5.4 概率的应用——概率帮你做估计（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦“用频率估计概率”及摸球估算、标记重捕法模型，通过“不倒出球估计数量”问题引入，结合摸球实验（50次记录频数频率）引导学生理解频率与概率关系，搭建从实验到理论再到应用的学习支架。 其亮点是以数学实验为核心，让学生动手操作观察频率稳定，培养用数学眼光观察现实世界，通过例题建立分式方程（如设红球x个列5/(x+5)=40/400）发展数学思维，用标记重捕法公式M/N≈a/m表达数量关系提升数学语言能力。如估算鱼塘鱼苗用500/N=1/12，助学生提升探究与应用能力，为教师提供清晰教学流程与实例。

5.4 概率的应用——概率帮你做估计 第五章 等可能条件下的概率 学 习 目 标 1 2 理解用频率估计概率的原理：当试验次数足够大时，可以用事件发生的频率近似作为该事件发生概率． 掌握两类实际模型：①摸球估算未知球数量；②标记重捕法（捉—放—捉）估算总体数量． 3 可以建立简单分式方程，利用概率列出等量关系求解未知量． 问题引入 　如果不把袋子里所有球全部倒出来，你有什么办法估计袋中白球和红球的数量？ 数学实验 一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，这些球除颜色外都相同．做摸球实验： 　 （1）两人一组，一人从袋子中任意摸出 1 个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，连续做50 次这样的实验； 　 （2）整理数据，并填表： 球的颜色 白色 红色 频数 频率 数学实验 根据试验的结果，你能估计袋子中白球数与红球数的比吗？ 假设某人摸球 400 次，摸到白球 40 次，且已知袋子中有白球 5 个，你能估计袋子中红球的个数吗？ 解：设袋子中有红球 x 个，则袋子中共有球（x＋5）个． 　　∵ P（摸到白球）＝， ∴ ＝，得 x＝45． 答：估计袋子中有红球 45 个． 新知归纳 用频率估计概率： (1) 通过试验可以得到频率，当试验次数足够多时，频率稳定在概率附近，由频率近似表示概率，进而利用概率进行估计； (2)由P(A)＝，通过关系式的运用推算结果． 例题讲解 例1 一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，这些球除颜色外都 相同．某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个 球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数n 200 300 400 1 000 1 600 2 000 摸到白球的频数m 116 192 232 590 968 1 202 摸到白球的频率 (1) 填写表中的空格． 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 例题讲解 (2) 当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是多少？ (3) 如果已知袋子中有白球24个，试估计袋子中红球的个数． 解：(2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是0.60； (3)设袋中有红球x个，则袋中共有球(x＋24)个． ∵ P（摸到白球）＝， 　　　 ∴ 由＝0.60， 　　　 得 x＝16． 　　　 答：估计袋中有红球16个． 新知归纳 用频率估计概率的一般步骤是什么？ ① 求频率(试验结果)：计算试验中事件发生的频率； ② 估概率(理论值)：用频率近似代替概率 ； ③ 列方程：建立比例等式求解 ； ④ 验作答：检验合理性并规范书写答案． 新知探究 　　某人在一个新建的鱼塘中投放了一大批鱼苗，经过一段时间的养殖后，他想知道现在鱼塘中成活的鱼苗有多少，他应该如何估计呢？ 类比“数学实验室”中的模球实验，可以把做了标记并放回鱼塘的鱼看成“白球”. 新知探究 解：设鱼塘中存活的鱼苗有 N 条．先从鱼塘中捕捞 500 条鱼，做上 记号后放回鱼塘，待混合均匀后再捕捞一次． 如果算得捕到带有记号的鱼的频率是 ，因为捕到带有标记的 鱼的概率为 ，用频率估计概率，由 ＝，得 N＝6 000． 这样，我们可以估计该鱼塘中存活的鱼苗有 6 000条． 新知归纳 　　标记重捕法估算总体 　　第一次捕捉标记总数 M 只，放回；重捕得到样本里面，平均 m 条有里面 a 条带标记，总数量 N 　　 ≈ 　　在科学研究中，生物学家常常用上述方法估计某个种群的数量． 例如某山区某种鸟的数量，等等． 例题讲解 例2 生物学家估计某一地区的某种鸟的只数时，常采用“捉放捉”的方法，即先 捕捉该种鸟 n 只，分别给它们做上记号，然后放归；一段时间后，重新捕捉 一些该种鸟作为样本．如果多次这样捕捉到的该种鸟中平均每 m 只有 a 只带 有记号，试估计该地区该种鸟的只数（用含 m，n，a 的代数式表示）． 解：设该地区该种鸟的只数为 x 只． 根据题意，得 ＝， 解得 x＝， 答：该地区该种鸟的只数为只． 新知巩固 1．一只不透明的袋子中装有红球、黄球和蓝球共360个，这些球除颜色外都相同． 　 小明每次从中任意摸出1个球，记下颜色后将球放回并搅匀，通过多次重复试 验，算得摸到红球、黄球和蓝球的频率分别是25%、35%和40%．试估计这只 袋子中3种颜色的球的数量． 解：红球数量：360×25%＝90（个）， 黄球数量：360×35%＝126（个）， 蓝球数量：360×40%＝144（个）， 答：这只袋子中红球 90 个、黄球 126 个、蓝球 144 个． 新知巩固 2．为估计鱼塘中鱼的数量，先从鱼塘中捕捞 30 条鱼做上标记，然后放回鱼塘． 经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从中多次捕捞，并算得 平均每 200 条鱼中带有标记的鱼有 5 条．试估计该鱼塘中鱼的数量． 解：设该鱼塘中鱼的数量为 x 条． 根据题意，得 ＝， 解得 x＝1 200， 经检验，x＝1 200 是原方程的解． 答：该鱼塘中鱼的数量为 1 200 条． 课堂小结 5.4 概率的应用——概率帮你做估计 基本原理：试验次数足够多，频率(试验结果)≈概率(理论值) 基本模型：模型一 摸球估算： ≈试验频率； 模型二 标记重捕法（捉—放—捉）： ≈． 解题步骤：求频率→估概率→列方程→验作答． 感谢聆听！ $