3.1.2 第2课时 分段函数(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦分段函数，通过电费、出租车计费等生活实例导入，衔接函数概念基础，引导学生从具体情境抽象出分段函数定义，构建“概念理解—图象绘制—实际应用”的学习支架。 以数学抽象、数学建模为核心，设计分层问题与实际应用例题，如个人所得税计算、电费分段收费，培养学生用数学眼光观察现实问题，用数学思维解决实际问题的能力，助力直观想象与数学运算素养提升。

第二课时　分段函数 课标要求 情境导入 1.了解分段函数的概念（数学抽象）. 2.会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象并能应用（数学运算、直观想象）. 3.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题（数学建模）. 　　某地区的电费依据不同的时间段来收取，一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些.反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电的费用.生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税问题等.这些都与我们今天要研究的分段函数有关. 知识点一　分段函数 问题　某市公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5千米以内，票价2元；（2）5千米以上，每增加5千米，票价增加1元（不足5千米的按5千米计算）.已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途（包括起点站和终点站）有11个汽车站. 从起点站出发，公共汽车的行程x（千米）与票价y之间的函数表达式是什么？x与y之间有什么特点？ 1.定义：函数y＝f（x）在定义域内不同部分上，有不同的　　　　　　，像这样的函数称为分段函数. 2.本质：函数在定义域的不同子集内，有着不同的　　　　　　. 提醒：（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；（2）分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集. 1.〔多选〕下列给出的函数是分段函数的是（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝ C.f（x）＝ D.f（x）＝ 2.函数y＝的定义域为　　　　　　　， 值域为　　　　. 3.已知函数f（x）＝ （1）求f（－2），f（3），f（f（－））； （2）若f（x）＞3，求实数x的取值范围； （3）若f（a）＝4，求实数a的值. 规律方法 1.分段函数求函数值的方法 （1）确定要求值的自变量属于哪一段区间； （2）代入该段的解析式求值，当出现f（f（x0））的形式时，应从内到外依次求值. 2.已知函数值求参数取值（范围）的步骤 （1）先对参数的取值范围分类讨论； （2）然后代入不同的解析式中； （3）通过解方程求出参数的值； （4）检验所求的值是否在所讨论的区间内. 知识点二　分段函数的图象及应用 （链接教材P68例6）已知函数f（x）＝－x2＋2，g（x）＝x，令φ（x）＝min{f（x），g（x）}（即f（x）和g（x）中的最小者）. （1）分别用图象和解析式表示φ（x）； （2）求函数φ（x）的定义域和值域. 规律方法 分段函数图象的画法 （1）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重不漏； （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象. 训练1　已知函数f（x）＝1＋（－2＜x≤2）. （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域. 知识点三　分段函数在实际问题中的应用 （链接教材P70例8）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3 000元的部分 3% 超过3 000元至12 000元的部分 10% 超过12 000元至25 000元的部分 20% 某职工每月收入为x元，应缴纳的税额为y元. （1）请写出y关于x的函数关系式； （2）有一职工八月份缴纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？ 规律方法 分段函数的实际应用 （1）当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画； （2）分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式. 训练2　某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）关于用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解决下列问题. （1）求y关于x的函数关系式； （2）利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准； （3）若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？ 1.已知函数f（x）＝则f（5）＝（　　） A.3 B.7 C.10 D.9 2.函数y＝｜x－1｜的图象是（　　） 3.已知函数f（x）＝若f（x0）＝5，则x0＝　　　　. 4.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.则该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的函数关系式是　　　　；若某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为　　　　立方米. 完成课后作业　第三章　3.1　3.1.2　第二课时 答案 第二课时　分段函数 知识点一 导入新知 问题　提示：y＝x在不同的范围内取值时，y的对应关系不同. 学习新知 1.解析式 2.对应关系 即学即练 1.AD　 2.（－∞，）∪（1，＋∞）　{－3}∪{－2}∪（1，＋∞） 3.解：（1）由－2∈（－∞，－1]，3∈[1，＋∞），－∈（－1，1），知f（－2）＝4＋1＝5， f（3）＝，f（－）＝3×（－）＋5＝，f（f（－））＝f（）＝. （2）①当x≤－1时，x2＋1＞3，解得x＜－或x＞， 又x≤－1，所以x＜－； ②当－1＜x＜1时，3x＋5＞3得x＞－， 又－1＜x＜1，所以－＜x＜1； ③当x≥1时，＞3，得x＜， 又x≥1，所以x∈⌀， 综上x的取值范围是（－∞，－）∪. （3）当a≤－1时，f（a）＝a2＋1＝4，a＝－或a＝（舍）， 当－1＜a＜1时，f（a）＝3a＋5＝4，a＝－，符合题意. a≥1时，f（a）＝＝4，a＝，不符合题意，舍去. 综上，当f（a）＝4时，a的值为－或－. 知识点二 【例1】　解：（1）在同一个坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象如图1. 由图1中函数取值的情况，结合函数φ（x）的定义，可得函数φ（x）的图象如图2. 令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1. 结合图2，得出φ（x）的解析式为 φ（x）＝ （2）由图2知，φ（x）的定义域为R，φ（1）＝1，　 ∴φ（x）的值域为（－∞，1]. 训练1　解：（1）当0≤x≤2时，f（x）＝1＋＝1； 当－2＜x＜0时，f（x）＝1＋＝1－x. ∴f（x）＝ （2）函数f（x）的图象如图所示. （3）由（2）知，f（x）在（－2，2]上的值域为[1，3）. 知识点三 【例2】　解：（1）由题意，得y＝ （2）∵该职工八月份缴纳了54元的税款， ∴5 000＜x≤8 000，（x－5 000）×3%＝54， 解得x＝6 800. 故这名职工八月份的工资是6 800元. 训练2　 解：（1）当0≤x≤100时，设函数解析式为y＝kx（k≠0）. 将x＝100，y＝65代入， 得k＝0.65，所以y＝0.65x. 当x＞100时，设函数解析式为y＝ax＋b（a≠0）. 将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入， 得解得 所以y＝0.8x－15. 综上可得，y＝ （2）由（1）知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.8元. （3）当x＝62时，y＝62×0.65＝40.3（元）； 当y＝105时， 因为0.65×100＝65＜105，故x＞100， 所以105＝0.8x－15，解得x＝150. 即若该用户某月用电62度，则应交费40.3元；若该用户某月交费105元，则该用户该月用了150度电. 随堂自测 1.C　2.B　3.－2 4.y＝　13 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $