14.2 第1课时 三角形全等的判定一(SAS)-【红对勾】2026-2027学年八年级上册数学45分钟作业与单元评估（人教版·新教材）

第十四章全等三角形川17 14.2三角形全等的判定 第1课时 三角形全等的判定一(SAS) M 基础达标 答案见活9 知识点用“SAS”判定两个三角形全等 1.下列与如图所示的三角形全等的是( ) 0 A.24m B.25m 2 cm 40 2 cm 2 cm cm40% C.26m D.28m 2 cm 3 cm 0 3 cm 5.如图，AB,CD相交于点O,∠CDB= ① ② ③ ∠ABD,请你补充一个条件，通过“SAS” A.①② B.②③ 证得△ADB≌△CBD,你补充的条件是 C.①③ D.只有① 2.如图，AC与BD交于点O,若OA=OD, 要用“SAS”证明△AOB≌△DOC,还需要 的条件是 ( ) B 6.(2024云南中考)如图，在△ABC和△AED 中，AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD. 求证：△ABC≌△AED, A.OB=OC B.AB=DC C.∠A=∠D D.∠B=∠C 3.如图，已知AC和BD相交于点O,且BO DO,AO=CO,下列判断正确的是() 中 A.只能证明△AOB≌△COD B.只能证明△AOD≌△COB C.只能证明△AOB≌△COB D.能证明△AOB≌△COD和△AOD≌ △COB 4.(2025保定顺平县期中)如图，已知O为线段 PN,MQ的中点，PQ=25m,则M,N两 点间的距离为 () 18川川2对勾·八年级数学·上 能力提升 4.如图所示，在2×2的正方形方格中，每个 答案见活19 小正方形方格的边长都为1，则∠1+∠2= 1.如图，AB=AD,∠BAC=∠DAC= 25°，∠D=80°，则∠BCA的度数为( A.25°B.50° C.65 D.75 D 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，∠B=∠C,∠A=112°， 第1题图 第2题图 E,F,D分别是AB,AC,BC上的点，且 2.如图，在△ABC中，D,E是BC边上的两 BE=CD,BD=CF,则∠EDF的度数为 点，AD=AE,BE=CD,∠1=∠2= 6.(2025西安新城区期中)如图，已知AB=CD,， 110°，∠BAE=60°，则∠CAD的度数为 ABCD,E,F是AC上两点，且AF=CE. (1)求证：△ABE≌△CDF. A.50° B.60° C.70 D.110 (2)若∠BCE=30°，∠CBE=70°，求∠CFD 3.(新情境)综合实践课上， D 的度数. 嘉嘉制作了一个燕尾形 风筝，如图，AD=CD, ∠ADB=∠CDB,她准 A 备用刻度尺测量AB和BC,并比较两者的长 度是否相等，淇淇说：“不用测量，因为 △ABD≌△CBD,所以AB=BC.”则淇淇 得到△ABD≌△CBD的依据是 …微专题3倍长中线法构造全等三角形… 方法指引中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线 法”添加辅助线.倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用 :全等三角形的有关知识来解决问题的方法 1.(2025石家庄新华区月考)如图，在△ABC中，2.如图，已知CD=AB,∠BDA=∠BAD, AD是中线，AB=5,AC=3,则AD的取值 AE是△ABD的中线. 范围是 () 求证：∠C=∠BAE. D A.3<AD<5 B.2<AD<8 C.1<AD<4 D.0<AD<1参考答案 》》》》》》》 7.A 第十三章 三角形 8.解：△ABC和△EFD的三条高如图所示 13.1 三角形的概念 基础达标 1.A 2.△CDF,△CBD△BEF ∠BCE CE B △ABC,△ABD,△ACE 3.B4.C 能力提升 能力提升 1.B2.D3.C 图1 图2 4.③④ 1.B2.B (2)如图2，连接AP,则S△ABC=S△ABP 3.解：，CD=CA=CB, 5.解：S△ABc=2AB·CE= .△ABC,△BCD,△ACD为等腰三角形 2BC·AD. SAACP,六2AB·CD=ZAB·PF 4.解：(1)如图所示，以AB为边的三角形能画3 '.AB=4 cm,BC=8 cm,CE=6 cm, 个：△EAB,△DAB,△CAB 2 AC.PE,.AB=AC,..CD=PF-PE 2X4X6=2X8·AD. ∴AD=3cm. D 6.解：(1)①如图1，当高AD在△ABC的内部 6.解：(1)角平分线 时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=70 (2).DE∥BC,∠DEB=34°，..∠EBC= 208=00° 34,.BE是△ABC 的角平分线， ②如图2，当高AD在△ABC的外部时， ∠ABC=2∠EBC=68° ∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50 B 7.解：(1)如图所示，EF,DG即为所求作 综上所述，∠BAC的度数为90°或50°. (2)△DAB是等腰三角形，△EAB,△CAB 是钝角三角形 13.2与三角形有关的线段 E D C B D 13.2.1三角形的边 G 图1 图2 基础达标 (2)由(1)得△ABC是直角三角形或钝角三 DF 1.B2.B 角形. 3.解：(1)2 (2),AD为△ABC的中线，BE为△ABD的 13.3 三角形的内角与外角 (2)当三角形框架的边长为2,3,4时， 所需费用为6+8+10=24（元）： 中线，.S△ABD= SAB,SADE 13.3.1 三角形的内角 当三角形框架的边长为2,5,4时 2 SAAUD,六SAHDE=有SAAE,:△ABC 第1课时 三角形的内角和 所需费用为6十10+15=31（元）. 基础达标 每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共 1.B2.B3.454.C5.B 需24+31-55（元）， 的面积为40，BD=5,六S△sDe=2BD· 6.解：设另外两个内角中，较小的内角为x°，则 答：购买铁条共需55元 4.A5.C EF= FX5·EF= 4 ×40=10,.EF=4, 较大的内角为(x十8)°. 根据题意，得x十(x十8)十132=180. 6.稳定性 即△BED中BD边上的高EF的长为4. 解得x=20..x十8=28. 能力提升 8.解：(1)4 ∴这个三角形三个内角的度数分别是20°， 1.B2.D3.B (2)①当△BDE的周长-四边形ACDE的周 28°，132 4.小三角形两边的和大于第三边5.21 长=2cm时，即(BE十BD+DE)-(AEH 7.解：在△ABC中，∠A=65°，∠ACB= 6.解：当4cm为腰长时，三边长为4cm,4cm, AC+DC+DE)=2.AD是中线，.BD 72°，，∴.∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180° 6cm,4十4>6，∴.a=6, DC,∴.BE=AE+AC+2.又，'AB=10cm 65°-72°=43.∠ABD=30°，.∠CBD= 当4cm为底边长时，三边长为5cm,5am,4cm, AC=6 cm,BE=AB-AE,.AB-AE= ∠ABC-∠ABD=13°，.'CE平分∠ACB, .4+5>5 a=5,综上，a=6或5. AE+AC+2,.10-AE=AE+6+2,∴ ∴.∠BCE= ∠ACB=36.,∴.∠BEC= 7.解：(1)a,b,c是△ABC的三边长 AE=1 cm. ,.a十c>b,b+c>a,∴.a-b+c>0,a ②当四边形ACDE的周长-△BDE的周长 180°-∠CBE-∠BCE=180°-13° b-c<0,.a-b+c+a-b-c 2cm时，即(AE+AC+DC+DE)一(BE+ 36°=131 (a-b+c)-(a-b-c)=a-b+c-a+ BD+DE)=2,,AD是中线，∴.BD=DC 能力提升 b十c=2c. ∴.AE+AC=BE+2.又：'AB=10 cm, 1.B2.B3.A4.B ②粥方程组为121，解得8：录据三 AC=6 cm,BE=AB-AE,,'.AE+AC= 5.75 2a-b= AB-AE+2,.AE+6=10-AE+2, 6.解：(1)△ABC是“特征三角形”.理由如下 角形的三边关系得5-2<c<2十5，即3<c AE-3cm.综上，线段AE的长为1cm或 .在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°， 7,c为偶数，c=4或6，.这个三角形 ,∴.∠C-180°-30°-50°=100° .∠C 的周长为2+5十4=11或2+5十6=13. 2∠B.∴.△ABC是“特征三角形” 8.解：(1)第一段的长不能为3cm 专题训练一三角形的中线、 (2)在△DEF中，∠D=96 ,∴.∠E+∠F 理由如下： 高线的运用 180°-96=84°.△DEF是“特征三角形” 根据题意，第一段长acm,第二段的长(3a一 1.C2.A 且∠E是“次特征角”，①当∠D=2∠E时， 2)cm,第三段的长为[12-a-(3a-2)]=3.解：：AD为△ABC的中线，△ABC的面积 2∠E=96°.∴.∠E=48.②当∠F=2∠E (14-4a)cm,当a=3时，3a_27,14 时，∠E十2∠E=84°..∠E=28°.综上所 4a=2,3十2<7，.三根木棒不能制作一个 为24，S△ABD=2S△ABC=12,BE为 述，∠E的度数为48或28 三角形木框，∴第一段的长不能为3cm. 1 微专题1 (2)符合条件的CP的整数长度为3cm或4cm △ABD的中线，∴.S△ABE= 13609 或5cm. 12=6,AE=3,BF为△ABE中AE边上 2.解：(1)6 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 (2)∠DAP+∠D=∠P+∠DCP,① 基础达标 的高，∴7×3BF=6,BF=4. 霜胡平分我P和C印相交 1.C2.B3.①③4.A5.50 4.2 6.证明：AD是△ABC的角平分线，5.解：(1)如图1，连接AP,则SAA=S△A即十 ∠D+ ∴.∠BAD=∠CAD.0:PM∥AC,PN∥ S△ACp,2AC·BD=2AB·PF+ ∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+ AB,∠APM=∠PAN,∠APN ∠P,即2∠P=∠D+∠B,又：∠D=50°， ∠PAM.∴.∠APM=∠APN.∴.PA平 分∠MPN. AC PE,AB=AC,.BD=PE+PF. ∠B=40°，.2∠P=50°+40°，∴.∠P=45°. (3)2∠P=∠D+∠B. 第2课时直角三角形的两个锐角互余 4.解：∠E的大小保持不变，等于45°.理由如下：4.解：作图步骤 .∠MON=90°，.∠0AB+∠OBA=90°. (1)取AB,BC,CD,AD四边的中点G,E, 基础达标 .∠OAB+∠MAB=180°，∠OBA F,H. 1.B2.83.B ∠NBA=180°，，.∠MAB+∠NBA=180°+ (2)连接AE,CG,，得△ABC的重心P;连接 4.证明：，∠ACB=90°，，.∠ACD+∠BCD= 180°-90°=270°.AE,BE分别平分 AF,CH,得△ACD的重心Q:连接BH, 90..∠ACD=∠B,∴.∠B+∠BCD=90 ∴.∠BDC=90°，即CD⊥AB.∴.CD是 ∠MAB和∠NBA,∴.∠EAB= 2∠MAB, DG,得△ABD的重心R;连接BF,DE,得 △BCD的重心S. △ABC的高， 能力提升 ∠EBA= ∠NBA.∴.∠EAB+∠EBA= (3)连接PQ,RS交于O点.如图所示， O点即为所求 1.C2.C 3.40 2（∠MAB+∠NBA)=2X270°=1359， 4.解：∠AFD=152°，，.∠DFC=180° ∴.∠E=180°-（∠EAB+∠EBA)=180° ∠AFD=28°.，FD⊥BC,∴.∠FDC=90° 135°=45°.∴.∠E的大小保持不变，等于45° G ) .∠C=90°-28°=62°， … ∠B=∠C 5. .∠B=62°.DE⊥AB,∴.∠BED=90 6.解：(1)，BD,BE分别为∠ABC,∠CBF的 ∴.∠EDB=90°-62°=28°..∠EDF B 180°-∠EDB-∠FDC=180°-28 平分线，.∠DBG= 2∠ABC,∠EBG= 90°=62° 5.解：(1)15 2∠CBF,·∠DBE=∠DBG+∠EBG= 第十四章全等三角形 (2)①△ABD是“准互余三角形”， 1 理由：：AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC -×(∠ABC+∠CBF)=90° 14.1 全等三角形及其性质 2∠BAD,.'∠ACB=90°，，.∠BAC+∠B= (2),∠ACG是△ABC的外角，∴.∠ACG 基础达标 90°，∴.2∠BAD+∠B=90°，∴.△ABD是 ∠ABC=∠A=70°，.BD,CD分别为1.B2.C3.C “准互余三角形” ∠ABC,∠ACG的平分线，∴.∠DBG= 4.△CBD CB BD∠CDB5.D6.C ②，△ABE是“准互余三角形”，∴，∠EAB+ 7.解：(1)△ADE≌△BCF,AD=8cm 2∠B=90°或2∠EAB+ ∠B=90°，∠B 2∠ABC,∠DCG=3∠ACG,·.∠D= .BC=AD=8cm,又CD=6cm,∴.BD= 24°，，.∠EAB=42°或33°，当∠EAB=42 BC-CD=8-6=2(cm). ∠B-24时，∠EAC=90° ∠B一 ∠EAB ∠DCG-∠DBG= 24,当∠EAB=33°，∠B=24时，∠EAC 2 X(∠ACG (2)'△ADE≌△BCF,∠A=30°，∠E ∠ABC)=35 80°，，.∠B=∠A=30°，∠F=∠E=80°， 90°-∠B-∠EAB=33°，∴.∠EAC=33 7.解：(1)20 2∠EAD=∠C-∠B ,∴.∠BCF=180°-（∠B+∠F)=180°-(30°+ 或24°. (2)∠EPD ∠C-∠B 80°)=70° 13.3.2三角形的外角 理由如下： 能力提升 基础达标 如图，过点A作AF 1.B2.C3.C4.A 1.C2.C3.B4.C5.50° BC于点F,PD⊥BC 5.506.20 6.解：∠BAC=68°，AE是∠BAC的平分线， AF⊥BC,.∠PDC ∠AFC=90°，，∴.PD∥AF 7.解：(1)3 ∠CAE=2∠BAC=34°，'∠ACD= ,.∠EPD=∠EAF, (2)①△ABC≌△DEB,.∠A=∠D .·△ABC的内角和为 35°，∠C=∠DBE=60°.∠A+∠ABC+ 116°，∠ACD=∠CAE+∠AEC,∴.∠AEC 180,,.∠BAC= B E D ∠C=180°，..∠ABC=180°-∠A-∠C= ∠ACD-∠CAE=116°-34°=82 85°.∴.∠DBC=∠ABC-∠DBE=85 7.解：设三角形的三个外角的度数分别为2x, 180°-∠B-∠C, 1 60°=25 4x,3x,则2x十4x十3x=360°， AE平分∠BAC,.∠BAE= 2 ∠BAC= ②.'∠AEF是△DBE的一个外角，.∠AEF 解得x=40°， 90°-∠B+∠C ∠D+∠DBE-35°+60°=95.∠AFD是 4.x=160°， 同时∠BAF=90°-∠B, 2 △AEF的一个外角，.∠AFD=∠A+ .它的最小内角的度数为180°-160°=20° ∴∠EAF-∠BAF-∠BAE=∠C-∠B ∠AEF=35°+95°=130 能力提升 2 8.解：(1)'△ABD≌△EBC,∴.BD=BC 1.A2.C3.D4.B 5.360°6.22.5 ∠EPD,综上所述，∠EPD=-∠C-∠B 3 cm,AB=EB=2 cm..DE=BD-EB= 1 cm 7.:(1)在△ABC中，∠C=30°，∠ABC (3)28 (2)BD与AC垂直.理由如下： 38°，∴.∠CAB=180°-（∠C+∠ABC) '△ABD≌△EBC,.∠ABD=∠EBC.又 180°-(30°+38)=112°，AD是∠CAB的 综合与实践 确定匀质薄板的 点A,B,C在一条直线上，，∠ABD十 平分线，.∠CAD= ∠CAB= 重心位置 ∠EBC=180°. ,.∠EBC=∠ABD=90 2 2 基础达标 ∴.BD与AC垂直 112°=56 1.D2.B (3)直线AD与直线CE垂直.理由如下 (2):BE是△ABD的高，∠BED=90°，又 3.解：(1)平行四边形的重心是两条对角线的 如图，延长CE交AD .∠DBE=20°，，.∠ADB=180° 交点 于点F, △ABD≌ (∠BED ∠DBE)=180°-(90°+20)=70 F ∠ADB是△ACD的一个外角， (2)把模板分成两个长方形，连接各自的中心： △EBC,∴.∠D=∠C .∠ADB= 把模板重新分成两个长方形，得到连接各自中 由(2)知∠EBC= ∠C+∠CAD,.∠C=30°，∴.70°=30° 心的第二条线段， ∠ABD=90°，.在 ∠CAD,∴.∠CAD=40°，：AD是∠BAC的 平分线，∴.∠BAC=2∠CAD=80,在 两条线段的交点G即为重心，如图所示 Rt△ABD中，∠A+ A- ∠D=90°...∠A+ △ABC中，∠ABC=180°-（∠C+∠BAC)= ∠C=90°.∴∠AFC=90°.∴.直线AD与直 180°-(30°+80°)=70°. 线CE垂直 微专题2 14.2 三角形全等的判定 1.1352.不合格 专题训练二三角形角的 第1课时 三角形全等的判定一(SAS) 平分线的夹角模型 基础达标 1.B2.B 1.D 2.A 3.D 4.B 5.AB=CD 3.解：AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA, 能力提升 6.证明：∠BAE=∠CAD,.∠BAE+ 1.A ∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC= ∴.∠EAC= 2∠DAC,∠ECA= 2∠FCA. 2.2.2 ∠EAD,在△ABC与△AED中， .∠DAC+∠FCA=180°-∠BAC+180° 3.解：设△ABC的重心坐标为(x,y), AB-AE ∠BCA=360°-（∠BAC+∠BCA)=360 A(2,1),B(-3,4),C(-1,-1) ∠BAC=∠EAD,∴.△ABC≌△AED(SAS). 2 (180°-∠B)=180°+∠B. 2+(-3)+(-1) AC=AD. x- ∴.∠AEC=180°-（∠EAC+∠ECA)=180 3 3 能力提升 1+4+(-1) 4 2(∠DAC+∠FCA)=180°- 2(180° y= 1.D2.B 3 3.SAS4.905.34° ∴△AC的直心坐标为(-子，吉) 6.解：(1)证明：ABCD,.∠BAE=∠FCD, ∠B)=90°-2∠B=70°，∠B=409 AF=CE,∴.AE=CF 参考答案川川活19 AB=CD 4.证明：：C是BD的中点，∴BC=DC 在△ABE和△CDF中， ∠BAE=∠DCF, (AB=ED, AE-CF 在△ABC和△EDC中， AC=EC, ..△ABE≌△CDF(SAS)」 BC=DC (2),∠BCE=30°，∠CBE=70°， ,∴.△ABC≌△EDC(SSS). ∴.∠AEB=∠BCE+∠CBE=30°+70°=100 5.解：如图所示，△ABC即为所求 .'△ABE≌△CDF, C ∴.∠CFD=∠AEB=100° 微专题3 1.C 2.证明：如图所示，延长 AE到F,使EF=AE 连接DF,AE是 △ABD的中线，∴.BE ED. 能力提升 在△ABE与△FDE中 BE-DE 1.B2.B3.C ∠AEB-∠FED, 4.65 AE-FE, (AC=BD, ∴.△ABE≌△FDE(SAS), .AB DF 5.证明：在△ABC和△BAD中， BC=AD, ∠BAE=∠EFD,.·∠BDA是△ADC的外 AB-BA. 角，∴.∠DAC ∠C=∠BDA=∠BAD. ∴.△ABC≌△BAD(SSS),.∠C=∠D. .∠BAE+∠EAD=∠BAD, ∠BAE= 6.解：如图，在△ABC ∠EFD,,.∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠C, 与△ADE中， .∠ADF=∠ADC,AB=DC,.DF=DC, (AB=AD, BC=DE, D (AD-AD, 在△ADF与△ADC中，∠ADF=∠ADC, AC=AE :△ABC≌△ADE(SSS),B 2 FD-CD, E ∴△ADF≌△ADC(SAS),∴. ∠C ..∠B=∠D,∠BAC ∠AFD-=∠BAE. ∠DAE,.∠BAC-∠BAE=∠DAE 第2课时 三角形全等的判定二 ∠BAE,,.∠1=∠DAB=25°，∠B= ∠D,∠BOE=∠AOD,∴.∠2=∠DAB=25 (ASA、AAS) 7.解：(1)证明：AD=BE,.AD十BD 基础达标 BE+BD,即AB=DE,在△ABC和△DEF 1.∠B=∠E2.ASA (AB=DE, 3.证明：ABCD,AE∥CF 中， AC=DF,∴.△ABC≌△DEF(SSS) .∠B=∠D,∠AEB=∠CFD BC=EF BF=DE,∴.BE=DF, (2),△ABC≌△DEF,∠A=55°，∠E= I∠B=∠D 45°，∴.∠A=∠FDE=55°，∴.∠F=180° 在△ABE与△CDF中， BE=DF, (∠FDE+∠E)=180°-(55°+45)=80 ∠AEB=∠CFD, 微专题4 .△ABE≌△CDF(ASA),AB=CD. 4.C5.∠B C 1.证明：如图，连接AD, 6.解：(1)证明：点O为EF的中点， AB=AC, ..FO=EO, 在△ABD和△ACD中，{AD=AD, I∠AOE=∠BOF, BD=CD. 在△AOE和△BOF中， ∠A=∠B, ∴.△ABD≌△ACD(SSS),.∠B=∠C OE=OF, .△AOE≌△BOF(AAS). (2).△AOE≌△BOF,.OA=OB AB=12,0A=zAB=6. 能力提升 1.C2.D3.C4.C 5.DE=EF(答案不唯一)6.3 7.解：(1)证明：MN∥CD,∴.∠BMN= 2.证明：连接AC,如图， ∠BPD,∠BPD=∠APC,,,∠BMN= ∠APC,:'∠C+∠MND=180°，∠BNM+ ∠MND=180°，∴.∠C=∠BNM,在△ACP I∠C=∠BNM, 和△BNM中， CP=NM, ∠APC=∠BMN AB=CD. .∴.△ACP≌△BNM(ASA). (1)在△ABC和△CDA中，{BC=DA, (2)由(1)知△ACP≌△BNM,∴.BM=AP AC=CA, 3.AB=7..PM=AB-AP-BM=1. ∴.△ABC≌△CDA(SSS), 8.解：由题意，得CD⊥BD,AB⊥BD.,.∠CDP ,∴.∠ACB=∠CAD,∴AD∥BC ∠PBA=90°.∠DPC=17°，∴.∠PCD (2)由(1)可知，△ABC≌△CDA, 90 -∠DPC=73°. .·∠APB=73 .∠B=∠D. .∠PCD=∠APB.在△CPD和△PAB中， ∠CDP=∠PBA, 第4课时 作一个角等于已知角 DC=BP, ∴.△CPD≌△PAB(ASA). 基础达标 ∠PCD=∠APB, 1.A .'PD AB.DB 33 m,BP =8 m, 2.解：如图所示，∠DCB即为所求 ∴.AB=PD=DB-BP=33-8=25(m). A ,∴.楼AB的高度是25m. D 第3课时 三角形全等的判定三(SSS) 基础达标 1.C2.C3.C 活20川川2树勾·八年级数学·上 能力提升 :AD与A'D分别为BC,B'C边上的中线， 1.解：如图，点M即为所求 .'BC=2CD,B'C'=2C'D'..BC=B'C'. 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， E AC=AC ∠C=∠C'=90, A BC=BC' ∴.Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS) 7. 解：由题意得∠C=∠QAP=90° B 根据直角三角形全等的判定方法HL可知， M ①当点P运动到PA=BC时， 2.解：如图，△ABC即为所求 在Rt△ABC和Rt△QPA中， (BC=PA, AB=QP. .Rt△ABC≌Rt△QPA(HL). ∴.BC-PA=5cm. 1 Q ,'.CP=AC-AP=10-5=5(cm) PA=CP,即点P运动到AC的中点处 ②当点P运动到与点C重合时，AP一AC, 在R△ABC和R△PQA中，(AC-PA, AB=PQ, ∴.Rt△ABC≌Rt△PQA(HL). '.AC=PA=10 cm. 综上所述，当点P运动到AC的中点处或与点 3.解：答案不唯一 C重合时，△ABC才能和△APQ全等 方法 专题训练三全等三角形的 作法：(1)作△ABC (2)在AC的延长线上载取CA'=AC,在BC 基本模型 的延长线上载取CB'=BC 1.证明：BE=CF,.BE一CE=CF一CE (3)连接AB,如图1，则△A'B'C≌△ABC 即BC=EF..AC⊥BC,DF⊥EF, (SAS). ∴·∠ACB与∠DFE都是直角.在Rt△ABC 和R△DEF中，E-E.∴R△ABC☑ Rt△DEF(HL). ∴.AC=DF A 2.证明：AB∥DE,∴.∠B=∠DEF.BE= CF,.BE+EC=CF+EC.∴.BC=-EF,在 ∠A=∠D, △ABC与△DEF中， ∠B=∠DEF, A B BC=EF. .△ABC≌△DEF(AAS). 图1 图2 3.证明：E,D分别是CA,CB的中点 方法二 作法：(1)作△ABC CE=2CA,CD=CB. (2)在AC的延长线上载取CB'-CB,在BC CA=CB,..CE=CD. 的延长线上载取CA'=CA CA=CB, (3)连接A'B',如图2，刚△A'BC≌△ABC 在△ACD和△BCE中， ∠C=∠C (SAS) CD=CE. 4.解：因为∠ABC=60°，∠BAC=75°， ∴.△ACD≌△BCE(SAS).∴.∠A=∠B 所以∠ACB=45 4.解：(1)证明：在△ABC和△BAD中， 如图所示，△ABC即为所求， ∠C- ∠D=90°， ∠CBA=∠DAB, AB=BA ,.△ABC≌△BAD(AAS). (2)20 5.证明：，E为AC的中点，AE=EC, CF∥AB,∴∠F=∠ADE, ∠ADE=∠F, 在△ADE和△CFE中， ∠AED-∠CEF, AE-CE. ∴.△ADE≌△CFE(AAS), B C DE=FE 第5课时 直角三角形全等的判定(HL)6.解：，1)证明： 在△ABC和△ADE中， (AB-AD, 基础达标 ∠BAC=∠DAE,..△ABC≌△ADE(SAS) 1.C2.A3.D4.AC=AD(答案不唯一) AC-AE 5.证明：BE=CF,,.BE十EF=CF+EF (2)'△ABC≌△ADE,.∠BAC=∠DAE 即BF=CE.∠A=∠D=90°，∴.△ABF ∠E= ∠C,:∠BAC=∠BAD+∠DAC, 与△DCE都为直角三角形.在Rt△ABF和 ∠DAE=∠DAC+∠CAE,∠BAD=20, R△DCE中，B-E:R△MBF≌ ∠CAE=∠BAD=20°，∠E=∠C, ∠AOE=∠DOC,,.∠CAE=∠CDE, Rt△DCE(HL). ,∴.∠CDE=20 6.解：相等.理由如下： 7.证明：∠C=90°，DE⊥AB于点E, .AD⊥BC,.∠ADB=∠ADC=90°，在 ∠C= ∠BED=90°.，BD∥AC, (AB=AC. ∠DBE A Rt△ADB和Rt△ADC中， 在△ABC和△BDE中， LAD-AD 1∠A=∠DBE, ∴.Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).∴.BD=CD AC=BE, .△ABC≌△BDE(ASA). ,两锚(B,C)离电线杆底部(D)的距离相等. ∠C=∠BED, 能力提升 .'.AB=BD. 1.B2.C3.D 8. 证明：： ∠ADC=∠ACB= ∠CEB, 4.ABE DCF 5.30 ∠ADC+∠DAC+∠ACD=180°，∠ACD+ 6.证明：在Rt△ACD和Rt△A'CD'中， ∠ACB B=80,.. ∠DAC= AD=AD,R△ACD≌R△AC'D(HD. AC=AC ECB,在△ADC和△CEB中 ∠ADC=∠CEB, .CD=C'D'. ∠DAC-∠ECB,.△ADC≌△CEB(AAS) AC=CB, ..AD=CE,CD=BE,,.DE=CE+CD= (2)△AEF≌△CEB,∴.EF=BE=4, AD+BE. AE=CE, ∴AE=CE=CF+EF=5+4=9. 专题训练四 证明三角形全等的 14.解：(1)△CGO≌△OFB.理由如下： 由题意可知∠CGO=∠OFB-90°，OB=OC 常见辅助线作法 ∠BOC=90°，.∠COG+∠BOF 1.解：过点C作CD ∠BOF+∠OBF=90 ∴.∠COG=∠OBF ∠CGO=∠FB, 在△CGO和△OFB中， ∠COG=∠OBF, ∠ADC=90°，，∴.∠0AB+ OC=BO, ∠CAD=90°， ∠OAB+ ,.△CGO)≌△OFB(AAS). AB)=90...AB)= (2)△CG O≌△OFB, ..G=OF,OG= ∠CAD,在△AOB和 0 BF.'.'BF =1.8 m,CG=2.2 m,OF= △CDA中， 2.2m,(G=1.8m. ..FG=OF-OG= I∠ABO=∠CAD 2.2-1.8=0.4(m)..妈妈在距地面1.2m ∠AOB=∠CDA,∴.△A(OB≌△CDA(AAS) 高的B处接住小丽，即MF1.2m, AB=CA. .MG=MF+FG=1.2+0.4=1.6(m). ..OA=CD,OB=AD,A(1,0),B(0, 二爸爸是在距离地面1.6m高的地方接住小 2),.OB=2,OA=1,∴.AD=OB=2. 即的. CD=QA=1,..OD=0A+AD=1+2=3, 14.3 角的平分线 .点C的坐标为(3,1)， 2.证明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG 第1课时 角的平分线的画法及性质 AD=AB,在△ABE和△ADG中， 基础达标 AB=AD 1.C ∠ABE=∠ADG,∴.△ABE≌△ADG(SAS),2.解：(1)如图，AD即为所求 BE=DG .∠BAE=∠DAG,AE=AG,.∠EAG= D木 90°，∴.∠GAF=∠EAG ∠EAF=45°，在 (AE-AG, △FAE和△FAG中， ∠EAF=∠GAF=45 A R AF=AF, (2)∠C=80°，∠B=40°，∴.∠CAB ∴.△FAE≌△FAG(SAS),∴.EF=FG 180°-∠B-∠C=60°，：AD平分∠CAB, 3.解：(1)AB=AC+CD.理由如下： ,AD为∠BAC的平分线， .∠EAD .∠CAD=∠DAB=2 ×60°=30， ∠CAD,在△EAD和△CAD中， ∴.∠ADB=∠C+∠CAD=80°+30°=110° (AE=AC, 3.B4.C ∠EAD=∠CAD,∴.△EAD≌△CAD(SAS), AD=AD. 5.证明：E是∠AOB的平分线上一点，EC OA,EDLOB,.EC=ED. ∴.ED=CD,∠AED=∠C=90°，.∠BED /C=P) 90°，∠ACB=2∠B=90°，∴.∠B=45° 在Rt△(OCE和Rt△ODE中， ∠EDB=∠B=45,ED=EB,.EB OE=OE, .Rt△OCE≌Rt△ODE(HL)..OC=OD. CD...AB=AE+EB=AC+CD. 6. 证明：：BD是∠ABC的平分线， (2)AB=AC CD 理由如下： ∴，∠ABD=∠CBD. 如图，在AB上载币AF= (AB=CB. AC,连接FD,AD为 在△ABD和△CBD中， ∠ABD=∠CBD, ∠BAC的平分线. BD=BD ∠FAD ∠CAD,在 ,.△ABD≌△CBD(SAS). △FAD和△CAD中， AF=AC, B 洋分地 .∠ADP=∠CDP ∠FAD=∠CAD,'.△FAD≌△CAD(SAS), 又PM⊥AD,PN⊥CD,.PM=PN. AD-AD. .FD=CD,∠AFD=∠ACB,,∠AFD= 能力提升 ∠B ∠FDB. ∠ACB=2∠B,∴.∠B+ 1.C2.A ∠FDB=2∠B,,∠FDB=∠B,,FD= 3.12 FB, .FB CD,,AB AF+FB 4.解：(1)，BD平分∠ABC,∠ABC=40°， AC+CD. ·∠DBC=7∠ABC=7X40°=20°， (3)不成立，新数量关系为CD=AB十AC 'CD平分∠ACB,∠ACB=70°， 滚动练习一（14.1~14.2) 1.C2.C 3.D4.B5.B6.C ∠DCB=2∠ACB=2X70°=35， 7.12070768.(6,-4) .∠BDC=180°-20°-35°=125° 9.AB=AC(答案不唯一)10.8 (2),BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC, 11.解：如图所示.（答案不唯一） DE=2,DF DE =2.BC =9, S△BD=2 XBCX DF=2X9X2=9, 5.解：(1)∠ABC的平分线BD如图所示 H D 12.证明：，ACBE, ∠DBF (2)如图，过点D作DH⊥AB于点H. ∠C= DRE BD平分∠ABC,∠C=90°，DH⊥AB, 在△ABC和△DEB中， BC=EB. ∴.CD=DH=3. ∠ABC=∠E ∴.△ABC≌△DEB(ASA), ∴.S△AC=S△D十S△ABD= BC·CD+ ..AB=DE. 13.解：(1)证明：△ABC的两条高AD,CE 2AB·DH= X3BC+ 1 2 交于点F,.∠BEC ∠AEF=90°， ·∠BCE+ /R- ∠DAB+∠B=90° 3(BC-+AB)= 2×3×16=24. ∠BCE=∠DAB,在△AEF和△CEB中， 6.证明：(1).AB∥CD,∴.∠BAD+∠ADC= I∠FAE=∠BCE, 180°. AM平分∠BAD,DM平分∠ADC AEF-∠CEB,∴.△AEF≌△CEB(AAS) ,.∠BAD=2∠MAD,∠ADC=2∠ADM AF=CB, .2∠MAD+2∠ADM=180°. ∴.∠MAD