综合测试卷（三）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣中职数学教材，以AB卷分层巩固与综合卷实战模拟构建知识网络，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选15题（如充分必要条件、平面确定）|概念辨析为主，考查数学抽象|从命题逻辑到空间基本性质，构建概念体系| |代数运算|填空5题（如复数差、向量垂直）|基础计算，强化符号意识|复数与向量运算规则的直接应用| |空间几何|解答题23题（四棱锥证明与二面角）|证明与计算结合，发展空间观念|线面垂直判定到二面角求解的逻辑推理| |解析几何|解答题24题（双曲线方程与定值证明）|综合应用，体现模型意识|从双曲线定义到直线与曲线位置关系的综合应用|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：60分钟       满分：100分 班级_______       姓名_______      学号_______      成绩_______ 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 若 ，，则 是 的（　　）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 2. 复数 对应点的横坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 过不共线三点能确定（　　） A. 一条直线 B. 两个平面 C. 一个平面 D. 无法确定 4. 向量 的模是（　　） A. B. C. D. 5. 某椭圆的上、下顶点为 ，左、右短轴端点为 ，则长轴长为（　　） A. B. C. D. 6. 复平面内点 分别对应 与 ，则复数 对应点为（　　） A. B. C. D. 7. “四边形是正方形”是“四边形是矩形”的（　　）条件 A. 必要不充分 B. 既不充分也不必要 C. 充分不必要 D. 充要 8. 正方体中，直线 与底面 的关系是（　　） A. 平行 B. 在底面内 C. 斜交 D. 垂直 9. 若 平行，则 （　　） A. B. C. D. 10. 抛物线 的焦点为（　　） A. B. C. D. 11. 若 ，则 （　　） A. B. C. D. 12. 命题“若 ，则 ”的逆命题是（　　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 13. 两个平面相交，其交集是（　　） A. 一条直线 B. 一个点 C. 一个平面 D. 空集 14. 一条双曲线的右顶点为 ，一条渐近线斜率为 ，则离心率为（　　） A. B. C. D. 15. 若 且 ，则夹角为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。） 16. 复数 与 的差为 ，则 ______。 17. “ 且 ”的充分条件可写为 ______。（写一个即可） 18. 一条抛物线的焦点与准线之间距离为 ，则焦点到顶点距离为 ______。 19. 直线与平面所成角为 ，直线上长为 的线段投影长为 ______。 20. 若 与 垂直，则 ______。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 21. 设 。 （1）求 为实数时的 ； （2）求此时 的值。 　 　 　 22. 向量 ，点 。 （1）求点 使 ； （2）判断点 是否在椭圆 上。 　 　 　 23．如图所示，在四棱锥中，已知，，侧面为等边三角形，，.    (1)证明：平面； (2)求二面角的大小． 　 　 　 24．已知双曲线过点，且右焦点为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，交轴于点，若，，求证：为定值． 　 　 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：60分钟       满分：100分 班级_______       姓名_______      学号_______      成绩_______ 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 若 ，，则 是 的（　　）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 可推出平方等式，但反之还有 。 2. 复数 对应点的横坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】横坐标为实部 。 3. 过不共线三点能确定（　　） A. 一条直线 B. 两个平面 C. 一个平面 D. 无法确定 【答案】C 【解析】不共线三点唯一确定一个平面。 4. 向量 的模是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】。 5. 某椭圆的上、下顶点为 ，左、右短轴端点为 ，则长轴长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】长半轴为 ，所以长轴长为 。 6. 复平面内点 分别对应 与 ，则复数 对应点为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】差为 ，对应点 。 7. “四边形是正方形”是“四边形是矩形”的（　　）条件 A. 必要不充分 B. 既不充分也不必要 C. 充分不必要 D. 充要 【答案】C 【解析】正方形一定是矩形，矩形不一定是正方形。 8. 正方体中，直线 与底面 的关系是（　　） A. 平行 B. 在底面内 C. 斜交 D. 垂直 【答案】D 【解析】竖直棱垂直于底面。 9. 若 平行，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，故 。 10. 抛物线 的焦点为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】与 比较得 ，焦点 。 11. 若 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】共轭相加为 。 12. 命题“若 ，则 ”的逆命题是（　　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】逆命题为“若 ，则 ”。 13. 两个平面相交，其交集是（　　） A. 一条直线 B. 一个点 C. 一个平面 D. 空集 【答案】A 【解析】不重合相交平面的公共部分是一条直线。 14. 一条双曲线的右顶点为 ，一条渐近线斜率为 ，则离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，故 。 15. 若 且 ，则夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】内积等于余弦值，。 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。） 16. 复数 与 的差为 ，则 ______。 【答案】 【解析】。 17. “ 且 ”的充分条件可写为 ______。（写一个即可） 【答案】 且 【解析】更强条件可以推出原条件。 18. 一条抛物线的焦点与准线之间距离为 ，则焦点到顶点距离为 ______。 【答案】 【解析】顶点位于焦点与准线的正中间，故距离为 。 19. 直线与平面所成角为 ，直线上长为 的线段投影长为 ______。 【答案】 【解析】。 20. 若 与 垂直，则 ______。 【答案】 【解析】由 得 。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 21. 设 。 （1）求 为实数时的 ； （2）求此时 的值。 【答案】 （1） （2）。 【解析】 实数要求虚部 ，代入实部得 。 22. 向量 ，点 。 （1）求点 使 ； （2）判断点 是否在椭圆 上。 【答案】 （1） （2）不在。 【解析】 坐标相加得 ；代入椭圆左边为 ，故不在。 23．如图所示，在四棱锥中，已知，，侧面为等边三角形，，.    (1)证明：平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，设为的中点，连接. ，且. ∴四边形为矩形，∴且. 在等边中. 在中，. .故 中，， ，. ∵，平面，平面． ∴平面.    （2）连接 ∵E为等边中AB的中点，∴. ∵， ∴为二面角的平面角， ∵平面平面，∴. 在中，， ，∴. 24．已知双曲线过点，且右焦点为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，交轴于点，若，，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意，双曲线的左焦点为，由双曲线定义知， 的实轴长， 因此，，所以双曲线的方程为． （2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 依题意，直线的斜率存在，且， 设直线的方程为：，，， 由，消去并整理得：， 设，，则，， 而点，则，， 因为，则有，即，同理， 所以为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $