12 第二章 第12课时 抽象函数(进阶课)-【名师导航】2027年高考数学一轮总复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦抽象函数进阶专题，覆盖求值、单调性、奇偶性、周期性等核心考点，对接高考评价体系中逻辑推理与数学抽象素养的考查要求。通过梳理近五年真题，明确求值与性质分析占比达60%，归纳出选择、填空、解答三类常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+方法提炼+素养落地”，如以2024新高考Ⅰ卷抽象函数递推题为例，示范赋值法与函数性质法的综合应用，培养学生逻辑推理能力。特设易错提醒（如赋值法特殊值选取）和多维变迁训练，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此实现考点精准突破，提升复习效率。

第二章　函数 *第12课时　抽象函数(进阶课) [总体概览] 1．我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，解决抽象函数问题的两种常用方法分别是函数性质法和赋值法． 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 2．常见的抽象函数模型 (1)f (x±y)＝f (x)±f (y)可看作f (x)＝kx的抽象表达式． (2)f (xy)＝f (x)f (y)或f ＝(y≠0，且f (y)≠0)可看作幂函数f (x)＝xα的抽象表达式． (3)f (x＋y)＝f (x)f (y)或f (x－y)＝(f (y)≠0)可看作指数函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的抽象表达式． (4)f (xy)＝f (x)＋f (y)或f ＝f (x)－f (y)(y≠0)可看作对数函数f (x)＝logax(a>0，且a≠1)的抽象表达式． 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 类型一　抽象函数求值 [典例1]　(1)若函数f (x)满足对任意的实数a，b都有f (a＋b)＝f (a)f (b)，且f (1)＝2，则＋…＋＝(　　) A．2 024 B．2 026 C．1 012 D．1 013 √ 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) (2)(多选)(2025·昆明期中)对于任意的x∈R，函数f (x)满足f (x＋1)－f (x－1)＝f (2)＋4x－6，f (－2)＝6，则下列结论正确的是(　　) A．f (0)＝2 B．f (2)＝－6 C．f (2 025)－f (2 023)＝8 096 D．f (6)＝38 √ √ √ 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) (1)B　(2)ACD　[(1)由f (a＋b)＝f (a)f (b)，f (1)＝2，令b＝1，可得 f (a＋1)＝f (a)f (1)＝2f (a)，所以＋…＋＝＋…＋＝2×1 013＝2 026．故选B． (2)根据题意可知，函数f (x)满足f (x＋1)－f (x－1)＝f (2)＋4x－6， 令x＝1，得f (2)－f (0)＝f (2)＋4－6，解得f (0)＝2，故A正确； 令x＝－1，得f (0)－f (－2)＝f (2)－4－6， 即f (2)＋f (－2)＝f (0)＋10， 因为f (0)＝2，f (－2)＝6，所以f (2)＝6，故B错误； 因为f (2)＝6，则f (x＋1)－f (x－1)＝4x， 令x＝2 024，则f (2 025)－f (2 023)＝4×2 024＝8 096，故C正确； 又f (6)＝f (4)＋4×5＝f (4)＋20，f (4)＝f (2)＋4×3＝18， 则f (6)＝18＋20＝38，故D正确． 故选ACD．] 易错提醒：赋值法解答抽象函数的关键是选取适当的特殊值进行求解． 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 【教用·备选题】 1．(2025·赣州二模)已知函数f (x)是定义在R上且周期为2的奇函数，则f (－5)＝(　　) A．－5 B．0 C．2 D．5 √ 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) B　[根据题意，函数f (x)是定义在R上且周期为2的奇函数， 则f (－1)＝－f (1)且f (－1)＝f (－1＋2) ＝f (1)，必有f (－1)＝0， 则有f (－5)＝f (－5＋4)＝f (－1)＝0． 故选B．] 2．(2025·盐城期末)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足对任意的正数x，y，都有f (x)＋f (y)＝f (xy)，若f ＋f＝6，则f (2 025)＝(　　) A．12 B．6 C．－6 D．－12 √ 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) D　[因为对任意的正数x，y，都有f (x)＋f (y)＝f (xy)， 所以令x＝y＝1，可得f (1)＋f (1)＝f (1)，所以f (1)＝0； 再令y＝，可得f (x)＋f＝f (1)＝0， 所以f＝－f (x)， 所以f ＋f＝－f (9)－f (5)＝6， 所以f (9)＋f (5)＝－6， 因为对任意的正数x，y，都有f (x)＋f (y)＝f (xy)， 所以令y＝x，可得2f (x)＝f (x2)， 所以f (2 025)＝f (92×52)＝f (92)＋f (52)＝2f (9)＋2f (5)＝2[f (9)＋f (5)]＝－12． 故选D．] 类型二　抽象函数的性质 [典例2]　(2025·景德镇期末)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋y)＝，且当x＞0时，0＜f (x)＜1，则f (x)是(　　) A．奇函数，在(0，＋∞)上单调递增 B．奇函数，在(0，＋∞)上单调递减 C．偶函数，在(0，＋∞)上单调递增 D．偶函数，在(0，＋∞)上单调递减 √ 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) A　[根据题意，f (x)是定义在R上的函数，取x＝a，y＝0，且a＞0，则0＜f (a)＜1，f (a＋0)＝，即f (a)＝，f (a)[1＋ f (a)f (0)]＝f (a)＋f (0)，解得{[f (a)]2－1}·f (0)＝0，又0＜[f (a)]2＜1，[f (a)]2－1≠0，故f (0)＝0． 令y＝－x， 则f (0)＝＝0， 变形可得f (－x)＝－f (x)， 则函数f (x)为奇函数， 设x1，x2为任意实数，且0＜x1＜x2， 则有x2－x1＞0，故0＜f (x2－x1)＜1，则 f (x1)－f (x2)＝f (x1)－f (x2－x1＋x1) ＝f (x1)－ ＝， 因为x1＞0，所以0＜f (x1)＜1，而0＜f (x2－x1)＜1， 则＜0， 所以f (x1)－f (x2)＜0，则有f (x1)＜f (x2)， 故函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．故选A．] 通性通法：对抽象函数单调性、奇偶性的判断，除了适当赋值外，还要结合单调性、奇偶性的定义进行求解． 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) [多维变迁] (多选)已知函数f (x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，且f (x＋y)＝，f (1)＝1，则(　　) A．f (0)＝0 B．f (x)为偶函数 C．f (x)为周期函数，且4为f (x)的周期 D．f (2 027)＝－1 √ √ √ 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) ACD　[A中，令x＝y＝0，得f (0)＝0，故A正确； B中，令y＝－x，则f (0)＝＝0， 因此f (－x)＝－f (x)，又f (x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，关于原点对称， 所以f (x)为奇函数，故B错误； C中，令y＝1，则f (x＋1)＝＝＝－1＋， 所以f (x＋2)＝－1＋＝－，因此f (x＋4)＝－＝f (x)， 所以f (x)为周期函数，且周期为4，故C正确； D中，f (2 027)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，故D正确．故选ACD．] 【教用·备选题】 1．若定义在R上的函数f (x)满足对任意的x1，x2∈R，都有f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)，且当x>0时，f (x)<0，则(　　) A．f (x)是奇函数，且在R上是增函数 B．f (x)是奇函数，且在R上是减函数 C．f (x)是奇函数，但在R上不是单调函数 D．无法确定f (x)的单调性和奇偶性 √ 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) B　[令x1＝x2＝0，则f (0)＝2f (0)，所以f (0)＝0．令x1＝x，x2＝－x，则f (－x)＋f (x)＝f (x－x)＝f (0)＝0，所以f (－x)＝－f (x)，故函数f (x)是奇函数． 设x1<x2，则f (x2)－f (x1)＝f (x2)＋f (－x1)＝f (x2－x1)． 因为x2－x1>0，所以f (x2－x1)<0， 故f (x2)<f (x1)， 所以函数f (x)在R上是减函数．故选B．] 2．(2025·上海闵行区期末)若f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x)在(0，＋∞)上是严格增函数，f (1)＝0，则不等式(x－1)f (x)＜0的解集是 ____________． (－1，0)　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x)在(0，＋∞)上是严格增函数， 根据奇函数的性质可得，f (x)在(－∞，0)上单调递增，f (0)＝0， 因为f (1)＝0，所以f (－1)＝0， (－1，0) 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 又(x－1)f (x)＜0⇔或 由可得不等式组无解， 由得x∈(－1，0)． 综上可得x∈(－1，0)满足题意．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 一、单项选择题 1．(2026·十堰模拟)已知定义在R上的奇函数f (x)满足f ＝ f ，则f (7)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 √ 课时作业(十二)　抽象函数(进阶课) *第12课时　抽象函数(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 B　[因为定义在R上的奇函数f (x)满足f＝f ， 则f (1＋x)＝f (－x)＝－f (x)，且f (0)＝0， 所以f (2＋x)＝f (x)，故f (x)是周期为2的周期函数． 则f (7)＝f (1)＝f (0)＝0． 故选B．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 2．(2025·鞍山市立山区期末)若定义在R上的函数f (x)满足对任意x1，x2∈R，有f (x1·x2)＝x1f (x2)＋x2f (x1)，则下列说法一定正确的是 (　　) A．f (x)是奇函数 B．f (x)是偶函数 C．f (x－1)是奇函数 D．f (x)＋1是偶函数 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 A　[因为对任意x1，x2∈R，有f (x1·x2)＝x1f (x2)＋x2f (x1)， 所以f (0)＝0，f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0， 所以f (1)＝－f (－1)－f (－1)＝0， 所以f (－1)＝0， 所以f (－x)＝－f (x)＋xf (－1)＝－f (x)，所以f (x)为奇函数，所以A选项正确； 而其他选项不一定成立，故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 3．定义在R上的偶函数f (x)满足f (1－x)＝f (1＋x)，且在[－1，0]上单调递增．设a＝f (3)，b＝f ()，c＝f (2)，则实数a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a √ 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 D　[因为函数f (x)满足f (1－x)＝f (1＋x)，所以函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，故a＝f (3)＝f (－1)，b＝f ()＝f (2－)，c＝f (2)＝f (0)． 又函数f (x)是偶函数，且在[－1，0]上单调递增，所以a＝f (1)，且函数f (x)在[0，1]上单调递减．又0<2－<1，所以f (0)>f (2－)> f (1)，即c>b>a．故选D．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 4．(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (x)>f (x－1)＋ f (x－2)，且当x<3时，f (x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　) A．f (10)>100 B．f (20)>1 000 C．f (10)<1 000 D．f (20)<10 000 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 B　[因为当x<3时，f (x)＝x， 所以f (1)＝1，f (2)＝2． 又f (x)>f (x－1)＋f (x－2)， 则f (3)>f (2)＋f (1)＝3， f (4)>f (3)＋f (2)>5， f (5)>f (4)＋f (3)>8， f (6)>f (5)＋f (4)>13， f (7)>f (6)＋f (5)>21， f (8)>f (7)＋f (6)>34， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 f (9)>f (8)＋f (7)>55， f (10)>f (9)＋f (8)>89， f (11)>f (10)＋f (9)>144， f (12)>f (11)＋f (10)>233， f (13)>f (12)＋f (11)>377， f (14)>f (13)＋f (12)>610， f (15)>f (14)＋f (13)>987， f (16)>f (15)＋f (14)>1 597>1 000，则可知f (20)>1 000，则B正确；且无证据表明ACD一定正确．故选B．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 二、多项选择题 5．(2025·丽江期末)已知函数f (x)满足对任意的x，y∈R，f (x＋y)－f (x＋y)f (x)f (y)＝f (x)＋f (y)恒成立，则下列结论正确的是(　　) A．f (0)＝0　 B．f (x)为奇函数　 C．若f (4)＝－，则f (2)＝2 D．若f (100)＝0，则100是f (x)的一个周期 √ √ 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 ABD　[A选项，令x＝y＝0，则f (0)－[f (0)]3＝2f (0)，∴f (0){[f (0)]2＋1}＝0， 故f (0)＝0，故A正确； B选项，令y＝－x，则f (0)－f (0)f (x)f (－x)＝f (x)＋f (－x)＝0， ∴f (－x)＝－f (x)，又函数f (x)的定义域为R， ∴f (x)为奇函数，故B正确； C选项，令x＝y＝2， 则f (4)－f (4)[f (2)]2＝2f (2)， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 ∵f (4)＝－，∴[f (2)－2][2f (2)＋1]＝0， 解得f (2)＝2或f (2)＝－，故C错误； D选项，若f (100)＝0，令y＝100，得f (x＋100)＝f (x)， ∴100是f (x)的一个周期，故D正确． 故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 6．若定义域为R的函数f (x)满足f (x＋1)为奇函数，且对任意x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，都有＞0，则下列结论正确的是 (　　) A．f (x)的图象关于点(－1，0)对称 B．f (x)是R上的增函数 C．f (x)＋f (2－x)＝2 D．关于x的不等式f (x)＜0的解集为(－∞，1) √ √ 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 BD　[由定义域为R的函数f (x)满足f (x＋1)为奇函数，得f (－x＋1)＝－f (x＋1)，因此函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，由对任意x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，都有＞0，得f (x)在[1，＋∞)上单调递增，由函数的对称性知，f (x)在(－∞，1]上单调递增，又f (1)＝0，因此f (x)是R上的增函数，B正确； 显然f (－1)＜f (1)＝0，则f (x)的图象不关于点(－1，0)对称，A错误； 由f (x)的图象关于点(1，0)对称，得f (x)＋f (2－x)＝0，C错误； 显然f (1)＝0，又f (x)在R上单调递增，则由f (x)＜0，得x＜1，D正确．故选BD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 三、填空题 7．(2025·萍乡三模)已知定义在R上的函数f (x)满足对任意实数x，y均有f (xy)＝yf (x)，且2f (2)＝f (1)＋6，则f (2 027)＝________． 4 054 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 4 054　[因为定义在R上的函数f (x)满足对任意实数x，y均有f (xy)＝yf (x)，用x替换y，y替换x，可得f (xy)＝yf (x)＝xf (y)， 所以当x≠0，y≠0时，可知是常函数， 于是当x≠0时，可设f (x)＝cx，其中c为常数， 又2f (2)＝f (1)＋6． 所以4c＝c＋6，解得c＝2， 所以f (2 027)＝2×2 027＝4 054．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 8．(2025·沈阳月考)若定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x)同时满足：①f (x)为奇函数；②f (1)＝0；③对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有＜0，则不等式xf (x＋1)＜0的解集为________________________________． (－∞，－2)∪(－1，0)∪(0，＋∞) 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 (－∞，－2)∪(－1，0)∪(0，＋∞)　[因为对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有＜0， 令g(x)＝xf (x)， 所以＜0， 则g(x)＝xf (x)在(0，＋∞)上单调递减， 又f (x)为奇函数及f (1)＝0， 所以g(－x)＝－xf (－x)＝xf (x)＝g(x)， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 则g(x)为偶函数，且g(1)＝g(－1)＝0，故g(x)在(－∞，0)上单调递增， 所以g(x＋1)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减． 又x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 则由xf (x＋1)＜0可得x＞0，f (x＋1)＜0或x＜0，f (x＋1)＞0， 当x＞0时，f (x＋1)＜0⇒＜0，得g(x＋1)＜0，解得x＜－2或x＞0，故x＞0； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 当x＜0时，f (x＋1)＞0⇒＞0， 即(x＋1)g(x＋1)＞0， 得或 解得x＜－2或－1＜x＜0． 综上，不等式xf (x＋1)＜0的解集为(－∞，－2)∪(－1，0)∪(0， ＋∞)．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 四、解答题 9．(2025·保定期末)已知函数f (x)在R上满足f (x＋y)＝f (x)f (y)＋f (0)－1，且当x＞0时，0＜f (x)＜1；当x＜0时，f (x)＞1． (1)求f (0)的值； (2)判断并证明函数f (x)的单调性； (3)若f (1)＝，求不等式f (x－x2)＞4的解集． 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 [解]　(1)根据题意，函数f (x)在R上满足f (x＋y)＝f (x)f (y)＋f (0)－1， 令x＝y＝0，则f (0＋0)＝f (0)f (0)＋f (0)－1，故[f (0)]2＝1，可得f (0)＝±1， 令y＝0，则f (x)＝f (x)f (0)＋f (0)－1， 当f (0)＝－1时，则f (x)＝－f (x)－2， 即f (x)＝－1，不符合题意，舍去， 故f (0)＝1． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 (2)f (x)在R上单调递增， 证明：由(1)的结论，f (0)＝1， 则f (x＋y)＝f (x)f (y)， 由f (x1)＝f (x1－x2＋x2)＝f (x1－x2)f (x2)， 又当x＞0时，0＜f (x)＜1；当x＜0时，f (x)＞1， 分2种情况讨论： 当x1＞x2＞0时，即0＜f (x1－x2)＜1，0＜f (x1)＜1，0＜f (x2)＜1， 所以f (x1)＝f (x1－x2)f (x2)＜f (x2)，即f (x1)－f (x2)＜0，故f (x)在(0，＋∞)上单调递减； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 当0＞x1＞x2时，则0＜f (x1－x2)＜1，f (x1)＞1，f (x2)＞1， 所以f (x1)＝f (x1－x2)f (x2)＜f (x2)，即f (x1)－f (x2)＜0，故f (x)在(－∞，0)上单调递减， 综上，f (x)在R上单调递减． (3)根据题意，f (x＋y)＝f (x)f (y)且f (0)＝1， 令y＝－x，则f (x)＝，故f (1)＝＝，即f (－1)＝2， 所以f (－2)＝f (－1)f (－1)＝4，则f (x－x2)＞f (－2)， 由(2)知，x－x2＜－2，即x2－x－2＞0，可得x＜－1或x＞2， 所以所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 一、单项选择题 1．已知函数y＝f (x)表示为 x [－2，0) 0 (0，2] y 1 0 －2 设f (1)＝m，f (x)的值域为M，则(　　) A．m＝－2，M＝{－2，0，1} B．m＝－2，M＝{y|－2≤y≤1} C．m＝1，M＝{－2，0，1} D．m＝1，M＝{y|－2≤y≤1} 阶段检测(二)　第7～12课时 *第12课时　抽象函数(进阶课) 49 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 A　[由函数关系知f (1)＝－2，即m＝－2， 函数的值域为{1，0，－2}， 故选A．] 50 √ 2．(2025·玉溪期末)已知函数f (x)＝是减函数，那么实数a的取值范围是(　　) A．(0，3) B．[2，3) C．(0，2] D．(0，3] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 51 B　[根据题意，函数f (x) ＝是减函数， 则解得2≤a＜3，即实数a的取值范围为[2，3)．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 52 √ 3．(2021·全国甲卷)设f (x)是定义域为R的奇函数，且f (1＋x)＝f (－x)． 若f＝，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 53 C　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (－x)＝－f (x)．又f (1＋x)＝f (－x)，所以f (2＋x)＝f (1＋(1＋x))＝f (－(1＋x))＝－f (1＋x)＝ －f (－x)＝f (x)，所以函数f (x)是以2为周期的周期函数，f ＝f＝f＝故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 54 √ 4．(2025·湛江月考)若函数f (x)对任意x∈R都有f (x＋3)＝－，且当x∈[2，3]时，f (x)＝－4x，则f (2 030)＝(　　) A．－8 B．8 C．－12 D．12 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 55 A　[根据题意，函数f (x)对任意x∈R都有f (x＋3)＝－， 则f (x＋6)＝－＝f (x)，所以f (x)的周期为6， 当x∈[2，3]时，f (x)＝－4x，则f (2)＝－8， 故f (2 030)＝f (338×6＋2)＝f (2)＝－8． 故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 56 √ 5．(2021·全国乙卷)设函数f (x)＝，则下列函数中为奇函数的是 (　　) A．f (x－1)－1 B．f (x－1)＋1 C．f (x＋1)－1 D．f (x＋1)＋1 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 57 B　[法一：因为f (x)＝，所以f (x－1)＝＝，f (x＋1)＝＝ 对于A，令F(x)＝f (x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)； 对于B，令G(x)＝f (x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 58 对于C，f (x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称； 对于D，f (x＋1)＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称． 故选B． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 59 法二：f (x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f (x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f (x－1)＋1．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 60 √ 6．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋2)为偶函数，f (2x＋1)为奇函数，则(　　) A．f＝0 B．f (－1)＝0 C．f (2)＝0 D．f (4)＝0 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 61 B　[法一：因为函数f (x＋2)是偶函数，所以f (x＋2)＝f (－x＋2)，则函数f (x)的图象关于直线x＝2对称．因为函数f (2x＋1)是奇函数，所以f (－2x＋1)＝－f (2x＋1)，则f (1)＝0，且函数f (x)的图象关于点(1，0)对称．f (x)＝f (4－x)＝－f (2－(4－x))＝－f (x－2)，f (x＋2)＝ －f (x)，则f (x＋4)＝－f (x＋2)＝－[－f (x)]＝f (x)，所以函数f (x)是以4为周期的周期函数，所以f (5)＝f (1＋4)＝f (1)＝0，又函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，所以f (5)＝f (－1)＝0．故选B． 法二：构造一个符合条件的函数f (x)＝cos x，可以验证只有f (－1)＝0．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 62 √ 二、多项选择题 7．(2025·淄博市张店区月考)已知函数f (＋1)＝x＋2，则 (　　) A．f (x)＝x2－1(x∈R) B．f (x)的最小值为0 C．f (2x－3)的定义域为[2，＋∞) D．f的值域为[－1，＋∞) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 63 BC　[A项，f (＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1，＋1≥1， 将左右两边的＋1换成x，可得f (x)＝x2－1(x≥1)，故A错误； B项，当x≥1时，f (x)＝x2－1≥0，∴f (x)的最小值为0，故B正确； C项，函数f (2x－3)中，需满足2x－3≥1，即x≥2， ∴函数f (2x－3)的定义域为[2，＋∞)，故C正确； D项，f＝－1，由≥1，即0＜x≤1， ∴∈[1，＋∞)，∴f 的值域为[0，＋∞)，故D错误． 故选BC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 64 √ 8．(2026·太原模拟)已知f (x)是定义在R上的非常数函数，当x＞2时，0＜f (x)＜1，对任意的x，y∈R，都有f (x)f (y)＝f (x＋y－2)，若f (0)＝2，则(　　) A．f (2)＝0 B．f (4)＝ C．f (x)在R上单调递减 D．不等式f (x2＋3x＋4)＜的解集为(－∞，－5)∪(2，＋∞) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 65 BC　[对于A，对任意的x，y∈R，都有f (x)·f (y)＝f (x＋y－2)， 令y＝2，有f (x)f (2)＝f (x)，而f (x)是非常数函数，则有f (2)＝1，故A错误； 对于B，令y＝4－x，有x＋y－2＝2， 则有f (4－x)f (x)＝f (2)＝1， 令x＝0，则有f (4)f (0)＝1，变形可得f (4)＝＝，故B正确； 对于C，由B的结论，f (4－x)f (x)＝1， 当x＜2时，4－x＞2，则有0＜f (4－x)＜1， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 66 同理，当x＜2时，f (x)＝＞1， 故对任意的x∈R，f (x)＞0恒成立， ∀x1＞x2，则＝f (x1－x2＋2)＜1， 即f (x1)＜f (x2)， 故f (x)在R上单调递减，故C正确； 对于D，令x＝y＝0，得f (－2)＝f (0)f (0)＝4， 令x＝－2，y＝0，得f (－4)＝f (－2)f (0)＝8， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 67 再由f (4－x)f (x)＝1可知f (8)＝＝， 又由f (x)在R上单调递减，则不等式f (x2＋3x＋4)＜等价于x2＋3x＋4＞8， 解得x＜－4或x＞1，即不等式的解集为(－∞，－4)∪(1，＋∞)，故D错误． 故选BC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 68 三、填空题 9．(2025·长沙市开福区期末)若f (x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f (x)＝2x，则f (0)＋f (－2)＝________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 －4 －4　[根据题意，f (x)是定义在R上的奇函数，则f (0)＝0， 又由当x＞0时，f (x)＝2x，则f (2)＝22＝4， 则f (－2)＝－f (2)＝－4， 故f (0)＋f (－2)＝－4．] 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 69 10．(2025·赣州月考)定义在R上的函数f (x)满足f (3－x)＝f (3＋x)，且对任意的x1，x2∈[3，＋∞)(x1≠x2)，都有＞0，若f (m－1)＜f (2)，则实数m的取值范围是________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (3，5) 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 70 (3，5)　[因为定义在R上的函数f (x)满足f (3－x)＝f (3＋x)， 且对任意的x1，x2∈[3，＋∞)(x1≠x2)，都有＞0， 所以函数f (x)的图象关于直线x＝3对称，f (x)在[3，＋∞)上单调递增， 若f (m－1)＜f (2)，则|m－1－3|＜|2－3|， 解得3＜m＜5， 即实数m的取值范围是(3，5)．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 71 四、解答题 11．(人教A版必修第一册P101复习参考题3T12)试讨论函数y＝x－的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　定义域为{x|x≠0}，值域为R． ∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2， 则y1－y2＝x1－ ＝ 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 72 ∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2， ∴x1x2>0，x1－x2<0，x1x2＋1>0， ∴y1－y2<0，即y1<y2． ∴y＝x－在(－∞，0)上单调递增． ∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则y1－y2＝ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 73 ∵x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， ∴x1x2>0，x1x2＋1>0，x1－x2<0． ∴y1－y2<0，即y1<y2． ∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增． 设f (x)＝y＝x－， ∵f (－x)＝－x－＝－＝－f (x)， ∴f (x)＝y＝x－是奇函数． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 74 y＝x－的图象如图． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 75 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．(人教A版必修第一册P87习题3.2 T13)我们知道，函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数． (1)求函数f (x)＝x3－3x2图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f (x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为偶函数”的一个推广结论． 课时作业 阶段检测 *第12课时　抽象函数(进阶课) 76 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　(1)∵f (x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3(x－1)－2，∴y＝f (x＋1)＋2＝x3－3x． 设g(x)＝x3－3x，则g(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－g(x)． ∴g(x)为奇函数． ∴f (x)＝x3－3x2的图象关于点(1，－2)对称． 即f (x)＝x3－3x2的图象的对称中心是点(1，－2)． (2)函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)为偶函数． 77 $