【选择题专项】18 圆锥曲线 2027年山东省（春季高考）《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十八） 圆锥曲线 题型1 椭圆的方程及其应用 1．设P 是椭圆 上的动点，则点P 到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ） A． B．2 C．4 D．2 2．若过椭圆焦点为的直线交椭圆于A、两点，则的周长为（    ） A．14 B．18 C．28 D．36 3．已知椭圆的长半轴长为6，椭圆上一点到一个焦点的距离是5，则到另一个焦点的距离（    ） A．1 B．4 C．7 D．12 4．已知点P是椭圆上一点，，是椭圆焦点，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D． 5．，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 6．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（    ） A． B． C． D． 7．若方程表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆，则m的取值（  ） A． B． C． D． 8．过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 9．设椭圆过点，则其焦距为（    ） A． B． C． D． 10．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 11．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则k的值为（    ） A．k＝3 B．k＝4 C．k＝2 D．k＝1 12．（2023年山东省春季高考数学真题）如图所示，椭圆的对称轴是坐标轴，则该椭圆的方程是（    ）．    A． B． C． D． 题型2 椭圆中的离心率及其应用 13．椭圆的焦点坐标和离心率分别是（   ） A．， B．，1 C．， D．，2 14．已知椭圆的离心率，则实数m的值为（   ） A．3 B．或 C． D．或3 15．已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点的坐标是，那么点在椭圆上，则椭圆的离心率是（  ） A． B． C． D． 16．如图所示，已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且垂直于x轴，延长交椭圆于点．若，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 17．已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆外一点，是等边三角形，若线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 18．如果椭圆的短轴长，焦距， 长轴长依次成等差数列，则这个椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 19．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 20．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，上顶点为B，连接并延长交椭圆于点P，若为等腰三角形，且，则椭圆的离心率是（     ） A． B． C． D． 21．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 22．（2026年山东省春季高考数学真题）已知椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 题型3 双曲线的方程及其应用 23．双曲线上的点A到左焦点的距离是12，则点A到右焦点的距离是（    ） A．22或2 B．7 C．22 D．2 24．过双曲线的右焦点有一直线，与双曲线的右支交于两点．若，是双曲线的左焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 25．双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于8，则点P到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．2或18 26．设，分别为双曲线 的左，右焦点，点在双曲线上，且，则的值为（   ） A．30 B． C． D．32 27．已知点，是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，点的坐标为，则的最小值为（    ） A． B．7 C．8 D．9 28．“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29．若双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，它们的离心率之和是4，则该双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 30．若双曲线C：的虚轴长为8，渐近线方程为，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 31．已知点是双曲线渐近线上的一点，点E，F是它的左、右焦点，若，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 32．等轴双曲线的一个焦点是，则它的标准方程为（    ） A． B． C． D． 33．焦点在x轴上，离心率，经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 34．若双曲线与双曲线有相同渐近线，且过点，则双曲线的标准方程为（   ）． A． B． C． D． 35．与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 36．已知双曲线C：的离心率为，则点到C的渐近线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 37．已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（    ）． A． B． C．4 D． 38．已知双曲线的离心率是方程的一个根，则该双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 39．已知双曲线离心率是，经过点，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 40．（2023年山东省春季高考数学真题）已知双曲线的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，过右焦点F且垂直于x轴的直线，与双曲线在第一象限交于点P，双曲线的右顶点A是OF的中点，若，则该双曲线的实轴长等于（    ）． A． B． C． D． 题型4 双曲线中的离心率及其应用 41．已知双曲线的虚轴长为实轴长的倍，则该双曲线的离心率等于（   ） A． B．2 C． D． 42．已知椭圆的离心率为，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 43．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 44．如图所示，已知点，分别为双曲线的左、右两个焦点，过点作垂直于轴的直线交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（    ）    A．2 B． C． D． 45．已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 46．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，经过的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 47．如图所示，已知双曲线（，）的左、右焦点分别是，，点P在双曲线的右支上，点A在y轴上，若，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 48．已知双曲线斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图，若直线的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 49．已知O为坐标原点，点F是双曲线C：（，）的左焦点，过点F且倾斜角为的直线与双曲线C在第一象限交于点P，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 50．（2025年山东省春季高考数学真题）已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 51．（2022年山东省春季高考数学真题）已知双曲线的左右焦点分别是，，是坐标原点，过点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 题型5 抛物线的方程及其应用 52．已知抛物线上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（   ） A．4 B．6 C．8 D． 53．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标为（   ） A．5 B．8 C．4 D．6 54．抛物线的焦点到其准线的距离为（   ）． A．5 B． C．10 D． 55．已知抛物线和定点，F是抛物线的焦点，P是抛物线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 56．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若，则为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 57．设抛物线的焦点为，准线为，则以为圆心，且与相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 58．“F是抛物线的焦点”是“F是双曲线的焦点”的（  ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 59．下列关于抛物线的图象描述正确的是（     ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 60．过抛物线的焦点做直线交抛物线于，两点，如果线段中点到轴距离是4，那么（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 61．抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，若，则P点的坐标是 A． B． C．或 D．或 62.（2024年山东省春季高考数学真题）已知抛物线的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与抛物线交于M、N两点，若，则焦点F到准线的距离是（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 题型6 直线与圆锥曲线 63．若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 64．已知直线经过椭圆的右焦点，且倾斜角为，它与椭圆相交与、两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 65．已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 66．经过点且与椭圆相切的直线方程是                   (　　) A． B． C． D． 67．已知点P是椭圆上的动点，当点P到直线x-2y+10=0的距离最小时,点P的坐标是（  ） A． B． C． D． 68．已知点是椭圆上任意一点，则点到直线:的最大距离为（    ） A． B． C． D． 69．“直线与双曲线有两个公共点”是“直线与双曲线相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 70．过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线于A、B两点，则（    ） A． B． C．6 D． 71．已知直线与抛物线交于，两点，，点在直线上，且，则抛物线的标准方程是（    ）． A． B． C． D． 72．已知抛物线，直线l：，则抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 73．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，过焦点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，从，两点向准线作垂线，垂足分别为，，若，则四边形的面积为（     ） A．16 B．8 C． D．4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 选择题专项 （十八） 圆锥曲线 题型1 椭圆的方程及其应用 1．设P 是椭圆 上的动点，则点P 到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ） A． B．2 C．4 D．2 【答案】D 【分析】由椭圆的定义求解即可. 【详解】因为椭圆的标准方程为， 所以， 所以点P 到该椭圆的两个焦点距离之和为. 故选：D. 2．若过椭圆焦点为的直线交椭圆于A、两点，则的周长为（    ） A．14 B．18 C．28 D．36 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义计算的周长即可. 【详解】由椭圆的方程，可得，则， 由椭圆的定义可得的周长为： . 故选：D. 3．已知椭圆的长半轴长为6，椭圆上一点到一个焦点的距离是5，则到另一个焦点的距离（    ） A．1 B．4 C．7 D．12 【答案】C 【分析】根据长半轴概念及椭圆的定义可求解. 【详解】因为长半轴，所以 ， 设椭圆上一点到另个焦点的距离为， 则，解得. 故选：C 4．已知点P是椭圆上一点，，是椭圆焦点，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义可直接求出的周长. 【详解】由椭圆可知，，， 点P是椭圆上一点，，是椭圆焦点， 所以，， 所以的周长为. 故选：D. 5．，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义和勾股定理建立方程求得，结合直角三角形的面积公式即可求解. 【详解】椭圆中，所以，进而. 根据椭圆的定义，所以. 因为，所以. 进而，解得. 所以. 故选：A. 6．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点在轴上的椭圆的标准方程的特点列不等式求解即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得， 综上，. 故选：A. 7．若方程表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆，则m的取值（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由方程表示焦点在x轴上的椭圆的条件列式求解即可. 【详解】由方程表示焦点在x轴上的椭圆， 可知，解得. 故选：A. 8．过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆求得焦点坐标，进而求得椭圆的半焦距，再根据椭圆过点求得，结合的关系求得即可求解． 【详解】椭圆的焦点坐标为，， 所以 所求椭圆与椭圆的焦点相同，且过点， 则， ，得. 所求椭圆的方程为：. 故选：C. 9．设椭圆过点，则其焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆过点，可求得，继而知道的值即可求焦距. 【详解】由题意得，，得， 则，则，即，则椭圆的焦距等于. 故选：D 10．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】根据椭圆方程确定的值，再由椭圆的几何性质逐项分析即可. 【详解】已知椭圆中， 即， 则该椭圆长轴长为，短轴长，离心率，焦距为， 椭圆中， ， 即， 则该椭圆长轴长为，短轴长，离心率，焦距为， 所以两个椭圆的焦距相等， 故选：D. 11．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则k的值为（    ） A．k＝3 B．k＝4 C．k＝2 D．k＝1 【答案】C 【分析】根据椭圆及双曲线的焦点公式解答. 【详解】∵双曲线方程为－＝1 ∴双曲线的焦点在轴上， 且，，， ∴双曲线的焦点为， ∵椭圆方程为＋＝1且与双曲线－＝1有共同的焦点， ∴椭圆的焦点也在轴上， 且，，， ∴椭圆的焦点为 ∴， 即， 解得，或 ∵     故选:C. 12．（2023年山东省春季高考数学真题）如图所示，椭圆的对称轴是坐标轴，则该椭圆的方程是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像和椭圆的定义分析即可. 【详解】由图像可知，椭圆的焦点在x轴上， 顶点为, 所以， 则其标准方程为． 故选：C． 题型2 椭圆中的离心率及其应用 13．椭圆的焦点坐标和离心率分别是（   ） A．， B．，1 C．， D．，2 【答案】A 【分析】首先将椭圆方程化为标准式，再由椭圆的标准方程确定焦点和离心率即可. 【详解】由椭圆， 得，其中， 则焦点在轴上，， 所以焦点坐标为，离心率为. 故选：A. 14．已知椭圆的离心率，则实数m的值为（   ） A．3 B．或 C． D．或3 【答案】D 【分析】分类求出椭圆的焦点在轴上和焦点在轴上的，代入椭圆离心率公式求得实数m的值. 【详解】在椭圆中， ①若焦点在轴上时，即，此时，从而， 所以，解得； ②若焦点在轴上时，即，此时，从而， 所以，解得； 综上所述，实数m的值为或3. 故选：D 15．已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点的坐标是，那么点在椭圆上，则椭圆的离心率是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知条件求出椭圆的几何量，然后求解椭圆的离心率即可. 【详解】由题意可知：椭圆的焦点在轴上，，， 则， 所以离心率， 故选：. 16．如图所示，已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且垂直于x轴，延长交椭圆于点．若，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直于轴，点的横坐标为，代入椭圆方程可得纵坐标；通过向量比例关系确定点的坐标；将点的坐标代入椭圆方程，结合，建立方程即可求解离心率. 【详解】椭圆， 由题意，垂直于轴，则点的横坐标为， 代入椭圆方程得，如图取， 设点的坐标为，，因为，所以 ， 可得，，所以，将点代入椭圆方程， 结合， 化简得. 故选：D. 17．已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆外一点，是等边三角形，若线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设线段的中点为，求出，，利用椭圆的定义可得，据此可求解. 【详解】 如图所示，是等边三角形，设线段的中点为， 所以，， 在中，，则，， 由椭圆的定义可得，， 所以椭圆的离心率. 故选：B 18．如果椭圆的短轴长，焦距， 长轴长依次成等差数列，则这个椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意,可设短轴长为焦距为长轴长为由等差中项的定义得结合椭圆之间的关系及离心率的定义即可求出. 【详解】根据题意,可设短轴长为焦距为长轴长为 由等差中项定义可得即, 那么 解得, 则 解得 故选：D 19．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合椭圆的定义得出，，利用勾股定理得出，代入离心率公式即可得解. 【详解】由椭圆的定义可知，又因为， 则，， 又因为，， 由勾股定理可知，， 所以，则离心率， 故选：. 20．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，上顶点为B，连接并延长交椭圆于点P，若为等腰三角形，且，则椭圆的离心率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解出直线的方程，联立直线与椭圆的方程得到点P的坐标，由椭圆的定义以及已知条件可求解，利用两点间距离公式以及离心率公式求解即可. 【详解】∵椭圆（）的左、右焦点分别为，， ∴右焦点，又∵上顶点为， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为， 由椭圆的定义可知，， ∵，且， ∴，又∵， ∴， 联立①②可得，，， 联立，消去y可得，， 解得或， ∴点， ∴， 在椭圆中，，则， ∵，即， ∴，整理可得， ∴，即，可得，即， ∴，则椭圆的离心率是. 故选：C.    21．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】由题意知，椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点， 即椭圆的焦距和短轴长相等，故， 因为， 所以， 所以. 故选：D. 22．（2026年山东省春季高考数学真题）已知椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质以及离心率公式的计算. 【详解】设椭圆的长半轴长为，半焦距为， 因为椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分， 所以可得，即，从而， 故选：A. 题型3 双曲线的方程及其应用 23．双曲线上的点A到左焦点的距离是12，则点A到右焦点的距离是（    ） A．22或2 B．7 C．22 D．2 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】已知双曲线方程，则有， 点A到左焦点的距离为，点A到右焦点的距离为， 根据双曲线的定义得或22， 故选：A 24．过双曲线的右焦点有一直线，与双曲线的右支交于两点．若，是双曲线的左焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将双曲线方程化为标准方程，再得出的值，再由双曲线的定义即可求出的周长. 【详解】由双曲线，得， 所以，则，， ，， 由，可得， 则的周长为： . 故选：C. 25．双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于8，则点P到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．2或18 【答案】B 【分析】由双曲线的定义计算即可. 【详解】双曲线上，点P满足，， 由双曲线方程知， 则， 不妨设．则， 或14．其中， 但，则（舍）， 综上，即P到另一个焦点距离为14． 故选:B. 26．设，分别为双曲线 的左，右焦点，点在双曲线上，且，则的值为（   ） A．30 B． C． D．32 【答案】D 【分析】根据双曲线方程求出焦点坐标，由可知，利用勾股定理及双曲线的定义即可得解. 【详解】由双曲线可知焦点在轴上，且，， 所以，即，所以，， 因为，所以，则， 由双曲线的定义可知， 即，所以， 故选：. 27．已知点，是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，点的坐标为，则的最小值为（    ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义与基本不等式即可求解. 【详解】因为点是双曲线的右支上的点. 所以，即. 又因为. 所以. 当且仅当三点共线时取等号. 所以的最小值为7. 故选：B. 28．“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程的形式以及充分不必要条件的概念即可求解. 【详解】若方程表示双曲线，则， 解得，故必要性不成立. 若“”，则方程表示双曲线，故充分性成立， 即“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 29．若双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，它们的离心率之和是4，则该双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线的焦点坐标即可求解双曲线的c值，再由离心率公式即可求解a值，即可求解双曲线的标准方程. 【详解】抛物线的焦点为， 所以可知为双曲线的右焦点，焦点在x轴上， 所以， 又因为它们的离心率之和是4且抛物线的离心率为1， 所以可知双曲线的离心率为3， 所以有，解得， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选:D. 30．若双曲线C：的虚轴长为8，渐近线方程为，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质即可求解. 【详解】因为双曲线的虚轴长为8，即，所以， 又渐近线方程为，则， 所以双曲线C的方程为. 故选：C. 31．已知点是双曲线渐近线上的一点，点E，F是它的左、右焦点，若，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在双曲线的渐近线上，求得和的关系，再根据，解得的值， 然后利用解得和的值，从而写出双曲线的标准方程. 【详解】因为点在双曲线的渐近线上，即点在直线上， 所以，设，，则，， 由得，解得， 又因为，所以，， 则双曲线的方程为． 故选：C． 32．等轴双曲线的一个焦点是，则它的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等轴双曲线的性质判定. 【详解】∵双曲线是等轴双曲线，且焦点， ∴焦点在轴上，且. 双曲线可设为，其中. 等轴双曲线离心率，∴得到. 故方程为. 故选：C. 33．焦点在x轴上，离心率，经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的离心率和双曲线上的点求解. 【详解】双曲线的焦点在轴上，故设双曲线方程为.由离心率，得， 又因为，所以，即.双曲线经过点，所以 ，即，故双曲线方程为. 故选：A. 34．若双曲线与双曲线有相同渐近线，且过点，则双曲线的标准方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出共渐近线双曲线方程即可得解. 【详解】已知双曲线与双曲线有相同渐近线， 则设所求双曲线方程为， 将点代入，得， 则，所以， 所以双曲线的标准方程为， 故选：C. 35．与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出双曲线的离心率和渐近线方程，然后逐项求解即可判断. 【详解】双曲线中，，，，渐近线， 对于A：，，，，渐近线，故A错误； 对于B ：，，，，渐近线，故B错误； 对于C ：，，，，渐近线，故C正确； 对于D：，，，，渐近线，故D错误.   故选：C. 36．已知双曲线C：的离心率为，则点到C的渐近线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可求出渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由题意得，，得． 又因为，，所以，渐近线方程为， 点到渐近线的距离为． 故选：D 37．已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（    ）． A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的离心率公式以及点到直线的距离公式，列方程组求解即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 不妨取右焦点，则焦点到渐近线的距离为， 因为离心率为，所以，即， 因为，所以，解得， 因此焦距为. 故选：D. 38．已知双曲线的离心率是方程的一个根，则该双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，先求出方程的根，继而求得双曲线的离心率，结合双曲线的标准方程及之间的关系，即可求得的值，继而求得渐近线方程. 【详解】因为，即，解得，， 所以双曲线的离心率，即， 又，所以， 所以，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 39．已知双曲线离心率是，经过点，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等轴双曲线的性质，结合待定系数法即可得解. 【详解】由，则双曲线为等轴双曲线，设其方程为， 又因为经过点，则， 所以双曲线方程为. 故选：A. 40．（2023年山东省春季高考数学真题）已知双曲线的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，过右焦点F且垂直于x轴的直线，与双曲线在第一象限交于点P，双曲线的右顶点A是OF的中点，若，则该双曲线的实轴长等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的性质在图中作出直角三角形，根据勾股定理即可求解. 【详解】如图所示，因为双曲线的右顶点A是OF的中点，所以，则； 在直角三角形中，易知， 则由勾股定理可得，，解得，则实轴长为． 故选：D． 题型4 双曲线中的离心率及其应用 41．已知双曲线的虚轴长为实轴长的倍，则该双曲线的离心率等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据和离心率公式求值即可. 【详解】由题意可知， 因为， 则，则双曲线的离心率． 故选：D． 42．已知椭圆的离心率为，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据椭圆的标准方程和离心率的定义找出长半轴和短半轴的关系，再根据双曲线的定义求解即可. 【详解】在椭圆中，设椭圆的半焦距为， 由离心率为可得，即， 双曲线中，设半焦距为， 离心率为. 故选：B 43．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线渐近线方程求出的值，然后根据双曲线的离心率公式求解. 【详解】设为双曲线的半焦距， 因为双曲线的渐近线方程为，所以， 则，所以双曲线的离心率为. 故选：D. 44．如图所示，已知点，分别为双曲线的左、右两个焦点，过点作垂直于轴的直线交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形中三角函数关系，及双曲线的定义与离心率公式即可得解. 【详解】∵在中，， ∴，即， 点在双曲线右支商，由双曲线的定义知，， 所以，， 又∵，即，故， ∴离心率. 故选：B. 45．已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算焦点到渐近线的距离，再得到三角形内其他线段长度，最后根据余弦定理得到的关系，即可求得离心率.. 【详解】根据题意可知，双曲线，为，为，且，渐近线方程为. 设过点的垂线所对应的渐近线方程为， ∵过点的垂线与渐近线的垂足为，则. ∴，. 又∵角为直角，且，故根据勾股定理可知， ∴，即. 令角，根据余弦定理可知： 在三角形中，， 在三角形中，. ∵，∴. 故，，所以. 离心率. 故选：B. 46．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，经过的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义求出，再结合勾股定理求出，进而得到离心率. 【详解】如图所示，由双曲线的定义可知，. 又，所以，. 因为，所以， 所以在中，，所以，， 故双曲线C的离心率.    故选：D. 47．如图所示，已知双曲线（，）的左、右焦点分别是，，点P在双曲线的右支上，点A在y轴上，若，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，再由向量的线性坐标表示和向量垂直的坐标表示列方程得出 【详解】设， 则， 由，得， 则，即， 因为，且， 所以，整理得， 因为点P在双曲线的右支上，所以，即， 所以，所以， ，由， 得，即，所以离心率， 故选：D. 48．已知双曲线斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图，若直线的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法依次求得，，再由得三点共线，从而得到，进而得解. 【详解】设，线段的中点， 则，两式相减得， 所以①， 设，线段的中点，同理得②， 因为，所以，则三点共线，即， 所以，将①②代入得：， 整理得，所以，即， 所以. 故选：D. 49．已知O为坐标原点，点F是双曲线C：（，）的左焦点，过点F且倾斜角为的直线与双曲线C在第一象限交于点P，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法法则与垂直性质可知，再结合题意将点用表示出来并代入双曲线方程中与联立求解即可. 【详解】如图，点F是双曲线C：（，）的左焦点， 过点F且倾斜角为的直线与双曲线C在第一象限交于点P， 取中点为，连接， 则，由可得， 与垂直，所以为等腰三角形， 所以，且， 其中，所以， 过点作轴垂线，垂足为， 则在中，，， 所以，， 所以，点的坐标为， 代入双曲线方程中得，且， 所以，且， 所以，则有， 即，整理为， 解得(舍去)， 所以，. 故选：D. 50．（2025年山东省春季高考数学真题已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线公式和离心率公式，代数求解即可. 【详解】因为双曲线方程为， 所以双曲线的焦点在轴，渐近线方程为， 又因为渐近线方程是，所以， 所以，即， 所以双曲线的离心率， 故选：C. 51．（2022年山东省春季高考数学真题已知双曲线的左右焦点分别是，，是坐标原点，过点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的一条渐近线方程为，则直线的方程为.联立方程可得，又因为，代入化简可得，即可求出双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的一条渐近线方程为，又， 则直线的方程为， 由，可得， 由，及， 得， 化简得，则. 故选：A. 题型5 抛物线的方程及其应用 52．已知抛物线上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义求值即可. 【详解】已知抛物线中，，， 所以准线为，因为点P到x轴的距离是4， 所以点P到准线的距离为， 故选：B. 53．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标为（   ） A．5 B．8 C．4 D．6 【答案】D 【分析】利用焦半径公式求解即可. 【详解】抛物线的焦点，准线， 令点的横坐标为，由抛物线定义得，解得， 所以点的横坐标为6． 故选：D． 54．抛物线的焦点到其准线的距离为（   ）． A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据题意结合抛物线的几何题意即可得解. 【详解】抛物线，则，解得， 所以焦点到准线的距离为. 故选：. 55．已知抛物线和定点，F是抛物线的焦点，P是抛物线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，结合抛物线方程，可求出准线方程，结合抛物线定义，可得当PA与x轴平行时，的值最小，继而求解. 【详解】 因为抛物线标准方程为， 所以抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可得点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，即, 所以, 所以当PA与x轴平行时，的值最小，为点A到准线的距离， 其值为． 故选：B. 56．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若，则为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由抛物线可得， 所以. 故选：B. 57．设抛物线的焦点为，准线为，则以为圆心，且与相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再根据直线与圆相切确定圆的半径，最后由圆的标准方程得出结果. 【详解】因为的焦点，到准线的距离为1， 则圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为. 故选：A. 58．“F是抛物线的焦点”是“F是双曲线的焦点”的（  ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用抛物线、双曲线方程求焦点从而判断充分性与必要性即可. 【详解】，，，所以焦点为； ，，，所以焦点为，， 所以“F是抛物线的焦点”，也是双曲线的焦点，充分性成立， 是双曲线的焦点，不是抛物线的焦点，必要性不成立； 故“F是抛物线的焦点”是“F是双曲线的焦点”的充分不必要条件； 故选：C. 59．下列关于抛物线的图象描述正确的是（     ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【分析】将抛物线方程化简为标准方程，再判断开口方向以及焦点坐标即可. 【详解】抛物线，即， 可知抛物线的开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 60．过抛物线的焦点做直线交抛物线于，两点，如果线段中点到轴距离是4，那么（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】由抛物线方程得到的值，再由中点横坐标得到的值即可求出. 【详解】由抛物线方程可知： ，且焦点在轴正半轴上， 设，，则，， 线段中点到轴距离即， 即，则. 故选：C. 61．抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，若，则P点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先由抛物线写出其准线，再根据抛物线的定义求出P点的横坐标，然后代入抛物线方程即可求得纵坐标. 【详解】由抛物线可知其准线方程为， 点在抛物线上， 设 抛物线的焦点为，， 即，， 所以，， 所以P点的坐标是或. 故选：D. 62．（2024年山东省春季高考数学真题）已知抛物线的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与抛物线交于M、N两点，若，则焦点F到准线的距离是（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】先求出点M与点N的坐标，即可求解p的值，即可求解焦点F到准线的距离. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 过F作垂直于x轴的直线与抛物线交于M、N两点， 所以点M与点N的横坐标为， 将代入抛物线方程可得， 所以可设， 因为，所以， 所以焦点F到准线的距离是2. 故选：B． 题型6 直线与圆锥曲线 63．若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程，根据直线与椭圆有两个公共点，则有，进而求的取值范围. 【详解】∵直线与椭圆有两个公共点， 联立方程， 整理得， 则有 解得的取值范围：. 故选：C. 64．已知直线经过椭圆的右焦点，且倾斜角为，它与椭圆相交与、两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆方程确定右焦点坐标，由直线斜率和过右焦点写出直线方程，与椭圆方程联立解得交点坐标，进而求得线段长度. 【详解】已知椭圆方程，则，焦点在轴上， 可得右焦点， 直线经过点且倾斜角为，该直线斜率为， 故直线的方程为， 把直线方程代入椭圆方程中，得 ， 即， 解得，，这是两个交点、的横坐标，令，， 点、的纵坐标分别为，， 所以线段的长为， 故选：D. 65．已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据中点坐标公式，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理即可求解. 【详解】设弦与椭圆的交点分别为， 因为弦的中点坐标为，所以. 联立，化简整理得，. 所以，解得，所以， 经检验，此时，则椭圆的短轴长为. 故选：C. 66．经过点且与椭圆相切的直线方程是                   (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用点斜式，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到一元二次方程，让此方程根的判断式为零，求出斜率，即可求出切线方程，要考虑斜率不存在的情况． 【详解】显然当时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意； 当存在斜率时，直线方程设为：，与椭圆的方程联立得， ，得到 直线与椭圆相切，故，即 解得所以切线方程为，故本题选A． 【点睛】本题考查了椭圆的切线方程．其实本题可以类比圆的切线方程得出，过圆 上一点的切线方程为，椭圆也有类似性质：过椭圆 上一点的切线方程为． 67．已知点P是椭圆上的动点，当点P到直线x-2y+10=0的距离最小时,点P的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与直线x-2y+10=0平行且与椭圆相切的直线方程为，与椭圆方程联立，利用，解得，即可得出结论. 【详解】解：设与直线x-2y+10=0平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立，化为， ，解得， 点P到直线x-2y+10=0的距离最小，故时，， 解得，， . 故选：C. 68．已知点是椭圆上任意一点，则点到直线:的最大距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出椭圆与直线平行的切线，它们与的距离一个最大值一个是最小值． 【详解】设直线与椭圆相切，由得， ∴，， 切线方程为和，与距离较规远的是， ∴所求最大距离为． 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆上的点到直线距离的最值，解题方法是转化为平行直线与椭圆相切，求出两平行线间的距离即可． 69．“直线与双曲线有两个公共点”是“直线与双曲线相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由双曲线的几何性质结合充分必要条件判断即可. 【详解】“直线与双曲线有两个公共点”，可以推出“直线与双曲线相交”，故充分性成立； “直线与双曲线相交”无法推出“直线与双曲线有两个公共点”， 如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个公共点，故必要性不成立； 故“直线与双曲线有两个公共点”是“直线与双曲线相交”的充分不必要条件. 故选：A. 70．过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线于A、B两点，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】由双曲线方程得到其右焦点坐标，进而得到题干中直线方程，再将直线方程代入双曲线方程求得A、B两点的纵坐标，从而得解. 【详解】对于双曲线，，则， 所以双曲线的右焦点， 则过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线为， 将代入，得，解得， 所以. 故选：C. 71．已知直线与抛物线交于，两点，，点在直线上，且，则抛物线的标准方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求出直线的方程，再与抛物线方程联立，进而结合韦达定理求解. 【详解】点，，则直线的斜率， ， 又因为直线过点，代入点斜式方程， 得直线的方程为， 设， 联立直线方程和抛物线方程，得， 则， 由韦达定理得：， 因为， 又因为， 所以， 则抛物线的标准方程是， 故选：D. 72．已知抛物线，直线l：，则抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线上一点为，求出点到直线的距离，利用配方法，由此能求出抛物线上一点到直线的距离最小值. 【详解】设抛物线上一点， 点到直线的距离 . 当时，即当时， 抛物线上一点到直线的距离最短， 且为. 故选：D. 73．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，过焦点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，从，两点向准线作垂线，垂足分别为，，若，则四边形的面积为（     ） A．16 B．8 C． D．4 【答案】C 【分析】设出抛物线方程，根据题意写出直线的点斜式方程，联立方程组结合韦达定理及弦长公式求出值，代入梯形的面积公式即可得解. 【详解】    设抛物线方程为，则焦点坐标为，准线方程为， 则过焦点且斜率为的直线方程为， 联立方程组， 设，， 由韦达定理可知，，， 因为，则，解得， 所以抛物线方程为，则焦点坐标为，准线方程为， 四边形为直角梯形，，高为， ， 所以梯形的面积为， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $