第 15 练 椭圆的标准方程（2）《数学》拓展模块上册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》椭圆的标准方程（2）同步练，三阶分层设计，从概念理解到综合应用，夯实基础并培养数学思维与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|椭圆定义及标准方程条件|直接应用定义求周长、焦点坐标，巩固基础运算，培养抽象能力| |中档|椭圆性质综合应用|结合中点距离、三角形面积等情境，提升推理能力与几何直观| |提高|方程求解与轨迹探究|综合运用弦长公式、垂直平分线性质，培养模型意识与创新思维|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 15 练 椭圆的标准方程（2） 一、选择题 1．设，为椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，则的周长为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 2．已知曲线，若曲线表示椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 3．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左、右焦点分别是，点在椭圆上，若线段的中点到坐标原点的距离是1，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 5．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆和圆上的点，则的最小值为（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 6．若方程表示椭圆，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．且 二、填空题 7．已知是椭圆上的动点，，，且，则_____. 8．已知椭圆的左，右焦点分别为为椭圆上的一点，且，若的面积为4，则__________. 9．椭圆（）的焦点坐标是______. 10．椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___________. 三、解答题 11．已知椭圆的短轴长为，焦距为2．斜率为1且过点的直线与椭圆相交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求弦的长； (3)若轴上存在点使得直线与直线关于轴对称，求点的坐标． 12．如图所示，设是圆上的动点，另有点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆周上运动时，求点的轨迹方程.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 15 练 椭圆的标准方程（2） 一、选择题 1．设，为椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，则的周长为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求解三角形的周长. 【详解】对于椭圆，可得，，所以，， 可得，即， 由椭圆的定义可知，， 又因为， 所以的周长， 故选：C. 2．已知曲线，若曲线表示椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据椭圆标准方程的特点列出方程组即可得解. 【详解】曲线表示椭圆， 则，解得且， 所以的取值范围是， 故选：. 3．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆焦点所在的轴联立不等式，即可求解. 由题意得，解得. 故选：C. 4．已知椭圆的左、右焦点分别是，点在椭圆上，若线段的中点到坐标原点的距离是1，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据中位线定义求出，再根据椭圆定义求出即可. 【详解】如图所示：设线段的中点为，坐标原点为,    则， 因为分别为线段的中点， 所以，即， 又因为椭圆中，， 所以. 故选：C. 5．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆和圆上的点，则的最小值为（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据题意结合椭圆的定义求出焦点坐标，再利用圆的标准方程求出圆心与半径，作出图像分析图像即可得解. 【详解】如图所示，    椭圆，，，则， 又因为焦点在轴上，所以焦点坐标为， 圆，圆心坐标为，半径为， 圆，圆心坐标为，半径为， 椭圆的两个焦点分别是两圆的圆心，且， 所以当在的连线上且在之间，在的连线上且在之间时，的最小， 则的最小值为. 故选：. 6．若方程表示椭圆，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．且 【答案】D 【分析】根据椭圆标准方程的性质求解. 【详解】若方程表示椭圆，则： 解得：且. 故选：D. 二、填空题 7．已知是椭圆上的动点，，，且，则_____. 【答案】5 【分析】根据椭圆的定义确定椭圆的焦点位置，进而求出的值. 【详解】因为， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 易知，，即，， 所以. 故答案为：5. 8．已知椭圆的左，右焦点分别为为椭圆上的一点，且，若的面积为4，则__________. 【答案】2 【分析】根据椭圆的定义以及的关系求解即可. 【详解】设， 在椭圆中，， ∵，则， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴，则， ∵， 即，可得， 即， 又，则. 故答案为：2.    9．椭圆（）的焦点坐标是______. 【答案】 【分析】将给定方程化为标准形式，判断焦点位置，并求出椭圆焦点坐标. 【详解】将椭圆方程化为，因为， 所以，即方程为焦点在y轴上的椭圆方程， 则，所以焦点的纵坐标为. 故答案为：. 10．椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___________. 【答案】 【分析】先根据椭圆的定义求得，然后利用余弦定理求得，进而求得. 【详解】因为椭圆的标准方程为， 所以， 根据椭圆的定义可得， 所以， 又因为， 在中，， 因为， 所以. 三、解答题 11．已知椭圆的短轴长为，焦距为2．斜率为1且过点的直线与椭圆相交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求弦的长； (3)若轴上存在点使得直线与直线关于轴对称，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的短轴长和焦距，求得b和c的值，继而求得，即可求得椭圆的标准方程； （2）根据题意，先表示出直线l的方程，与椭圆方程联立方程组，求得交点坐标，结合两点之间的距离公式，即可求得弦长； （3）根据题意，结合两直线关于轴对称，可得，设出点的坐标，结合斜率继而求解. 【详解】（1）因为椭圆的短轴长为，焦距为2， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）因为斜率为1且过点的直线方程为， 所以，消元化简整理得， 所以，解得， 所以，不妨设, 所以弦长； （3）由题意，设点M坐标为，因为直线与直线关于轴对称， 所以,所以，解得， 故点的坐标为. 12．如图所示，设是圆上的动点，另有点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆周上运动时，求点的轨迹方程.    【答案】 【分析】根据椭圆的定义以及圆的性质求解即可. 【详解】    连接，因为是线段的垂直平分线，所以. 又因为在半径上，所以，所以，且. 由椭圆定义可知：点轨迹是以为焦点的椭圆. 由得，从而. 故所求的椭圆方程为，即， 所以点P的轨迹方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $