第1章 推理与证明 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年八年级上册数学提优训练（青岛版·新教材）

第1章 推理与证明 知识梳理导图 能够说明一个概念含义的 三角 语句叫作这个概念的定义 定义 定 定理三角形的内角和等于180° 形内 对某件事情作出判断的语句。概念 义 角和 三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和 “如果…，那么” 与 形式 定理 命 及推 推论 三角形的一个外角大于与它 真命题：当条件成立时， 命题 题 论 不相邻的任意一个内角 结论一定成立的命题 假命题：条件成立时， 分类 直角三角形的两个锐角互余 结论不一定成立的命题 直角三 有两个角互余的三角形 满足命题条件，而结论却 角形 是直角三角形 与命题结论不同的例子 。反例 推理与 从定义、基本事实及已知条件出 证明 发，通过逻辑推理的方法证实命 性质定理、判定定理 题的过程 概念 两个命题的条件 根据题意画图 证 平行线的性 互逆命题和结论相反 写已知、求证 质定理和判 步骤 明 如果一个定理的逆 定定理 命题也是真命题， 写出证明 那么这个逆命题叫 经过推理证实的真命题 定理 逆定理作原定理的逆定理 重难疑点解法 分上分点1定义与命题 分上分点2平行线的性质与判定 例1(2026·山西太原阳曲期末)下列命题中，是 例2(2025·辽宁沈阳康平期末)如图，点E在BC 真命题的是( 的延长线上，对于给出的四个条件： A,在同一年内，如果5月4日是星期一，那么 ①∠1=∠3；②∠2+∠5=180°； 5月11日也是星期一 ③∠4=∠B;④∠D+∠BCD=180°. B.两个锐角之和一定是钝角 其中能判断AD∥BC的是( C知米-3写，那么红=4 D.如果x2>0,那么x>0 名师启发推理判断命题真假即可， 5 个关键提醒 B 3 举出一个反例（具备命题的条件但不满足命题 C 的结论)即可说明命题为假若举不出恰当的反例， A.①② B.①④ 往往不能直接认定命题为真，以免出现以偏概全的 C.①③ D.②④ 错误.一般地，举出反例的方法仅用来判断命题为 名师启发 依据平行线的判定方法即可得出 假命题 结论 1 实验班提优训练数学八年级上QD 归纳总烤 则∠F与∠H相等吗？请说明理由. 本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判 定方法是解决问题的关键.同位角相等，两直线平 行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直 线平行. 例3如图，现有以下三个条件：①AB∥CD; 名师启发(1)根据∠BDA+∠CEG=180°， ∠DEF+∠CEG=180°，可得∠BDA=∠DEF,根据同 ②∠B=∠C;③∠E=∠F.请你以其中两个作为题 位角相等，两直线平行可判定AD/EF; 设，另一个作为结论构造命题 (2)根据∠EDH=∠C,可得DH∥AC,继而得 (1)你构造的是哪几个命题？ 到∠H=∠AGF,由(1)AD∥EF可得∠DAG= (2)你构造的命题是真命题还是假命题？若是真 ∠AGF,∠BAD=∠F,再由角平分线的定义即可证 命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例.（判断其 明∠F=∠H, 中的一个命题即可) 名师启发(1)根据命题的概念分别写出3个 命题； (2)根据平行线的判定和性质即可判断. 个关键提醒 本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的 定义，熟练掌握并应用平行线的判定与性质是解答 本题的关键， 上分点3三角形内角和定理 关键提醒 例5如图，小明从一张三角形纸片ABC的边 本题考查了命题的真假判断、平行线的判定和 AC上选取一点N,将纸片沿着BN对折一次使得 性质，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的 点A落在A'处后，再将纸片沿着BA'对折一次，使得 关键.证明过程中注意要逻辑清晰，不能臆造条件， 点C落在BN上的C'处.已知∠CMB=68°，∠A= 例4如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交 18°，则原三角形的∠C的度数为( BC于点D,点F在BA的延长线上，点E在线段CD 上，EF与AC相交于点G,且∠BDA+∠CEG= 180°. (1)求证：ADEF. (2)若点H在FE的延长线上，且∠EDH=∠C, A.87° B.84°C.75° D.72 2 第1章 名师启发已知∠CMB=68°，想要求∠C的度 归纳总结 数，需求∠CBM的度数.由折叠得到角的相等关系， 本题主要考查折叠的性质以及三角形内角和 根据三角形内角和定理列出关于∠CBM的等式，得 定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关健. ∠CBM=25°，即可求解， 易错易混辨析 对于没有图形的题目考虑不全 易错点■ 巩固特训 而漏解 1.等腰三角形的一条边长为6，另一边长为14，则它的 例在同-个平面内，∠A比∠B的2倍少15， 周长为(). 并且∠A的两边分别与∠B的两边平行，则∠A的度 A.26 B.26或34 数为 解析设∠B=x,则∠A=2x一15°. C.34 D.20 ∠A的两边分别与∠B的两边平行， 2.已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形 .x=2x-15或x+2x-15°=180°， 的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三 解得x=15°或x=65°， 角形的腰长为( .∴∠A=2x-15°=2×15°-15°=15°或∠A= A.6cm B.10cm 2x-15°=2×65°-15°=115°. C.6cm或10cm D.11cm 答案15或115 3.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°， 辨析归纳------ ∠CAD=20°，则∠BAC的度数是多少？ 在研究无图的几何题目时，一般需要考虑到图 形的基本要素，结合题意画出所有可能情况的示意 图，才能给出全面的解答.本题利用平行线的性质 解答，两边分别平行的两个角有两种情况：相等或 互补 素养考向提分 新情境 建立方程即可求解。 例①为了提醒司机不要疲劳驾驶，高速公路上安 设旋转时间为t秒时，PAQB, 装了如图(1)所示的激光灯，图(2)是激光位于初始位置 由题意，得60°+3°×t+60°+2×t=180°， 时的平面示意图，其中P,Q是直线MN上的两个发射 即5°Xt=60°，解得t=12. 点，∠APQ=∠BQP=60°，现激光PA绕点P以每秒 答案12 3度的速度逆时针旋转，同时激光QB绕点Q以每秒 守方法技巧 2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒(O≤t≤ 解情境类题目时，根据题意抽象出合适的数学 40),当PA/QB时，t的值为 模型非常关键 举反白 1.(2026·江西吉安期末改编)市政府为了方便市民绿色 (1) (2) 出行，推出了共享单车服务.如图(1)是某品牌共 解析 根据当PA/QB时，∠APQ+∠BQP=180° 享单车放在水平地面上的实物图，图(2)是其示意 3 实验班提优训练数学八年级上QD 图，其中AB,CD都与地面l平行，∠BCD=60°， 解析(1)根据内错角相等，两直线平行即可 ∠BAC=54°.当∠MAC等于多少度时，AM与CB 得证； 平行？ (2)根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜 面的夹角相等以及垂直的定义即可得证； (3)分三种情况讨论：①AB与CD在EF的两侧 时，②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，③CD旋 转到与AB都在EF的左侧时. (2) 答案(1)平行.理由如下： (第1题) 如图(1)..∠1=∠2，.∠5=∠6. ∠3=∠4，∴.∠3+∠5=∠4+∠6，∴.ab. (1) (2) (2)如图(2). 跨学科 ,人射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的 例2(1)光线从空气中斜射入水中会产生折射 夹角相等，.∠1=∠2. 现象，同时光线从水中斜射入空气中也会产生折射现 ,入射光线a与水平线OC的夹角为40°，反射 象，如图(1)，光线a从空气中斜射入水中，再从水中 光线b垂直照射到井底， 斜射入空气中，形成光线b,根据光学知识有∠1= ∴.∠1+∠2=180°-40°-90°=50°， ∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并 ∴∠1=2×50=25， 说明理由. (2)光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知 ∴.∠MOC=25°+40°=65°，即MN与水平线的 识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角 夹角∠MOC为65时，可使反射光线b正好垂直照射 相等，如图(2)有一口井，已知入射光线a与水平线 到井底 OC的夹角为40°，问如何放置平面镜MN,可使反射 (3)①如图(3)，当AB与CD在EF的两侧时. 光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线 由题意，得∠ACD=180°-65°-(3t)°=115° 的夹角∠MOC) (3t)°，∠BAC=105°-t°. (3)如图(3)，直线EF上有两点A,C,分别引两 要使ABCD,则∠ACD=∠BAC, 条射线AB,CD.∠BAF=105°，∠DCF=65°，射线AB, 即115-3t=105-t,解得t=5. CD分别绕点A,C以1度/秒和3度/秒的速度同时 顺时针转动，设转动时间为t秒，在射线CD转动一 (180°-65)÷3°=115 3 周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？ 115 若存在，求出所有满足条件的转动时间. 01<3t=5符合题意 M B A C B F (1) (2) 3 (3) (4) (5) 第1章 ②如图(4)，当CD旋转到与AB都在EF的右侧 时.由题意，得∠DCF=360°-(3t)°-65°=295° ∠1=∠2，∠3=∠4（已知）， (3t)°，∠BAC=105°-t°. .∠1=∠2=∠3=∠4， 要使ABCD,则∠DCF=∠BAC, .180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4， 即295-3t=105-t,解得t=95. 即 (360°-65)÷3°=29 ..EF//GH( 3, [尝试探究](2)如图(2)，改变两平面镜AB,CD的位 5袋=95行合题意 置，若镜子AB与CD的夹角∠ABC=a,∠1= ③如图(5)，当CD旋转到与AB都在EF的左侧 ∠2，∠3=∠4，经过两次反射后，仍可以使入射光 时.由题意，得∠DCF=(3t)°-(180°-65°+180°)= 线EF与反射光线GH平行但方向相反，求a的 (3t)°-295°，∠BAC=t°-105°. 度数 要使ABCD,则∠DCF=∠BAC, [拓展应用](3)有两块平面镜AB,BC,∠ABC= 即3t-295=t-105,解得t=95. a,入射光线EF经过两次反射，得到反射光线 360°÷3°=120， GH,如图(3)，光线EF与GH相交于点O,请直 接写出∠FOG的度数（结果用含a的式子表示. <t<120,∴.t=95不符合题意 综上所述，t为5或95时，CD与AB平行 B(D)Sa 问点拨 本题考查了平行线的判定与性质、光学原 理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定与性质 D 是解题的关键，第(3)问要注意分情况讨论 (1) (2) 释反的 0 2.生活中常见的探照灯、汽车大 E 灯等灯具都是凹面镜.如图， (3) 从光源点P照射到凹面镜上 (第3题) 的光线PA,PB反射后沿着与 (第2题) 直线PF平行的方向射出，若∠CAP=36°，∠DBP= 58°，则∠APB= 3.在物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和 法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分 新考法 别位于法线两侧；入射角等于反射角.这就是光的 例3已知直线AB∥CD,点P,Q分别在直线 反射定律。 AB,CD上 [问题解决](1)利用这个定律人们制作了潜望镜， (1)如图(1)，当点E在直线AB,CD之间时，连 图(1)是潜望镜工作原理示意图，AB,CD是平行 接PE,QE.探究∠PEQ与∠BPE+∠DQE之间的 放置的两面平面镜.已知光线经过平面镜反射时， 数量关系，并说明理由。 有∠1=∠2，∠3=∠4，请解释进入潜望镜的光线 (2)如图(2)，在(1)的条件下，PF平分∠BPE,QF EF为什么和离开潜望镜的光线GH是平行的？ 平分∠DQE,交点为F.求∠PFQ与∠BPE+∠DQE (请把证明过程补充完整) 之间的数量关系，并说明理由， 理由：ABCD(已知)， (3)如图(3)，当点E在直线AB,CD的下方时， 54 实验班提优训练数学八年级上QD 连接PE,QE.PF平分∠BPE,QH平分∠CQE, QH的反向延长线交PF于点F.若∠E=40°，求∠F 由(1)，得∠F=∠BPF+∠FQD=2∠BPE+ 的度数 2∠CQE-2∠BPE+22°-∠BPE)=10. o点拨 本题考查了平行线的性质和角平分线的 定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键， (1) (2) (3) 释反月 解析(1)根据平行线的性质即可求解； 4.[概念认识] (2)根据(1)中结论和角平分线的定义即可求解； 如图(1)，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE= (3)根据平行线的性质可得∠CQE=220°- ∠EBC,则BD,BE叫作∠ABC的“三分线”.其 ∠BPE,再由(1)中结论和角平分线的定义得出 中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”. ∠F=110°. 答案(1)∠PEQ=∠BPE+∠DQE.理由如下： 如图(1)，过点E作EM∥AB, ∴.∠BPE=∠PEM. .AB/CD,.EM/CD,∴.∠DQE=∠QEM, (1) (2) (3) ∴.∠PEQ=∠PEM+∠QEM=∠BPE+ (第4题) ∠DQE. [问题解决] (1)如图(2)，在△ABC中，∠A=80°，∠B=45°，若 ∠B的“三分线”BD交AC于点D,求∠BDC的 度数； (2)如图(3)，在△ABC中，BP,CP分别是∠ABC 1) (2) 的“邻BC三分线”和∠ACB的“邻BC三分线”， (2)∠PFQ=2(∠BPE+∠DQE).理由如下： 且∠BPC=140°，求∠A的度数； [延伸推广] .PF平分∠BPE,QF平分∠DQE (3)已知∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的“三 ∴∠BPF-∠BPE,∠DQF-i∠DQE. 分线”所在的直线与∠ACD的“三分线”所在的直 由(I)可知∠PEQ=∠BPE+∠DQE, 线交于点P.若∠A=m°(m>54),∠B=54°，直 同理可得∠PFQ=∠BPF+∠DQF, 接写出∠BPC的度数.（用含m的代数式表示） ∴∠PpQ=2∠BPE+专∠DQs=号（☑BPE+ ∠DQE): (3)如图(2)，过点E作EN∥AB, ∴∠PEN=∠BPE. .AB/CD,ABEN,∴.CD∥EN, ∴.∠CQE=180°-∠NEQ=180°-（∠PEN- ∠PEQ)=180°-∠BPE+40°=220°-∠BPE. PF平分∠BPE,QH平分∠CQE, ∴∠BmF-∠BPE,∠COH-3∠CQE 6答亲6D详解 第1章推理与证明 .∠3+∠C=180°-∠CMB= 例1A[解析]A..5月4日到5月11日间隔为 180°-68°=112°. 7天，一周有7天，.经过1个完整星期后，星期数不 :∠A+∠ABC+∠C=180°， 变，故选项符合题意； .18°+2∠3+（∠3+∠C)=180°， B.若两个锐角分别为20°和30°，和为50°，仍为锐角， .18°+2∠3+112°=180°， 故选项不符合题意； .∠3=25°， ∴.∠C=112°-∠3=112°-25°=87°. C解方程23号。 3, 故选A, 去分母，得3(x-5)=2(3-x), 巩固特训 去括号，得3x-15=6-2x, 1.C 移项、合并同类项，得5x=21, 2.B[解析]设△ABC是等腰三角形，BC为底边， 解得。号4，故选项不符合题意， AB=AC=xcm,BD是AC边上的中线，则AD= D.当x=一2时，x2=4>0,但x<0,故选项不符合 1 xcm,AB+AD=9cm或AB+AD=15cm,分 题意 下面两种情况： 故选A. 例2B ①x十分-9，斜得x-6 例3(1)可以构造3个命题. ,三角形的周长为9+15=24(cm), 命题1：如果AB∥CD,∠B=∠C,那么∠E=∠F; .三边长分别为6cm,6cm,12cm. 命题2：如果AB∥CD,∠E=∠F,那么∠B=∠C; 又6十6=12，不符合三角形的三边关系，故舍去； 命题3：如果∠B=∠C,∠E=∠F,那么ABCD. (2)构造的3个命题都是真命题. ②x十=15，解得x=10, (答案不唯一)证明命题1： ,三角形的周长为24cm, ∴.三边长分别为10cm,10cm,4cm. .ABCD,∴∠B=∠CDF. '∠B=∠C,∠CDF=∠C, 综上所述，这个等腰三角形的腰长为l0cm. 故选B .ACBD,∴∠E=∠F. 3.当△ABC为锐角三角形时，如图(1)，∠BAD= 例4(1)，∠BDA+∠CEG=180°， 180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°， ∠DEF+∠CEG=180°， .∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°； .∠BDA=∠DEF,.ADEF. (2)∠F=∠H.理由如下： .∠EDH=∠C, ∴.DH∥AC,∴.∠H=∠AGF .AD//EF, (1) (2) (第3题) ∴.∠DAG=∠AGF,∠BAD=∠F 当△ABC为钝角三角形时，如图(2)，∠BAD= .AD平分∠BAC, 180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°， ∴∠DAG=∠BAD,.∠F=∠H. ∴.∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40°. 例5A[解析]如图，由题意，得∠1=∠2=∠3， 综上所述，∠BAC=80°或40°. ∴∠ABC=3∠3. 样反白 .∠3+∠C+∠CMB=180°， 1.,AB,CD都与地面l平行， 38 .AB/∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°， 又BP,CP分别是∠ABC的“邻BC三分线”和 ∴.∠BAC+∠ACB+∠BCD=180°. ∠ACB的“邻BC三分线”， ∠BCD=60°，∠BAC=54°， .∠ACB=66, ∠PBC- 3∠ABC,∠PCB=3∠ACB, ∴.当∠MAC=∠ACB=66°时，AM/CB. 号∠ABC+3∠ACB=40, 2.94°[解析].AC/EF,∠CAP=36°， ∴.∠ABC+∠ACB=120°. ∴∠APE=∠CAP=36°. .在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， .BD/EF,∠DBP=58°，∴.∠BPE=∠DBP=58°， ∴.∠A=180°-（∠ABC+∠ACB)=60° ∴.∠APB=∠APE+∠BPE=94. (3)∠BPC的度数为号m或写m或号m+18或 2 1 3.(1)∠2=∠3∠EFG=∠FGH内错角相等，两 直线平行 (2).EF //GH, 3m-18,理由如下： ∴.∠FEG+∠EGH=180°. 分4种情况进行画图计算： 又∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH= 情况一：如图(2)，当BP和CP分别是“邻AB三 180°+180°=360°， 分线”和“邻AC三分线”时， .∠1+∠2+∠3+∠4=180°. 2 .∠1=∠2，∠3=∠4， <BrC-号A 3m .2(∠2+∠3)=180°， ∴.∠2+∠3=90° .∠ABC+∠2+∠3=180°， .∠ABC=180°-∠2-∠3=180°-90°=90°， (2) (3) 即a=90°. (3).∠1=∠2，∠3=∠4，∠2+∠3=180°-a, 情况二：如图(3)，当BP和CP分别是“邻BC三 ∴.∠1+∠4=180°-a. 分线”和“邻CD三分线”时， :∠1+∠2+∠EFG+∠3+∠4+∠FGH= ∠BPC-=3∠A=3m 180°+180°=360°， 情况三：如图(4)，当BP和CP分别是“邻BC三 ∴.∠EFG+∠FGH=2a 分线”和“邻AC三分线”时， .∠EFG+∠FGH+∠FOG=180°， .∠F0G=180°-2a. ∠BPC=号∠ACD-号∠ABG-号（A+ 4.(1)如图(1)， ∠ABC)- 3∠ABc=号∠A+S∠ABC- 2 3m+18, (1) 当BD'是“邻AB三分线”时， ∠BD'C=80°+15°=95°； 当BD是“邻BC三分线”时， ∠BD℃=80°+30°=110°. 故∠BDC的度数为95°或110°. (4) (5) (2),在△BPC中，∠BPC=140°， (第4题) ∴∠PBC+∠PCB=40°. 情况四：如图(5)，当BP和CP分别是“邻AB三 394 分线”和“邻CD三分线”时， 平分线相等，利用AAS或ASA可证明全等，故④ ∠BPC=3∠ACD-号∠ABC-号(ZA+ 正确； 说法⑤：两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对 ∠ABC)-号∠ABC=∠A-3∠ABC- 2 应相等，但高可能落在三角形外部导致夹角不同，如 两边及一边的高相等时可能形成锐角或钝角三角形 3m°-180 而不全等，故⑤错误； 1 综上所述，正确的说法有③和④，共2个 综上所述，∠BPC的度数为3m°或3m或 故选C 号m+18或3m°-18 例3 <cD<号 [解析]将已知等式整理，得 旧纳总结本题考查了三角形的外角的性质，解答 (a2-8a+16)+(b2-14b+49)=0, 本题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相 即(a-4)2+(b-7)2=0, 邻的两个内角的和 .(a-4)2≥0，(b-7)2≥0， 第2章全等三角形 ∴.(a-4)2=0,(b-7)2=0 例14或6[解析设点Q的速度为x厘米/秒，则运动 ∴.a-4=0,b-7=0, t秒时，CQ=xt厘米 解得a=4,b=7, 因为点P的速度为4厘米/秒，BC=16厘米， ∴.BC=4,AC=7, 所以BP=4t厘米，PC=(16-4)厘米. 延长CD到E,使DE=CD,连接AE. 因为AB=AC=24厘米，D为AB的中点， 所以BD=2AB=12厘米. 因为∠B=∠C,所以运动t秒时，△BPD与△CQP 全等共有两种情况： →注意分类讨论 ,CD为AB边上的中线 ①当△BPD≌△CQP时，BD=CP,BP=CQ, .'.BD=AD, 即12=16-4t,4t=xt,解得t=1,x=4; CD=ED. ②当△BPD≌△CPQ时，BD=CQ,BP=CP, 在△BCD和△AED中，{∠CDB=∠EDA, 即12=xt,4t=16-4t,解得t=2,x=6. BD-AD, 综上，点Q的运动速度为4厘米/秒或6厘米/秒. .△BCD≌△AED(SAS), 例2C[解析]说法①：周长相等的两个三角形不 ∴.AE=BC=4, 一定全等，如三边分别为3,4,5和4,4,4的三角形， 在△ACE中，AC-AE<CE<AC+AE, 周长均为12但不全等，故①错误； ∴.AC-BC<2CD<AC+AE, 说法②：面积相等的两个三角形不一定全等，如底和 AC-BC CD<AC+BC 高相同但形状不同的三角形，故②错误； 2 说法③：两边和其中一边上的中线（或第三边上的中 <D< 线)对应相等，可通过构造辅助线证明全等，如延长中 线借长后利用SSS或SAS证明，故③正确； 巩固特训 说法④：两角和其中一角的平分线（或第三角的平分 1.D2.A3.C 线)对应相等，由两角相等得三角对应相等，再结合角4.如图，设AE与BD交于点O,则∠AOD=∠BOE. 40