第 19 练 双曲线的几何性质《数学》拓展模块上册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》（拓展模块上册）第19练，聚焦双曲线几何性质，以“三阶支架”分层设计实现从概念理解到综合应用的渐进巩固，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|离心率、渐近线、标准方程等单一概念|结合瓷枕横截面情境考查离心率，渗透数学眼光；通过渐近线与直线平行关系求方程，强化运算能力| |进阶层|双曲线与椭圆综合、焦点三角形等关联知识|以椭圆与双曲线公共焦点及矩形性质为载体，发展几何直观与推理意识；通过焦点距离关系计算，提升数学语言表达| |综合层|方程求解与直线位置关系等综合应用|解答题采用“求标准方程→焦点距离计算”问题链，体现模型意识；直线与双曲线位置关系探究，培养应用意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 19 练 双曲线的几何性质 一、选择题 1．瓷枕是中国古代较为流行的一种瓷质枕具，其上常以彩釉绘制精美图画，或题写诗句.某瓷枕及横截面如图所示，该横截面的上、下曲线可以看作双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．双曲线一条渐近线与直线平行，且过点则双曲线的方程（   ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的焦点在轴上，且双曲线上的动点到其两个焦点的距离满足，则该双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 4．如图，，是椭圆：与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则双曲线的实轴长是（   ） A．4 B．8 C． D． 5．已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 6．与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知点是双曲线：的右一点，、是双曲线的左、右焦点，，，则双曲线的离心率为______． 8．若双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的实轴长为__________． 9．已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为____________. 10．已知双曲线的两个焦点为和，且点在双曲线上.若，则点到轴的距离为_____. 三、解答题 11．已知双曲线C的实轴长为2，且与椭圆有相同的焦点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设点P在双曲线C上，又在第一象限内，为双曲线C的焦点，且满足，求的值. 12．已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，离心率，且点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线只有一个公共点，求实数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 19 练 双曲线的几何性质 一、选择题 1．瓷枕是中国古代较为流行的一种瓷质枕具，其上常以彩釉绘制精美图画，或题写诗句.某瓷枕及横截面如图所示，该横截面的上、下曲线可以看作双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，建立适当的直角坐标系，可表示出双曲线上一点的坐标，及双曲线的实轴长，继而设出双曲线的标准方程，将已知点坐标代入即可求得的值，继而求得c的值，即可求得离心率. 【详解】由题意，构建如下图示的直角坐标系，其中双曲线过点，实轴长为，即， 又双曲线的焦点在轴上，设方程为， 将点代入得，所以， 所以，即， 所以离心率. 故选：D. 2．双曲线一条渐近线与直线平行，且过点则双曲线的方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线平行确定斜率，再根据双曲线与渐近线的关系与双曲线上的点的坐标求解即可； 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 又因为其中一条渐近线与直线平行，直线可化为. 所以，即. 所以双曲线方程可表示为，即. 因为双曲线经过点，所以，解得. 所以，所以双曲线为. 故选：A 3．已知双曲线的焦点在轴上，且双曲线上的动点到其两个焦点的距离满足，则该双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合双曲线的定义求出，利用求出值，代入渐近线方程中即可得解. 【详解】双曲线的焦点在轴上，且双曲线上的动点到其两个焦点的距离满足， 则，且焦点坐标为，即， 因为，解得， 所以双曲线的渐近线方程是， 故选：. 4．如图，，是椭圆：与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则双曲线的实轴长是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】设，根据椭圆的定义及勾股定理，求出的值，再利用双曲线的定义可求解. 【详解】在椭圆：中，， 所以，从而. 设, 在矩形中，是，在第二象限的公共点， 则，解得， 所以双曲线的实轴长. 故选：D 5．已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出双曲线的渐近线，再根据直线与圆相切的性质求得的关系，再根据离心率求解即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即. 因为双曲线的渐近线与圆相切，圆的圆心坐标为，半径为， 则由点到直线的距离公式得，解得. 又因为，所以,进而. 故选:A. 6．与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出双曲线的渐近线，再结合椭圆的焦点即可求得. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上， 所以设所求双曲线方程为且， 双曲线的渐近线方程为， 所以，即，联立，解得． 所以双曲线方程为. 故选：B． 二、填空题 7．已知点是双曲线：的右一点，、是双曲线的左、右焦点，，，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义及离心率公式求解即可. 【详解】设，由双曲线：可知，， 结合双曲线的定义可得：， 解得：，又因为， 所以，即， 所以， 所以离心率， 故答案为：. 8．若双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的实轴长为__________． 【答案】 【分析】利用圆心到渐近线的距离等于半径即可求得的值，从而可得双曲线的实轴长. 【详解】由题设，渐近线方程为，且圆心为，半径为， 所以由相切关系知：，可得， 又，即，所以双曲线的实轴长为， 故答案为：. 9．已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为____________. 【答案】 【分析】根据双曲线的离心率和的关系得到，再根据渐近线方程即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率，即， 又，得到，即， 双曲线的焦点在轴上， 所以的渐近线方程为. 故答案为：. 10．已知双曲线的两个焦点为和，且点在双曲线上.若，则点到轴的距离为_____. 【答案】/ 【分析】设出坐标，求出焦点坐标与，，利用内积为零求出坐标，进而可求距离. 【详解】设点，，则， 焦点坐标为，，，， 因为，所以， 即，化简得①， 又点在双曲线上，则②， 联立①②消去得，解得， 点到轴的距离为. 故答案为：. 三、解答题 11．已知双曲线C的实轴长为2，且与椭圆有相同的焦点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设点P在双曲线C上，又在第一象限内，为双曲线C的焦点，且满足，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆方程得到焦点坐标，进而确定双曲线的方程. （2）由点在双曲线上，代入方程求得点P的坐标，进而的值求解即可 【详解】（1）由条件可得，椭圆为焦点为， 设双曲线C方程为， 因为双曲线的实轴长为2，所以，所以， 故双曲线C的标准方程为； （2）因为点P在双曲线上，又在第一象限内，，    设点P的坐标为，由得，即， 因为，所以， 故. 12．已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，离心率，且点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线只有一个公共点，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的离心率以及双曲线过点列方程求解即可. （2）联立两方程，根据判别式为0求解即可. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 则，． 因为点在双曲线上， 所以，解得，． 故双曲线的标准方程为． （2）由得， 所以． 解得． 因此，实数的值为或．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $