第 18 练 双曲线的标准方程（2）《数学》拓展模块上册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》（拓展模块上册第三章第18练），以三阶分层设计（基础巩固-中档应用-综合拓展）实现双曲线标准方程知识从概念理解到综合应用的递进，培养数学抽象、运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|双曲线定义、标准方程等单一概念|选择题1-4直接考查定义应用与方程形式，如点到焦点距离计算，夯实基础认知| |中档应用|方程表示双曲线的条件、焦点距离等概念辨析|填空题7-10强化参数范围判断，选择题5-6结合焦点三角形深化理解，提升推理意识| |综合拓展|多知识点整合（方程约束、几何应用）|解答题11-12融合椭圆双曲线综合、弦中点问题，体现知识迁移，发展应用意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 18 练 双曲线的标准方程（2） 一、选择题 1．双曲线上一点P到左焦点的距离是18，则点P到右焦点的距离是（   ） A．2 B．34 C．8 D．2或34 2．过点，且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D．或 3．已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（   ） A．2 B． C． D． 4．平面上动点到点的距离与它到直线的距离之比为，则动点的轨迹是（   ） A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆 5．双曲线的左右焦点分别是与，是双曲线左支上的一点，且，则（   ）． A．16 B．4 C．16或4 D．11 6．如图所示，已知点和点是双曲线与椭圆的公共焦点，且点是双曲线和椭圆在第一象限内的公共点．若，则椭圆的离心率是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为_____（用区间表示）. 8．过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是__________. 9．点P是双曲线的点，双曲线的焦点为、，若，则点P到轴的距离为___________. 10．若方程表示双曲线，则的取值范围是____ . 三、解答题 11．求下列圆锥曲线的标准方程的约束条件： (1)已知方程表示焦点在y轴的椭圆，求实数k的取值范围； (2)已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，求n的取值范围． 12．设中心在原点，焦点在轴上的双曲线与有共同的渐近线，且过点．求： (1)双曲线方程； (2)双曲线被点平分的弦所在的直线方程； (3)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且以直线上的点为焦点的抛物线方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 18 练 双曲线的标准方程（2） 一、选择题 1．双曲线上一点P到左焦点的距离是18，则点P到右焦点的距离是（   ） A．2 B．34 C．8 D．2或34 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】∵双曲线为，其中，则，即， 由双曲线的定义可知，， ∵双曲线上一点P到左焦点的距离是18， ∴，即， 解得或. 故选：D. 2．过点，且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意结合双曲线的性质，分类讨论焦点在轴和轴上即可得解. 【详解】，， 当焦点在轴上时，设双曲线方程为， 将点代入方程中，得，解得， 此时双曲线方程为； 当焦点在轴上时，设双曲线方程为， 将点代入方程中，得，解得， 此时双曲线方程为； 综上所述，双曲线方程为或， 故选：. 3．已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由双曲线的定义及余弦定理，求得的值，再利用三角形的面积相等法求得的值，进而求得，得到答案. 【详解】由双曲线，可得，则， 设，由双曲线的定义，可得， 根据余弦定理，可得，解得， 再设点的坐标为， 则， 因为，可得，解得， 由，可得，即点到轴的距离为. 故选：C. 4．平面上动点到点的距离与它到直线的距离之比为，则动点的轨迹是（   ） A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆 【答案】A 【分析】设点，利用距离公式化简可得出点的轨迹方程，即可得出动点的轨迹图形. 【详解】设点，由题意可得， 化简可得，即，曲线为反比例函数图象， 故动点的轨迹是双曲线. 故选：A. 5．双曲线的左右焦点分别是与，是双曲线左支上的一点，且，则（   ）． A．16 B．4 C．16或4 D．11 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】双曲线的. 因为左右焦点分别是与，是双曲线左支上的一点， 所以. 又因为，， 则. 故选：A. 6．如图所示，已知点和点是双曲线与椭圆的公共焦点，且点是双曲线和椭圆在第一象限内的公共点．若，则椭圆的离心率是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线与椭圆的定义及其离心率计算公式即可得出． 【详解】由双曲线可知，所以， 则双曲线的焦距，即， 因为在双曲线中，又点在第一象限内， 所以，则， 对于椭圆，设长半轴为，则，解得， 因为椭圆和双曲线共焦点，所以， 故椭圆的离心率是． 故选：C. 二、填空题 7．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为_____（用区间表示）. 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程列不等式求解即可. 【详解】已知方程表示焦点在轴上的双曲线， 可得，解得， 则的取值范围为. 故答案为：. 8．过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是__________. 【答案】24 【分析】根据双曲线的定义，结合题意即可求解. 【详解】因为双曲线方程为， 所以， 即， 由双曲线定义知：， 所以，， 又， 故， 故的周长为， 故答案为：24. 9．点P是双曲线的点，双曲线的焦点为、，若，则点P到轴的距离为___________. 【答案】 【详解】利用向量垂直的坐标表示，结合双曲线的标准方程即可得解. 【分析】对于，有，则， 所以不妨设、，， 则， 因为，所以，则，即， 又点P是双曲线上的点，则， 联立，解得， 所以点P到轴的距离为. 故答案为：. 10．若方程表示双曲线，则的取值范围是____ . 【答案】 【分析】根据双曲线标准方程的形式，列不等式求解即可. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，可化为， 解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 11．求下列圆锥曲线的标准方程的约束条件： (1)已知方程表示焦点在y轴的椭圆，求实数k的取值范围； (2)已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程表示焦点在轴的椭圆方程求解即可； （2）根据双曲线的焦距与方程表示双曲线求解即可； 【详解】（1）因为椭圆的焦点在y轴上， 所以，解得， 即实数k的取值范围为． （2）因为双曲线的焦距为4，所以， 当焦点在轴上时，可得，解得． 又因为方程表示双曲线得，解得． 所以n的取值范围为. 当焦点在轴上时，可得，解得，无解； 综上可知，n的取值范围为. 12．设中心在原点，焦点在轴上的双曲线与有共同的渐近线，且过点．求： (1)双曲线方程； (2)双曲线被点平分的弦所在的直线方程； (3)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且以直线上的点为焦点的抛物线方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用有共同渐近线设所求双曲线方程，代入点即可求解； （2）利用点差法，分别设,代入双曲线方程，两式相减结合中点可得出所在直线的斜率，进而求出的直线方程； （3）根据（2）的直线方程，先算出抛物线的焦点，进而求出抛物线方程. 【详解】（1）设所求双曲线方程为：，又过点，代入得 ，， 所以双曲线方程为：. （2）设，， 则，两式相减得， 整理得，又是的中点，，，代入得 ，即， 过点， 所在直线方程为，即. （3）由题意可知，抛物线的焦点为直线与坐标轴的交点， 直线方程与坐标轴交点分别为和， 则反求抛物线方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $