第1章 1 第2课时 勾股定理的验证及简单应用-【红对勾】2026-2027学年八年级上册数学45分钟作业与单元评估（北师大版·新教材）

第2课时 勾股定王 基础达标 答案见活19 知识点1勾股定理的验证 1.(数学文化)我国古代数学家赵爽用数形结合的 方法，给出了勾股定理的证明。如图，从图1变 换到图2，可以用下列式子来表示的是( ) b 图1 图2 A.a2+b2+4× 2ab=c2+4X- B.4X2ab+(b-a)'=c2 1 C.2(a+b)=2× D. 2a+b-2(h+2c) 1 2.(2025深圳盐田区期中)用如图1所示的4个 形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、 摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形。下 面我们利用这个图形验证勾股定理。 b b 图1 图2 (1)图2中大正方形的边长为 里 面小正方形的边长为 (2)大正方形面积可以表示为 也 可以表示为 (3)对比这两种表示方法，可得出 ,整理得 知识点②勾股定理的简单应用 3.如图，有两棵树，一棵高8m,另一棵高 2m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的 树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行 第一章 勾股定理13 里的验证及简单应用 的距离为 新2m 8m A.6 m B.8 m C.10mD.12m 4.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示 意图，根据图中标出的尺寸（单位：mm),计算 两圆孔中心A和B的距离为 mm 60 80 5.如图，将长为13m的梯子AC斜靠在墙上， BC长为5m,求梯子上端A到墙的底端B的 距离AB。 B 能力提升 答案见活19 1.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法 证明了勾股定理。若设图1中空白部分的面 积为S1,图2中空白部分的面积为S2,则 下列等式成立的是 剪开 右边部分 上下翻转 图1 图2 A.S2=c2 Bs-+2动 C.S=a2+b2+ab D.S=a2+62+2ab 4■川z树肉·BS版·八年级数学·上 2.(2024南通中考)“赵爽弦图”巧妙利用面积 关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图” 是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼 成的一个大正方形。设直角三角形的两条直角 边长分别为m,n(m>n)。若小正方形面积为 5,(m+n)=21,则大正方形面积为() A.12 B.13 C.14 D.15 n 3.(跨学科)如图，∠AOB=90°，OA=25m, OB=5m,一机器人在点B处看见一个小球 从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机 器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截 小球，恰好在点C处截住了小球。如果小球 滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么 机器人行走的路程BC是 () A.12mB.13mC.14mD.15m 5 m A 第3题图 第4题图 4.如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索 AB的长度为5m,若将它沿水平方向向前 推进3m(即DE=3m),且绳索保持拉直的 状态，则此时木马上升的高度为 () A.1 m B.1.5 m C.2 m D.4 m 5.图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以 计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图 如图2，其中AB=AB',AB⊥B'C于点C, BC=0.5尺，B'C=2尺。设AC的长度为 x尺，可列方程为 Q B 9诗文：波平如镜一湖面，半尺高 处生红莲。亭亭多姿湖中立，突 遭狂风吹一边。离开原处二尺远 花贴湖面像睡莲。 A 图1 图2 6.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧 妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵 感，他惊喜地发现，当四个全等的直角三角 形如图摆放时，可以用“面积法”来验证 a2十b2=c2。请你写出验证过程。 了核心素养 7.（应用意识)八(1)班开展了手工制作竞赛， 每个同学都在规定时间内完成一件手工作 品。陈莉同学在制作手工作品的第一、二个 步骤： ①先裁下了一张长BC=20cm,宽AB= 16cm的长方形纸片ABCD; ②如图，将纸片沿着直线AE折叠，点D恰 好落在BC边上的F处。 请你根据①②步骤计算EC,FC的长。 D B参考答案 40 》》》》 第一章 勾股定理 (3)(a+b)2 -2abX4+e2c2-a+b 1 探索勾股定理 3.C4.100 5.解：由题意，得AB2=AC2-BC2=13 第1课时探索勾股定理 5-169-25=144。所以AB=12m。 基础达标 所以梯子上端A到墙的底端B的距离AB为 1.D2.C3.1230 12m。 4.解：因为AB=AC,AD平分∠BAC, 能力提升 所以AD⊥BC,BD=DC=2BC=3。 1.C2.B3.B4.A 5.x2+22=(x+0.5)9 在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2=52 6.解：如图，因为S五边形ABCDE=S样形ABCF十 32=4,所以AD=4。 5.B6.B7.9π S#AFDE=S正方形ABGE十2S△BG,即7(b十 能力提升 a+b)×b+ 1.B2.B3.C4.485.5 2(ata+b)Xa=c2+2X2ab, 6.解：因为△ABC是直角三角形，AB=5cm, 1 BC=3cm,由勾股定理，得AC2=AB2 所以2ab++a2+2ab=c2+ab. BC2,所以AC=4cm。 所以a2十b2=c2 又因为SAA=ZAB.CD=ZBC·AC, 所以CD=AC·BC12 AB 5cm。 所以CD的长是号cm, 7.解：由折叠的性质可知，DE-FE,AD=AF 7.解：如图，连接AC。 因为四边形ABCD是长方形，所以CD=AB 由题意，得AC2=AB2+BC2=202+152 16cm,AF=AD=BC=20cm,∠B=90°。 625。 在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF-12cm。 又AD2=AC2-CD2=625-49=576=242. 所以F℃=20-12=8(cm)。 所以AD=24m。所以这块草坪ABCD的面 设EC=xcm,则DE=EF=(16-x)cm。 积-7 AB X BC+号ADX C-×20× 在Rt△CEF中，由勾股定理，得 (16-x)2=82+x2。 15+2×24×7=234(m2). 解得x=6。所以EC=6cm。 2 一定是直角三角形吗 基础达标 1.A2.C 3.解：(1)在Rt△ABC中，因为∠BCA=90°， AC=12,AB=13,所以BC2=AB2-AC2 8.解：(1)点M,N是线段AB的勾股分割点。 132-122=169-144=25。所以BC=5。 理由如下： (2)在△BCD中，因为CD=4,BD=3,BC= 因为AM+NB2-22+12-16,MN2=4= 5,所以CD2+BD=4+32=5=BC2。 16,所以AM+NB2=MV2 所以△BCD是直角三角形 所以以AM,MN,NB为边的三角形是一个4.D5.15 直角三角形。 6.5,12,13:7,24,25(答案不唯一) 故点M,N是线段AB的勾股分割点。 能力提升 (2)设NB=x,则MN=12-AM-NB= 1.D2.C3.B4.m5.直角6.45 7-x。 ①当MN为最长线段时，依题意，得MN2= 7.解：(1)因为BD2+AD=62+82=100 AB,所以△ABD是直角三角形 AM+NB,即(7-x)2=25+x2 所以∠ADB=90°。 解得一号 (2)在Rt△ACD中，因为∠ADC=90°， 所以CD2=AC2-AD2=17-82=225。 ②当NB为最长线段时，依题意，得NB= AM+MN2,即x2=25+(7-x)2。 所以CD=15。 8.解：(1)n2-12nn2+1 帮得一职 (2)以a,b,c为边的三角形是直角三角形 综上所述，NB的长为号或积. 验证如下：因为a=n2-1,b=2n,c=n2十 1,所以a2+b2=(m2-1)2+(2m)2=n‘ 2n2+1+4m2=n+2mn2+1=(m2+1)2。因 第2课时勾股定理的验证及简单应用 为c2=(n2+1)2,所以a2+b2=c2。所以以 基础达标 a,b,c为边的三角形是直角三角形。 1.B 9.解：(1)因为AC=21,AD=16, 2.(1)a+bc 所以CD=AC-AD=5。 因为BD2+CD2=122+52=169=BC2 (2)(a+b)°2bX4+c 所以∠BDC=90°。所以BD⊥AC。 因为△ABC是直角三角形， 所以ACXBC-ABXCD: (2)当DE⊥AB时，DE最小。 在Rt△ABD中，BD=12,AD=16, 所以300×400=500×CD. 由勾股定理，得AB=20。 所以CD=240km。 因为以台风中心为圆心周围250km以内为受 因为2AD·DB=2AB·DE, 影响区域，所以海港C受台风影响。 所以DE=16X12=9.6. (3)因为CE=CF-250km,所以△CEF为等 20 腰三角形。 所以线段DE的最小值为9.6。 在Rt△CDE中，由勾股定理 3 勾股定理的应用 得ED=EC2-CD2=2502-2402, 所以ED=70km。所以EF=140km。 基础达标 因为台风移动的速度为20km/h, A 所以140÷20=7(h)。 解：设AC的长为xm,则AB=AC=xm。 答：台风影响该海港持续的时间为？h。 因为EB=CD-1m,所以AE=(x-1)m。 在Rt△AEC中，∠AEC=90°， ☆问题解决策略：反思 由勾股定理，得AC2=CE+AE, 例1：解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形ACDE 即.x2=32+(x-1)2。解得x=5。 答：滑道AC的长为5m。 合格4.北偏东50° 解：(1)因为52十12=25+144=169， 132-169,所以5+12-13。 所以∠AEB=90°。 所以这个三角形是直角三角形 由题意可知，BE=号DE=9cm,AE=12m, 所以这块试验基地的面积为？×5×12= 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB= 30(m2)。 AE2+BE2=122+92=225=152」 (2)如图，过点A作AD⊥BC于点D。 所以AB=15cm。 答：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm 变式1：解：圆柱的侧面展开图如图所示 D 设BD=xm,则CD=(14-x)m, 在Rt△ABD中，AB=AD十BD, 在Rt△ACD中，AC2=AD+CD, 所以AB-BD=AC2-CD2,. 用一根棉线从A点开始绕圆柱3圈后到点B处 即152-x2=132-(14-x)2。解得x=9。 的最短路线是：AC→CD'→DB, 在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2, 即在圆柱的侧面展开图长方形中，将长方形平 因为AB=15m,BD=9m, 均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对 又152-9=144=12，所以AD=12m。 角线运动到B的路线最短，因为圆柱底面圆的 所以该试验基地的面积为2×14X12一 半径为子cm所以长方形的宽即是园在的底 84(m)。 能力提升 面圆的周长=2mX元 =4(cm) D2.14.53.10km 又因为圆柱的高为9cm, 解：(1)AD与BC垂直 所以小长方形的一条边长是3cm 理由：因为AB=13m,AD=12m,BD= 根据勾股定理，得AC=CD'-DB-5cm, 5m,所以AD2+BD=AB2 所以AC+CD'+DB=15cm。 所以△ABD为直角三角形，且∠ADB=90° 答：这根棉线的长度最短是15cm。 所以AD与BC垂直 变式2：解：如图。 (2)因为AD⊥BC,所以AD2+CD2=AC2 所以CD2=AC2-AD°=152-12=9. 所以CD=9m。所以S△ABc=2 ADXBC 因为盒高为6cm,盒底周长为18cm 1 ADX(BD+CD)。 所以AB=2×18=9(cm)。 因为BD+CD=5+9=14(m), 所以蚂蚁爬行的最短路程是AC+BC。 1 所以S△Ax= -×12×14=84(m)。 因为AC=BC-(号)+6=()， 解：(1)因为AC=300km,BC=400km, 15 AB=500km,所以AC2+BC2=AB2。 所以AC=BC-号cm。所以AC+BC=15cm. 所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。 答：蚂蚁爬行的最短路程是15cm (2)海港C受台风影响。 变式3：解：第一种情况：如图1，把我们所看到 理由：如图，过点C作CD⊥AB。 的正面和上面组成一个长方形， 4.2.4em57或9 6.解：因为A,是BC的中点 所以A,B=2BC=4, 因为△ABC是等腰直角三角形，且∠B-90°， 图1 所以AB=BC=8。 则这个长方形的长和宽分别是9cm和5cm, 由折叠的性质可知AE=A,E 所以AB2=52+92=106。 设AE=A,E=x,则BE=8一x。 第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 面组成一个长方形， A,E2=A1B2+BE2,即x2=4+(8-x)2。 解得x=5。所以线段AE的长为5。 专题训练二巧用勾股定理解决 最短路径问题 1.解：(1)在Rt△MNB中， BN2=BM2-MN2=1502-1202-8100. 图2 所以BN=90m。 则这个长方形的长和宽分别是11cm和3cm, 所以AB2=112+32=130。 所以AN=AB-BV=250-90=160(m)。 在Rt△AMN中， 第三种情况：如图3，把我们所看到的正面和 A=AN2+MN2=1602+1202=40000, 右面组成一个长方形 所以AM=200m。 所以供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道 6 cm 总长为AM+BM=200+150=350(m)。 (2)因为AB-250m,AM=200m,BM= A 5 cm 图3 150m,所以AB=62500,AM=40000, 则这个长方形的长和宽分别是8cm和6cm, BM=22500。所以AB=AM+BM。 所以AB2=82+62=100。 所以△ABM是直角三角形，∠AMB=90°。 三种情况比较而言，第三种情况最短。所以蚂 所以喷泉B到小路AC的最短距离是150m 蚁爬行的最短路程为l0cm。 2.解：如图，过点F作FM⊥AB交AB的延长 线于点M,则AM=AB+CD+EF=8, 答：蚂蚁爬行的最短路程为10cm。 例2：解：方法一（勾股定理）：因为四边形ABCD FM=BC+DE=6。 为长方形，所以∠D=∠C=∠DAB=90°， 在Rt△AMF中，AF2=AM+FM=82+ AB=DC=10,AD=BC=8。 6=100,所以AF-10。 A 由折叠的性质可知，∠D'=∠D=90°， ∠C'=∠C=90°，ED=ED',BC'=BC=8, D'C'=-DC=10。 由勾股定理，得AC2=AB2一BC2, 所以AC'=6,AD'=10-6=4。 M 设ED=ED'=x,则AE=8-x。 3.解：如图，连接BN,BD 由勾股定理，得(8一x)2=42十x, 因为正方形是轴对称图形 解得x=3,所以AE-=8-3=5。 点B与点D是以直线AC为 方法二（等面积法）：由方法一可知BC'=BC= 对称轴的对称点， 8,AC=6,AD'=4。 所以BN=DN。所以 设AE-y,则DE=D'E=8-y, DN+MN=BN+MN 所以SAAWE=号AD',DE=号X4X 连接BM交AC于点P。当点N运动到点P 时，BN+MN=BP+PM=BM,BN+MN (8-y)=16-2y, 的最小值为BM的长度。 S△ABE=2AB·AE=2X10y=5y, 因为四边形ABCD为正方形，所以BC= CD=8,CM=8-2=6,∠BCM=90°。 S△Ax2AC·BC=2X6X8=24. 所以BM=BC2+CM=82+62=102。 所以BM=10。 S长方无AD=AB,BC-10X8=80。 所以DN+MN的最小值是10。 由折叠的性质可得S匹边形DB=S匹边形DE, 4.解：(1)如图，作点B关于MN的对称点C, 所以S长方花A段D=S△ADE十SAABC十2 SAABE' 连接AC交MN于点P,则点P即为所建出 即16-2y+24+2×5y=80。 口，此时A,B两城镇到出口P的距离之和 解得y=5。所以AE=5。 最小，最短距离为AC的长。 专题训练一利用勾股定理 B 解决折叠问题 D 1.C2.A B 3.解：依题意，得AD=AF=BC=10, DE=EF。在△ABF中，因为∠B=90°， 所以BF2=AF2-AB2=102-82=62。 (2)如图，作AD⊥BB于点D。 所以BF=6。所以FC=10-6=4。 在Rt△ADC中，AD=A'B'=8km,DC= 设EC=x,则EF=DE=8一x。 2+4=6(km)。由勾股定理，得AC= 在△FCE中，因为∠C=90°，所以EC2+ AD+DC2。 FC2=EF2。所以x2+4=(8-x)2。 所以AC-10km,即这个最短距离为10km。 解得x=3。所以EC=3。 5.C 参考答案川川活19