【填空题专项】01 立体几何 2027年山东省（春季高考）《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦立体几何核心计算与空间关系，以题型分层覆盖表面积体积及综合问题，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |柱锥表面积|26题（含2026真题）|直棱柱/圆柱/棱锥表面积计算，结合三视图与古代数学文化|从基本几何体到三视图转化，构建“平面直观→空间结构→公式应用”逻辑链| |柱锥体积|25题（含2022-2023真题）|圆柱/棱锥体积计算，涉及折叠/旋转/熔铸等情境|以体积公式为核心，关联空间几何体形成过程，强化转化与建模意识| |球|4题|外接球/截面球表面积体积，结合长方体与距离问题|围绕球的性质，建立“几何体→球的位置关系→空间距离计算”推导路径| |组合体|5题|圆柱与圆锥/半球组合体表面积体积，结合三视图|整合单一几何体知识，培养复杂结构分解与综合运算能力| |综合问题|16题|异面直线/线面角/二面角等空间关系判断与计算|从度量计算过渡到位置关系论证，发展空间想象与逻辑推理能力|

2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 填空题专项 （一）立体几何 题型1 柱、椎的表面积 1．直棱柱的底面是边长为的菱形，侧棱长为，则直棱柱的侧面积是_____________． 2．已知圆柱的底面半径为4，侧面面积为，则该圆柱的母线长等于______． 3．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，某一“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为_____________． 4．若一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等边三角形，则这个几何体的表面积为_____.    5．如图所示，已知一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为______． 6．一个球的表面积为，则它的内接正方体的表面积为______. 7．一个几何体的三视图如图所示（单位：），俯视图为半圆，主视图和左视图为矩形，则该几何体的表面积为______.    8．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为4的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为__________． 9．一个半球的全面积为，一个圆柱与此半球等底等高，则这个圆柱的侧面积是______． 10．已知矩形，，把这个矩形分别以所在直线为轴旋转一周，所围成几何体的侧面积分别记为，则和的比值等于______. 11．已知四棱锥的各棱长都等于4，则该四棱锥的表面积等于________． 12．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为5，则该正四棱锥的表面积是________________. 13．已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则该三棱锥的侧面积等于____________． 14．把一个体积为64的正方体削成一个同底等高的正四棱锥，则该正四棱锥的侧面积为__________． 15．已知圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的侧面积等于__________. 16．几何体的三视图中，正视图和左视图都是腰长为5的等腰三角形，俯视图是直径为6的圆，则该几何体的表面积是__________ 17．已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，则该圆锥的体积是________． 18．如图所示的为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为_____．    19．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的体积为，则该圆锥的侧面积为_____． 20．已知一个圆锥的底面半径与母线长之比为，其高为，则圆锥的表面积为______. 21．圆锥的高为，母线和底面成角，则它的侧面积等于______． 22．一个圆锥的主视图为一个正三角形，其底面周长为，则圆锥的表面积为__________. 23．若圆锥的底面半径为，且轴截面是等腰直角三角形，则圆锥的侧面积为_________. 24．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积为___________. 25．如果圆锥的高等于底面的直径，则它的底面积与侧面积的比为__________． 26．（2026年山东省春季高考数学真题）如图所示，某几何体的正视图和左视图都是边长为4的正方形，俯视图是圆，则该几何体的表面积为_____________．    题型2 柱、椎的表面积 27．已知底面半径为1的圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为________． 28．将边长为2的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为________. 29．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是中点，则三棱锥的体积为__________.    30．已知高为3的直三棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为________． 31．已知一个等边三角形的边长为4，则以其一边所在直线为轴，其余各边旋转一周围成的几何体的体积为__________. 32．如图所示，为水平放置的的斜二测直观图，若，则绕轴旋转一周形成的几何体的体积为__________.    33．在三棱锥中，底面是边长为3的正三角形，平面，，则该三棱锥的体积为________ 34．把一个底面周长为，高为10的圆柱形铁块，熔铸成底面积为的圆锥，则这个圆锥的高为_____. 35．已知某圆锥的底面半径为2，体积为，则该圆锥的母线长为_________ 36．如图所示，正方形的边长为1，弧是以为圆心，以为半径的圆弧，以边所在直线为旋转轴旋转一周，则曲边三角形旋转一周形成的几何体的体积是_____________． 37．如图所示，圆柱内切一个球，球的直径与圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比是________． 38．在《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知阳马的底面是边长为1的正方形，两条相等的侧棱长为，则该阳马的体积等于____． 39．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积是________． 40．在空间直角坐标系中，点在上的射影分别为，则四面体的体积为__________. 41．已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为__________． 42．一个几何体的主视图，左视图和俯视图均是全等的等腰直角三角形，且腰长为2，则该几何体的体积为________. 43．如图所示，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点A到平面的距离为__________ 44．若一个圆锥的轴截面顶角为120°，母线长为2，则这个圆锥的体积为__________. 45．若一个圆锥侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为_____________． 46．正三棱锥的底面边长为4，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为__________． 47．圆柱的底面半径为3，侧面展开图是正方形，则该圆柱的体积是________． 48．一根长3米的圆柱锯成两段圆柱体后，表面积增加4平方米，则原圆柱的体积为______. 49．已知一个几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如图（2）所示），则此几何体的体积为______. 50．（2023年山东省春季高考数学真题）圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的体积等于_________． 51．（2022年山东省春季高考数学真题）若底面边长为4的正四棱锥与棱长为2的正方体体积相等，则四棱锥的高等于___________. 题型3 球的表面积和体积 52．若长方体的长、宽、高的比值为，且表面积为，则该长方体的外接球的表面积为____________． 53．已知平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2，则此球的表面积为________． 54．若两个球的表面积之比为，那么这两个球的半径之比为________． 55．已知正方体的体积是，且它内切球的球心到该球小圆圆心的距离为，则小圆的周长为________． 题型4 组合体的表面积和体积 56．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.    57．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____．    58．如图，某几何体是一个同底等高的圆柱和圆锥的组合体，圆锥的顶点为P，圆柱的上下底面圆心分别为，，已知圆锥轴截面是边长为2的正三角形，则该几何体的表面积为________．    59．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______. 60．如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积S为___________. 题型5 立体几何小题中的综合问题 61．如图所示，正四棱锥的棱长都为，为的中点，为底面的中心，则直线与所成角的大小为___________．    62．如图，平面四边形中，，是，中点，，，，将沿对角线对折起至，使平面平面，则四面体中，异面直线与所成的角为______． 63．已知二面角的度数是，平面内一点到棱的距离为，则点到平面的距离是______. 64．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，BC的中点，现将正方形ABCD沿EF折叠成的二面角（如图），则点C到BD的距离为________． 65．在下列四个图中,分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有__________．（填序号） 66．在棱长为1的正方体中，直线与平面之间的距离为________． 67．如图所示，在三棱锥中，平面，，则直线与平面所成角的度数为_________． 68．如图所示，在棱长为2的正方体中，点E是棱的中点，点F是棱的中点，则直线与平面所成角的正切值为______． 69．如图所示，在长方体中，，，则与平面所成角的正切值为______. 70．如图，P是二面角内的一点，，垂足分别为，若，则二面角的大小为____________.    71．已知直线与平面所成角为，且直线上的两点、到平面的距离分别为3和5，则线段的长为______. 72．如图，三棱锥中，平面，，则二面角的大小等于_____． 73．如图，在正方体中，点是的中点，则下列结论：    ①平面；②；③；④平面． 其中正确的序号是__________. 74．如图，在棱长为1的正方体中，点E、F、G分别为棱、、的中点，P是底面ABCD上的一点，若平面GEF，则下面的4个判断 ①点P的轨迹是一段长度为的线段； ②线段的最小值为； ③； ④与一定异面． 其中正确判断的序号为__________． 75．如图所示，已知正方体，E，F分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论： ①； ②平面平面； ③； ④平面平面； 其中，正确结论的序号是_________． 76.（2025年山东省春季高考数学真题）如图所示正方体的棱长为4，点分别是的中点，若点平面，且，则点到直线的距离的最小值是___________. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年山东省春季高考 数学 专项冲刺练习 填空题专项 （一）空间几何体的表面积与体积 题型1 柱、椎的表面积 1．直棱柱的底面是边长为的菱形，侧棱长为，则直棱柱的侧面积是_____________． 【答案】/ 【分析】由直棱柱的侧面积公式即可得解. 【详解】由题意可知，直棱柱的侧面为四个长为，宽为的矩形. 所以侧面积为. 故答案为：. 2．已知圆柱的底面半径为4，侧面面积为，则该圆柱的母线长等于______． 【答案】2 【分析】根据圆柱的侧面面积公式直接求解即可. 【详解】设该圆柱的母线长为，底面周长为， 由圆柱的侧面面积公式，其中，所以， 所以该圆柱的母线． 故答案为：2. 3．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，某一“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为_____________． 【答案】 【分析】先由三视图还原图形，再通过原图形求三棱柱的表面积. 【详解】直棱柱如图所示，该直棱柱的表面积为． 故答案为：. 4．若一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等边三角形，则这个几何体的表面积为_____.    【答案】 【分析】从三视图可确定该几何体为三棱柱，再由左视图标的长度确定三棱柱底面三角形的高和三棱柱的高，最后由三棱柱表面积公式求值即可. 【详解】三视图可确定该几何体为三棱柱， 由左视图可知，底面三角形的高为，棱柱的高为 且俯视图为等边三角形，所以底面三角形的边长为， 所以底面三角形的面积为， 三棱柱的侧面积为， 所以这个几何体的表面积为. 故答案为：. 5．如图所示，已知一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为______． 【答案】/ 【分析】根据三视图还原出几何体，再计算几何体的表面积即可. 【详解】由三视图，观察可得该几何体是棱长为2的正方体沿一个对角面截成的直三棱柱，如图所示， 所以，，， 则其表面积为． 故答案为：. 6．一个球的表面积为，则它的内接正方体的表面积为______. 【答案】8 【分析】根据球的表面积公式计算球的半径，进而得到正方体的体对角线及边长，再求正方体表面积即可. 【详解】设球的半径为，内接正方体的边长为， 则由可得：， 且球的直径是内接正方体的体对角线，则有，解得， 则正方体的表面积为. 故答案为：. 7．一个几何体的三视图如图所示（单位：），俯视图为半圆，主视图和左视图为矩形，则该几何体的表面积为______.    【答案】 【分析】先还原几何体，再根据圆柱的表面积公式求解即可. 【详解】根据三视图可知，该几何体为半圆柱，如图，    由此可知，底面圆直径为，即半径为，高为， ∴上下底面的面积为，侧面积为， 截面矩形的面积为， ∴该几何体的表面积为. 故答案为：. 8．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为4的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为__________． 【答案】 【分析】根据圆锥与圆柱的表面积公式求值即可. 【详解】由题意知，圆柱和圆锥的底面半径， 且圆柱的高为，圆锥的母线长为， 则圆柱的表面积， 圆锥的表面积， 所以它们的表面积之比为． 故答案为：. 9．一个半球的全面积为，一个圆柱与此半球等底等高，则这个圆柱的侧面积是______． 【答案】 【分析】根据球的表面积公式和圆柱的侧面积公式即可求解. 【详解】解：设球的半径为， 则半球的全面积底面积球的表面积，即， 所以， 所以圆柱的侧面积为． 故答案为： 10．已知矩形，，把这个矩形分别以所在直线为轴旋转一周，所围成几何体的侧面积分别记为，则和的比值等于______. 【答案】1 【分析】判断旋转体的形状，结合圆柱的侧面积公式即可解得. 【详解】设，则.若矩形以所在直线为轴旋转一周，所围成的圆柱底面半径为1，母线长为2， 则侧面积； 若矩形以所在直线为轴旋转一周，所围成的圆柱底面半径为2，母线长为1， 则侧面积；∴； 故答案为：1. 11．已知四棱锥的各棱长都等于4，则该四棱锥的表面积等于________． 【答案】 【分析】根据四棱锥的表面积公式即可求解. 【详解】因为四棱锥的各棱长都等于4，所以底面为正方形，侧面为四个正三角形， 则四棱锥的表面积为. 故答案为：. 12．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为5，则该正四棱锥的表面积是________________. 【答案】 【分析】由正四棱锥的结构，分别求出底面积和侧面积即可. 【详解】如图，正四棱锥，过点作， 由题意可得，， ，所以为中点，， 在中，斜高， 所以该正四棱锥的表面积是. 故答案为：. 13．已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则该三棱锥的侧面积等于____________． 【答案】36 【分析】先求出正三棱锥的侧面三角形的高，再计算侧面积. 【详解】设正三棱锥为，取中点，连接， 因为底面是边长为的正三角形，所以， 在中，，，可得， 所以正三棱锥侧面积. 故答案为：36. 14．把一个体积为64的正方体削成一个同底等高的正四棱锥，则该正四棱锥的侧面积为__________． 【答案】 【分析】根据题意可得，正四棱锥的底面边长为4，底面周长，高，从而可求斜高，利用侧面积公式可求解. 【详解】    如图，因为正方体的体积为64， 所以正方体的棱长为4， 所以正四棱锥的底面边长为4，底面周长，高， 所以斜高， 所以侧面积． 故答案为： 15．已知圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的侧面积等于__________. 【答案】 【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形， 所以该圆锥底面圆的半径为，母线长为， 所以该圆锥的侧面积为. 故答案为：. 16．几何体的三视图中，正视图和左视图都是腰长为5的等腰三角形，俯视图是直径为6的圆，则该几何体的表面积是__________ 【答案】 【分析】根据三视图判断出几何体为圆锥，然后利用圆锥的表面积公式计算. 【详解】该几何体是母线长为5的圆锥，圆锥底面半径为3，如图，    所以该几何体的表面积为. 故答案为：. 17．已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，则该圆锥的体积是________． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式和体积公式列式求值即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 则底面积为，侧面积为， 由圆锥的侧面积是底面积的2倍，可得， 解得，由，可得， 解得，所以该圆锥的体积是. 故答案为：. 18．如图所示的为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为_____．    【答案】 【分析】由三视图可知，此几何体是一个底面半径为3，母线为5的圆锥，利用圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】由三视图可知，此几何体是一个底面半径为3，母线为5的圆锥， 所以表面积， 故该几何体的表面积为. 故答案为：. 19．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的体积为，则该圆锥的侧面积为_____． 【答案】 【分析】根据题意，结合直角圆锥的体积先求出底面圆的半径和母线长，继而求得圆锥的侧面积. 【详解】由题意，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形， 设底面圆的半径为r，则圆锥的高， 故母线长， 所以该直角圆锥的体积， 所以， 所以母线长， 所以该圆锥的侧面积为. 故答案为：. 20．已知一个圆锥的底面半径与母线长之比为，其高为，则圆锥的表面积为______. 【答案】 【分析】由题意根据圆锥的底面半径，高和母线构成直角三角形，求解出半径和母线长，再由表面积公式求解. 【详解】因为圆锥底面半径和母线长之比为，则设半径为，那么母线长为， 可列方程，解得； 由圆锥表面积公式可得. 故答案为：. 21．圆锥的高为，母线和底面成角，则它的侧面积等于______． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式求值即可. 【详解】已知圆锥的高为，母线和底面成角， 则圆锥母线长为， 则圆锥底面半径， 所以它的侧面积， 故答案为：. 22．一个圆锥的主视图为一个正三角形，其底面周长为，则圆锥的表面积为__________. 【答案】 【分析】根据圆锥的主视图为一个正三角形得到圆锥的底面圆的半径为2，母线长为4，然后计算侧面积和底面积的和. 【详解】∵圆锥的主视图为一个正三角形，其底面周长为，即， ∴圆锥的底面圆的半径为2，母线长为4， ∴圆锥的表面积为， 故答案为：. 23．若圆锥的底面半径为，且轴截面是等腰直角三角形，则圆锥的侧面积为_________. 【答案】 【分析】根据轴截面特点计算圆锥母线长，再算底面圆周长即可求侧面积. 【详解】 如图所示，三角形是等腰直角三角形，， 且，则， 即圆锥母线长为， 且底面圆周长， 所以侧面积. 故答案为：. 24．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积为___________. 【答案】 【分析】已知等边三角形的面积计算其边长和高即可求解圆锥的面积. 【详解】设等边三角形的边长为a， 则， 所以，， 所以圆锥的母线长为2，底面圆直径为2， 所以圆锥的面积. 故答案为：. 25．如果圆锥的高等于底面的直径，则它的底面积与侧面积的比为__________． 【答案】 【分析】利用勾股定理可求得圆锥母线长，圆锥的侧面积底面周长母线长÷2，底面积底面半径的平方，计算比值即可. 【详解】设高为x，则底面半径为，底面周长为，底面面积为， 由勾股定理知，母线长为， 侧面积为， 所以底面积与侧面积的比值为. 故答案为:. 26．（2026年山东省春季高考数学真题）如图所示，某几何体的正视图和左视图都是边长为4的正方形，俯视图是圆，则该几何体的表面积为_____________．    【答案】 【分析】根据三视图还原几何体，再求其表面积即可. 【详解】由三视图知，几何体是圆柱， 其中圆柱的母线长为，底面圆的直径为，即底面圆半径， 所以该几何体的表面积. 故答案为：. 题型2 柱、椎的表面积 27．已知底面半径为1的圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为________． 【答案】 【分析】先根据圆柱侧面积公式求出圆柱的高，再利用圆柱体积公式计算体积. 【详解】已知圆柱底面半径，侧面积， 可得，解得， 故该圆柱的体积为. 故答案为：. 28．将边长为2的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为________. 【答案】 【分析】先求出正方形对角线的长度，再根据已知条件求出三棱锥的高，最后根据三棱锥体积公式求解. 【详解】取的中点，连结，，    ，， ，，. 同理， ， ，， 又平面，平面，， 平面， 为三棱锥的高， . 故答案为：. 29．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是中点，则三棱锥的体积为__________.    【答案】1 【分析】根据线面垂直的判定定理以及三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】因为平面，所以. 因为，平面， 所以平面，为三棱锥的高，， 底面积，体积. 故答案为：1. 30．已知高为3的直三棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为________． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式，结合棱锥的体积公式即可求解. 【详解】三棱锥的底面是边长为1的正三角形，高是3，又， 所以三棱锥的体积为． 故答案为：. 31．已知一个等边三角形的边长为4，则以其一边所在直线为轴，其余各边旋转一周围成的几何体的体积为__________. 【答案】 【分析】结合圆锥的体积公式即可得解. 【详解】将等边三角形，绕其一边旋转一周， 得到的几何体是由两个同底等高的圆锥构成的， 其中圆锥的底面圆半径为，高为2， 所以. 故答案为：. 32．如图所示，为水平放置的的斜二测直观图，若，则绕轴旋转一周形成的几何体的体积为__________.    【答案】 【分析】利用斜二测法画出原平面图形，再根据圆锥的概念及体积公式可求解. 【详解】    由已知直观图根据斜二测法规则画出原平面图形，如图所示： 则为直角三角形，直角边，， 将绕轴旋转一周形成的几何体为圆锥，且底面半径为，高， 所以其体积. 故答案为： 33．在三棱锥中，底面是边长为3的正三角形，平面，，则该三棱锥的体积为________ 【答案】 【分析】根据线面垂直的性质结合勾股定理求出长，代入棱锥的体积公式即可得解. 【详解】    如图所示，作出图像， 因为平面，平面，所以， 又， 在中，， 底面是边长为3的正三角形，则， 所以三棱锥的体积为， 故答案为：. 34．把一个底面周长为，高为10的圆柱形铁块，熔铸成底面积为的圆锥，则这个圆锥的高为_____. 【答案】 【分析】根据圆柱和圆锥体积相等，再结合圆锥圆柱的体积公式即可求解. 【详解】将圆柱铁块熔铸成圆锥，前后两个物体体积不变， 设圆锥的高为，圆柱底面半径为， 可得，解得， 因为前后两个物体体积不变，可得， 解得， 故答案为：. 35．已知某圆锥的底面半径为2，体积为，则该圆锥的母线长为_________ 【答案】 【分析】根据圆锥的结构特征，体积公式即可求解. 【详解】设圆锥的高为，母线为，则由题意得，，解得. 所以圆锥的母线长. 故答案为：. 36．如图所示，正方形的边长为1，弧是以为圆心，以为半径的圆弧，以边所在直线为旋转轴旋转一周，则曲边三角形旋转一周形成的几何体的体积是_____________． 【答案】/ 【分析】曲边三角形旋转一周形成的几何体的体积为圆柱的体积减去半球的体积，根据圆柱和球的体积公式即可求解. 【详解】因为边长为1正方形绕其一边旋转一周，得到的圆柱高为1，底面半径为1， 则圆柱的体积为， 以为半径为圆心的圆旋转一周，得到的半球的半径为1， 则半球的体积为， 所以曲边三角形旋转一周形成的几何体的体积为圆柱的体积减去半球的体积， 即为. 故答案为：. 37．如图所示，圆柱内切一个球，球的直径与圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比是________． 【答案】 【分析】设球的半径为，得到圆柱的高和底面半径，再根据圆柱与球的体积公式即可解答. 【详解】设球的半径为， 球的半径为，球的直径与圆柱的高相等， 圆柱的高为， 圆柱的体积与球的体积之比是， 所以圆柱的体积与球的体积之比是. 故答案为：． 38．在《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知阳马的底面是边长为1的正方形，两条相等的侧棱长为，则该阳马的体积等于____． 【答案】 【分析】根据棱锥的体积公式即可求解. 【详解】由题意得，底面，，， 则在直角三角形中，由勾股定理可得，四棱锥的高为， 则体积为. 故答案为：. 39．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积是________． 【答案】 【分析】根据题意可求出圆锥的底面半径，高，代入圆锥体积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为， ∵侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形， ∴，则， ∴， ∴该圆锥的体积. 故答案为：. 40．在空间直角坐标系中，点在上的射影分别为，则四面体的体积为__________. 【答案】1 【分析】利用射影性质先分别求出点A，B和C的坐标，再由体积公式求出四面体体积． 【详解】由，可得点在上的射影分别为， 所以平面，且三角形是直角三角形， 所以. 故答案为：. 41．已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为__________． 【答案】 【分析】根据正方形的外接球的半径与棱长的关系，结合球和棱柱的体积公式求解即可. 【详解】设正方形的棱长为，其外接球的半径为. 则，解得. 所以正方体的体积为. 故答案为：. 42．一个几何体的主视图，左视图和俯视图均是全等的等腰直角三角形，且腰长为2，则该几何体的体积为________. 【答案】 【分析】将三视图还原为几何体，再由三棱锥的体积公式即可解得. 【详解】由题可知，该几何体的主视图，左视图和俯视图均是全等的等腰直角三角形， 则该几何体为三棱锥，底面为两直角边为的直角三角形，高为， 则体积为. 故答案为： 43．如图所示，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点A到平面的距离为__________ 【答案】 【分析】根据三棱锥和三棱柱的体积关系求出三棱锥的体积，再利用等体积法即可得解. 【详解】因为三棱锥体积为乘以三棱柱的体积， 故， 设点A到平面的距离为， 则，解得. 故答案为：. 44．若一个圆锥的轴截面顶角为120°，母线长为2，则这个圆锥的体积为__________. 【答案】 【分析】根据圆锥的体积公式：即可求解. 【详解】作出圆锥的轴截面，则顶角为120°，等腰三角形的两条腰线即为母线长为2，    所以圆锥的高，底面半径，. 故答案为： 45．若一个圆锥侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为_____________． 【答案】 【分析】设出圆锥母线和半径的长，代入圆锥侧面积公式与圆面积公式，求出圆锥底面半径和高，然后利用体积公式可求. 【详解】设圆锥母线长，底面半径为， ∵圆锥侧面展开图的面积为，即圆锥侧面积为， ∴由圆锥侧面积公式得，即， ∵圆锥侧面展开图是面积为的半圆面，母线为半径， ∴，即，，从而， ∵圆锥的底面半径、母线和高构成直角三角形， ∴，，， ∵圆锥底面面积为， ∴圆锥体积为. 故答案为：. 46．正三棱锥的底面边长为4，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为__________． 【答案】 【分析】根据三棱锥为正三棱锥，且侧面为直角三角形，得到3条棱互相垂直，且棱长为，再利用体积公式求解. 【详解】 ∵正三棱锥的底面边长为4，且侧面均为直角三角形， ∴，且均为等腰直角三角形， 即，. ∵，且平面,, ∴平面. 所以，三棱锥的体积为. 故答案为：. 47．圆柱的底面半径为3，侧面展开图是正方形，则该圆柱的体积是________． 【答案】 【分析】根据圆柱的体积公式求解即可. 【详解】设圆柱的母线长为，底面半径为. 因为底面半径，且侧面展开图是正方形， 所以， 则圆柱的体积为. 故答案为：. 48．一根长3米的圆柱锯成两段圆柱体后，表面积增加4平方米，则原圆柱的体积为______. 【答案】6 【分析】根据题意分析出圆柱底面积，再根据底面积和高求解即可. 【详解】因为一根长3米的圆柱锯成两段圆柱体后，表面积增加4平方米， 所以，解得， 所以原圆柱的体积为. 故答案为：6. 49．已知一个几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如图（2）所示），则此几何体的体积为______. 【答案】 【分析】由直观图得俯视图是一个直角三角形，从而得出原几何体是一个三棱锥，其中一条侧棱与底面垂直，且三条棱长已知，代入体积公式即可求解. 【详解】因为直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形， 所以其俯视图是一个直角三角形，直角边长分别为，如图， 由三视图知原几何体是一个三棱锥，如下图， 其中两两垂直，且， 所以体积为. 故答案为： 50．（2023年山东省春季高考数学真题）圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的体积等于_________． 【答案】 【分析】利用圆柱的体积公式即可得解. 【详解】依题意，得该圆柱的体积为. 故答案为：. 51．（2022年山东省春季高考数学真题）若底面边长为4的正四棱锥与棱长为2的正方体体积相等，则四棱锥的高等于___________. 【答案】/1.5 【分析】设正四棱锥的高为h，根据锥体和柱体的体积公式，列式可求解. 【详解】设正四棱锥的高为h，由题知， ， 解得. 故答案为： 题型3 球的表面积和体积 52．若长方体的长、宽、高的比值为，且表面积为，则该长方体的外接球的表面积为____________． 【答案】 【分析】根据已知条件求出长方体的长、宽、高，根据外接球的性质可知，长方体的对角线即为外接球的直径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】因为长方体的长、宽、高的比值为， 设长方体的长、宽、高分别为， 因为长方体的表面积为， 则，解得或（舍去）， 所以长方体的长、宽、高分别为， 则长方体的对角线为， 即长方体的外接球的直径为，所以半径为， 则长方体的外接球的表面积为. 故答案为：. 53．已知平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2，则此球的表面积为________． 【答案】 【分析】根据题意结合球截面的性质求出球的半径，代入球的表面积公式即可得解. 【详解】平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2， 则球O的半径为， 所以球的表面积为， 故答案为：. 54．若两个球的表面积之比为，那么这两个球的半径之比为________． 【答案】 【分析】利用球的表面积与半径平方成正比的关系，由已知表面积之比求解半径之比即可. 【详解】设两个球的半径分别为， 因为两个球的表面积之比为，则， 所以，则. 故答案为：. 55．已知正方体的体积是，且它内切球的球心到该球小圆圆心的距离为，则小圆的周长为________． 【答案】 【分析】首先求出正方体的棱长，进而得到内切球的半径，最后根据勾股定理求出小圆的半径，根据圆的周长公式求解即可. 【详解】设正方体棱长为，则，解得. 正方体内切球的直径等于正方体棱长，因此内切球半径. 因为，则，即，解得. 因此圆的周长. 故答案为：. 题型4 组合体的表面积和体积 56．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.    【答案】 【分析】根据三视图得到原几何体的形状，然后计算表面积即可. 【详解】由几何体的三视图可知：该几何体是长方体和一个半球的组合体，    其中长方体的长、宽、高分别为2、2、3；球的半径为2， 所以该几何体的表面积为 故答案为：. 57．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____．    【答案】 【分析】根据题意，结合几何体的三视图，及圆锥和球的体积公式，即可求解. 【详解】由几何体的三视图可得，该几何体的上半部分是圆锥，下半部分是球的一半，组合而成的几何体， 由图可知，圆锥的底面圆的直径为2，高为2，半球的直径为2， 所以圆锥底面圆的半径为1，半球的半径为1， 故圆锥的体积，半球的体积， 所以该几何体的体积. 故答案为：. 58．如图，某几何体是一个同底等高的圆柱和圆锥的组合体，圆锥的顶点为P，圆柱的上下底面圆心分别为，，已知圆锥轴截面是边长为2的正三角形，则该几何体的表面积为________．    【答案】 【分析】根据圆锥和圆柱的表面积公式求解即可. 【详解】因为圆锥轴截面是边长为2的正三角形， 所以可知圆锥的母线，圆锥的底面圆半径， 所以圆锥的侧面积， 又该几何体是一个同底等高的圆柱和圆锥的组合体， 所以可知圆柱的高， 且圆柱的底面圆半径， 所以圆柱的侧面积为， 圆柱的底面积为， 所以该几何体的表面积为. 故答案为：. 59．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______. 【答案】 【解析】由三视图可知，该几何体是在一个圆柱中挖去一个圆锥与一个半球而形成的几何体，结合三视图中的数据可求得结果. 【详解】由三视图可知，该几何体是在一个圆柱中挖去一个圆锥与一个半球而形成的几何体， 由三视图的数据可知，该几何体的体积为. 故答案为：. 60．如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积S为___________. 【答案】/ 【分析】该几何体共有三类面：5个正方形、一个正方形去掉一个圆和一个半球表面． 【详解】表面积S 故答案为：． 题型5 立体几何小题中的综合问题 61．如图所示，正四棱锥的棱长都为，为的中点，为底面的中心，则直线与所成角的大小为___________．    【答案】 【分析】首先找到异面直线与所成的角，再根据三角形求解即可. 【详解】连接，因为分别为的中点，所以. 则直线与所成角为. 因为正四棱锥的棱长都为，所以为等边三角形，因此. 故答案为：.    62．如图，平面四边形中，，是，中点，，，，将沿对角线对折起至，使平面平面，则四面体中，异面直线与所成的角为______． 【答案】 【分析】由三角形中位线，异面直线所形成的角，两平面垂直的性质，线面垂直的性质及勾股定理即可得解. 【详解】 如图所示，取中点并连接，则. 所以异面直线与所成的角与与形成的角相同，即. 因为，是，中点，所以. 因为，，所以，. 又因为，，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，则. . 因为. 所以. 所以在中，. 所以为直角三角形且. 异面直线与所成的角为. 故答案为：. 63．已知二面角的度数是，平面内一点到棱的距离为，则点到平面的距离是______. 【答案】 【分析】由二面角的性质即可得解. 【详解】由二面角相关知识可得, 到棱的距离和到平面的距离分别是一个直角三角形的斜边与直角边, 且其中直角边所对的角为30°. 所以点到平面的距离为. 故答案为:. 64．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，BC的中点，现将正方形ABCD沿EF折叠成的二面角（如图），则点C到BD的距离为________． 【答案】/ 【分析】连接，作，由线面垂直的判定与性质定理可得，在中，用等面积法求解即可. 【详解】如图，连接，作，垂足为， 在边长为的正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点， 将正方形ABCD沿EF折叠成的二面角， 所以， 如图，则为折叠成的二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，则， 又平面，所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 在中，， 由等面积法可得，，即， 解得，即点C到BD的距离为. 故答案为：. 65．在下列四个图中,分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有__________．（填序号） 【答案】②④ 【分析】根据题意,由正三棱柱的特征,再结合异面直线的定义即可判断. 【详解】图①中,直线; 图②中,三点共面,但平面,所以直线与异面, 图③中,,所以与共面; 图④中,共面,但平面,所以与异面. 故答案为: ②④ 66．在棱长为1的正方体中，直线与平面之间的距离为________． 【答案】 【分析】由题意直线与平面平行，所以直线与平面之间的距离等于点到平面的距离，利用等体积法求解即可. 【详解】因为，所以为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以直线与平面平行， 所以直线与平面之间的距离等于点到平面的距离. 由已知得平面，是边长为的正三角形， 设点到平面的距离为， 由，得， 则，解得， 即直线与平面之间的距离为. 故答案为：. 67．如图所示，在三棱锥中，平面，，则直线与平面所成角的度数为_________． 【答案】 【分析】根据平面，得出为直线与平面所成的角即可解答. 【详解】平面， 为直线在平面内的射影， 即为直线与平面所成的角， 又平面，平面， ，即，且， 所以，即直线与平面所成角的度数为， 故答案为：. 68．如图所示，在棱长为2的正方体中，点E是棱的中点，点F是棱的中点，则直线与平面所成角的正切值为______． 【答案】 【分析】连接，可得与平面所成角为，在中可求解. 【详解】 如图所示，连接， 在正方体中， 平面ABCD 所以在平面内的射影为. 即是直线与平面所成角， 在中，， 故. 在中 ． 故答案为： 69．如图所示，在长方体中，，，则与平面所成角的正切值为______. 【答案】/ 【分析】过作，垂足为，则平面，则即为所求角，从而可得结果. 【详解】依题意，画出图形，如图， 过作，垂足为， 所以，故点H为中点， 在长方体中， 平面，平面， 可得，又， 所以 平面， 则即为所求角， 因为，， 所以， ， 所以， 故答案为：. 70．如图，P是二面角内的一点，，垂足分别为，若，则二面角的大小为____________.    【答案】 【分析】根据题意，作，连接，根据线面垂直，先证四点共面，结合四边形内角和，即可求解. 【详解】    如图，作，连接， 因为，， 所以， 又， 所以平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又， 所以， 因为平面,平面， 所以平面， 因为过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直， 所以平面与平面重合， 即四点共面， 所以为二面角的大小. 又， 即在四边形中，， 所以, 又， 所以. 即二面角的大小为． 故答案为：． 71．已知直线与平面所成角为，且直线上的两点、到平面的距离分别为3和5，则线段的长为______. 【答案】4或16/16或4 【分析】由题意可知、两点可能为平面一侧，亦可能在平面两侧，利用三角函数知识解答即可. 【详解】当、两点为平面一侧时，由三角函数知识可知， ， 当、两点在平面两侧时，由三角函数知识可知， ， 故答案为：4或16. 72．如图，三棱锥中，平面，，则二面角的大小等于_____． 【答案】 【分析】根据线面垂直的性质找到二面角的平面角求解即可. 【详解】因为平面，平面， 所以，， 所以即二面角的平面角， 且，则二面角的大小等于. 故答案为：. 73．如图，在正方体中，点是的中点，则下列结论：    ①平面；②；③；④平面． 其中正确的序号是__________. 【答案】①② 【分析】根据正方体的性质和直线、平面的垂直与平行的关系判定. 【详解】连接，则，而在平面内,可知平面，①正确； 是的中点，，②正确； ，是等边三角形，是边上的高线，，③错误； 平面，不垂直于平面，④错误． 综上，正确的序号为①②． 故答案为：①②.    74．如图，在棱长为1的正方体中，点E、F、G分别为棱、、的中点，P是底面ABCD上的一点，若平面GEF，则下面的4个判断 ①点P的轨迹是一段长度为的线段； ②线段的最小值为； ③； ④与一定异面． 其中正确判断的序号为__________． 【答案】①③ 【分析】先证明平面平面，可判断P的轨迹是线段，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接，所以，又因为，则， 同理，，故平面平面， 又因为平面GEF，且P是底面ABCD上的一点，所以点在上． 所以点P的轨迹是一段长度为，故①正确； 当为中点时，线段最小，最小值为，故②错； 因为在正方体中，平面，又平面， 则，故③正确； 当与重合时，与平行，则④错． 故答案为：①③ 75．如图所示，已知正方体，E，F分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论： ①； ②平面平面； ③； ④平面平面； 其中，正确结论的序号是_________． 【答案】③④ 【分析】取E、F特殊位置可判定①②，根据线面垂直关系可判断③④. 【详解】对①：当,时，与不平行，则与不平行，故①错误； 对②：当,时，平面与平面不平行， 所以平面与平面不平行，故②错误； 对③：由正方体的特征可知：平面,平面，所以， 又，，平面,平面， 所以平面，由平面，所以，故③正确； 对④：由正方体的特征可知：平面,平面， 则平面平面，故④正确. 综上所述：正确结论的序号是③④. 故答案为：③④. 76.（2025年山东省春季高考数学真题）如图所示正方体的棱长为4，点分别是的中点，若点平面，且，则点到直线的距离的最小值是___________. 【答案】 【分析】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，再利用两点间距离公式和点到直线的距离公式分析求解即可. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示： 因为正方体的棱长为4，点分别是的中点， 所以， 设，， 则， 又因为，即，整理得：， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 在平面内，， 所以直线的方程为，整理得：， 又因为圆心到直线的距离，且点在圆上， 所以点到直线的距离的最小值， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $