2027届高考物理一轮复习专题——带电粒子在复合场中的运动 讲义

该高中物理高考复习教案聚焦带电粒子在复合场中的运动专题，覆盖叠加场直线运动、配速法与摆线问题、立体空间螺旋运动等核心考点，按“基础类型—典型运动—复杂情境”逻辑架构知识，通过知识点梳理、题型归类、分层练习（基础巩固+能力提升）及真题详解，帮助学生构建从平面到立体的运动分析框架。 教案突出科学思维与模型建构，如用配速法将摆线运动分解为匀速直线与圆周运动，螺旋运动拆解为平行磁场匀速与垂直磁场圆周运动，配合2025-2026年高考真题演练，培养学生运动和相互作用观念，助力教师精准把控复习节奏，提升学生复杂场中运动问题的解题能力。

一轮复习专题——带电粒子在复合场中的运动 目 录 考点一——带电粒子在叠加场中的运动 1 题型一、带电粒子在复合场中的直线运动 2 【基础巩固】 2 【能力提升】 6 考点二——配速法与复合场中的摆线问题 8 题型二、带电粒子的摆线运动 9 【基础巩固】 9 【能力提升】 16 考点三——带电粒子在立体空间的运动 23 题型三——带电粒子的螺旋运动 23 【基础巩固】 23 【能力提升】 27 考点一——带电粒子在叠加场中的运动 知识点1 典型类型 1.磁场力、重力并存 1）若重力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动. 2）若重力和洛伦兹力不平衡,则带电体将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,故机械能守恒. 2.电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子) 1）若电场力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动. 2）若电场力和洛伦兹力不平衡,则带电体做复杂的曲线运动,可用动能定理求解. 3.电场力、磁场力、重力并存 1）若三力平衡,带电体做匀速直线运动. 2）若重力与电场力平衡,带电体做匀速圆周运动. 3）若合力不为零,带电体可能做复杂的曲线运动,可用能量守恒定律或动能定理求解. 知识点2 典型运动 1. 带电粒子在复合场中做直线运动  1）带电粒子所受合外力为零时，做匀速直线运动，处理这类问题，应根据受力平衡列方程求解. 2）带电粒子所受合外力恒定，且与初速度在一条直线上，粒子将作匀变速直线运动，处理这类问题，根据洛伦兹力不做功的特点，选用牛顿第二定律、动量定理、动能定理、能量守恒等规律列方程求解. 2. 带电粒子在复合场中做曲线运动 1）当带电粒子在所受的重力与电场力等值反向时，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动.处理这类问题，往往同时应用牛顿第二定律、动能定理列方程求解. 2）当带电粒子所受的合外力是变力，与初速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，一般处理这类问题，选用动能定理或能量守恒列方程求解. 题型一、带电粒子在复合场中的直线运动 【基础巩固】 1. （多选）（2025·福建·高考真题）  如图，真空中存在一水平向右的匀强电场，同时存在一水平且垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电量为q（q>0）的带电微粒从M点以初速度v入射，沿着MN做匀速直线运动。微粒到N点时撤去磁场，一段时间后微粒运动到P点。已知M、N、 P三点处于同一竖直平面内，MN与水平方向呈45°，N点与P等高，重力加速度为,则（　　） A．电场强度大小为 B．磁感应强度大小为 C．N、P两点的电势差为 D．从N点运动到P的过程中，微粒到直线NP的最大距离为 2. （多选）（2025·福建宁德·三模）如图甲所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中，倾角为的足够长的传送带以恒定的速率顺时针转动，一质量为0.1kg，带电量为0.1C的物块从传送带的底端静止释放，其运动的图像如图乙所示。已知物块与传送带间的动摩擦因数为0.8，重力加速度取，则（　　） A．物块可能带负电 B．传送带的速率可能大于 C．磁场的磁感应强度大小为0.25T D．前6s内物块的位移大小为4.5m 3. （多选）（2024·福建福州·三模）如图所示，带电圆环P套在足够长的、粗糙绝缘水平细杆上，空间中存在与水平杆成θ角斜向左上方的匀强电场，现给圆环P一向右初速度，使其在杆上与杆无挤压地滑行。当圆环P滑至A点时，在空间加上水平方向且垂直细杆的匀强磁场，并从此刻开始计时，时刻圆环P再次返回A点。选取水平向右为正方向，则运动过程圆环P受到的摩擦力f、速度v、加速度a、动能随时间t变化的图像，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【能力提升】 4. （多选）（2026·福建南平·一模）如图甲，为粗糙绝缘水平面上的一点，以为原点、水平向右为正方向建立轴。在的区域内存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下，磁场方向垂直纸面向里。一带负电的物块以初速度从点开始向右运动，若初速度，则物块运动的速度随变化的关系如图乙所示，其中段为直线。已知物块电荷量与质量的比值为，取重力加速度大小，物块可视为质点且运动过程中电荷量保持不变，下列说法正确的是（　　） A．物块在区域内做匀减速直线运动 B．匀强磁场的磁感应强度大小为2T C．要使物块能通过处，应大于 D．若，则物块最终停止在处 5. （多选）（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）如图所示，光滑水平面上有一足够长绝缘木板，木板中间放一带正电物块，电荷量为，物块与木板接触面间有摩擦。木板与物块的质量均为，整个空间存在水平向里的匀强磁场，磁感应强度为。现给木板一水平初速度，重力加速度为。在以后的运动过程中，下列分析正确的是（　　） A．当向左时，最终间因摩擦产生的热量为 B．当向左时，最终间因摩擦产生的热量为 C．当向右时，且时，最终间因摩擦产生的热量为 D．当向右时，且时，最终间因摩擦产生的热量为 考点二——配速法与复合场中的摆线问题 知识点1 摆线问题 摆线是同一平面内匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动的轨迹，其实就是一个圆沿着一条直线做无滑动的滚动，圆周上的一点运动的曲线，如图所示。 知识点2 配速法 1. 定义：若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动分析比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解为两个分速度，使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 2. 配速法处理叠加场中的摆线类问题 常见情况 处理方法 BG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BE摆线：初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BEG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1。 BGv摆线：初速度为v0，有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2。 题型二、带电粒子的摆线运动 【基础巩固】 6. （25-26高三下·北京西城·开学考试）如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为。一束质量均为、电荷量均为的粒子，以不同速率沿着两板中轴线方向进入板间后，速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在和之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．乙粒子的运动轨迹是抛物线 B．乙粒子偏离中轴线的最远距离为 C．乙粒子的运动轨迹在处对应圆周的半径为 D．乙粒子从进入板间运动至位置的过程中，在竖直方向上做减速运动 7. （25-26高三上·北京西城·阶段检测）我国空间站的霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一电子从点沿轴正方向水平入射，当入射速度为时，电子沿轴做直线运动；当入射速度为时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。图示点为最高点，点为最低点，点与点相距。不计重力及电子间相互作用，下列说法错误的是（　　） A．电场强度的大小 B．电子向上运动的过程中动能逐渐增加 C．电子运动到最高点的速度大小为 D．电子从点运动到最低点所用时间为 8. （多选）（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，在坐标系内存在匀强磁场和匀强电场，电场方向沿轴负方向，磁场方向沿轴正方向。一电子从点（L，0，0）处沿轴正方向入射，其轨迹与轴的第1个交点坐标为（0，0，L）。已知电子的比荷为，入射速度大小为，不计电子所受的重力，则（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小 B．匀强电场的电场强度大小 C．电子轨迹与轴交点的坐标之比为 D．电子轨迹与轴交点的坐标之比为 9. （多选）（2026·广东梅州·一模）如图所示，真空中坐标系所在的空间存在一正交的匀强电磁场。匀强磁场方向垂直于坐标系向里，磁感应强度大小为；匀强电场方向沿轴负方向，电场强度大小为。一群质量均为，带电荷量均为的正电粒子，以大小不同的初速度从坐标原点沿轴正方向射出，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，则下列说法正确的是（　　） A．若初速度，粒子恰好能做匀速直线运动 B．若初速度，粒子每隔时间就会返回轴一次 C．若初速度，粒子偏离轴的最远距离为 D．当粒子离轴最远时，速度达到最大 10. （2026·山西·二模）某离子筛选装置的核心结构如图所示，在的区域内存在沿轴正方向的匀强电场和沿垂直纸面向外的匀强磁场。在轴某处放置一块垂直于轴的足够大的挡板。某离子从原点沿轴正方向射入，离子的质量为，电荷量为，离子重力不计。 (1)若离子沿直线运动，求离子的速度大小； (2)若离子入射速度，经过时间离子打在挡板上，求： （ⅰ）离子到达挡板时的速度； （ⅱ）离子打在挡板的位置坐标。 【能力提升】 11. （2026·河南驻马店·模拟预测）如图所示，整个空间存在竖直向下的匀强电场，水平虚线下侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一比荷为 的带正电的粒子，从虚线上方的点，以初速度沿水平方向射入电场，经过一段时间从上的（未画出）点进入电磁场区域，、两点间的水平距离为，忽略粒子的重力。求： (1)电场强度的大小； (2)粒子在下侧运动时距离虚线的最远距离； (3)粒子从点射出到第3次通过虚线的时间以及该点到点的水平距离。 12. （26-27高三·全国·一轮复习）真空中有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为，方向竖直向上，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外。在此空间中建立竖直面内的直角坐标系，有一个质量为、电量大小为的电子（重力不计），从坐标原点由静止开始运动，如图1所示，其运动轨迹为一条摆线，摆线的最低点为，与轴的第一个交点为。该运动可分解为竖直方向的逆时针方向的匀速圆周运动和水平向右方向的匀速直线运动两个分运动，如图2所示。求： (1)摆线的最低点到轴的距离； (2)电子在摆线最低点的速度大小； (3)每一段摆线的宽度大小。 13. （2025·安徽安庆·模拟预测）如图所示，在xOy坐标平面的第一、四象限内有正交的匀强电场和匀强磁场I，电场沿y轴负方向，磁场I垂直于坐标平面向里；在第二、三象限内，以（-R，）为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，磁场I、Ⅱ的磁感应强度大小均为B。第一次让一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在磁场Ⅱ边界上的（-R，）点以某一速率指向圆心O₁射入磁场Ⅱ，粒子经磁场Ⅱ偏转后从（0，）点离开磁场Ⅱ，进入第四象限，在正交的电磁场中做直线运动。第二次以另一速率仍从P点指向圆心O1方向射入同样的粒子，粒子经磁场Ⅱ偏转后从坐标原点O进入第一象限的正交电磁场中。不计粒子重力，求： (1)电场强度的大小E； (2)粒子第二次进入磁场Ⅱ运动的速率v； (3)粒子在第一象限正交电磁场中运动时距x轴的最大距离。 14. （26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，空间中存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为、方向竖直向上，磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外。一质量为、电荷量为的带正电粒子由点以初速度水平向右飞入复合场中，不计带电粒子的重力，求： (1)粒子的最大速度与最小速度的大小； (2)粒子在竖直方向上的最大位移的大小； (3)粒子在一个周期内水平向右的位移的大小。 考点三——带电粒子在立体空间的运动 知识点1 带电粒子的螺旋线运动和旋进运动 空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的．现在主要讨论两种情况： 1. 空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动．这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动． 2. 空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动． 知识点2 带电粒子在立体空间中的偏转 分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系．带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题．有时需要将粒子的运动分解为两个互相垂直的平面内的运动(比如螺旋线运动和旋进运动)来求解． 题型三——带电粒子的螺旋运动 【基础巩固】 15. （24-25高三下·福建福州·开学考试）用图甲所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动。如图乙，在空间存在平行于x轴的匀强磁场，一束电子以速度从坐标原点O沿xOy平面射入，与x轴正方向成角，其运动轨迹为螺旋线，该螺旋线轴线平行于x轴，螺距为，直径为D。则（　　） A．沿x轴方向螺距逐渐增大 B．匀强磁场的方向沿x轴负方向 C．若仅增大入射角度，直径D将变大 D．若仅增大，电子沿x轴通过一个螺距的时间将变短 16. （多选）（2026·陕西宝鸡·三模）如图甲所示为洛伦兹力演示仪，学生演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在强磁场中的运动轨迹呈螺旋状。为了研究该螺旋状轨迹情况，现将这一现象简化成如图乙所示的情境来讨论：在空间存在平行于轴、磁感应强度大小为的匀强磁场，在平面内，由坐标原点以初速度沿与轴正方向成角的方向射入电子束，得到轴线平行于轴的螺旋状电子运动轨迹，电子的比荷为，则（    ） A．磁场的方向为沿轴正方向 B．此螺旋状轨迹的半径 C．当时电子的运动轨迹是直线 D．此螺旋状轨迹的螺距 17. （多选）（2025·广西柳州·一模）亥姆霍兹线圈是一对平行的完全相同的同轴圆形线圈。如图所示，两线圈通入方向相同的恒定电流，线圈正对区域内形成平行于中心轴线的匀强磁场，线圈正对区域以外的磁场忽略不计，沿建立轴，距原点较远处垂直轴放置一圆形探测屏，其圆心位于轴上的点，在线圈间加上平行于轴的匀强电场。粒子源从轴上的原点沿垂直于轴的方向持续发射速度为的同种粒子。已知电场强度大小为，磁感应强度大小为，粒子第一次回到轴的坐标为、电场和磁场均沿轴正方向，不计粒子重力和粒子间相互作用（　　） A．粒子的比荷为 B．若粒子的比荷为，线圈半径至少为，粒子才有可能回到轴 C．探测屏中心与粒子源间的距离为时，粒子恰好打在探测屏的中心 D．若增大恒定电流使磁感应强度变大，粒子第一次回到轴的坐标大于 【能力提升】 18. （2026·福建厦门·模拟预测）如图所示，空间中存在沿轴正方向、磁感应强度大小为的匀强磁场，点处有一粒子源，不断地沿与轴正方向成角的各个方向发射质量为、电荷量为、速度大小为的粒子。一垂直于轴的足够大荧光屏从点缓慢沿轴正方向移动，荧光屏受到粒子撞击后会产生荧光。不计粒子重力和粒子间的相互作用，则当荧光屏上第一次出现半径为的亮圆环时，屏到点的距离为（　　） A． B． C． D． 19. （2025·福建福州·三模）在一真空区域的竖直平面内建立如图所示的直角坐标系xOy，第一象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，第三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小均相等；y＞0的区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，y＜0的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均相等。一质量为m、带电量为q的微粒恰好沿虚线AO做匀速直线运动，速度大小为方向与x轴负方向夹角为重力加速度为g。求： (1)电场强度的大小和磁感应强度的大小； (2)微粒在第三象限内运动的时间和离开第三象限时的位置坐标； (3)微粒在第四象限内运动过程中速度的最大值。 20. （25-26高三下·河南开封·期末）如图所示的空间直角坐标系中，在区域Ⅰ（）的空间分布着沿x轴正方向的匀强电场E（大小未知），在区域Ⅱ（）的空间分布着沿x轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，在区域Ⅲ（）的空间分布着沿z轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为（大小未知）。在x轴上处有一带正电粒子，质量为m，电荷量为q，沿y轴正方向以速度进入区域Ⅰ，经过y轴上的P点进入区域Ⅱ，已知P点坐标为，从区域Ⅱ的Q点（图中未画出）穿出后，恰好不会从区域Ⅲ右边界穿出，不计粒子的重力，忽略磁场边界效应。求： (1)电场强度大小E。 (2)Q点的三维坐标。 (3)磁感应强度的大小。 21. （2025·陕西咸阳·模拟预测）如图所示，在真空的xOy坐标系中，第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的六个区域，交替分布着方向沿y轴负方向的匀强电场和方向垂直纸面向里的匀强磁场。在的区域内存在磁感应强度大小为、方向沿x轴正方向的匀强磁场。现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好以大小为v、方向与y轴负方向夹角的速度从坐标原点进入区域。不计粒子重力，已知。求： (1)第二象限中电场强度大小和磁感应强度大小； (2)在的区域运动过程中，粒子到x轴的最大距离； (3)在的区域运动过程中，粒子每次经过x轴时的横坐标。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一轮复习专题——带电粒子在复合场中的运动 目 录 考点一——带电粒子在叠加场中的运动 1 题型一、带电粒子在复合场中的直线运动 2 【基础巩固】 2 【能力提升】 6 考点二——配速法与复合场中的摆线问题 8 题型二、带电粒子的摆线运动 9 【基础巩固】 9 【能力提升】 16 考点三——带电粒子在立体空间的运动 23 题型三——带电粒子的螺旋运动 23 【基础巩固】 23 【能力提升】 27 考点一——带电粒子在叠加场中的运动 知识点1 典型类型 1.磁场力、重力并存 1）若重力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动. 2）若重力和洛伦兹力不平衡,则带电体将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,故机械能守恒. 2.电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子) 1）若电场力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动. 2）若电场力和洛伦兹力不平衡,则带电体做复杂的曲线运动,可用动能定理求解. 3.电场力、磁场力、重力并存 1）若三力平衡,带电体做匀速直线运动. 2）若重力与电场力平衡,带电体做匀速圆周运动. 3）若合力不为零,带电体可能做复杂的曲线运动,可用能量守恒定律或动能定理求解. 知识点2 典型运动 1. 带电粒子在复合场中做直线运动  1）带电粒子所受合外力为零时，做匀速直线运动，处理这类问题，应根据受力平衡列方程求解. 2）带电粒子所受合外力恒定，且与初速度在一条直线上，粒子将作匀变速直线运动，处理这类问题，根据洛伦兹力不做功的特点，选用牛顿第二定律、动量定理、动能定理、能量守恒等规律列方程求解. 2. 带电粒子在复合场中做曲线运动 1）当带电粒子在所受的重力与电场力等值反向时，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动.处理这类问题，往往同时应用牛顿第二定律、动能定理列方程求解. 2）当带电粒子所受的合外力是变力，与初速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，一般处理这类问题，选用动能定理或能量守恒列方程求解. 题型一、带电粒子在复合场中的直线运动 【基础巩固】 1. （多选）（2025·福建·高考真题）  如图，真空中存在一水平向右的匀强电场，同时存在一水平且垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电量为q（q>0）的带电微粒从M点以初速度v入射，沿着MN做匀速直线运动。微粒到N点时撤去磁场，一段时间后微粒运动到P点。已知M、N、 P三点处于同一竖直平面内，MN与水平方向呈45°，N点与P等高，重力加速度为,则（　　） A．电场强度大小为 B．磁感应强度大小为 C．N、P两点的电势差为 D．从N点运动到P的过程中，微粒到直线NP的最大距离为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在叠加场中做直线运动、带电物体（计重力）在匀强电场中的一般运动 【详解】AB、带电体在复合场中能沿着做匀速直线运动，可知粒子受力情况如图所示。 由受力平衡可知，，解得电场强度，磁感应强度，故A错误，B正确。 C、在点撤去磁场后，粒子受力方向与运动方向垂直，做类平抛运动，如图所示。 且加速度，粒子到达点时，位移偏转角为，故在点，速度角的正切值，所以粒子在点的速度，到过程，由动能定理，有，解得两点间的电势差，C正确； D、将粒子在点的速度沿水平方向和竖直方向进行分解，可知粒子在竖直方向做竖直上抛运动，且，故粒子能向上运动的最大距离，D错误； 故选BC。 2. （多选）（2025·福建宁德·三模）如图甲所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中，倾角为的足够长的传送带以恒定的速率顺时针转动，一质量为0.1kg，带电量为0.1C的物块从传送带的底端静止释放，其运动的图像如图乙所示。已知物块与传送带间的动摩擦因数为0.8，重力加速度取，则（　　） A．物块可能带负电 B．传送带的速率可能大于 C．磁场的磁感应强度大小为0.25T D．前6s内物块的位移大小为4.5m 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在叠加场中做直线运动 【详解】A．设物块带负电，根据左手定则可知，物块受到垂直斜面向右下方的洛伦兹力，还有重力、支持力和沿斜面向上的滑动摩擦力，根据牛顿第二定律有 由乙图可知，物块是做加速度不断减小的加速运动，即加速度不断减小，所以滑动摩擦力也不断减小；又根据，随着速度不断增大，支持力不断增大，根据，可知滑动摩擦力不断增大，故前后判断不一致，故物块不可能带负电，应是带正电，物块受的洛伦兹力应垂直斜面向左上方，其他力的方向不变，根据牛顿第二定律有，可知随加速度不断减小，所以滑动摩擦力也不断减小；根据，随着速度不断增大，支持力不断减小，根据，可知滑动摩擦力不断减小，故前后判断一致，所以物块带正电，故A错误； C．根据牛顿第二定律有，在垂直斜面方向上有，又，联立解得，由乙图可知，当加速度时速度，则有，代入数据解得，故C正确； B．由C项分析，可知只要传送带的速度大于等于2m/s，则物块达到最大速度的条件与传送带的速度无关，所以传送带的速度可能是2m/s，也有可能是大于2m/s，故B正确； D．对物块运动的前6s，由动量定理 ，代入数据可得 x=5m，故D错误。故选BC。 3. （多选）（2024·福建福州·三模）如图所示，带电圆环P套在足够长的、粗糙绝缘水平细杆上，空间中存在与水平杆成θ角斜向左上方的匀强电场，现给圆环P一向右初速度，使其在杆上与杆无挤压地滑行。当圆环P滑至A点时，在空间加上水平方向且垂直细杆的匀强磁场，并从此刻开始计时，时刻圆环P再次返回A点。选取水平向右为正方向，则运动过程圆环P受到的摩擦力f、速度v、加速度a、动能随时间t变化的图像，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在叠加场中做直线运动 【详解】C．在匀强电场中，圆环在杆上与杆无挤压地滑行，则，故加上磁场后，速度为时，圆环与杆间的压力为，圆环向右运动的过程中，根据牛顿第二定律，且，加速度为，圆环向右运动的过程中，圆环速度减小，向左的加速度逐渐减小，圆环向左运动的过程中，根据牛顿第二定律，加速度为，圆环向左运动的过程中，圆环速度增大，向左的加速度逐渐减小，故整个运动过程，加速度一直向左且逐渐减小，故图C不符合要求； B．由于圆环P从A点出发再返回A点，克服摩擦力做功，返回A点时的速度小于从A点出发时的速度，根据图像的斜率表示加速度，可知速度v随时间t变化的图像如图B所示，故图B符合要求； A．返回A点时圆环受到的摩擦力应小于从A点出发时圆环受到的摩擦力，故图A不符合要求； D．根据，可知动能随时间t变化的图像如图D所示，故图D符合要求。 故选BD。 【能力提升】 4. （多选）（2026·福建南平·一模）如图甲，为粗糙绝缘水平面上的一点，以为原点、水平向右为正方向建立轴。在的区域内存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下，磁场方向垂直纸面向里。一带负电的物块以初速度从点开始向右运动，若初速度，则物块运动的速度随变化的关系如图乙所示，其中段为直线。已知物块电荷量与质量的比值为，取重力加速度大小，物块可视为质点且运动过程中电荷量保持不变，下列说法正确的是（　　） A．物块在区域内做匀减速直线运动 B．匀强磁场的磁感应强度大小为2T C．要使物块能通过处，应大于 D．若，则物块最终停止在处 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】带电粒子在叠加场中做直线运动、非常规图像 【详解】A．对物块，竖直方向受力平衡得支持力，水平方向摩擦力，物块做减速运动；加速度大小， 不断减小，因此加速度不断减小，物块做加速度减小的减速运动，故A错误； B．由题意，内 为直线，斜率 恒定，整理得 等式对任意成立，因此常数项，得 ，因此，对应系数相等得，无场，加速度，由图乙知， 滑行停下，由，联立得，，故B正确； C．内满足线性关系，物块能通过，要求时 代入得，故C正确； D．若，则时，出场区后匀减速位移，总位移，故D错误。故选BC。 5. （多选）（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）如图所示，光滑水平面上有一足够长绝缘木板，木板中间放一带正电物块，电荷量为，物块与木板接触面间有摩擦。木板与物块的质量均为，整个空间存在水平向里的匀强磁场，磁感应强度为。现给木板一水平初速度，重力加速度为。在以后的运动过程中，下列分析正确的是（　　） A．当向左时，最终间因摩擦产生的热量为 B．当向左时，最终间因摩擦产生的热量为 C．当向右时，且时，最终间因摩擦产生的热量为 D．当向右时，且时，最终间因摩擦产生的热量为 【答案】BD 【难度】0.15 【知识点】带电粒子在叠加场中做直线运动、常见力做功与相应的能量转化、动量守恒定律的初步应用 【详解】AB．此时木板向左运动，带动物块向左滑动，物块带正电向左运动所受洛伦兹力方向向下，根据，摩擦力，摩擦力增大，物块的加速度向左；由于水平方向系统不受外力，水平方向动量守恒，在整个过程中损失的动能就是因摩擦产生的热量，解得，A错误，B正确； CD．若向右时，假设最终二者以不同速度向右匀速运动，最后匀速时速度分别为，，系统水平方向动量守恒，以向右为正方向，有，又有，得，，假设成立，说明以后二者确实以不同速度向右匀速运动。由能量守恒，可得全过程摩擦生热，得，C错误，D正确。 故选BD。 考点二——配速法与复合场中的摆线问题 知识点1 摆线问题 摆线是同一平面内匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动的轨迹，其实就是一个圆沿着一条直线做无滑动的滚动，圆周上的一点运动的曲线，如图所示。 知识点2 配速法 1. 定义：若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动分析比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解为两个分速度，使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 2. 配速法处理叠加场中的摆线类问题 常见情况 处理方法 BG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BE摆线：初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BEG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1。 BGv摆线：初速度为v0，有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2。 题型二、带电粒子的摆线运动 【基础巩固】 6. （25-26高三下·北京西城·开学考试）如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为。一束质量均为、电荷量均为的粒子，以不同速率沿着两板中轴线方向进入板间后，速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在和之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．乙粒子的运动轨迹是抛物线 B．乙粒子偏离中轴线的最远距离为 C．乙粒子的运动轨迹在处对应圆周的半径为 D．乙粒子从进入板间运动至位置的过程中，在竖直方向上做减速运动 【答案】B 【难度】0.68 【知识点】带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 【详解】A．根据图像轨迹可知，乙粒子的运动轨迹不是抛物线，故A错误； B．根据配速法，可将乙粒子的速度看成向右的v和向左的，所以乙粒子的运动可看成水平向右的匀速直线运动和竖直平面内的圆周运动，且，所以，所以乙粒子偏离中轴线的最远距离为，故B正确； C．乙粒子运动到A处时速度为，则，所以在A处对应圆周的曲率半径为，故C错误； D．乙粒子从进入板间运动至位置的过程中，可看成是水平匀速直线运动和竖直匀速圆周运动的合运动，而位置是竖直圆周的最低点，初始位置是最高点，在竖直方向运动半圆过程中，竖直方向上先加速后减速，故D错误。故选B。 7. （25-26高三上·北京西城·阶段检测）我国空间站的霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一电子从点沿轴正方向水平入射，当入射速度为时，电子沿轴做直线运动；当入射速度为时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。图示点为最高点，点为最低点，点与点相距。不计重力及电子间相互作用，下列说法错误的是（　　） A．电场强度的大小 B．电子向上运动的过程中动能逐渐增加 C．电子运动到最高点的速度大小为 D．电子从点运动到最低点所用时间为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动 【详解】A．电子入射速度为时，电子沿x轴做直线运动，电子受到的电场力向上，由左手定则可知，洛伦兹力向下，有，解得，故A正确，不符合题意； B．电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中运动，由于洛伦兹力不做功，向上运动到最高点， 电场力做正功，由动能定理可知，电子的动能增加，故B正确，不符合题意； CD．入射速度为v（v<v0）时，可将电子的入射速度分解为水平向右的速度和水平向左的速度，电子运动可看成水平向右的匀速直线运动和顺时针的匀速圆周运动，所以电子从点运动到最低点，圆周运动部分恰好完成一个周期，水平方向分位移为零，故总水平位移 仅由速度 贡献，即，所用时间为，且在最高点两个分速度方向相同，则电子运动到最高点的速度大小为，故C错误，符合题意；D正确，不符合题意。 故选C。 8. （多选）（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，在坐标系内存在匀强磁场和匀强电场，电场方向沿轴负方向，磁场方向沿轴正方向。一电子从点（L，0，0）处沿轴正方向入射，其轨迹与轴的第1个交点坐标为（0，0，L）。已知电子的比荷为，入射速度大小为，不计电子所受的重力，则（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小 B．匀强电场的电场强度大小 C．电子轨迹与轴交点的坐标之比为 D．电子轨迹与轴交点的坐标之比为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 【详解】A．电子在电场力作用下，沿z轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动，在洛伦兹力的作用下，在xoy平面内做匀速圆周运动，由几何关系可知，电子做圆周运动的半径为，由洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力，有，解得，故A错误； B．电子从入射到与轴的第1个交点过程经历的时间为，沿z轴方向有， 解得，故B正确； CD．电子轨迹与z轴第1次相交后，每隔2t时间再与z轴相交，则第n次与z轴相交时，在z轴上有（n=1，2，3…），故电子轨迹与轴交点的坐标之比为，故C正确，D错误。故选BC。 9. （多选）（2026·广东梅州·一模）如图所示，真空中坐标系所在的空间存在一正交的匀强电磁场。匀强磁场方向垂直于坐标系向里，磁感应强度大小为；匀强电场方向沿轴负方向，电场强度大小为。一群质量均为，带电荷量均为的正电粒子，以大小不同的初速度从坐标原点沿轴正方向射出，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，则下列说法正确的是（　　） A．若初速度，粒子恰好能做匀速直线运动 B．若初速度，粒子每隔时间就会返回轴一次 C．若初速度，粒子偏离轴的最远距离为 D．当粒子离轴最远时，速度达到最大 【答案】AB 【难度】0.57 【知识点】带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 【详解】A．带正电的粒子不计重力，受向上的洛伦兹力和向下的电场力，若，则qvB=qE 故粒子恰好能做匀速直线运动，故A正确； BC．若初速度，粒子的运动规律表现出周期性，可将速度分解为一个和另一个，即可将粒子的运动分解为两个分运动：向右的匀速运动和圆周运动，每经历圆周运动的一个周期，粒子将返回x轴一次，粒子做圆周运动的半径为，则粒子偏离轴的最远距离为，故B正确，C错误； D．正粒子的速度若满足，电场力小于洛伦兹力，粒子向上偏转，电场力做负功，当粒子离x轴最远时，电场力做负功最多，其速度达到最小；若满足，电场力大于洛伦兹力，粒子将向下偏转，当粒子离x轴最远时，电场力做正功最多，其速度达到最大，故D错误。故选AB。 10. （2026·山西·二模）某离子筛选装置的核心结构如图所示，在的区域内存在沿轴正方向的匀强电场和沿垂直纸面向外的匀强磁场。在轴某处放置一块垂直于轴的足够大的挡板。某离子从原点沿轴正方向射入，离子的质量为，电荷量为，离子重力不计。 (1)若离子沿直线运动，求离子的速度大小； (2)若离子入射速度，经过时间离子打在挡板上，求： （ⅰ）离子到达挡板时的速度； （ⅱ）离子打在挡板的位置坐标。 【答案】(1) (2)（ⅰ），方向与水平夹角斜向右下；（ⅱ） 【难度】0.61 【知识点】带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 【详解】（1）若离子沿直线运动，则要有电场力大小等于洛伦兹力大小，有 可得 （2）将分解为同向的和 则离子的运动可看成的沿轴的匀速直线运动和的匀速圆周运动 设匀速圆周运动半径为，此分运动有 解得 其运动周期有解得 又在场内运动时间可知 （ⅰ）根据左手定则，离子向下偏转，又可知粒子偏转角度 设打在挡板上速度为 则，方向与水平夹角斜向右下 （ⅱ）设打在挡板上的位置坐标为 由，粒子向下偏转，则轴方向圆周运动位移，轴方向圆周运动位移 有，解得 ，解得 位置坐标为 【能力提升】 11. （2026·河南驻马店·模拟预测）如图所示，整个空间存在竖直向下的匀强电场，水平虚线下侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一比荷为 的带正电的粒子，从虚线上方的点，以初速度沿水平方向射入电场，经过一段时间从上的（未画出）点进入电磁场区域，、两点间的水平距离为，忽略粒子的重力。求： (1)电场强度的大小； (2)粒子在下侧运动时距离虚线的最远距离； (3)粒子从点射出到第3次通过虚线的时间以及该点到点的水平距离。 【答案】(1)(2)(3)； 【难度】0.53 【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动、带电粒子在叠加场中的一般曲线运动、竖直上抛运动的规律及应用、带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算 【详解】（1）带电粒子从点沿水平方向射入电场后，做类平抛运动， 竖直方向做匀加速直线运动，则有 又由牛顿第二定律得 水平方向匀速直线运动，则有 解得， （2）粒子运动到点时，竖直方向的速度大小为 粒子运动到点的速度为，与水平方向的夹角为 越过虚线后，将粒子的速度分解为一个水平向右的速度和另一个分速度， 其中，水平向右的分速度对应的洛伦兹力与电场力平衡，则有 解得，则有 解得，另一个分速度竖直向下，大小为 则粒子在水平向右的方向做匀速直线运动，另一个分运动是在竖直面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，当与方向相同时粒子的速度最大，此时粒子处在最低点，距离虚线最远，粒子的最大速度为 粒子从到最低点的过程，由动能定理得，解得 （3）粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有，解得 粒子做匀速圆周运动的周期为，解得 粒子在磁场中转过半个圆周再次返回到虚线处，所需时间为 该点到点的距离为 粒子第2次通过虚线后，粒子的速度斜向右上方，速度大小为，与水平方向的夹角为，此后粒子在虚线上方做类斜抛运动，竖直方向做类竖直上抛运动，加速度大小为 则粒子从第2次通过虚线到第3次通过虚线的时间为 该过程的水平位移为 粒子从点射出到第3次通过虚线的时间为 该点到点的水平距离为 12. （26-27高三·全国·一轮复习）真空中有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为，方向竖直向上，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外。在此空间中建立竖直面内的直角坐标系，有一个质量为、电量大小为的电子（重力不计），从坐标原点由静止开始运动，如图1所示，其运动轨迹为一条摆线，摆线的最低点为，与轴的第一个交点为。该运动可分解为竖直方向的逆时针方向的匀速圆周运动和水平向右方向的匀速直线运动两个分运动，如图2所示。求： (1)摆线的最低点到轴的距离； (2)电子在摆线最低点的速度大小； (3)每一段摆线的宽度大小。 【答案】(1)(2)(3) 【难度】0.52 【知识点】带电粒子在叠加场中的一般曲线运动、一个匀速和一个变速运动的合成 【详解】（1）令电子在原点处具有沿轴正方向的分速度和沿轴负方向的分速度，电子初始静止，则速度大小 令分速度对应的竖直向上的洛伦兹力等于电场力，即，这样电子沿轴正方向以分速度做匀速直线运动，而分速度在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，则电子的运动分解为竖直方向的逆时针方向的匀速圆周运动和水平向右方向的匀速直线运动两个分运动。其运动轨迹为一条摆线，摆线的最低点为。 设分运动匀速圆周运动的轨迹半径为，则，又 解得 （2）在最低点两分运动的速度方向相同均沿轴正方向，则电子的速度大小为 （3）电子的分运动匀速圆周运动完成一次完整的圆周运动，对应一段摆线的轨迹，则摆线的宽度大小等于分运动匀速直线运动在匀速圆周运动一个周期内的位移大小。 分运动匀速圆周运动的周期 所以每一段摆线的宽度大小为 13. （2025·安徽安庆·模拟预测）如图所示，在xOy坐标平面的第一、四象限内有正交的匀强电场和匀强磁场I，电场沿y轴负方向，磁场I垂直于坐标平面向里；在第二、三象限内，以（-R，）为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，磁场I、Ⅱ的磁感应强度大小均为B。第一次让一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在磁场Ⅱ边界上的（-R，）点以某一速率指向圆心O₁射入磁场Ⅱ，粒子经磁场Ⅱ偏转后从（0，）点离开磁场Ⅱ，进入第四象限，在正交的电磁场中做直线运动。第二次以另一速率仍从P点指向圆心O1方向射入同样的粒子，粒子经磁场Ⅱ偏转后从坐标原点O进入第一象限的正交电磁场中。不计粒子重力，求： (1)电场强度的大小E； (2)粒子第二次进入磁场Ⅱ运动的速率v； (3)粒子在第一象限正交电磁场中运动时距x轴的最大距离。 【答案】(1)(2)(3) 【难度】0.4 【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动、带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动、带电粒子在叠加场中做旋进运动 【详解】（1）由题意，设第一次的速率为，粒子从Q点出磁场Ⅱ，根据牛顿第二定律有 由几何关系可知 解得 进入电磁场后，做匀速直线运动，有 求得电场强度 （2）设OO1与x轴负向成θ角，如图 由几何关系可知 即θ=30° 由几何关系可知 由题意，粒子从O点出磁场Ⅱ，根据牛顿第二定律有 解得 （3）粒子以速度ν进入正交电磁场时，将粒子刚进电磁场时的速度分解为沿x轴正向的分速度和分速度， 如图 且满足 则 而 其负方向与x轴正方向的夹角 解得 此后，粒子在叠加场中的运动可以分解成以速度沿x轴正向做匀速直线运动和以速率做逆时针匀速圆周运动。设做匀速圆周运动的半径为，根据牛顿第二定律有 解得 如图 可知离x轴的最大距离 14. （26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，空间中存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为、方向竖直向上，磁感应强度大小为、方向垂直纸面向外。一质量为、电荷量为的带正电粒子由点以初速度水平向右飞入复合场中，不计带电粒子的重力，求： (1)粒子的最大速度与最小速度的大小； (2)粒子在竖直方向上的最大位移的大小； (3)粒子在一个周期内水平向右的位移的大小。 【答案】(1)，(2)(3) 【难度】0.4 【知识点】带电粒子在叠加场中做旋进运动 【详解】（1）粒子所受的电场力方向竖直向上，根据左手定则可知，开始时粒子受到的洛伦兹力方向向下，因 故可把初速度分解为水平向右的两个分速度和，则 其中分速度满足，解得 则 故粒子的运动可分解为水平向右、速度大小为的匀速直线运动和线速度大小为的匀速圆周运动，其运动轨迹如图所示 由速度的合成与分解，可知粒子的最大速度为 最小速度为 （2）粒子做匀速圆周运动的半径为 故粒子在竖直方向上的最大位移为 （3）粒子运动的周期等于其做圆周运动的周期，即 粒子在一个周期内水平向右的位移为 考点三——带电粒子在立体空间的运动 知识点1 带电粒子的螺旋线运动和旋进运动 空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的．现在主要讨论两种情况： 1. 空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动．这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动． 2. 空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动． 知识点2 带电粒子在立体空间中的偏转 分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系．带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题．有时需要将粒子的运动分解为两个互相垂直的平面内的运动(比如螺旋线运动和旋进运动)来求解． 题型三——带电粒子的螺旋运动 【基础巩固】 15. （24-25高三下·福建福州·开学考试）用图甲所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动。如图乙，在空间存在平行于x轴的匀强磁场，一束电子以速度从坐标原点O沿xOy平面射入，与x轴正方向成角，其运动轨迹为螺旋线，该螺旋线轴线平行于x轴，螺距为，直径为D。则（　　） A．沿x轴方向螺距逐渐增大 B．匀强磁场的方向沿x轴负方向 C．若仅增大入射角度，直径D将变大 D．若仅增大，电子沿x轴通过一个螺距的时间将变短 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在叠加场中做旋进运动 【详解】AB．将电子的初速度沿x轴及y轴方向分解，沿x方向速度与磁场方向平行，做匀速直线运动且，沿y轴方向速度与磁场方向垂直，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由可知周期不变，则沿x轴方向螺距不变，由左手定则可知，磁场方向沿x轴正方向，故AB错误； C．根据题意，由洛伦兹力提供向心力有，又有，解得，所以若仅增大入射角度，则直径D将变大，故C正确； D．根据上述分析可知，电子沿x轴通过一个螺距的时间为做圆周运动的一个周期，由可知，若仅增大，电子沿x轴通过一个螺距的时间不变，故D错误。 故选C。 16. （多选）（2026·陕西宝鸡·三模）如图甲所示为洛伦兹力演示仪，学生演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在强磁场中的运动轨迹呈螺旋状。为了研究该螺旋状轨迹情况，现将这一现象简化成如图乙所示的情境来讨论：在空间存在平行于轴、磁感应强度大小为的匀强磁场，在平面内，由坐标原点以初速度沿与轴正方向成角的方向射入电子束，得到轴线平行于轴的螺旋状电子运动轨迹，电子的比荷为，则（    ） A．磁场的方向为沿轴正方向 B．此螺旋状轨迹的半径 C．当时电子的运动轨迹是直线 D．此螺旋状轨迹的螺距 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在叠加场中做旋进运动 【详解】A．将电子的速度分解为沿x轴和沿y轴两个方向，有， 其中沿y轴分量的速度会在洛伦兹力的作用下使粒子做匀速圆周运动，根据左手定则，可知磁场的方向应沿着x轴的正方向，故A正确； B．沿y轴方向的速度分量会在洛伦兹力的作用下使粒子做匀速圆周运动，有，解得，故B错误； C．当时电子只在洛伦兹力作用下，在yOz平面内做匀速圆周运动，运动轨迹是曲线，故C错误； D．电子做圆周运动的周期为，在一个周期内电子沿x轴的方向上运动的距离即为螺距，故D正确。故选AD。 17. （多选）（2025·广西柳州·一模）亥姆霍兹线圈是一对平行的完全相同的同轴圆形线圈。如图所示，两线圈通入方向相同的恒定电流，线圈正对区域内形成平行于中心轴线的匀强磁场，线圈正对区域以外的磁场忽略不计，沿建立轴，距原点较远处垂直轴放置一圆形探测屏，其圆心位于轴上的点，在线圈间加上平行于轴的匀强电场。粒子源从轴上的原点沿垂直于轴的方向持续发射速度为的同种粒子。已知电场强度大小为，磁感应强度大小为，粒子第一次回到轴的坐标为、电场和磁场均沿轴正方向，不计粒子重力和粒子间相互作用（　　） A．粒子的比荷为 B．若粒子的比荷为，线圈半径至少为，粒子才有可能回到轴 C．探测屏中心与粒子源间的距离为时，粒子恰好打在探测屏的中心 D．若增大恒定电流使磁感应强度变大，粒子第一次回到轴的坐标大于 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在叠加场中做旋进运动 【详解】A．根据分析可知粒子所受洛伦兹力垂直于轴，使粒子在垂直于轴方向做匀速圆周运动，粒子还受沿轴方向的电场力。粒子第一次回到轴的坐标为，则有，对应时间正好是圆周运动一个完整周期，则有，方程联立，解得粒子的比荷为，故A正确； B．若粒子比荷为，则线圈半径至少为粒子圆周运动的直径才有可能回到轴，则圆周运动，解得，则线圈半径至少为，故B错误； C．粒子做圆周运动的周期不变，沿轴方向做匀加速直线运动，则探测屏中心与粒子源间的距离为时，，与A选项中方程联立，解得，说明粒子在垂直于轴方向上做了3个完整的圆周运动，恰好打在探测屏的中心，故C正确； D．将A选项中表达式变形，得，若增大恒定电流使磁感应强度变大，粒子第一次回到轴的坐标将小于，故D错误。故选AC。 【能力提升】 18. （2026·福建厦门·模拟预测）如图所示，空间中存在沿轴正方向、磁感应强度大小为的匀强磁场，点处有一粒子源，不断地沿与轴正方向成角的各个方向发射质量为、电荷量为、速度大小为的粒子。一垂直于轴的足够大荧光屏从点缓慢沿轴正方向移动，荧光屏受到粒子撞击后会产生荧光。不计粒子重力和粒子间的相互作用，则当荧光屏上第一次出现半径为的亮圆环时，屏到点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.42 【知识点】带电粒子在匀强磁场中的圆周运动：半径、周期公式 【详解】A．粒子在磁场中运动，将速度分解为平行于磁场方向的分速度和垂直于磁场方向的分速度。粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，解得轨道半径，运动周期，当荧光屏上第一次出现半径为的亮圆环时，沿着y轴方向从上向下看，对其中一个粒子的运动 根据几何关系可知转过的圆心角为90°，所以所用时间为 屏到点的距离为故选A。 19. （2025·福建福州·三模）在一真空区域的竖直平面内建立如图所示的直角坐标系xOy，第一象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，第三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小均相等；y＞0的区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，y＜0的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均相等。一质量为m、带电量为q的微粒恰好沿虚线AO做匀速直线运动，速度大小为方向与x轴负方向夹角为重力加速度为g。求： (1)电场强度的大小和磁感应强度的大小； (2)微粒在第三象限内运动的时间和离开第三象限时的位置坐标； (3)微粒在第四象限内运动过程中速度的最大值。 【答案】(1)，(2)，(3) 【难度】0.4 【知识点】带电粒子在叠加场中做直线运动、带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动、带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 【详解】（1）根据受力平衡条件，微粒带正电，有， 解得， （2）微粒进入第三象限后，由受力分析，重力和电场力平衡，故微粒受洛伦兹力做匀速圆周运动，设微粒运动半径为R，由几何关系可得，微粒在第三象限内运动的时间 根据洛伦兹力提供向心力有 周期为，联立解得 微粒离开第三象限时在竖直方向移动的距离为 微粒离开第三象限时的位置坐标为 （3）微粒进入第四象限后速度方向与y轴负方向夹角为45°，根据运动的合成与分解，可以把速度分解到x、y方向，分速度分别为， 根据受力分析，微粒运动可分解为水平方向速度大小为匀速直线运动和速度大小为的匀速圆周运动。 与同向时合速度最大，最大速度为 20. （25-26高三下·河南开封·期末）如图所示的空间直角坐标系中，在区域Ⅰ（）的空间分布着沿x轴正方向的匀强电场E（大小未知），在区域Ⅱ（）的空间分布着沿x轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，在区域Ⅲ（）的空间分布着沿z轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为（大小未知）。在x轴上处有一带正电粒子，质量为m，电荷量为q，沿y轴正方向以速度进入区域Ⅰ，经过y轴上的P点进入区域Ⅱ，已知P点坐标为，从区域Ⅱ的Q点（图中未画出）穿出后，恰好不会从区域Ⅲ右边界穿出，不计粒子的重力，忽略磁场边界效应。求： (1)电场强度大小E。 (2)Q点的三维坐标。 (3)磁感应强度的大小。 【答案】(1)(2)(3) 【难度】0.26 【知识点】带电粒子在组合场中的立体空间问题 【详解】（1）带电粒子进入电场后，做类平抛运动，方向做匀加速直线运动，方向做匀速直线运动，有， 且 联立得 （2）带电粒子在匀强磁场中做等距螺旋运动，可分解为沿轴正方向的匀速直线运动和垂直于轴的平面的匀速圆周运动，如图： 粒子在点的速度分量为， ①在垂直于轴的平面内，粒子做匀速圆周运动有 解得 周期 ②粒子在轴正方向做匀速直线运动有 解得 即带电粒子将螺旋转动1.5圈后从点离开区域Ⅱ，结合洛伦兹力方向（沿y轴正方向、B1沿x轴负方向，由左手定则可知初始洛伦兹力沿z轴正方向，所以点的方向坐标为 故点的三维坐标为。 （3）粒子在点速度 其方向分速度与点相同，方向分速度与点相反，设带电粒子在点的速度与轴负方向夹角为，有 所以 由牛顿第二定律得 由几何关系知 解得 联立解得 21. （2025·陕西咸阳·模拟预测）如图所示，在真空的xOy坐标系中，第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的六个区域，交替分布着方向沿y轴负方向的匀强电场和方向垂直纸面向里的匀强磁场。在的区域内存在磁感应强度大小为、方向沿x轴正方向的匀强磁场。现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好以大小为v、方向与y轴负方向夹角的速度从坐标原点进入区域。不计粒子重力，已知。求： (1)第二象限中电场强度大小和磁感应强度大小； (2)在的区域运动过程中，粒子到x轴的最大距离； (3)在的区域运动过程中，粒子每次经过x轴时的横坐标。 【答案】(1)，(2)(3) 【难度】0.15 【知识点】带电粒子在组合场中含动量问题、粒子由电场进入磁场、带电粒子在组合场中的立体空间问题 【详解】（1）粒子从P运动到O的过程中，只有电场力做功，根据动能定理 有 得 粒子从P运动到O的过程，在磁场中时，任意时刻有，取很短时间内，以水平向右为正，研究水平方向，由动量定理 有 两边求和， 有 得 （2）粒子在垂直平面内做匀速圆周运动，由 有，其中 得，则粒子到x轴的最大距离 （3）粒子在垂直平面内做匀速圆周运动时，由 有 得，粒子在的区域内沿轴做匀速直线运动，在一个周期内，沿轴方向运动的距离，其中 得，则粒子每次经过x轴时的横坐标 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $