第 16 练 椭圆的几何性质《数学》拓展模块上册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学《一课一练》第16练以三阶分层设计巩固椭圆几何性质，基础题夯实概念理解，进阶题强化情境应用，综合题提升问题解决能力，适配同步教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|离心率、范围、长轴等单一概念|选择题直接计算离心率（题2），填空题基础公式应用（题7），培养运算能力| |进阶层|椭圆与矩形结合、焦点短轴关系等综合概念|选择5以矩形花坛情境考查参数，填空9判断直线与椭圆位置，发展几何直观| |综合层|标准方程求解、弦长计算等问题解决|解答11求方程并算弦长，解答12探究轨迹与交点，提升推理意识与模型观念|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 16 练 椭圆的几何性质 一、选择题 1．有一种玻璃材质的高脚杯，杯内壁的轴截面可视为椭圆的一部分，如图所示，杯体最粗处直径为，杯口直径为，杯深，则该椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 2．椭圆的离心率的值是（    ） A． B． C． D． 3．椭圆上的点的横坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．在椭圆的标准方程中，其长轴长为（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 5．如图所示，在一块长为26米，宽为20米的矩形地块中造一个花坛，花坛边缘由两个半椭圆（）和（）组成，其中，花坛内切于矩形，即花坛和矩形各边均有且只有一个公共点，则m，n的值为（   ） A． B． C． D． 6．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知椭圆的离心率为，则_____． 8．已知，分别为椭圆（其中）的左、右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为正三角形，则椭圆的离心率为______． 9．直线与椭圆的位置关系为_____________． 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆C交于A，B两点．若的周长为8，则椭圆方程为_________. 三、解答题 11．已知，是椭圆的两个焦点，且它的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于，两点，求线段的长度. 12．在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为，直线与交于、两点． (1)求的方程； (2)若，求的值； (3)若，求的值； (4)当时，求的中点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 16 练 椭圆的几何性质 一、选择题 1．有一种玻璃材质的高脚杯，杯内壁的轴截面可视为椭圆的一部分，如图所示，杯体最粗处直径为，杯口直径为，杯深，则该椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目所给的高脚杯轴截面椭圆的相关尺寸，确定椭圆的长半轴、短半轴，再根据离心率公式计算出离心率. 【详解】作杯内壁的轴截面如图，建立如图所示的平面直角坐标系.    设椭圆的标准方程为，由题意：， 当时，则，所以对应第一象限内点的纵坐标为. 因为杯深，所以 . 所以椭圆的离心率为：. 故选：B. 2．椭圆的离心率的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】椭圆中，即；，即， 则，即. 所以离心率. 故选：B. 3．椭圆上的点的横坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质即可得解. 【详解】椭圆，焦点在轴上，且，则， 所以横坐标的取值范围是， 故选：. 4．在椭圆的标准方程中，其长轴长为（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】由椭圆方程求出的值 ，利用椭圆长轴长的定义即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程可知，则， 所以椭圆的长轴长为. 故选：B. 5．如图所示，在一块长为26米，宽为20米的矩形地块中造一个花坛，花坛边缘由两个半椭圆（）和（）组成，其中，花坛内切于矩形，即花坛和矩形各边均有且只有一个公共点，则m，n的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合椭圆的性质即可得解. 【详解】一块长为26米，宽为20米的矩形地块中造一个花坛， 花坛边缘由两个半椭圆（）和（）组成，其中， 则半椭圆（）过点，则， 因为半椭圆（），过点， 则半椭圆（）过点，则， 经检验，符合题意， 故选：. 6．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合椭圆的几何性质得出，利用得出，代入离心率公式即可得解. 【详解】    由题意可知椭圆的一个焦点、短轴的一个顶点和原点构成了等腰直角三角形，则， 所以，， 则该椭圆的离心率， 故选：A. 二、填空题 7．已知椭圆的离心率为，则_____． 【答案】2 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程，表示出离心率，继而求解. 【详解】因为椭圆的离心率为， 所以，所以离心率， 即，解得（负值舍）. 故答案为：2. 8．已知，分别为椭圆（其中）的左、右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为正三角形，则椭圆的离心率为______． 【答案】/ 【分析】根据题意结合椭圆的性质及离心率公式即可求解. 【详解】    如图所示，作出图像，因为为正三角形， 即，则， 故离心率， 故答案为：. 9．直线与椭圆的位置关系为_____________． 【答案】相交 【分析】求得直线恒过的定点，判断定点与椭圆的位置关系，由此可得直线与椭圆的位置关系. 直线可化为，所以直线恒过点， 又，即在椭圆的内部， 直线与椭圆的位置关系为相交. 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆C交于A，B两点．若的周长为8，则椭圆方程为_________. 【答案】 【分析】依题意可得且，再由即可得解. 根据椭圆的定义， 根据的周长为8可得， 所以， 再由离心率为，即， 所以，可得， 所以椭圆方程为， 故答案为：. 三、解答题 11．已知，是椭圆的两个焦点，且它的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于，两点，求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率公式即可确定椭圆的标准方程. （2）将直线方程与椭圆方程联立，再由弦长公式求值即可. 【详解】（1）已知，，离心率为， 得，，且椭圆的焦点在轴上， 则，解得， 因为，所以， 所以椭圆的标准方程是. （2）设，， 根据题意得， 化简得， 则有，， 又因为，且， 所以. 12．在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为，直线与交于、两点． (1)求的方程； (2)若，求的值； (3)若，求的值； (4)当时，求的中点坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）首先根据题意判断轨迹，再求出得到标准方程. （2）联立两方程，根据韦达定理以及弦长公式求解即可. （3）根据向量垂直的坐标公式以及韦达定理求解即可. （4）根据韦达定理以及中点坐标公式求解即可. 【详解】（1），∴点的轨迹为椭圆． 设椭圆的标准方程为． 则，． ∴椭圆的标准方程为：. （2）设，．联立，化为， ，， ，， ，化为， 解得，. （3），，， ， ， ，化为，解得. （4）设的中点， ，，， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $