25.2.1 第2课时 配方法 备课包 2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.2.1配方法 第2课时配方法 夯实基础 1.一元二次方程 配方后可变形为() A. B. C. D. 2.小亮用配方法解方程 的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得 第一步 二次项系数化为1，得 ①第二步 配方，得 ③ 第三步 ①②处应分别填入的数是() A.3, B., C.3, D. 3.用配方法解一元二次方程 ，配方之后的方程是 4.一元二次方程 的解为一 第1页（共14页） 5.用配方法解一元二次方程 时，可将原方程配方成 ,则 的值是 6.用配方法解方程 (1)方程两边同时除以2，得： （2)移项，得： (3)配方，得： (4)方程两边开方，得一： (5)解得： 7.用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) 第2页（共14页） 8.解方程：(1)2x2+4x=5 (2) 能力提升 9.用配方法解一元二次方程 ,得 ,则 的值为() A.11 B.3 C. D 10.老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题 目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，，依次进行，最后完成计算. 规则是每人只能 看到前一人传过来的式子，接力中，自己负责的式子出现错误的是( ) 老师 小明 小丽 小红 小亮 x=5+ 5v2 2x2-20x+25=09x2-10x+ 25 25 25 2 =0 →x2-10x+25-25=- →x+5)2= 2 2 =552 A.小明 B.小丽 C.小红 D.小亮 11.若方程 能配成 的形式，则直线 不经过第 象限. 第3页（共14页） 12.下面是小聪同学用配方法解方程 的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题. 解：移项，得 .① 二次项系数化为1，得 .② 配方，得 ,即 .③ 开方，得 .④ .⑤ (1)小聪的解答过程是从第步开始出现错误的，错误的原因是； (2)用这种方法解方程： 13.定义新运算“※”：※ （1)3※ 的值为一； 第4页（共14页） (2)求满足※※※的的值. 思维拓展 14.用配方法解一元二次方程 得 ,则的值为一· 15.已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足a+b2+c2+50=6a十8b+10c,求△ABC的周长. 第5页（共14页） (迎bT并)迎9患 答案详解 1.解：原方程移项可得： 故选：· 2.解：由题知， 所以①②处应分别填入的数是，· 故选：· 3.解： 第7页（共14页） 故答案为： 4.解：变形得： 5.解： 移项，得 配方得 第8页（共14页） 整理左侧为完全平方式，得 故选： 6.解：用配方法解方程 (1)方程两边同时除以2，得 （2)移项，得 (3)配方，得 (4)方程两边开方，得 (5)解得： 故答案为：（1) :（2) :(3) :(4) :(5) 7.解：(1) 第9页（共14页） (2) 8.(1)x2+2x=, x2+2x+1=, 即(x+1=. ,.x+1=± X=-1十，3=-1- (2)原方程移项得 整理得， 第10页（共14页） 解得 9.解：方程 变形得： 配方得： 即 可得 则 故选： 10.解： 方程左右两边同时除以2可得： ,故小明正确： 由等式的性质可得 ,故小丽正确： 所以 故小红负责的式子出现错误； 第11页（共14页） 故选： 11.解： 又方程 能配成 的形式， 直线 可以写成直线 直线 经过第一、二、四象限，不经过第一象限， 直线 不经过第三象限， 故答案为：三. 12.解：(1)小聪的解答过程是从第③步开始出现错误的，错误的原因是配方时方程右边没有加 1: 故答案为：③：配方时方程右边没有加1： (2)原方程移项得 二次项系数化为1得 配方得 ,即 第12页（共14页） 开方得 所以 13.解：（1) ※ 故答案为： (2) ※ ※ ,※ 解得 14.解：两边平方得 展开左边得 整理得 原方程为 对比系数，可得 故答案为：3. 第13页（共14页） 15.解：.a2+b2+c2+50=6a+86+10c, ∴.a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0. .(a2-6a+9)+b2-86+16)+(c2-10c+25)=0. ∴.(a-3)2+b-4)2+(c-5)2=0. ∴.a-3=0,b-4=0,c-5=0. ∴.a=3,b=4,c=5. .△ABC的周长为3+4+5=12. 第14页（共14页） 25.2.1 配方法 第2课时　配方法 ▶ 【1分钟知识回顾】 1．能用直接开平方法求解的一元二次方程有什么特点？试解下列方程：(1)(x＋3)2＝5；(2)x2＋6x＋9＝1，说一说这两个方程的求解过程有何异同？ 2．(1)回顾完全平方公式，并完成填空． ①x2＋8x＋16＝(x＋4)2； ②x2－12x＋36＝(x－6)2； ③x2＋bx＋＝(x＋)2. 观察并思考：各式中的常数项与一次项的系数有什么关系？ 教师点拨：常数项是一次项系数一半的平方． (2)根据方程x2＋6x＋9＝1的求解思路，你能解一元二次方程x2＋6x＋8＝0吗？ ★ 【教学目标】 课题 25.2.1　第2课时 配方法 授课人 素养目标 1.了解配方法的概念． 2．掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 3．会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程． 4．通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神，会用数学的眼光观察现实世界. 教学重点 掌握配方法解一元二次方程. 教学难点 把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程. 授课类型 新授课 课时 ✓ 【课堂流程】 教学步骤 师生活动 设计意图 回顾 观察下列一元二次方程，该如何解这三个方程？ (1)x2＋6x＋9＝2.　　　　(2)x2＋6x＝2.　　　　(3)x2＋6x－16＝0. 问题1：方程(1)可否用直接开平方法来求解？ 问题2：方程(2)与方程(1)有什么区别？怎么样把方程(2)的左边变成方程(1)的形式？ 问题3：方程(3)与方程(2)有什么区别？怎么样把方程(3)的左边化成完全平方式的形式？ 总结归纳：像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法． 教师出示方程，逐渐加深，引出本课的内容. 让学生经历由已知到未知的探究过程，从完全平方公式等已有知识出发， 活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 大家都知道，任何一个能变形为x2＝p或(x＋n)2＝p形式的一元二次方程，都可以用直接开平方法解，根据方程x2＋6x＋9＝1的求解思路，你能解一元二次方程x2＋6x＋4＝0吗？ 学生先独立思考，再相互交流，最后阐述解法，引出配方法解一元二次方程. 用两个看似不同而实质相同的方程进行对比求解，引导学生发现它们之间的内在联系， 活动二：实践探究、交流新知 问题1：(课件展示) (1)探究解一元二次方程：x2＋6x＋4＝0. (2)什么叫配方法？用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤是什么？ 教师指导学生观察方程x2＋6x＋4＝0与(x＋3)2＝5的区别和联系，找两名学生说出自己的想法． 方程(x＋3)2＝5可转换为x2＋6x＋4＝0，根据两个方程之间的联系讨论怎样把方程x2＋6x＋4＝0转化为方程(x＋3)2＝5，并解方程． 学生思考、讨论，发表意见，进行整理并写出过程和步骤． 师生合作写出解答过程： 解：移项，得x2＋6x＝－4，(移项要变号) 配方，得x2＋6x＋9＝－4＋9，(思考：为什么方程两边加9，添加：一次项系数一半的平方) 整理，得(x＋3)2＝5，(方程左边写成完全平方形式) 开方，得x＋3＝±，(利用直接开平方法解方程) 所以x1＝－3，x2＝－－3. 教师总结配方法的定义，指导学生回顾解题过程，归纳总结配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤． 练习：用配方法解方程x2＋2x－3＝0时，配方结果正确的是(D) A．(x＋2)2＝2 B．(x＋1)2＝2 C．(x＋2)2＝4 D．(x＋1)2＝4 问题2：(课件展示) 观察方程2x2＋1＝3x，与上面我们所解的方程有什么不同？怎样求解？ 你能总结出配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤吗？ 师生活动：先让学生回答这个方程与上面我们所解的方程有什么不同，再动员学生思考如何把这个方程转化为上面我们所解的方程类型，教师提醒后，找一位同学尝试板书，然后教师课件演示． 板书：配方法解一元二次方程的步骤：移项，二次项系数化为1，配方，开方，降次求解． 练习：一元二次方程2x2－4x＋1＝0可配方成(x－1)2＝－＋1后求解.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 让学生自主探究用配方法解一元二次方程的完整过程，在探究中总结解题步骤，理解“配方”每一步的原理依据，熟练掌握方法并能规范书写，同时通过交流表达归纳结论，培养学生总结概括能力与语言表达能力，体会转化思想的应用。 活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　解方程： (1)x2－4x－1＝0； 解：x2－4x＝1， x2－4x＋4＝1＋4， 即(x－2)2＝5. ∴x－2＝±. ∴x1＝2＋，x2＝2－. (2)－x2－5x＝2. 解：整理，得x2＋5x＋2＝0， x2＋5x＋＝， 即(x＋)2＝. ∴x＋＝±. ∴x1＝，x2＝. 多媒体展示，学生自主进行解答，然后交流解法及依据． 活动三：开放训练、体现应用 【例2】(教材九上P7例1变式)用配方法解方程： （1）3x2－6x＋1＝0. 解：3x2－6x＝－1，即x2－2x＝－. x2－2x＋1＝－＋1，即(x－1)2＝. ∴x－1＝±. ∴x1＝1＋，x2＝1－. （2）2x2＋1＝3x. 解：2x2－3x＝－1，即x2－x＝－. x2－x＋()2＝－＋()2， 即(x－)2＝. ∴x－＝±. ∴x1＝1，x2＝. 【变式训练】 已知代数式x2－5x＋7，先用配方法说明：不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 解：x2－5x＋7＝(x－)2＋. ∵(x－)2≥0， ∴(x－)2＋＞0. ∴不论x取何值，这个代数式的值总是正数． 当x＝时，这个代数式的值最小，最小值为. 1.通过针对性练习，巩固和加深对配方法的理解，强化配方运算的规范性，培养严谨的数学思维。2.通过变式训练，让学生了解配方法在解决非方程类问题（如求字母值、化简等）中的灵活运用，拓宽方法的应用范围 活动四：随堂检测 【随堂检测】 1.用配方法解方程x2＋4x－12＝0，下列配方结果正确的是(C) A．(x＋2)2＝14 B．(x－2)2＝14 C．(x＋2)2＝16 D．(x－2)2＝16　　 2.若x2－mx＋16＝0是一个完全平方式，则m的值是(D) A．4 B．±4 C．8 D．±8 3．用配方法解一元二次方程x2＋8x＝1时，应该在等式两边都加上16． 4．用配方法解方程： (1)x2－8x－4＝0.　　　　　　　　　(2)2x2＋10x－9＝0. 解：整理，得x2－8x＝4. 配方，得x2－8x＋16＝4＋16， 即(x－4)2＝20. 由此可得x－4＝±2， ∴x1＝4＋2，x2＝4－2. 解：整理，得x2＋5x＝. 配方，得x2＋5x＋＝＋， 即(x＋)2＝. 由此可得x＋＝±， ∴x1＝，x2＝. 5．小明在用配方法解方程x2－x－＝0时出现了错误，解答过程如下： x2－x＝，(第一步) x2－x＋＝＋，(第二步) (x－)2＝1，(第三步) ∴x1＝－，x2＝，(第四步) (1)小明的解答过程是从第二步开始出错的． (2)用配方法写出此题正确的解答过程． 解：x2－x＝， x2－x＋＝＋， (x－)2＝， x－＝±， ∴x1＝，x2＝. 6．如果x2＋y2－10x－16y＋89＝0，求的值． 解：∵x2＋y2－10x－16y＋89＝0. ∴(x－5)2＋(y－8)2＝0. ∴(x－5)2＝0，(y－8)2＝0. ∴x＝5，y＝8. ∴＝. 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通过课堂检测及时巩固直接开平方法这一新知，当堂了解学生的掌握情况，发现解题中的典型错误并及时纠正 课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 2．布置作业： 教材第9页练习，教材第17页习题25.2第2，3题. 引导学生自主归纳本节课学习的主要内容，让学生在梳理知识的过程中理清思路、形成体系， 教学反思 本节课以完全平方公式为切入点，引导学生自主探究配方法的核心逻辑。教学中我通过回顾完全平方公式，让学生理解“配方”的本质是构造完全平方式，掌握二次项系数为1的一元二次方程通过配方转化为(x＋m)2＝n的形式再开平方求解的完整步骤，并在拓展例题中初步体会转化思想的应用，课堂学习氛围积极，多数学生能独立完成基本题型的配方与求解。 但教学中也发现一些问题：少数学生在处理二次项系数不为1的方程时，系数处理不当，忘记先化二次项系数为1或化时出错；配方过程中漏项、符号出错的情况时有发生，反映出对“配方”本质理解不够深刻，步骤规范性有待提高。 后续教学我将通过针对性练习强化步骤规范性，设计二次项系数为1与不为1的对比训练，帮助学生掌握“化系数—配方—开方—求解”的完整流程；借助图形直观理解配方法的几何意义，加深学生对配方本质的认识；增加变式练习，帮助学生进一步巩固方法、提升应用的灵活性与计算准确性． 回顾反思本节教学，进一步提升效果． 学科网（北京）股份有限公司 $