【选择题专项】19 新定义问题 2027年山东省（春季高考）《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦新定义问题，通过49道题系统覆盖集合、函数、向量、数论等领域新运算与概念，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合新定义|1-4题|自定义集合运算（商集、对称差等）|以集合基本运算为基础，延伸新运算规则| |函数新定义|5-30题|自定义函数法则（分段、最值等）|结合函数性质（单调性、值域）理解新法则| |向量新定义|31-43题|自定义向量运算（模、夹角等）|基于向量数量积、共线等性质构建新运算| |数论新定义|44-49题|同余、余数等数论概念|联系整数除法与余数性质解决实际问题|

2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十九） 新定义问题 1．定义：集合.若，，则（   ） A． B． C． D． 2．定义集合的商集运算为，已知集合A={2，4，6}，B=，则集合∪B中的元素的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．定义集合的新运算如下：或，且，若集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 4．定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 5．已知a，b是任意实数，定义法则：，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．9 6．已知，，且，给出法则，则等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．对于，，给出运算法则：则的值等于（    ） A．1 B．0 C． D． 8．规定（为运算符号，是实数），则等于（    ） A． B． C． D． 9．定义，若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 10．定义运算符合“”：对于任意实数，都有．若的值小于6，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 11．定义运算:,则满足的实数的解集为（     ） A． B． C． D． 12．在R上定义运算“”：，则满足的实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．在R上定义运算✱：✱，则满足✱的x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．定义运算则函数的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   15．定义运算，则不等式的解集为，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 16．对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知，则的值是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 17．在上定义运算：.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．定义运算：，若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．规定一种新的运算“”，对于任意两个实数，，都有．若，则实数（    ） A． B．0 C．1 D． 20．已知，给出法则，则等于（    ） A．1 B．0 C． D．2 21．定义运算，则函数的大致图像是（   ） A．   B．   C．   D．   22．定义函数运算“”：对于函数和.若，则（    ） A． B． C． D． 23．定义运算，若函数，则等于（    ） A．4 B．2 C． D． 24．定义运算：x y＝,例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x2(2x－x2)的最大值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 25．定义运算“*”如下：当时，；当时，．设函数，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 26．定义运算，若函数在上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 27．定义一种新运算：，则（    ） A．32 B．24 C．16 D．18 28．若且，规定一种新运算：若，则，则（   ） A． B． C． D． 29．定义运算，则函数的大致图像是：（    ） A． B． C． D． 30．若定义运算，则函数的值域是（    ） A．(-∞，+∞) B．[1，+∞) C．(0.+∞) D．(0，1] 31．规定记号“”表示一种运算，即，则的值为（   ） A．4 B． C．3 D．8 32．定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的,，令,则下面说法错误的是 （ ） A．若与共线，则 B． C．对任意的，有 D． 33．若，，，为实数，且，定义函数，现将的图象向右平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到的图象，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 34．定义运算，若函数，，则（    ） A． B． C． D． 35．定义一种运算：．已知函数，为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 36．定义运算，若，，，则（    ） A． B． C． D． 37．人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，必会得到1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列为正整数），若，则所有可能的取值的和为（    ） A．16 B．18 C．20 D．41 38．定义，已知数列为等比数列，且，，则（    ） A．4 B． C．8 D． 39．定义向量，运算结果是一个向量.它的模是，其中表示向量，的夹角，已知向量，，且，则（   ） A．1 B． C． D． 40．定义向量运算：，其中表示与的夹角，若，，则的值是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 41．定义向量，运算结果是一个向量，它的模是，其中表示向量，的夹角，已知向量，，且，则（    ）． A．1 B． C． D． 42．定义平面向量之间的一种运算“※”如下：对于任意的向量，，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 43．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，令.则下面说法错误的是（　　） A．若与共线，则 B． C．对任意的，有 D． 44．定义运算，则符号的复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 45．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，则的值可以是（   ） A．2004 B．2005 C．2025 D．2026 46．（2026年山东省春季高考数学真题）在自然数范围内定义符号“”表示“x除以m的余数是r”.例如：“表示22除以5的余数是2”.如此《孙子算经》中“物不知数”问题可表示为：“x同时满足，，”，求x是多少？这个问题中的由小到大构成数列，若，则n的最大值是（   ） A．19 B．20 C．21 D．23 47．（2025年山东省春季高考数学真题）已知，定义一种运算，则（   ） A．2 B． C．6 D． 48．（2024年山东省春季高考数学真题）如果a，b除以m（）所得的余数相同，则称整数a，b关于模m同余，记作，若，则m可能的取值是（     ） A．2 B．11 C．22 D．31 49．（2022年山东省春季高考数学真题）对，给出运算法则：，则的值等于（   ） A．1 B．0 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十九） 新定义问题 1．定义：集合.若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意中的定义可直接得出答案. 【详解】已知集合，， 在集合A中，元素， 根据定义，集合， 可知. 故选：A. 2．定义集合的商集运算为，已知集合A={2，4，6}，B=，则集合∪B中的元素的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】先求得集合B，从而得到，然后利用集合的并集运算求解. 【详解】因为集合A={2，4，6}，B=， 所以B={0,1,2}，则=, 所以∪B=， 所以集合∪B中共有7个元素. 故选：B. 3．定义集合的新运算如下：或，且，若集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合集合新运算法则，即可求解. 【详解】因为或，且， 又集合，， 所以. 故选：D. 4．定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 【答案】D 【分析】列举出满足条件的元素a，b并求出其和，据互异性，即可得出新集合的元素个数，进一步求出其子集个数. 【详解】因为，且， 所以， 可知集合中共有5个元素， 所以集合的所有子集的个数为. 故选：D. 5．已知a，b是任意实数，定义法则：，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据所给的定义法则逐步计算即可. 【详解】根据定义法则：， 则，. 故选：D. 6．已知，，且，给出法则，则等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据已知法则，结合a,b的取值范围，即可求解. 【详解】令， 因为，，且， 得， 则有， 故选：D 7．对于，，给出运算法则：则的值等于（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】按照给出的运算法则进行运算即可. 【详解】对于，，给出运算法则：， 所以. 故选：B. 8．规定（为运算符号，是实数），则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目中给出的新运算规则计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 9．定义，若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合含参数的一元一次不等式恒成立的问题，即可求解. 【详解】因为， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 所以， 解得， 即实数a的取值范围为. 故选：D. 10．定义运算符合“”：对于任意实数，都有．若的值小于6，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义运算以及一元二次不等式的解法求解. 【详解】已知对于任意实数，都有， 可得：， 若的值小于6，则， 即，可化为，解得， 则实数的取值范围是. 故选：A. 11．定义运算:,则满足的实数的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合定义运算，即可求解. 【详解】定义运算：， 令，， ， 又， ， ，即解集为. 故选：B. 12．在R上定义运算“”：，则满足的实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由定义运算将不等式转化为一元二次不等式，按一元二次不等式的求解方法可求解集. 【详解】根据给出的定义得， ， ， ， 故不等式的解集是． 故选：B. 13．在R上定义运算✱：✱，则满足✱的x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用所给运算列出不等式，利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意运算规则可知：✱， 化简得，解得，即； 故选：B. 14．定义运算则函数的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据新定义运算确定函数的表达式，再分析其图像特征. 【详解】当，即时，， 这是一个二次函数，图像开口向上，对称轴为，且， 当，即或时，， 这是一个常函数，图像是平行于轴的直线， 作出的图像，如图，    故选：B. 15．定义运算，则不等式的解集为，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义列出不等式，再由不等式的解集为，分类讨论出实数的取值范围. 【详解】不等式由新定义得，， 即，其解集为， 若，得恒成立，满足题意， 若，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为， 故选：B. 16．对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知，则的值是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据定义代值列出关于的二元一次方程组，求出参数后再根据定义代值求解即可. 【详解】，， 由可得：， 则， . 故选：C. 17．在上定义运算：.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所给新定义运算的结果得到，再两边平方解不等式即可. 【详解】因为，根据， 可得，所以， 两边平方得， 移项解得. 故选：A. 18．定义运算：，若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义判断大小列式，由含绝对值的不等式的解法求解即可. 【详解】根据新定义可知可得， ∴且， 即，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：A. 七、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 19．规定一种新的运算“”，对于任意两个实数，，都有．若，则实数（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据新定义运算和一元二次方程的解法求解. 【详解】已知对于任意两个实数，，都有， 若，则， 解得或. 故选：D. 20．已知，给出法则，则等于（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】将化为，结合已知法则即可得解. 【详解】因为，法则， ， 故选：. 21．定义运算，则函数的大致图像是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】利用指数函数的单调性结合所给代数式可判断. 【详解】因为，则函数， 又因为，解得，，解得， 所以函数， 当时，函数图像为一条直线， 当时，函数图像为一条曲线，且为增函数， 综上所述：函数的大致图像是A选项的图象. 故选：A. 22．定义函数运算“”：对于函数和.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目定义函数的运算以及的解析式求解即可. 【详解】因为，且， 所以，即. 因为，所以，解得. 故选：B. 23．定义运算，若函数，则等于（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意将已知函数转换成分段函数，即可求解. 【详解】由题意，得，故． 故选：B 24．定义运算：x y＝,例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x2(2x－x2)的最大值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【详解】由题意可得f(x)＝x2(2x－x2)＝ 当0≤x≤2时，f(x)∈[0,4]；当x＞2或x＜0时，f(x)∈(－∞，0)．综上可得函数f(x)的最大值为4. 故答案为D. 25．定义运算“*”如下：当时，；当时，．设函数，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据运算“*”的定义，分类讨论x的取值范围，可得函数解析式，分别求得函数值域，综合即可得答案. 【详解】由题意得，当时，，则； 当时，，其图象对称轴为，函数在上单调递增， ，则 则函数的值域为， 故选：C 26．定义运算，若函数在上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】已知函数 则，且，函数图象开口向上， 对称轴为，所以该函数在上单调递减， 若该函数在上单调递减， 则，所以实数m的取值范围是， 故选：C. 27．定义一种新运算：，则（    ） A．32 B．24 C．16 D．18 【答案】A 【分析】根据题意，结合新运算的计算公式，及指数幂的运算，即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 28．若且，规定一种新运算：若，则，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用新运算及换底公式即可得解. 【详解】且，运算， 则， 故选：. 29．定义运算，则函数的大致图像是：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的单调性结合所给代数式可判断. 【详解】定义运算， 又指数函数性质可知，当时，， 又因为以为底的指数函数为增函数， 所以，当时，， 当，， 所以函数， 当时，函数为增函数，当时，函数为一条直线. 综上，函数的大致图象是选项的图象. 故选：A. 30．若定义运算，则函数的值域是（    ） A．(-∞，+∞) B．[1，+∞) C．(0.+∞) D．(0，1] 【答案】D 【分析】作出函数的图像，结合图像即可得出结论. 【详解】由题意分析得： 取函数与中的较小的值， 则，如图所示（实线部分）： 由图可知：函数的值域为：. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了指数函数的性质和应用.考查了数形结合思想.属于较易题. 31．规定记号“”表示一种运算，即，则的值为（   ） A．4 B． C．3 D．8 【答案】C 【分析】根据题意列式，结合对数的运算即可求解. 【详解】由题意：则. 故选：C. 32．定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的,，令,则下面说法错误的是 （ ） A．若与共线，则 B． C．对任意的，有 D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的计算并结合题目信息,即可求解. 【详解】对于:若与共线,则.由此可得,所以正确. 对于:,,所以;所以不正确. 对于:因为当时,,,所以.又有,由此可得,所以正确. 对于:因为,,所以符合选项,所以正确. 故选:. 33．若，，，为实数，且，定义函数，现将的图象向右平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到的图象，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【分析】根据题意求出，利用二倍角公式化简，再根据图像平移的性质和函数的奇偶性求解即可. 【详解】由题意知 ， 又将的图象向右平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到的图象， 所以， 又定义域为，满足，， 所以为偶函数，不是奇函数. 故选：B. 34．定义运算，若函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数根据题意写出分段函数的形式即可得解. 【详解】由题意知：,， 所以， 故选：D. 35．定义一种运算：．已知函数，为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【分析】先明确的解析式，再根据函数图象变换的法则直接写出结论. 【详解】由题可知函数， 将其图象上所有点向右平移个单位长度可得到函数的图象. 故选：A 36．定义运算，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知求的值，根据同角三角函数关系式求，由，从而求即可求解. 【详解】由题， 因为，均为锐角，所以， 所以，又，所以， ， 因为，所以. 故选：B. 37．人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，必会得到1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列为正整数），若，则所有可能的取值的和为（    ） A．16 B．18 C．20 D．41 【答案】B 【分析】由已知数列的递推式倒推得到m的值. 【详解】若，则由递推关系只能有，，有或， 当时，；当时，， 所以所有可能的取值为或，. 故选：B 38．定义，已知数列为等比数列，且，，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】根据题目新定义结合等比数列的性质即可求解. 【详解】由题可知，，即， 所以，解得， 设等比数列的首项为，公比为， 因为，所以， 即. 故选：C. 39．定义向量，运算结果是一个向量.它的模是，其中表示向量，的夹角，已知向量，，且，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】求出利用诱导公式求出，然后带入所给公式求解即可. 【详解】因为，所以， 又向量，， 所以. 故选：A. 40．定义向量运算：，其中表示与的夹角，若，，则的值是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据新定义结合向量的运算求解即可. 【详解】∵，， ∴，， ∵， 又，即， ∴. 故选：C. 41．定义向量，运算结果是一个向量，它的模是，其中表示向量，的夹角，已知向量，，且，则（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】求出利用诱导公式求出，然后带入所给公式求解即可. 【详解】因为，则， 又，， . 故选：A. 42．定义平面向量之间的一种运算“※”如下：对于任意的向量，，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的新定义判断选项即可. 【详解】设， A：若，则有，所以，故A正确； B：若，则有，所以，故B错误； C：因为，，所以，故C正确； D：因为，所以， ，即，故D正确. 故选：B. 43．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，令.则下面说法错误的是（　　） A．若与共线，则 B． C．对任意的，有 D． 【答案】B 【分析】由平面向量的新定义结合向量共线，内积运算判断选项即可. 【详解】A:若a与b共线，则有，所以，故A选项正确. B:，，所以，故B选项错误. C:对任意的，有， ,所以，故C选项正确. D:，， 所以， ，所以，故D选项正确. 故选:B. 44．定义运算，则符号的复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据题意求出，结合复数的几何意义即可得解. 【详解】定义运算， 则符号， 化简得，复平面对应的点为，在第三象限， 故选：. 45．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，则的值可以是（   ） A．2004 B．2005 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】根据题意结合二项式定理即可求解. 【详解】由题意得，， 所以由二项式定理得， 则， 因为， 又因为能被5整除，所以除以5余， 对A，，故A错误. 对B，，故B错误. 对C，，故C错误. 对D，，故D正确. 故选：D. 46．（2026年山东省春季高考数学真题）在自然数范围内定义符号“”表示“x除以m的余数是r”.例如：“表示22除以5的余数是2”.如此《孙子算经》中“物不知数”问题可表示为：“x同时满足，，”，求x是多少？这个问题中的由小到大构成数列，若，则n的最大值是（   ） A．19 B．20 C．21 D．23 【答案】B 【分析】根据题意求出数列通项公式，再根据不等式求解即可. 【详解】因为除以3和7都余2，所以是3和7的公倍数，3和7的最小公倍数是21，因此可设（为非负整数）. 结合除以5余3，所以除以5余3，即除以5余3， 所以除以5余1，即（为非负整数）， 因此，即所有满足条件的是首项为、公差为的等差数列， 通项为， 又，所以，化简得， 因此最大取19，即的最大值为. 故选：B. 47．（2025年山东省春季高考数学真题）已知，定义一种运算，则（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】根据新定义计算即可. 【详解】. 故选：D. 48．（2024年山东省春季高考数学真题）如果a，b除以m（）所得的余数相同，则称整数a，b关于模m同余，记作，若，则m可能的取值是（     ） A．2 B．11 C．22 D．31 【答案】B 【分析】根据差的结果的约数特点易得答案. 【详解】因为，所以， 所以为的约数，又， 所以或. 故选：B. 49．（2022年山东省春季高考数学真题）对，给出运算法则：，则的值等于（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】将用表示，按照给出的运算法则进行运算即可. 【详解】由题设可知 ． 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $