19 第二章 第19课时 函数的零点与方程的解-【名师导航】2027年高考数学一轮总复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的零点与方程的解”专题，依据高考评价体系覆盖零点概念、存在定理、二分法三大核心考点，通过近五年真题分析明确零点存在定理应用（占比45%）和参数范围求解（占比30%）为高频考点，归纳区间判断、个数确定、参数应用等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+通性通法+思维建模”策略，如以2024新高考Ⅱ卷函数交点问题为例，用“数形结合法”拆解参数范围，培养数学思维与直观想象素养。含母题探究（如嵌套函数零点）和变式训练，设易错警示（零点与点的区别），助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第二章　函数 第19课时　函数的零点与方程的解 [考试要求]　1．理解函数的零点与方程的解的联系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解用二分法求方程的近似解． 第19课时　函数的零点与方程的解 理法先行·题练固本 知识点1　函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f (x)，我们把使_____________ 的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有______⇔函数y＝f (x)的图象与_____有公共点． f (x)＝0 零点 x轴 第19课时　函数的零点与方程的解 3 (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条__________的曲线，且有____________________，那么，函数y＝f (x)在区间__________ 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得_____________，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 连续不断 f (a)f (b)<0 (a，b) f (c)＝0 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 知识点2　二分法 对于在区间[a，b]上图象__________ 且_____________________ 的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二分法只能求变号零点． 连续不断 f (a)f (b)<0 零点 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 [常用结论] 1．若连续不断的函数f (x)在(a，b)上是单调函数，且f (a)f (b)<0，则f (x)在(a，b)上有且仅有一个零点． 2．由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a)·f (b)<0，如图所示，所以f (a)·f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 1．(苏教版必修第一册P253本章测试T8改编)函数f (x)＝的零点个数为(　　) A．3 B．2 C．7 D．0 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 B　[由或 解得x＝－2或x＝e，故f (x)有2个零点．故选B．] 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 2．(北师大版必修第一册P132练习T3(2)改编)函数f (x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) √ B　[函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增， 且f (1)＝－1，f (2)＝1，则f (1)f (2)<0， 故f (x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B．] 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 3．(湘教版必修第一册P136习题4.4 T6改编)若函数f (x)＝2x＋a在(－1，1)内存在一个零点，则实数a的取值范围是__________． (－2，2)　[由题意得f (－1)f (1)＝(－2＋a)(2＋a)<0， 解得－2<a<2．] (－2，2)　 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 4．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) √ A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D A　[根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．] 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 考点深研·题型突破 考点一　函数零点所在区间及二分法 [典例1]　(1)(2025·铜仁市期末)函数f (x)＝ex＋4x－4的零点所在区间为(　　) A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3) √ 第19课时　函数的零点与方程的解 12 (2)(2025·汕头月考)用二分法求函数f (x)＝ln x＋2x－6在区间(2，3)内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区间的次数至少为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 (1)B　(2)C　[(1)函数f (x)＝ex＋4x－4在R上单调递增， f (－1)＝－8＜0，f (0)＝1－4＝－3＜0，f (1)＝e＋4－4＝e＞0， 故函数f (x)的零点所在区间为(0，1)． 故选B． (2)因为区间(2，3)的长度为1，经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，所以经过n(n∈N＋)次二分法的操作，区间的长度为，由＜0.1，解得n≥4． 故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 [多维变迁] 1．(2025·天津卷)函数f (x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　) A．(0，0.3) B．(0.3，0.5) C．(0.5，1) D．(1，2) √ B　[易知f (x)在[0，＋∞)上单调递减，又f (0)＝1＞0，f (0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5＞0，f (0.5)＝0.30.5－＝＜0，所以f (x)的零点所在区间是(0.3，0.5)．故选B．] 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 2．(人教A版必修第一册P146例2改编)用二分法求函数f (x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f (1.600 0)≈0.200 f (1.587 5)≈0.133 f (1.575 0)≈0.067 f (1.562 5)≈0.003 f (1.556 2)≈－0.029 f (1.550 0)≈－0.060 据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确度为0.01)． 1.56 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 1.56　[注意到f (1.556 2)≈－0.029和f (1.562 5)≈0.003，显然f (1.556 2) f (1.562 5)<0， 又|1.556 2－1.562 5|＝0.006 3<0.01，所以近似解可取1.56．] 易错提醒：(1)若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f (x)＝0的实数解． (2)连续函数f (x)在区间[a，b]上，若满足f (a)f (b)<0，则在区间[a，b]上至少有一个零点，反之不一定． 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 【教用·通性通法】 确定函数零点所在区间的方法 (1)解方程法：当对应方程f (x)＝0易解时，可先解方程，然后看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f (a)f (b)<0．若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，判断图象与x轴在给定区间上是否有交点． 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 考点二　确定函数零点个数 [典例2]　(1)函数f (x)＝的零点个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 (2)函数f (x)＝ln x＋x2－3的零点个数为________． √ 1　 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 (1)D　(2)1　[(1)当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1； 当x>0时，f (x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f (1)＝1－2＋ln 1＝－1<0， f (2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，即f (1)f (2)<0， 所以函数f (x)在区间(1，2)内必有一个零点． 综上，函数f (x)的零点个数为2．故选D． (2)令f (x)＝0，可得方程ln x＋x2－3＝0， 即ln x＝3－x2， 故原函数的零点个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2图象的交点个数． 在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象(如图)． 由图可知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点， 故函数f (x)＝ln x＋x2－3只有一个零点．] 通性通法：函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点． (2)函数零点存在定理，应注意：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点． (3)作出两函数的图象，观察其交点即得零点个数． 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 考点三　函数零点的应用 考向1　根据函数零点个数求参数范围 [典例3]　已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为(　　) A．(0，1] B．[0，1] C．(0，1) D．(1，＋∞) √ 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 A　[依题意，函数g(x)＝f (x)－b有四个不同的零点，即方程f (x)＝b有四个解，转化为函数y＝f (x)的图象与直线y＝b有四个交点，由函数y＝f (x)的解析式可知，当x∈(－∞，－1]时，函数单调递减，y∈[0，＋∞)；当x∈(－1，0]时，函数单调递增，y∈(0，1]；当x∈ (0，1)时，函数单调递减，y∈(0，＋∞)；当x∈[1，＋∞)时，函数单调递增，y∈[0，＋∞)，结合图象，可知实数b的取值范围为(0，1]． 故选A．] [母题探究] 本例中，若所有条件不变，且设四个不同的零点分别为x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，那么x1x2x3x4的取值范围是________． [0，1)　[由本例题的解题过程可知，x1＋x2＝－2，x3x4＝1，所以x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－2x1，又－2≤x1＜－1，所以－2x1∈[0，1)，故x1x2x3x4的取值范围是[0，1)．] [0，1) 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 考向2　根据函数零点的范围求参数 [典例4]　函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)上存在零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－5) B．(－5，－1) C．(1，5) D．(5，＋∞) √ 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 B　[由y1＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增， 因为函数f (x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)上存在零点， 所以即解得－5<m<－1， 所以实数m的取值范围是(－5，－1)．故选B．] 思维建模：零点求参模型 (1)分离参数：等价转化，将变量与参数分开． (2)作图：分别作出y＝f (x)与y＝b的图象． (3)移线得参：平移直线y＝b，根据交点个数，确定参数范围． 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 [多维变迁] (2026·南阳模拟)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，当x∈[－1，1]时，f (x)＝x2，函数g(x)＝若函数h(x)＝f (x)－g(x)在区间[－5，5]上恰有8个零点，则实数a的取值范围为(　　) A．(2，4) B．(2，5) C．(1，5) D．(1，4) √ 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 A　[函数h(x)＝f (x)－g(x)在区间[－5，5]上恰有8个零点，即函数f (x)与函数g(x)的图象在区间[－5，5]上有8个交点，由f (x＋2)＝f (x)知，f (x)是R上周期为2的函数，作函数f (x)与函数g(x)在区间[－5，5]上的图象，如图所示， 由图象知，当x∈[－5，1]时，图象有5个交点，故在(1，5]上有3个交点即可， 故解得2<a<4．故选A．] 【教用·备选题】 1．已知函数f (x)＝2x＋x，g(x)＝x－lox，h(x)＝log2x－的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为(　　) A．x1>x2>x3 B．x2>x1>x3 C．x1>x3>x2 D．x3>x2>x1 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 D　[由f (x)＝2x＋x＝0，g(x)＝x－lox＝0，h(x)＝log2x－＝0，得2x＝－x，x＝lox，log2x＝，在平面直角坐标系中分别作出y＝2x与y＝－x的图象；y＝x与y＝lox的图象；y＝log2x与y＝的图象，由图可知，－1<x1<0，0<x2<1，x3>1．所以x3>x2>x1．故选D．] 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 2．(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f (x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax．当x∈(－1，1)时，曲线y＝f (x)与y＝g(x)恰有一个交点．则实数a＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 D　[法一：令f (x)＝g(x)， 即a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，可得ax2＋a－1＝cos x， 令F(x)＝ax2＋a－1，G(x)＝cos x， 原题意等价于当x∈(－1，1)时，曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点， 注意到F(x)，G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得F(0)＝G(0)，即a－1＝1，解得a＝2． 若a＝2，令F(x)＝G(x)， 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 可得2x2＋1－cos x＝0， 因为x∈(－1，1)，则2x2≥0，1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号同时成立， 可得2x2＋1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立， 则方程2x2＋1－cos x＝0有且仅有一个实根0，即曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点， 所以a＝2符合题意． 综上所述，a＝2． 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 法二：令h(x)＝f (x)－g(x)＝ax2＋a－1－cos x，x∈(－1，1)， 原题意等价于h(x)有且仅有一个零点， 因为h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos (－x)＝ax2＋a－1－cos x＝h(x)， 则h(x)为偶函数， 根据偶函数的对称性可知，h(x)的零点只能为0， 即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2． 若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cos x，x∈(－1，1)， 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 又因为2x2≥0，1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号同时成立， 可得h(x)≥0，当且仅当x＝0时，等号成立， 即h(x)有且仅有一个零点0，所以a＝2符合题意． 故选D．] 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 【教用·微点突破】 嵌套函数的零点 形如y＝f (g(x))的复合函数(称此函数为嵌套函数)零点问题综合性较强，难度较大，常与函数性质等相关问题交汇．嵌套函数的零点涉及内外两层函数零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解． 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 [典例]　(1)已知函数f (x)＝则函数y＝f (f (x))的所有零点之和为________． (2)函数f (x)＝若函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是____________． 　 [－1，＋∞) 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 (1)　(2)[－1，＋∞)　[(1)令f (t)＝0，得t＝－1或t＝1． 由f (x)＝－1，得x＋1＝－1或log2x＝－1，解得x＝－2或x＝； 由f (x)＝1，得x＋1＝1或log2x＝1，解得x＝0或x＝2． 故所有零点的和为 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 (2)设t＝f (x)，令f ( f (x))－a＝0， 则a＝f (t)． 在同一平面直角坐标系内作y＝a，y＝f (t)的图象(如图)． 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 当a<－1时，y＝a与y＝f (t)的图象有一个交点，不符合题意； 当a≥－1时，y＝a与y＝f (t)的图象有两个交点． 设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1． 当t1<－1时，t1＝f (x)有一解； 当t2≥－1时，t2＝f (x)有两解． 综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f ( f (x))－a有三个不同的零点．] 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 1．(链接考点一)(北师大版必修第一册P131例1改编)函数f (x)＝x＋log2x的零点所在的区间为(　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 B　[f (x)＝x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增， f＝＋log2＝－log23<－log22 ＝－<0，f＝＋log2＝－<0， f＝＋log2＝－log23＝＝(log232－log227)>0，则函数f (x)＝x＋log2x的零点所在的区间为故选B．] 2．(链接考点二)(2025·昆明市五华区期末)函数f (x)＝log2x－的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 C　[由f (x)＝log2x－＝0，得log2x＝， 函数y＝log2x与y＝都是(0，＋∞)上的增函数，且log24＝＝2，log216＝＝4， 且当x＞16时，函数y＝比y＝log2x增长的快， 则函数y＝与y＝log2x的图象只有两个交点，也就是函数f (x)＝log2x－的零点个数是2．故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 3．(链接考向1)(人教A版必修第一册P156习题4.5 T13改编)函数f (x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为___________． 0或－　[当a＝0时，f (x)＝－x－1， 令f (x)＝0得x＝－1， 故f (x)只有一个零点为－1． 当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－] 0或－ 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 4．(链接考向2)已知函数f (x)＝x·2x－kx－2在区间(1，2)内有零点，则实数k的取值范围是________． (0，3)　[令f (x)＝0，则x·2x－kx－2＝0，即k＝2x－，即y＝k与g(x)＝2x－的图象在(1，2)内有交点．因为y＝2x 和y＝－在(1，2)内单调递增，所以g(x)＝2x－在(1，2)内单调递增，所以g(1)<g(x)<g(2)，即0<g(x)<3，所以0<k<3，即实数k 的取值范围是(0，3)．] (0，3) 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 一、单项选择题 1．(人教A版必修第一册P144练习T1改编)已知函数f (x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f (a)f (b)<0，则方程f (x)＝0在区间[a，b]上(　　) A．至少有一实数解 B．至多有一实数解 C．没有实数解 D．必有唯一的实数解 课时作业(十九)　函数的零点与方程的解 第19课时　函数的零点与方程的解 51 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 D　[∵f (x)为连续函数，且f (a)f (b)<0， ∴函数f (x)在区间[a，b]上至少有一个零点， ∵函数f (x)在区间[a，b]上单调，∴函数f (x)在区间[a，b]上至多有一个零点， 故函数f (x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f (x)＝0在区间[a，b]上必有唯一的实数解．] 52 √ 2．(2025·日照期末)若函数f (x)＝ln x＋2x－3，则f (x)的零点所在区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 53 B　[函数f (x)＝ln x＋2x－3在x＞0时的图象是连续的，且f (x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为f (1)＝2－3＝－1＜0，f (2)＝ln 2＋4－3＝ln 2＋1＞0， 所以f (1)f (2)＜0，由函数零点存在定理可知，函数的零点在(1，2)内． 故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 54 √ 3．(2025·沧州盐山县校级二模)用二分法研究函数f (x)＝x3－2x－1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有解区间为 (　　) A．(1，2) B．(1.75，2) C．(1.5，2) D．(1，1.5) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 55 C　[因为f (x)＝x3－2x－1，所以f (1)＝－2＜0，f (2)＝3＞0， 取中间值，有＝1.5，而f (1.5)＝－＜0， 所以下一个有解区间是(1.5，2)． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 56 √ 4．(人教A版必修第一册P143例1改编)函数f (x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 57 C　[函数f (x)＝3x|log2x|－1的零点， 即3x|log2x|－1＝0的解，即|log2x|＝的解， 转化为y＝|log2x|与y＝图象的交点个数， 如图所示， 从函数图象可知，y＝|log2x|与y＝的图象 有2个交点，即函数f (x)有2个零点．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 58 √ 5．(2026·西安模拟)若函数f (x)＝lg x＋t在(1，10)内有零点，则实数t的取值范围为(　　) A．(－10，0) B． C．(0，1) D．(－1，0) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 59 D　[因为f (x)＝lg x＋t在(1，10)内单调递增， 又因为函数f (x)在(1，10)内有零点， 所以即 解得－1＜t＜0． 即实数t的取值范围为(－1，0)．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 60 √ 6．函数f (x)＝的所有零点之和为(　　) A．－4 B．－3 C．0 D．1 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 61 C　[f (x)＝ 当x≤0时，由x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1； 当0＜x＜4时，由cos ＝0，解得x＝1或x＝3． ∴函数f (x)＝的所有零点之和为0． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 62 √ 二、多项选择题　 7．(2025·大庆市龙凤区月考)下列函数在区间(－1，3)内存在唯一零点的是(　　) A．f (x)＝x2－2x－8 B．f (x)＝(x＋1－2 C．f (x)＝2x-1－1 D．f (x)＝1－ln (x＋2) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 63 BCD　[对于A，∵x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4， ∴f (x)在区间(－1，3)内没有零点，故A错误； 对于B，∵f (x)＝(x＋1－2在[－1，＋∞)上单调递增， 且f (－1)＝－2<0，f (3)＝8－2＝6>0， 即f (－1)f (3)<0， ∴f (x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故B正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 64 对于C，∵f (x)＝2x-1－1在R上为增函数，且f (－1)＝－<0，f (3)＝3>0，即f (－1)f (3)<0， ∴f (x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故C正确； 对于D，∵f (x)＝1－ln (x＋2)在(－2，＋∞)上单调递减， 且f (－1)＝1>0，f (3)＝1－ln 5<0， 即f (－1)f (3)<0， ∴f (x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故D正确．故选BCD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 65 √ 8．(人教A版必修第一册P160复习参考题4 T4改编)已知函数f (x)＝对于方程f (x)＝k(k<0)，下列说法正确的是(　　) A．当k<－4时，f (x)＝k有1个解 B．若f (x)＝k有2个解，则k>－3 C．当－4<k≤－3时，f (x)＝k有3个解 D．f (x)＝k可能有4个解 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 66 AC　[作出f (x)的图象与直线y＝k，如图． 由图象可知， 当k<－4时，f (x)＝k有1个解，A正确； 当k＝－4或k＞－3时，f (x)＝k有2个解，B错误； 当－4<k≤－3时，f (x)＝k有3个解，C正确； f (x)＝k不可能有4个解，D错误．故选AC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 67 √ 9．下列说法正确的是(　　) A．函数f (x)＝x2＋2x－8的零点是(－4，0)，(2，0) B．方程ex＝3＋x在区间(－3，0)，(0，10)内有解 C．函数y＝3x，y＝log3x的图象关于y＝x对称 D．用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内的近似解的过程中得到f (1) <0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的解落在区间(1，1.25)内 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 68 BC　[对于A，令f (x)＝x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2，即函数f (x)＝x2＋2x－8的零点是－4和2，故A错误； 对于B，令f (x)＝ex－x－3，则f (－3)＝e-3>0，f (0)＝－2<0，f (10)＝e10－13>210－13>0，所以由函数零点存在定理可知f (x)＝ex－x－3在区间(－3，0)，(0，10)内有零点，即方程ex＝3＋x在区间(－3，0)，(0，10)内有解，故B正确； 对于C，函数y＝3x，y＝log3x互为反函数，所以函数y＝3x，y＝log3x的图象关于y＝x对称，故C正确； 对于D，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)内的近似解的过程中得到f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的解落在区间(1.25，1.5)内，故D错误．故选BC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 69 三、填空题 10．(2025·岳阳市湘阴县期末)函数f (x)＝ln x－1的零点是 ________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 e　[根据题意，f (x)＝ln x－1， 令f (x)＝ln x－1＝0，解得x＝e，即函数的零点是e．] e 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 70 11．(2025·哈尔滨市香坊区四模)函数f (x)＝(a＋1)x－ax＋x(a＞1)的零点的个数为________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 1　 1　[当a＞1时，由指数函数的图象与性质知， 当x＜0时，(a＋1)x－ax＜0，x＜0，可得f (x)＜0， 当x＞0时，(a＋1)x－ax＞0，x＞0，可得f (x)＞0， 当x＝0时，f (x)＝(a＋1)x－ax＋x＝0，则函数f (x) 只有一个零点．] 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 71 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．(2025·湛江期中)设f (x)＝|1－2x|，若关于x的方程[f (x)]2－3tf (x)＋2t2＝0有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为________． 理法先行 考点深研 课时作业 第19课时　函数的零点与方程的解 72 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 　[由[f (x)]2－3tf (x)＋2t2＝0得f (x)＝t或f (x)＝2t，作出函数 f (x)的图象(如图所示)，易知当t≤0时，不符合题意；当t＞0时，2t＞t，结合函数f (x)的图象知，要使方程[f (x)]2－3tf (x)＋2t2＝0有三个不同的解，需满足方程f (x)＝t有两个解，方程f (x)＝2t有且只有一个解，由图象知所以≤t＜1．] 73 $