的解集是，故充分性不成立，故错误； 选项，推不出的解集是，故充分性不成立，故错误； 选项，是的解集是的充要条件，故错误， 故选：. 2. （2026·张家口怀来模拟）已知，为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合对数函数的定义域，及充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】由题意，若，则一定成立，即充分性成立； 若，，为负数时，无意义，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 命题“”是命题“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】当“”时，所以“”成立. 当“”时，则，等情况均有可能，故无法推出. 故命题“”是命题“”成立的充分不必要条件. 故选：A. 4．已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合基本不等式求解． 【详解】已知， 若，可取，则，故充分性不成立； 若，则，当且仅当时取等号，故必要性成立， 则“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 二、填空题 5．已知：是：的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分不必要条件得到集合间关系，进而得到所求. 【详解】∵是的充分不必要条件，∴集合是集合的真子集， ∴，即实数的取值范围是. 故答案为：. 6．设，，是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是__ ____． 【答案】 【分析】由题意转化为集合间的包含关系可得. 【详解】解：假设，由题意，是B的真子集，所以必有成立. 故答案为：. 三、解答题 7．已知集合，集合 (1)当时，求 (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入集合中，再由并集的概念运算即可. （2）根据充分条件的定义可知，根据包含的关系列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，， ，所以. （2）若“”是“”的充分条件，则， 因为，故，所以，解得， 因为，所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 8．已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合绝对值不等式的解法，先求出集合A，结合充分条件的概念，即可求解. （2）根据题意，结合二次不等式的解法，先求出集合B，结合必要条件的概念，即可求解. 【详解】（1）因为，即，解得， 所以集合， 因为“”是“”的充分条件，所以，即的取值范围是； （2）因为，即，解得或， 即集合或， 因为“”是“”的必要条件，所以或， 即的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $