第1章 三角形 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年八年级上册数学提优训练（浙教版·新教材）

第1章 三角形 知识梳理导图 三角形任意两边 的和大于第三边 两边的差小于 相关 全等图形 能够重合的两个图形 第三边 三条边 概念 能够重合的两个三角形 三个内角 概念 全等三角形 表示符号“≌” 三个顶点 对应边相等 直角三角形 性质 对应角相等 锐角三角形 按角 斜三角形 作一个角等于已知角 钝角三角形 三角形 分类 全 的基础 三边都不相等的三角形 尺规作图 作一条线段的垂直平分线 腰和底不相等的 按边 角 作一个角的平分线 等腰三角形 等腰 形 边边边(SSS) 等边三角形三角形 稳定性 判定 边角边(SAS) 注意：SSA,AAA 三条高（或所在 方法 不能证明两个 的直线)相交于一，点 高 三角 角边角（ASA) 三角形全等 形的 三 角角边(AAS) 平分对边，分得的 三种 识 两个三角形面积相等 角 重要 角平分线上的，点到 三条中线相交于三角形内部一 中线 线段 形 相关 角的两边的距离相等 点，这，点叫作三角形的重心 形 知识 线段垂直平分线上的，点到线 三角形的内角被 段两端的距离相等 分成两个相等的角 能明确说明某一名称或 三条角平分线相交】 角平分线 定义术语的意义的句子 于三角形内部一点 三角形 与三角 概念：判断某一件事情的句子 三角形的三个内角的和等于180°，的内角形有关 定 义 形式：可以写成“如果… 三角形的三个外角的和等于360° 的角 与 命题 那么…” 三角形 三角形的外角等于与它 的外角 命 分类：真命题、假命题 不相邻的两个内角的和 性 题 定理。用推理的方法判断为正确的命题 三角形的外角大于与它质 从命题的条件出发，根据已知的 不相邻的任何一个内角 定义、基本事实、定理等，一步 证明 一步推得结论成立的推理过程 重难疑点解法 久上分点1三角形概念类问题 C.4,5,9 D.5,6,12 例1(2025·宁波余姚期末)下列长度的三条线 名师启发根据三角形的三边关系，直接比较各 段，能组成三角形的是( ) 选项中较短的两条线段长度之和与最长的线段长度 A.2,3,4 B.3,4,8 即可. 实验班提优训练数学八年级上ZJJY ☆方法技巧 分上分点2定义、命题 本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌 握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，在 例3(2025·湖南长沙期末)下列命题中，真命题 判断是否能构成三角形时，只需计算较短两边之和 有( 是否大于第三边即可. ①连结两点的线段叫作两点之间的距离； ②连结直线外一点与直线上各点的所有线段中， 例2(2025·杭州西湖区期中)如图，在△ABC 垂线段最短； 中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线， ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； 已知∠BAC=80°，∠C=40°. ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (1)求∠DAE的大小； A.1个B.2个 C.3个D.4个 (2)若BF是∠ABC的平分线，求∠AGB的大小 名师启发根据点到直线的距离的定义、平行线 的基本事实等分析即可. 义归纳总跨 任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正 确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命 题，只需举出一个反例即可 名师启发(1)由三角形的内角和可求得∠ABC= 60°，再由AD是高，AE是角平分线，可求得∠BAD= 上分点3全等三角形的性质与判定 30°，∠BAE=40°，从而可求∠DAE的度数； 例4(2025·甘肃酒泉肃州区期末)如图，点B,E, (2)由(1)可知∠ABC=60°，∠BAE=40°，再由 C,F在一条直线上，请在下列五个条件中任选三个作 BF是角平分线可得∠ABF=30°，利用三角形的内 为命题的题设，其余两个作为命题的结论，进行证明. 角和等于180°即可求∠AGB的度数. 1 E ①AB∥DE;②AC∥DF;③AB=DE;④∠A= ∠D;⑤BE=CF. 题设： 结论： 证明： 名师启发根据题意选择三个条件，然后证明出 △ABC≌△DEF,然后根据全等三角形的性质证明 即可 守方法技巧 本题主要考查三角形的内角和定理，即三角形 的内角和为180°，常常根据两已知角求第三个角 或者依据三角形中角的关系，用代数方法求三 个角 第1章 奇方法技巧 (1)如图(1)，已知△ABC,按要求作图： 本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三 ①作△ABC的角平分线BD; 角形的判定方法：SAS,ASA,AAS,SSS,切记SAS中 ②作BC边上的高线AF, 角必须是两条边的夹角 (2)有公路11同侧，12异侧的两个城镇A,B,如图 2上分点4角平分线与垂直平分线的性质 (2).电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要 求，发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等，到两条 例5(2025·杭州西湖区期末)如图，在△ABC中， 公路11,2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什 若∠BAC=80°，∠ACB=70°，根据图中尺规作图的 么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明 痕迹推断，以下结论错误的是( 点C的位置.（保留作图痕迹，不要求写出画法） M D 1 A.∠BAQ=40° B.DE=- (1) (2) C.AF-AC D.∠EQF=25 名师启发(1)利用尺规根据角平分线的定义作 名师启发根据线段的垂直平分线的性质，角平 分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质 出图形；用尺规作AF⊥BC交CB的延长线于点F; (2)①作两条公路夹角的平分线OD或OE.②作 判断即可. 扩方法技巧 线段AB的垂直平分线FG,则射线OD,OE与直线 本题考查了角平分线的定义、线段的垂直平分 FG的交点C1,C2即为所求的位置. 线的定义和性质、三角形内角和为180°等知识，解 ☆方法技巧 题的关键是熟练掌握以上性质和定理以及定义. 本题考查尺规作图的应用、角平分线的性质、 线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟 分上分点5尺规作图 练掌握尺规作图的步骤，注意本题第(2)问，点C有 例6按要求画出图形. 两个位置， 易错易混辨析 )易错点1对三角形的相关概念理解不透彻 h,所以BD=CD,由此可知，AD为△ABC中BC边 上的中线。 例T如图，在△ABC中，D为BC上的一点， 答案C 且S△ABD=S△ADc,则AD为△ABC的( 辨析伯纳--一 三角形中线性质：如图，在△ABC中，AD是 △ABC的中线，则 (1)BD=CD; A.高 B.角平分线 (2)S△ACD=S△ABD= 1 C.中线 D.不能确定 MIC. 解析因为△ABD与△ACD的底边BD和CD上 巩固特训 的商元相同，且S6m=Sc,即号BD·h-2CD, 1.如图，在△ABC中，AD,AE分别是BC边上的高 34 实验班提优训练数学八年级上ZJY 和角平分线，∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度数 辨析伯纳 三角形全等的判定方法如下： 已知条件 可供选择的判定方法 BD E 选边：只能选角的另一边(SAS); (第1题) 一边和这边 邻角对应相等 选角：可选另外两对角中任意 一对角(AAS,ASA) 选边：只能选剩下的一边(SSS); 两边对应相等 选角：(1)只能选两边的夹角 (SAS);(2)找直角(HL). 只能选边：可选三对边中的任 两角对应相等 意一对边(AAS,ASA) 饥固特 2.(2026·温州期末)如图，在AB的同一侧作△ABC )易错点2对三角形的全等判定用错条件 与△BAD,BC与AD交于点O.已知∠1=∠2， ∠3=∠4.求证：AC=BD. 例2如图，AC,BD相交于点E,AD=BC, ∠C=∠D,AC与BD相等吗？为什么？ 解答AC与BD相等.理由 如下：在△AED和△BEC中， (第2题) ∠AED=∠BEC, ∠D=∠C, AD=BC, ∴.△AED≌△BEC(AAS), ∴.AE=BE,DE=CE, ..AE+CE=BE+DE, 即AC=BD: 素养考向提分 新情境 解析由题意，得AC=BC,∠ACB=90°，AD⊥ 例①如图，小强同学用10块高度都是2cm的 DE,BE⊥DE,∴.∠ADC=∠CEB=90°， '.∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°， 相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木 ∴.∠BCE=∠CAD: 墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC= I∠ADC=∠CEB, BC,∠ACB=90),点C在DE上，点A和点B分别 在△ADC和△CEB中，∠CAD=∠BCE, 与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE AC=CB, 为 ∴.△ADC≌△CEB(AAS). 由题意，得AD=2X3=6(cm),BE=7X2= 14(cm),由△ADC≌△CEB,得EC=AD=6cm, DC=BE=14 cm, 4 第1章 ∴.DE=DC+CE=14+6=20(cm). 新考法 故两堵木墙之间的距离DE为20cm. 例2(2025·北京海淀区期末)如图，AB=AC,点 答案20cm D在AB上，点E在AC上，若添加一个条件可使 的点拔 本题考查了全等三角形的应用，关键是正 △ABE≌△ACD,则添加的这个条件不可以是 确找出证明三角形全等的条件，遇到等腰直角 三角形，通常我们需要通过一线三等角模型来 解决问题 举反日 A./B=∠C B.AD=AE 1.(2026·陕西西安蓝田期末)某市郊公园现有一块四边 形草坪ABCD,顶点A,B,C,D处均有一棵荔枝 C.∠ADC=∠AEBD.BE=CD 古树，园林管理部门准备修建一座八角观景亭P, 解析A.添加∠B=∠C, 要使点P到荔枝古树A,D的距离相等，且点P I∠B=∠C, 到AB围墙和BC围墙的距离相等，请你用尺规作 在△ABE与△ACD中，AB=AC, 图的方法找出点P的位置.（保留作图痕迹，不写 ∠BAE=∠CAD, 作法) ∴.△ABE≌△ACD(ASA). 故此选项正确，不符合题意； B.添加AD=AE, AE-AD 在△ABE与△ACD中，{∠BAE=∠CAD, AB=AC, ∴.△ABE≌△ACD(SAS). (第1题) 故此选项正确，不符合题意； 2.(2025·江西新余期末)小明利用一根3m长的竿子来 C.添加∠ADC=∠AEB, 测量路灯的高度.他的方法是这样的：在路灯前选一 ∠AEB=∠ADC, 点P,使BP=3m,并测得∠APB=70°，然后把竖直 在△ABE与△ACD中，∠BAE=∠CAD, 的竿子CD(CD=3m)在BP的延长线上移动，使 AB=AC, ∠DPC=20°，此时量得BD=12m根据这些数据， ∴.△ABE≌△ACD(AAS). 小明计算出了路灯的高度.你知道小明计算的路灯的 故此选项正确，不符合题意； 高度是多少？为什么？ D.添加BE=CD,不符合任何判定定理， A路灯 无法证明，故此选项错误，不合题意。 答案D C 的点 本题考查了全等三角形的判定，解题的关 D 键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中 考常考题型。 反白 在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中a 54 实验班提优训练数学八年级上Z小小Y 为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是 相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说 60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方 明理由。 向以80海里/时的速度前进1.5小时后，指挥中心 观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处，且两舰艇 之间的夹角（∠EOF)为70°，试求此时两舰艇之间 的距离。 (3) (第4题) 4.(2026·四川凉山州期末)[问题背景] 在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD= 120°，∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上 的点，且∠EAF=60°，试探究图(1)中线段BE, 5.如图，在四边形ABCD中，AD=BC=4,AB= EF,FD之间的数量关系. CD,BD=6,点E从点D出发，以每秒1个单位 [初步探索] 的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出 小亮同学认为：延长FD到点G,使DG= 发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C做匀速移 BE,连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明 动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三 △AEF≌△AGF,则可得到BE,EF,FD之间的 个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点 数量关系是 也随之停止运动. G (1)证明：AD∥BC; (2)在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取 某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现， 请你探究当点G的运动速度取哪些值时，会出现 △DEG与△BFG全等的情况. (1) (2) [探索延伸] 在四边形ABCD中，如图(2)，AB=AD,， ∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的点， (第5题) ∠EAF=号∠BAD,上述结论是香仍然成立？说 明理由。 [结论运用] 如图(3)，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥 中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心 南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离 6答亲6D详解 第1章三角形 又AB=DE, 例1A[解析]A.2十3>4，能组成三角形，故A ∴.△ABC≌△DEF(AAS), 符合题意； ∠A=∠D,BC=EF, B.3十4<8，不能组成三角形，故B不符合题意； ..BC-EC=EF-EC, C.4十5=9，不能组成三角形，故C不符合题意； ..BE=CF. D.5十6<12，不能组成三角形，故D不符合题意. 例5D[解析]A.由作图可知，AQ平分∠BAC, 故选A ∴∠BAQ=∠CAQ=)∠BAC=40,放选项A正 例2(1)：∠BAC=80°，∠C=40°， 确，不符合题意； ∴.∠ABC=180°-∠BAC-∠C=60°， B.由作图可知，MQ是BC的垂直平分线， ,AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线， ∴.∠DEB=90° ∴∠BAD-90°-∠ABC=30,ZBAE=2∠BAC=40, ,∠BAC=80°，∠ACB=70°，∠ABC=30°， ∴.∠DAE=∠BAE-∠BAD=10° 易得DE=BD,故选项B正确，不符合题意； (2)由(1)，得∠ABC=60°，∠BAE=40°. ,BF是∠ABC的平分线， C.∠ABC=30°，∠BAQ=40°，∴.∠AFC=70°， 又∠ACB=70°. ÷∠ABF=2∠ABC=30, .AF=AC,故选项C正确，不符合题意； ∴.∠AGB=180°-∠ABF-∠BAE=110° D..∠EFQ=∠AFC=70°，∠QEF=90°， 例3A[解析]：两点之间的距离是连结两点的 ∴.∠EQF=20° 线段的长度，而不是线段本身， 故选项D错误，符合题意.故选D, ∴.命题①连结两点的线段叫作两点之间的距离错误； 例6(1)①如图(1)，△ABC的角平分线BD即为 ,连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线 所求； 段最短，这是垂线段的基本性质， ②如图(1)，线段AF即为所求 ∴命题②正确； .过一点作与已知直线平行的直线：若点在直线外，则有 且只有一条；若点在直线上，则没有（因为过直线上一点 的任何直线都会与已知直线相交，重合不算平行)， B ∴.命题③错误； 0 .在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直，但是不在同一平面内，过一点作已知直线的 垂线不满足有且仅有一条。 C →例如：从正方体一个顶点引出的三条棱，每两条都 G八E (1) (2) 互相垂直 (2)①作两条公路夹角的平分线OD或OE; ∴命题④错误.故选A ②作线段AB的垂直平分线FG,则射线OD,OE与直线 例4答案不唯一，例如： FG的交点C1,C2即为所求的位置. 题设：①AB∥DE;②ACDF;③AB=DE; 结论：④∠A=∠D;⑤BE=CF, 饥固特划 证明：∵ABDE,ACDF, 1.,∠B=70°，∠C=30°， ∴.∠B=∠DEC,∠ACB=∠F. .∠BAC=180°-70°-30°=80°. ，34 .AE是∠BAC的平分线， ∠CDP=∠PBA, ·∠BAE=2∠BAC=40, CD=PB, ∠DCP=∠BPA, AD⊥BC, .△CPD≌△PAB(ASA), ∠ADB=90°， .'.DP=AB ∴.∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°， '.'DB=12 m,PB=3 m, ∴.∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°. ∴.AB=DP=12-3=9(m). 易错警示本题易出现两类典型错误：一是对项 故路灯的高度AB是9m. 角平分线的定义理解偏差，误将∠BAE计算为 3.成立，证明如下： 号∠B成日∠C,二足角的送运算序蜡误，说清 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=a, .∠BAD+∠CAE=180°-a,且∠DBA+ ∠BAE与∠BAD的大小关系，用∠BAD减去 ∠BAD=180°-a, ∠BAE得到错误结果.解题时需结合图形明确角 .∠DBA=∠CAE. 的从属关系，严格依据定义和性质推导角度 在△ABD和△CAE中， 2..∠1=∠2，∴.OA=OB '∠BDA=∠AEC, 在△ACO与△BDO中， ∠ABD=∠CAE, ∠3=∠4， AB=CA, OA=OB, .△ABD≌ACAE(AAS), ∠AOC=∠BOD, >本证明为“一线三等角模型”的证明 .△ACO≌△BDO, .'.BD=AE,AD=CE, ∴.AC=BD ..DE=AE+DA=BD+CE. -题多解，∠1=∠2，∠3=∠4， 4.[初步探索]EF=BE+FD ∴.∠1+∠3=∠2+∠4， [探索延伸]结论仍然成立.理由如下： 即∠CAB=∠DBA. 如图(1)，延长FD到点G,使DG=BE,连结AG [∠CAB=∠DBA, 在△ABC与△BAD中，AB=BA, ∠2=∠1， ∴△ABC≌△BAD,∴.AC=BD. 孔样反 (1) 1.如图，先作线段AD的垂直平分线，再作∠ABC :∠B+∠ADC=180°， 的平分线，两线相交于点P,则点P即为所求. ∠ADG+∠ADC=180°， .∠B=∠ADG 在△ABE和△ADG中， (BE=DG, ∠B=∠ADG, AB=AD, (第1题) ∴.△ABE≌△ADG(SAS), 2..∠CPD=20°，∠APB=70°，∠CDP=∠ABP=90°， ∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG. ∴.∠DCP=∠APB=70° 在△CPD和△PAB中， :∠EAF∠BAD, 354 ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF= /-BG, /-1, ∠BAD-∠EAF=∠EAF, l6-BG=4-3t,BG=-1; (舍去) ∴.∠EAF=∠GAF 在△AEF和△AGF中， @当<1时， (AE-AG, (DE=BF, 若△DEG≌△BFG,则 ∠EAF=∠GAF, DG-BG, AF-AF, =3-4， ∴.△AEF≌△AGF(SAS), 6-BG=BG8G=3 .'.EF=FG, DE=BG, 若△DEG≌△BGF,则 ..EF=FG=DG+FD=BE+DF. DG-BF, [结论运用]如图(2)，连结EF,延长AE,BF交于 点C. (t=BG, .v=1. 6-BG=3t-4, 5 BG=2' C 综上所述，当点G的速度为每秒3个单位或每秒 1.5个单位或每秒1个单位时，会出现△DEG与 B △BFG全等的情况. (2) 素养考向本题需根据全等条件建立关于时间t (第4题) 和速度？的方程，通过代数运算求解速度的可能 .∠AOB=30°+90°+(90°-70)=140°， 值.全面考查学生的几何直观、逻辑推理、代数建 ∠EOF=70∴∠BOF=∠A0B. 模及分类讨论能力，属于中考常见的“几何与运动 ,OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90°-30)+ 综合题” (70°+50)=180°， 第2章特殊三角形 符合[探索延伸]中的条件， 例Dc ,结论EF=AE十BF成立， 即EF=1.5×(60+80)=210(海里). 例2100[解析]：∠DAE=∠BAC, 故此时两舰艇之间的距离是210海里. .∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC, (AD=CB, .∠EAC=∠DAB. 5.(1)在△ABD和△CDB中，AB=CD, 在△DAB和△EAC中， BD=DB, (AB=AC, ∴.△ABD≌△CDB(SSS), ∠DAB=∠EAC, ∴.∠ADB=∠CBD,.AD∥BC. AD-AE, (2)设运动时间为t,点G的运动速度为. .△DAB≌△EAC(SAS), .∠ACE=∠B,∠BAD=∠CAE=30° ①当0<<专时， .CE∥AD,AC=AB, (DE=BF, .∠B=∠ACB,∠ADB=∠ECD,∠ACE=∠CAD= 若△DEG≌△BFG,则 DG=BG, ∠B, ft=4-3t, ft=1, ∴.∠B十∠ADB=∠B+∠ECD=∠B+∠ACE+ .7=3; 6-BG=BG,BG=3, ∠ACB=3∠B=180°-∠BAD=180°-30°=150°， DE=BG, ∴.∠B=50°， 若△DEG≌△BGF,则{ DG=BF, ∴.∠B=∠CAD=∠ACE=50°. 36