综合训练卷(四) 2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦中职数学核心知识整合，以“一考一讲”模式实现代数、几何、统计的综合检测，适配高职单招备考需求，强化数学眼光、思维与语言的综合应用。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|10题（如1、7、13题）|函数概念辨析、三角运算、图像分析|从函数定义到性质应用，构建“概念-图像-运算”逻辑链，体现数学思维的推理意识| |几何|7题（如2、6、18题）|直线与圆方程、立体几何体积、实际情境几何应用|以空间观念为核心，整合“平面几何-立体几何-实际问题”，发展数学眼光的几何直观| |统计与应用|3题（如8、20题）|频率分布直方图、利润优化|通过数据处理与实际建模，培养数学语言的数据意识与应用意识|

编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学45分钟训练卷》，以河北省高职单招（中职类）最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学45分钟训练卷》 综合训练卷（四） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题4分，共80分). 1. 在下列函数中，是正比例函数的有（    ） ①；②；③；④． A．①② B．①②③ C．①③④ D．③④ 【答案】C 【分析】在一次函数中，令，则函数称为正比例函数 【详解】解：②中， 则函数不是正比例函数，①③④为正比例函数.故选：C． 2．过原点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知直线过原点，则设直线方程为，因为两直线垂直，即可求出所求直线方程的斜率. 【详解】解：由题知直线过原点，则设直线方程为． 因为直线的斜率为，且两直线垂直， 所以，解得，所以直线方程为，即．故选：A. 3．方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件即可求解. 【详解】方程可化为， 故该方程表示圆的充要条件为即.故选：B. 4．设直线过点，且直线的斜率为，则直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的点斜式方程即可得解. 【详解】因为直线过点，斜率为. 所以直线方程为.故选：. 5．若直线平分圆的周长，则的值为（    ） A． B．6 C．4 D． 【答案】A 【分析】首先求出圆的圆心，再根据圆心在直线上求解. 【详解】圆化为标准形式为， 所以圆心坐标为．因为直线平分圆的周长， 所以圆心在直线上，故，解得．故选：A. 6．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据正棱锥的性质，先求出底面对角线长度的一半，再由勾股定理计算出高，最后由棱锥的体积公式求解即可. 【详解】如图， 连接AC,BD，设AC与BD交于点O，连接SO. SO为正四棱锥的高，. 正四棱锥的底面为边长为2的正方形， 由勾股定理，，. ，由勾股定理，， 正四棱锥的体积为：.故选：A. 7．已知，且是第四象限的角，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的基本关系和诱导公式求解. 【详解】因为 ， 是第四象限的角，所以， 所以 .故选：C. 8．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（     ） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】C 【分析】利用频率直方图中频率、频数与总数的关系求得样本总人数，进而求得第三组中的人数，从而得解. 【详解】由直方图可得分布在区间第一组与第二组的频率分别是，， 所以志愿者共有人，第三组频率为，所以第三组为人， 因为第三组中没有疗效的有人，则第三组中有疗效的人数为人.故选：. 9．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合诱导公式即可得解. 【详解】，故选：. 10．下列命题中不正确的是（    ） A．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径 B．母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等 C．圆锥中所有平行于底面的截面都是圆面 D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形 【答案】B 【分析】由圆柱、圆锥、球的结构特征和截面的性质即可得解. 【详解】选项A，球心到球面上任意一点的距离都等于球的半径，过球心的截面所截得的圆面的半径就是球的半径，正确；选项B，母线长相等时，由于顶角 可以不同，那么轴截面面积的值不同，错误；选项C，圆锥的定义是由直角三角形绕一条直角边旋转而得到的几何体，平行于底面的截面与底面是相似图形，因为底面是圆，所以平行于底面的截面都是圆面，正确；选项D，圆锥的轴截面是由圆锥的母线和底面直径组成的三角形，圆锥的母线长都相等，底面直径也固定，所以所有轴截面都是全等的等腰三角形，正确. 故选：B. 11．若角a与角β的终边关于y轴对称，则下列关系式恒成立的是（    ） A．sina = sinβ，cosa = cos β B．sina=-sin β，cosa=-cos β C．sina = sin β，cosa=-cos β D．sina=-sin β，cosa= cos β 【答案】C 【分析】角a与角β的终边关于y轴对称，利用三角函数线可以判断正弦值相等，余弦值相反数. 【详解】因为角a与角β的终边关于y轴对称，利用单位圆或者三角函数线可知，正弦值相等，余弦值互为相反数，所以C正确.故选：C. 12．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】C 【分析】根据题意换原图形即可得解. 【详解】 如图，设轴与交于点，则， 如图所示还原图形得到平行四边形，，则， ，原图形是菱形， 故选：. 13．已知函数的一段图象如图所示，则它的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象求得，进而求得，结合三角函数图象的性质与选项考虑，再代入图象最高点求得，进而利用三角函灵敏的诱导公式即可得解. 【详解】由图象可知， 所以，则， 由于同一三角函数的图象的解析式可化为同一形式，结合选项不妨设， 则，又因为其图象经过最高点， 所以，则， 所以.故选：C 14．已知且，则一次函数与指数函数在同一坐标系中的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据一次函数和指数函数的图像特点识别即可. 【详解】对A、B：当时，指数函数单调递增， 一次函数中，则斜率为负数、截距为正且大于1， 则一次函数的图像向左倾斜，且与y轴的交点在指数函数与y轴交点的上方，故A、B项错误；对C、D：当时，指数函数单调递减， 一次函数中，则斜率为正数、截距为正且小于1， 则一次函数的图像向右倾斜，且与y轴的交点在指数函数与y轴交点的下方，故D项错误，C项正确.故选：C. 15．若点在函数的图像上，则下列点不在函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合对数的运算，即对数函数的图像和性质，即可判断求解. 【详解】因为点在的图像上，所以， 所以，故点在函数图像上，故选项A不符合题意； 所以，故点在函数图像上， 又函数在上为单调增函数， 故点不在函数图像上，故选项B符合题意； 所以，故点在函数图像上，故选项C不符合题意；所以，所以点在函数图像上，故选项D不符合题意； 故选：B. 16．已知是的一个内角，且，则是（    ）. A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】结合同角三角函数的平方关系，通过的值得出乘积的符号，而在中，，可得出的符号，若可判断三角形为钝角三角形． 【详解】对已知等式两边同时平方，得， ∵，∴,∴. 在中，，得,∴为钝角三角形.故选：B． 17．若圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，则该圆柱与圆锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆锥体积公式，圆柱体积公式及圆锥与圆柱的轴截面面积即可得解. 【详解】设圆柱的底面半径为，圆锥的底面半径为，圆柱与圆锥的高为. 由题意可知.所以.故选：. 18．如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以为半径，B为公园入口，道路为东西方向，道路经过点O且向正北方向延伸，，现计划从B处起修一条新路与道路相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为（单位：m）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，再根据直线与圆相切时距离最短求解即可. 【详解】 如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标，则. 由题意，则修建的新路所在直线斜率存在， 可设直线方程为，即. 则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，此时，解得（不符合题意）.直线方程为，进而直线与道路相交于点. 此时求得新路长度为．故选：A. 19．二次函数满足，且有两个实根，则（    ）． A．0 B．3 C．6 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的特点和所给的抽象函数式的意义，知道函数图象是关于对称，又有函数与轴的两个交点也是关于对称轴对称，得到结果． 【详解】由可得对称轴为，又∵对称轴为，∴， 又.故选：C． 20．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10 天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸（   ） A．215份 B．350份 C．400份 D．250份 【答案】C 【分析】根据题意，设每天从报社买进份报纸，每月所获利润为y 元，结合买进、卖出、退回情况分析可得到关于的一次函数，利用一次函数的性质求解即可. 【详解】由题意，设每天从报社买进x（，）份报纸，每月所获利润为y 元，具体情况如表： 数量/份 单价/元 金额/元 买进 2 卖出 3 退回 0.8 所以，， 因为在上单调递增， 所以当时，y取得最大值， 即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8700元.故选：C. 二、判断题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21. 绝对值小于3的整数组成的集合用列举法可表示为．( ) 【答案】错 【分析】根据列举法的定义写集合即可. 【详解】绝对值小于3的整数组成的集合用列举法可表示为{-2，-1，0，1，2}. 故答案为：错. 22．小明的身高为 ，小华的身高为y，则“小明比小华矮”可表示为“”.( ) 【答案】错误 【分析】根据身高的高低比较变量的大小. 【详解】“小明比小华矮”可表示为“”，说法错误.故答案为：错误. 23．直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3)．( ) 【答案】正确 【分析】根据直线平移规律即可求解. 【详解】无论取何值，直线都过点.故答案为：正确. 24．圆的圆心坐标是，半径是4．( ) 【答案】错误 【分析】根据圆的标准方程的概念求解即可. 【详解】因为圆的标准方程为， 所以该圆的圆心坐标是，半径是2.故答案为:错误. 25．若在上是减函数，则.( ) 【答案】正确 【分析】根据减函数的概念可判断. 【详解】因为在上是减函数，且,所以.故答案为：正确 26．.( ) 【答案】错误 【分析】根据集合的互异性易得答案. 【详解】结果中相同的元素不能重复出现，应该为. 故答案为:错误. 27．决定组距和组数时，组数越多越好.( ) 【答案】错误 【分析】根据组距和组数的概念判断即可. 【详解】在决定组距和组数时，不是组数越多越好. 组数的确定要综合考虑数据的数量、分布特点等， 如果组数过多，会导致每组数据量过少，可能无法清晰呈现数据的整体分布规律，还会使数据变得零散； 组数过少，又不能细致反映数据的差异，要在能合理展示数据特征的前提下，恰当确定组数. 故答案为：错误. 28．在正弦函数或余弦函数的非单调区间上，对于一个已知的正弦函数值，可能有多个角与它对应.( ) 【答案】正确 【分析】根据正弦函数或余弦函数的图像即可判断. 【详解】由正弦函数或余弦函数的图像可知,在正弦函数或余弦函数的非单调区间上， 对于一个已知的正弦函数值，可能有多个角与它对应.故答案为：正确. 29．函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合.( ) 【答案】错误 【分析】根据函数的概念判定. 【详解】在实际的数学定义中，函数的定义域和值域都必须是数集.故答案为：错误. 30．将余弦函数的图像向右平移个单位长度就得到正弦函数的图像.( ) 【答案】正确 【分析】 由正余弦函数的图像和性质即可解得. 【详解】 由正余弦函数的图像和周期性可知， 将余弦函数的图像向右平移个单位长度就得到正弦函数的图像.故答案为：正确 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学45分钟训练卷》，以河北省高职单招（中职类）最新考试大纲及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河北省高职单招（面向中职毕业生）《数学45分钟训练卷》 综合训练卷（四） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题4分，共80分). 1. 在下列函数中，是正比例函数的有（     ） ①；②；③；④． A．①② B．①②③ C．①③④ D．③④ 2．过原点且与直线垂直的直线方程为（     ） A． B． C． D． 3．方程表示圆的充要条件是（     ） A． B． C． D． 4．设直线过点，且直线的斜率为，则直线方程为（     ） A． B． C． D． 5．若直线平分圆的周长，则的值为（     ） A． B．6 C．4 D． 6．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于（    ） A． B． C． D．4 7．已知，且是第四象限的角，则的值为（     ）． A． B． C． D． 8．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（     ） A．6 B．8 C．12 D．18 9．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 10．下列命题中不正确的是（    ） A．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径 B．母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等 C．圆锥中所有平行于底面的截面都是圆面 D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形 11．若角a与角β的终边关于y轴对称，则下列关系式恒成立的是（    ） A．sina = sinβ，cosa = cos β B．sina=-sin β，cosa=-cos β C．sina = sin β，cosa=-cos β D．sina=-sin β，cosa= cos β 12．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 13．已知函数的一段图象如图所示，则它的解析式为（     ） A． B． C． D． 14．已知且，则一次函数与指数函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   15．若点在函数的图像上，则下列点不在函数图像上的是（     ） A． B． C． D． 16．已知是的一个内角，且，则是（     ）. A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不等腰三角形 D．等腰直角三角形 17．若圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，则该圆柱与圆锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 18．如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以为半径，B为公园入口，道路为东西方向，道路经过点O且向正北方向延伸，，现计划从B处起修一条新路与道路相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为（单位：m）（    ） A． B． C． D． 19．二次函数满足，且有两个实根，则（     ）． A．0 B．3 C．6 D．不能确定 20．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10 天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸（    ） A．215份 B．350份 C．400份 D．250份 二、判断题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21. 绝对值小于3的整数组成的集合用列举法可表示为．( ) 22．小明的身高为 ，小华的身高为y，则“小明比小华矮”可表示为“”.( ) 23．直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3)．( ) 24．圆的圆心坐标是，半径是4．( ) 25．若在上是减函数，则.( ) 26．.( ) 27．决定组距和组数时，组数越多越好.( ) 28．在正弦函数或余弦函数的非单调区间上，对于一个已知的正弦函数值，可能有多个角与它对应.( ) 29．函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合.( ) 30．将余弦函数的图像向右平移个单位长度就得到正弦函数的图像.( ) 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $