综合测试卷（四）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣教材章节，AB卷分层巩固与提升，综合卷整合复数、向量、立体几何及解析几何核心考点，通过基础辨析与综合应用训练，构建知识网络，发展运算能力、空间观念与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选15题、填空5题|聚焦概念辨析与简单计算，如复数实部、向量位置关系、椭圆离心率|从代数概念（复数、充要条件）到空间形式（立体几何、解析几何），形成“概念-性质-应用”逻辑链条| |综合应用|解答4题|融合多知识点，如向量内积与充要条件结合、抛物线与斜率定值证明、立体几何二面角计算|通过问题解决体现知识迁移，培养数学思维的条理性与数学语言的表达能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：60分钟       满分：100分 班级_______       姓名_______      学号_______      成绩_______ 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 复数 的实部为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】纯虚数实部为 。 2. 若 ，则两向量（　　） A. 相等 B. 方向相反 C. 垂直 D. 无关 【答案】B 【解析】，方向相反。 3. 一条直线若平行于平面内一条直线且不在该平面内，则它与平面（　　） A. 相交 B. 垂直 C. 平行 D. 重合 【答案】C 【解析】线面平行判定。 4. 某椭圆长半轴为 ，焦距为 ，则离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，所以 。 5. 若 且 ，则 是 的（　　）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】互相推出即为充要条件。 6. 复数 与自身相乘所得复数在复平面内对应的点为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】平方为 ，对应点 。 7. 两个平面垂直的二面角大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】垂直平面的二面角为直角。 8. 一条横轴型双曲线的两个顶点相距 ，则其实轴长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】两个顶点间距离就是实轴长。 9. 正方形同一顶点引出的两条单位边向量分别为 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】正方形相邻边垂直，故两向量内积为 。 10. 设 某点到原点距离为 ， 该点横坐标平方与纵坐标平方之和为 ，则 是 的（　　）条件 A. 必要不充分 B. 充要 C. 充分不必要 D. 无关 【答案】B 【解析】距离公式表明两个条件互相推出，实际应为充要条件；本题正确选项应调整为充要。 11. 复数 对应点所在象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】实部、虚部均为负，对应第三象限。 12. 正方体中，棱 与棱 的位置关系为（　　） A. 相交 B. 异面 C. 垂直 D. 平行 【答案】D 【解析】同一底面相对棱平行。 13. 一条开口向右的抛物线准线为 ，则焦点为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】焦点与准线关于原点对称，故为 。 14. 若 与 垂直，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，得 。 15. 若实系数方程根为 和 ，则方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】和为 ，积为 。 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。） 16. “”的解集是“”的 ______ 条件。 【答案】充要 【解析】两个条件解集相同。 17. 一段位移在水平、竖直方向的分量分别为 ，位移大小为 ______。 【答案】 【解析】由分量求模得 。 18. 椭圆离心率为 ，长半轴为 ，则焦距为 ______。 【答案】 【解析】，焦距为 。 19. 棱长为 的正方体体对角线长为 ______。 【答案】 【解析】空间对角线为 。 20. 若 ，则 ______。 【答案】 【解析】模平方为实部平方与虚部平方和。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 21. 已知 ， 向量 与 的内积大于 。 （1）求内积；（2）判断 是否为 的充分条件。 【答案】 （1） （2）是。 【解析】 内积为 ，当 时 。 22．已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线上，且 (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l的斜率为且与抛物线交于A，B两点（点A，B与点M不重合），直线MA，MB的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为点在抛物线上，且， 则有，解得：， 所以抛物线的标准方程为； （2）如图：    设直线，，， 联立直线与抛物线的方程得， 整理得， 由题意，解得， 且， 因为点， 所以直线MA的斜率， 直线MB的斜率， 因为， 所以为定值． 23．如图，已知是等腰直角斜边的中点，，是平面外一点，平面，于点，.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，如图，    ∵平面，平面， ∴， ∵点是等腰直角斜边的中点， ∴，即， ∵，平面， ∴平面； （2）连接，如图，    由（1）知平面， ∵平面， ∴， ∵， 且，平面， ∴平面， ∵平面， ∴， ∵平面平面，且，， ∴为平面与平面所成二面角的平面角， ∵等腰直角中， ∴，则， ∵， ∴， ∵平面， ∵平面， ∴， 在中，， ∵二面角的范围， ∴， ∴平面与平面所成二面角的大小为. 24. 判断下列命题： （1）若 ，则 ； （2）若复数 的模为 ，则 ； （3）求椭圆 的长轴长。 【答案】 （1）真 （2）真 （3）。 【解析】 （1）平方保持正数大小关系；（2）模为零当且仅当复数为零；（3）长半轴 ，长轴长 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：60分钟       满分：100分 班级_______       姓名_______      学号_______      成绩_______ 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 复数 的实部为（　　） A. B. C. D. 2. 若 ，则两向量（　　） A. 相等 B. 方向相反 C. 垂直 D. 无关 3. 一条直线若平行于平面内一条直线且不在该平面内，则它与平面（　　） A. 相交 B. 垂直 C. 平行 D. 重合 4. 某椭圆长半轴为 ，焦距为 ，则离心率为（　　） A. B. C. D. 5. 若 且 ，则 是 的（　　）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 6. 复数 与自身相乘所得复数在复平面内对应的点为（　　） A. B. C. D. 7. 两个平面垂直的二面角大小为（　　） A. B. C. D. 8. 一条横轴型双曲线的两个顶点相距 ，则其实轴长为（　　） A. B. C. D. 9. 正方形同一顶点引出的两条单位边向量分别为 ，则 （　　） A. B. C. D. 10. 设 某点到原点距离为 ， 该点横坐标平方与纵坐标平方之和为 ，则 是 的（　　）条件 A. 必要不充分 B. 充要 C. 充分不必要 D. 无关 11. 复数 对应点所在象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12. 正方体中，棱 与棱 的位置关系为（　　） A. 相交 B. 异面 C. 垂直 D. 平行 13. 一条开口向右的抛物线准线为 ，则焦点为（　　） A. B. C. D. 14. 若 与 垂直，则 （　　） A. B. C. D. 15. 若实系数方程根为 和 ，则方程为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。） 16. “”的解集是“”的 ______ 条件。 17. 一段位移在水平、竖直方向的分量分别为 ，位移大小为 ______。 18. 椭圆离心率为 ，长半轴为 ，则焦距为 ______。 19. 棱长为 的正方体体对角线长为 ______。 20. 若 ，则 ______。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 21. 已知 ， 向量 与 的内积大于 。 （1）求内积；（2）判断 是否为 的充分条件。 　 　 　 22．已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线上，且 (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l的斜率为且与抛物线交于A，B两点（点A，B与点M不重合），直线MA，MB的斜率分别为，，证明：为定值． 　 　 　 23．如图，已知是等腰直角斜边的中点，，是平面外一点，平面，于点，.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的大小. 　 　 　 24. 判断下列命题： （1）若 ，则 ； （2）若复数 的模为 ，则 ； （3）求椭圆 的长轴长。 　 学科网（北京）股份有限公司 $