第一章 专题一 带电粒子在匀强磁场中运动的四种常见模型【考点分类提优】-2026-2027学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

本讲义聚焦带电粒子在匀强磁场中运动的四种模型（缩放圆、旋转圆、平移圆、磁聚焦磁发散），系统梳理各模型的适用条件（速度方向/大小、入射点特征）和界定方法（放缩、旋转、平移圆法等），通过考向示例构建从模型认知到解题应用的学习支架。 以模型建构为核心，通过分类梳理培养科学思维，结合2026年模拟题等典型例题及变式训练提升科学推理能力。配套图示辅助直观理解，课中助力教师高效授课，课后学生可通过练习巩固模型应用，查漏补缺。

专题一 带电粒子在匀强磁场中运动的四种常见模型 1.掌握四种常见模型（旋转圆，缩放圆，平移圆，磁聚焦磁发散）。 2.解题时能快速联想并对应到模型。 考点一　缩放圆模型 适用条件 速度方向一定，速度大小不同 粒子源发射速度方向一定，速度大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 考点二　旋转圆模型 适用条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定方法 将一半径R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 考点三　平移圆模型 适用条件 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与所有入射点的连线平行 界定方法 将半径R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 考点四　磁聚焦模型 1．磁发散：如图1所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。 2．磁汇聚：如图2所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。 考向1 缩放圆模型 【典例】（2026·湖南衡阳·一模）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，，，一束带正电的粒子，在纸面内从点垂直于射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为、电荷量为。在磁场中运动时间最长的粒子的速率为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（2026·临清二中·一模）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、dc的延长线通过圆弧的圆心，Ob长也为R。一束质量为m、电量为q的带正电粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知：所有粒子均从圆弧边界射出（包含c、b两点）。不计粒子重力影响和粒子间的相互作用。则下列正确的有（　　） A．这束粒子中，可能有粒子水平射出磁场 B．这束粒子中，垂直于磁场边界射出的粒子速度大小为 C．这束粒子的速度大小范围为 D．这束粒子在磁场中运动时间范围为 考向2 旋转圆模型 【典例】（多选）（25-26高二下·彭州中学·阶段检测）如图，一半径为的圆形匀强磁场区域，圆心为，磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里，圆形磁场边界上的处有一粒子源，可向纸面内的多个方向发射质量为、电荷量为的同种带电粒子，发射粒子的速率为，发射方向与半径左侧最大夹角为、与半径右侧最大夹角为，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，则下列说法正确的是 A．发射方向与半径左侧夹角为的粒子和发射方向与半径右侧夹角为的粒子从磁场中射出时速度方向平行 B．圆形磁场边界上有粒子打到的弧长为 C．发射的粒子在磁场中运动的最长时间为 D．发射的粒子在磁场中运动的最短时间与最长时间比值为 【变式1】（多选）（25-26高二下·达州·期末）如图所示，在竖直平面内的xoy直角坐标系中，y轴右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第四象限内有垂直于x轴的无限长探测薄板PQ，其与y轴距离，左右两表面均能接收粒子。位于原点O处的粒子源，沿坐标平面内向磁场区域各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子电荷量为q、质量为m、速率均为v，不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，粒子撞击薄板后不再反弹。则（     ） A．粒子在磁场中运动的最短时间为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．薄板左表面接收到粒子的区域长度为 D．薄板右表面接收到粒子的区域长度为 【变式2】（多选）（25-26高三下·海南中学·考前学情自测）如图所示，S为一离子源，MN为足够长的荧光屏，S到MN的距离为，MN左侧区域有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。某时刻离子源S一次性沿平行纸面各个方向均匀地喷发大量的质量为、电荷量为、速率为的正离子（此后不再喷发），不计离子重力，不考虑离子之间的相互作用力。则（　　） A．打中荧光屏的最短时间为 B．打中荧光屏的最长时间为 C．打中荧光屏的宽度为 D．打到荧光屏的离子数与发射的离子数比值为 考向3 平移圆模型 【典例】（2025·六安一中·模拟）如图所示，直角三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，边长为边长为，大量质量为、电荷量为、速度大小为的带负电粒子垂直边射入磁场。带电粒子在磁场中运动后只从和边射出磁场。不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，则匀强磁场的最大磁感应强度为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2026·云南·调研测试）如图所示，真空中的三角形MNQ区域（含边界）存在磁感应强度大小为B、方向垂直MNQ平面的匀强磁场，速率不同的电子从P点垂直NM和磁场方向射入MNQ区域。已知NM = L，，∠M = ∠N = 53°电子的质量为m、电荷量为e，取sin53° = 0.8。若所有电子只能从P、M之间射出，不考虑重力、电子之间的相互作用，则（   ） A．磁场方向垂直MNQ平面向里 B．速率不同的电子在磁场中运动的时间不同 C．电子射出位置距P点的最远距离为 D．电子入射速率v的最大取值范围为 考向4 磁聚焦模型 【典例】（多选）在真空中，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电量为e，质量为m，速度为，则以下说法正确的是（     ） A．对着圆心入射的质子，其出射方向的反向延长线一定过圆心 B．沿a点比沿b点进入磁场的质子在磁场中运动时间短 C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场 D．若质子以相等的速率从同一点沿各个方向射入磁场，则它们离开磁场的出射方向可能垂直 【变式1】（多选）（25-26高三上·邯郸旭日中学·学情自测）如图所示，半径为R的圆形区域内分布有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，O为圆心，为圆的竖直直径，a、b两相同粒子以相同的速度分别从圆周上点和M点进入磁场，经过磁场偏转后，粒子a从圆周上的N点离开磁场，且，已知粒子质量为m，电荷量大小为q，不计粒子的重力，图中。下列说法正确的是（     ） A．两粒子进入磁场的速度大小为 B．粒子b将从N点上方圆周上的某一点离开磁场 C．粒子a、b在磁场中的运动时间之比为 D．两粒子离开磁场时速度方向间的夹角为 由题意可知两粒子射入磁场的方向与磁场直径垂直，由于，则四边形为菱形 即粒子轨迹半径， 由，解得，A正确； B．粒子轨迹半径亦为，由磁聚焦特点可知，当粒子运动轨迹半径与圆形磁场半径相等时，平行入射的粒子会从同一点离开磁场。 所以该粒子也将从圆周上的点离开磁场，B错误； C．由几何关系可知，在菱形中，，故粒子在磁场中的运动时间之比为，C错误； D．粒子离开磁场的方向与射入磁场的方向间的夹角为，粒子离开磁场的方向与射入磁场的方向间的夹角为，故两粒子离开磁场时速度方向的夹角为，D正确。 故选AD 。 一、单选题 1．如图所示，点的离子源沿纸面垂直于方向向上射出一束负离子，离子的重力及离子之间的相互作用忽略不计。为把这束负离子约束在之下的区域，可加垂直于纸面的匀强磁场。已知、两点间的距离为，负离子的比荷为，速率为，与间的夹角为，则所加匀强磁场的磁感应强度的大小和方向可能是（     ） ①，垂直于纸面向里    ②，垂直于纸面向里 ③，垂直于纸面向外    ④，垂直于纸面向外 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．（25-26高三上·石家庄精英中学·第四次调研）两个相互平行的竖直边界内存在正交的匀强磁场和电场，磁场沿水平方向，磁感应强度大小为，电场沿竖直方向，电场强度大小为E（图中未画出），一带电微粒从纸面内左边界上某点垂直边界射入恰好沿直线运动。若保持其它条件不变，仅改变电场方向，变为与原来相反，该带电微粒仍以相同的速度入射，做匀速圆周运动，且恰好不从右边界射出。已知两边界的宽度为，该微粒的比荷为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·石家庄精英中学·第四次调研）如图所示，空间中有一环形匀强磁场，其内半径为，外半径为。在内圆上的点处有甲、乙两个带正电粒子分别沿点切线方向以等大、反向的初速度射出（均在纸面内），已知两粒子质量相等，不计粒子重力及相互间的作用力。若两微粒均恰好不从外环射出磁场，则甲、乙两粒子所带电量之比为（　　） A．1：3 B．3：1 C．1：2 D．2：1 4．（25-26高二上·如皋中学·月考）如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里、大小为，场区足够宽，磁场内有一块足够长平面感光薄板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离处有一个点状的放射源S，它在纸面内均匀的向各个方向发射比荷相等的带正电的粒子，粒子的速度大小都满足，不计重力和粒子间的相互作用，则（　　） A．击中ab板的粒子运动的最长时间为 B．击中ab板的粒子运动的最短时间为 C．ab上被粒子打中的区域的长度为 D．放射源S发射的粒子中有41.7%的粒子可以击中ab板 5．粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子之间相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子1可能为质子 B．粒子2可能为电子 C．若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点 D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点 6．（25-26高二下·兰州新区·期末）如图所示，在正方形abcd范围内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，两个相同的电子以不同的速率从a点沿ab方向垂直磁场方向射入磁场，其中甲电子从c点射出，乙电子从d点射出．不计电子重力，则甲、乙两电子（     ） A．速率之比为1∶2 B．在磁场中运动的周期之比为1∶2 C．速度偏转角之比为1∶2 D．在磁场中运动时，动能和速度均不变 7．（25-26高二下·江苏江阴·学情调研）如图所示，半径为的圆形区域存在垂直圆面的匀强磁场，在圆心处向平面内发射不同速度的带电粒子，粒子质量均为，电荷量均为，其中速度大小为的粒子恰好被约束在磁场区域内。不计重力及粒子间相互作用。则磁感应强度大小为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·深圳龙城高级中学·期中）如图所示，在半径为的圆形区域内有一匀强磁场，有一粒子从边界上的点以一定的速度沿径向垂直于磁场方向射入，在磁场边界上距点圆周处飞出，则粒子在磁场中的圆周运动的半径为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·辽宁沈阳·模拟）在平面直角坐标系xOy中有如图所示的有界匀强磁场区域，磁场上边界是以O′（0，4d）点为圆心，半径为R=5d的一段圆弧，圆弧与x轴交于M（-3d，0）、N（3d，0）两点，磁场下边界是以坐标原点O为圆心，半径为r=3d的一段圆弧。现有一束带负电的粒子沿x轴负方向以速度v0射入该磁场区域。已知磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为，带电粒子质量为m，电荷量大小为q，不计粒子重力。下列说法中正确的是（　　） A．所有入射粒子都一定过O点 B．只有正对O′点入射的粒子离开磁场后会过O点 C．粒子在磁场区域运动的最长时间为 D．若粒子速度变为2v0，正对O′点入射的粒子离开磁场后一定过O点 10．（2026·邢台清河中学·选拔考）如图所示，边长为的正方形区域存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AB、BC和AD边为三块挡板，CD边无挡板，。处有小孔，质量为，电荷量为的粒子，自点进入磁场区域，速度方向与AD边夹角为，垂直磁场进入，进入速率不同。已知粒子与挡板相碰将被吸收，速率满足一定条件的粒子将通过CD连线离开磁场区域。整个空间各点电势均相等，不计粒子之间的相互作用，不计重力。已知，。则下列说法正确的是（     ） A．从点离开的粒子速率为 B．能离开磁场区域的粒子速度应满足 C．能离开磁场区域的粒子在ABCD区域运动的最长时间和最短时间之比为2∶1 D．从E点离开的粒子的速率为 三、解答题 11．（2026·江苏泰州·模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，虚线边界OM与轴正方向成角。时刻，在第一象限加垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，此时，位于OM上的一正离子源S（到原点的距离为）在xOy平面内发射出大量质量为、电荷量为的同种不同速率的离子，方向斜向右下方，均与OM成角，且所有离子均能运动到边界OM。当所有离子运动到边界OM时，撤去磁场，在第一象限加沿轴负方向、大小为的匀强电场，使得所有离子经过第一象限OM与y轴间的某边界OP（图中未画出）时的速率均相等。不计离子的重力以及离子间的相互作用力，求： (1)所有离子经过边界OM的时刻。 (2)离子的最大发射速率。 (3)边界OP满足的方程。 12．（25-26高二下·江苏江阴·学情调研）如图所示，宽为、长为的长方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，在的中点处有一个离子源，沿图示的与成角的方向发射任意速度大小的相同带正电粒子，已知粒子的电量为，质量为，且不计粒子重力及粒子间的相互作用，则： (1)若粒子恰好在边中点射出，求速度大小； (2)求粒子从边射出所用的时间； (3)求粒子在边上射出的区域长度大小。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一 带电粒子在匀强磁场中运动的四种常见模型 1.掌握四种常见模型（旋转圆，缩放圆，平移圆，磁聚焦磁发散）。 2.解题时能快速联想并对应到模型。 考点一　缩放圆模型 适用条件 速度方向一定，速度大小不同 粒子源发射速度方向一定，速度大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 考点二　旋转圆模型 适用条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定方法 将一半径R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 考点三　平移圆模型 适用条件 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与所有入射点的连线平行 界定方法 将半径R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 考点四　磁聚焦模型 1．磁发散：如图1所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。 2．磁汇聚：如图2所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。 考向1 缩放圆模型 【典例】（2026·湖南衡阳·一模）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，，，一束带正电的粒子，在纸面内从点垂直于射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为、电荷量为。在磁场中运动时间最长的粒子的速率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，满足 故粒子做圆周运动的半径 粒子做圆周运动的周期 粒子在磁场中转过角度所需要的时间 联立解得 由此可知，粒子在磁场中运动的时间与转过的圆心角成正比，设粒子的运动轨迹过上的某一点，为粒子做圆周运动轨迹的圆心，当最大时，粒子运动轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长；由几何关系可知当点与点重合时，粒子运动时间最长，如图所示 设运动半径为，则有 解得 代入粒子做圆周运动的半径表达式 解得 故选A。 【变式1】（多选）（2026·临清二中·一模）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、dc的延长线通过圆弧的圆心，Ob长也为R。一束质量为m、电量为q的带正电粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知：所有粒子均从圆弧边界射出（包含c、b两点）。不计粒子重力影响和粒子间的相互作用。则下列正确的有（　　） A．这束粒子中，可能有粒子水平射出磁场 B．这束粒子中，垂直于磁场边界射出的粒子速度大小为 C．这束粒子的速度大小范围为 D．这束粒子在磁场中运动时间范围为 【答案】BCD 【详解】A．因粒子垂直ab向上射入磁场，可知粒子做圆周运动的圆心在ab直线上，若粒子从圆弧bc上某点水平射出磁场，则粒子做圆周运动的圆心应该在该点正下方，由于Ob=R，可知这样的点不存在，即不可能有粒子水平射出磁场，A错误； B．这束粒子中，垂直于磁场边界射出的粒子轨道半径满足 解得 根据，可得速度大小为，B正确； C．打到b点的粒子轨道半径为 打到c点的粒子轨道半径，解得 根据可知 这束粒子的速度大小范围为，C正确； D．如图所示， 设当粒子从d点射出，且∠dOb=θ，故O′d⊥Od时，θ最大，此时粒子轨迹所对应的圆心角最小，由几何关系有 所以θ=30°，故粒子轨迹所对应的圆心角为120°，粒子在磁场中飞行的最短时间为 从b点射出的粒子θ=0°，最小，时间最长，则 可得这束粒子在磁场中运动时间范围为，D正确。 故选BCD。 考向2 旋转圆模型 【典例】（多选）（25-26高二下·彭州中学·阶段检测）如图，一半径为的圆形匀强磁场区域，圆心为，磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里，圆形磁场边界上的处有一粒子源，可向纸面内的多个方向发射质量为、电荷量为的同种带电粒子，发射粒子的速率为，发射方向与半径左侧最大夹角为、与半径右侧最大夹角为，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，则下列说法正确的是 A．发射方向与半径左侧夹角为的粒子和发射方向与半径右侧夹角为的粒子从磁场中射出时速度方向平行 B．圆形磁场边界上有粒子打到的弧长为 C．发射的粒子在磁场中运动的最长时间为 D．发射的粒子在磁场中运动的最短时间与最长时间比值为 【答案】AB 【详解】A．带电粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，有 代入数据解得 粒子轨迹半径与圆形磁场边界的半径相等，为磁发散模型，粒子都垂直于直径向左侧射出磁场，即所有粒子从磁场中射出时速度方向均相同，故A正确； B．设与半径右侧夹角为的粒子打到圆形磁场边界上的点，作出该粒子的轨迹如图所示，圆心为，连接、和，则为一菱形，与速度方向垂直，则， 根据磁发散的规律可得粒子打到圆形磁场边界上的范围为、之间的劣弧，长度为，故B正确； C．发射方向与半径右侧夹角为的粒子在磁场中运动的弧长最长，运动时间最长，该粒子在磁场中转过的圆心角为 运动时间为，故C错误； D．发射方向与半径左侧夹角为的粒子在磁场中运动的时间为，则粒子在磁场中运动的最短时间为，故D错误。 故选AB。 【变式1】（多选）（25-26高二下·达州·期末）如图所示，在竖直平面内的xoy直角坐标系中，y轴右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第四象限内有垂直于x轴的无限长探测薄板PQ，其与y轴距离，左右两表面均能接收粒子。位于原点O处的粒子源，沿坐标平面内向磁场区域各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子电荷量为q、质量为m、速率均为v，不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，粒子撞击薄板后不再反弹。则（     ） A．粒子在磁场中运动的最短时间为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．薄板左表面接收到粒子的区域长度为 D．薄板右表面接收到粒子的区域长度为 【答案】BC 【详解】A．存在不接触PQ从y轴离开磁场的粒子，即时间趋近于0，故最短时间不为，故A错误； B．粒子轨迹半径满足 代入数据解得半径 粒子运动周期 最长时间对应最大的圆心角，粒子从右侧打在PQ上时存在圆心角最大，当速度沿y轴正方向时所对应的轨迹圆心角最大，如图轨迹1所示： 由几何关系可知，圆心角，则，故B正确； C．粒子从左侧打在PQ上时，最上端能打在P点，打在最下端的粒子轨迹与PQ相切，如上图轨迹3所示，由几何关系可知，轨迹圆心角为，则薄板上该切点距离P点的距离为，故薄板左表面接收到粒子的区域长度为，故C正确； D．粒子从右侧打在PQ上时，能打在最上端的粒子应沿y轴正方向入射（如图轨迹1所示），此粒子在PQ上的位置离P点的距离，由几何关系可知 能打在最下端的粒子，其入射点和吸收点正好为直径（如图轨迹2所示），则吸收点离P点的距离，故薄板右表面接收到粒子的区域长度为，故D错误。 故选BC。 【变式2】（多选）（25-26高三下·海南中学·考前学情自测）如图所示，S为一离子源，MN为足够长的荧光屏，S到MN的距离为，MN左侧区域有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。某时刻离子源S一次性沿平行纸面各个方向均匀地喷发大量的质量为、电荷量为、速率为的正离子（此后不再喷发），不计离子重力，不考虑离子之间的相互作用力。则（　　） A．打中荧光屏的最短时间为 B．打中荧光屏的最长时间为 C．打中荧光屏的宽度为 D．打到荧光屏的离子数与发射的离子数比值为 【答案】AC 【详解】A．离子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 其中 解得 离子轨迹对应弦长最短时运动时间最短，即离子轨迹恰好经过P点，如图所示 由几何关系可知，轨迹圆心角为，所以能打在荧光屏的最短时间，故A正确； B．离子轨迹如图所示 离子速度为从下侧回旋，刚好和边界相切于B点，离子速度为时从上侧回旋，刚好和边界相切于A点，打在荧光屏上的离子运动周期，打在荧光屏的最长时间为，故B错误； C．离子打在荧光屏的范围总长如上图中的AC长度，由几何关系可知，，故C正确； D．离子恰好打在MN上的临界运动如图所示 离子速度为时从下侧回旋，刚好和边界相切，离子速度为时从上侧回旋，刚好和边界相切，打到点的离子离开S时的速度方向和打到点的离子离开S时的速度方向的夹角为 故能打到荧光屏上的离子数与发射的离子比值为，故D错误。 故选AC。 考向3 平移圆模型 【典例】（2025·六安一中·模拟）如图所示，直角三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，边长为边长为，大量质量为、电荷量为、速度大小为的带负电粒子垂直边射入磁场。带电粒子在磁场中运动后只从和边射出磁场。不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，则匀强磁场的最大磁感应强度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当粒子运动轨迹与A、B边相切于D点，右边刚好从C点射出，此时对应的磁感应强度有最大值，粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系，有 解得 根据洛伦兹力提供向心力 联立解得 故选C。 【变式1】（2026·云南·调研测试）如图所示，真空中的三角形MNQ区域（含边界）存在磁感应强度大小为B、方向垂直MNQ平面的匀强磁场，速率不同的电子从P点垂直NM和磁场方向射入MNQ区域。已知NM = L，，∠M = ∠N = 53°电子的质量为m、电荷量为e，取sin53° = 0.8。若所有电子只能从P、M之间射出，不考虑重力、电子之间的相互作用，则（   ） A．磁场方向垂直MNQ平面向里 B．速率不同的电子在磁场中运动的时间不同 C．电子射出位置距P点的最远距离为 D．电子入射速率v的最大取值范围为 【答案】D 【详解】A．电子带负电，从P点垂直NM射入磁场，要使电子从P、M之间射出，其运动轨迹必须向右偏转，根据左手定则可知，磁场方向应垂直MNQ平面向外，故A错误； B．电子进入磁场后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。由于电子垂直于边界NM射入，并从边界NM射出，其运动轨迹为半个圆周，运动时间为半个周期，即所有从P、M之间射出的电子在磁场中运动的时间都相同，故B错误； C．设电子在磁场中做圆周运动的半径为r。电子从P点射入，从P′点射出，则射出位置距P点的距离为d = 2r 要使电子的轨迹不超出三角形MNQ区域，其轨迹圆弧在最右侧不能越过MQ边。当轨迹与MQ边相切时，半径r达到最大值，如图所示 由几何知识可得 解得 则电子射出位置距P点的最远距离为，故C错误； D．电子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 解得 因此，电子的最大入射速率对应最大半径，结合上述分析可知 则电子的最大入射速率 即电子入射速率v的最大取值范围为，故D正确。 故选D。 考向4 磁聚焦模型 【典例】（多选）在真空中，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电量为e，质量为m，速度为，则以下说法正确的是（     ） A．对着圆心入射的质子，其出射方向的反向延长线一定过圆心 B．沿a点比沿b点进入磁场的质子在磁场中运动时间短 C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场 D．若质子以相等的速率从同一点沿各个方向射入磁场，则它们离开磁场的出射方向可能垂直 【答案】AC 【详解】A．质子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力有 可得质子在磁场中做圆周运动的轨道半径为 对着圆心入射的质子，轨迹圆半径为R，入射点、磁场圆心O、轨迹圆圆心、出射点四点可构成边长为R的菱形，结合几何关系可得质子出射速度的反向延长线必然经过磁场的圆心，故A正确； B．质子在磁场中运动的周期为 所有质子运动周期相同，运动时间由轨迹的圆心角决定，入射方向平行的质子，入射点离磁场圆心的竖直距离越大，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。图中沿a点入射的质子比沿b点的质子轨迹圆心角更大，运动时间更长，故B错误； C．所有平行入射、轨迹圆半径等于磁场圆半径的质子，根据“等半径平行入射的磁聚焦”规律，所有质子都会汇聚到磁场圆的同一点射出磁场，故C正确； D．若质子以相等的速率从同一点沿各个方向射入磁场，轨迹圆半径等于磁场圆半径，可以视为磁聚焦的逆向运动，则它们离开磁场的出射方向一定相互平行，不存在两个出射方向互相垂直的情况，故D错误。 故选AC。 【变式1】（多选）（25-26高三上·邯郸旭日中学·学情自测）如图所示，半径为R的圆形区域内分布有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，O为圆心，为圆的竖直直径，a、b两相同粒子以相同的速度分别从圆周上点和M点进入磁场，经过磁场偏转后，粒子a从圆周上的N点离开磁场，且，已知粒子质量为m，电荷量大小为q，不计粒子的重力，图中。下列说法正确的是（     ） A．两粒子进入磁场的速度大小为 B．粒子b将从N点上方圆周上的某一点离开磁场 C．粒子a、b在磁场中的运动时间之比为 D．两粒子离开磁场时速度方向间的夹角为 【答案】AD 【详解】A．两粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，设粒子轨迹圆心为，粒子轨迹圆心为 由题意可知两粒子射入磁场的方向与磁场直径垂直，由于，则四边形为菱形 即粒子轨迹半径， 由，解得，A正确； B．粒子轨迹半径亦为，由磁聚焦特点可知，当粒子运动轨迹半径与圆形磁场半径相等时，平行入射的粒子会从同一点离开磁场。 所以该粒子也将从圆周上的点离开磁场，B错误； C．由几何关系可知，在菱形中，，故粒子在磁场中的运动时间之比为，C错误； D．粒子离开磁场的方向与射入磁场的方向间的夹角为，粒子离开磁场的方向与射入磁场的方向间的夹角为，故两粒子离开磁场时速度方向的夹角为，D正确。 故选AD 。 一、单选题 1．如图所示，点的离子源沿纸面垂直于方向向上射出一束负离子，离子的重力及离子之间的相互作用忽略不计。为把这束负离子约束在之下的区域，可加垂直于纸面的匀强磁场。已知、两点间的距离为，负离子的比荷为，速率为，与间的夹角为，则所加匀强磁场的磁感应强度的大小和方向可能是（     ） ①，垂直于纸面向里    ②，垂直于纸面向里 ③，垂直于纸面向外    ④，垂直于纸面向外 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【详解】若磁场方向垂直纸面向外，由左手定则可知负离子从点进入磁场区域时会向左偏转做圆周运动，临界情况是轨迹刚好与边相切，如图所示 轨迹圆的圆心为，设圆周运动的半径为，由几何关系可知 解得 洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，满足 解得 因此只要所加匀强磁场的方向垂直纸面向外、磁感应强度大小时可把这束负离子约束在之下的区域。 若磁场方向垂直纸面向里，由左手定则可知负离子从点进入磁场区域时会向右偏转做圆周运动，临界情况是轨迹刚好与边相切，如图所示 轨迹圆的圆心为，设圆周运动的半径为，由几何关系可知 解得 洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，满足 解得 因此只要所加匀强磁场的方向垂直纸面向里、磁感应强度大小时可把这束负离子约束在之下的区域。 综上，所加匀强磁场的磁感应强度的大小和方向满足②、④的情况，这束负离子可约束在之下的区域。 故选D。 2．（25-26高三上·石家庄精英中学·第四次调研）两个相互平行的竖直边界内存在正交的匀强磁场和电场，磁场沿水平方向，磁感应强度大小为，电场沿竖直方向，电场强度大小为E（图中未画出），一带电微粒从纸面内左边界上某点垂直边界射入恰好沿直线运动。若保持其它条件不变，仅改变电场方向，变为与原来相反，该带电微粒仍以相同的速度入射，做匀速圆周运动，且恰好不从右边界射出。已知两边界的宽度为，该微粒的比荷为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】该带电微粒仍以相同的速度入射能够做匀速圆周运动，说明还受重力抵消电场力，所以 洛伦兹力提供向心力 第一次能够沿直线运动有 又因为恰好不从右边界射出，则有 联立解得 故选D。 3．（25-26高三上·石家庄精英中学·第四次调研）如图所示，空间中有一环形匀强磁场，其内半径为，外半径为。在内圆上的点处有甲、乙两个带正电粒子分别沿点切线方向以等大、反向的初速度射出（均在纸面内），已知两粒子质量相等，不计粒子重力及相互间的作用力。若两微粒均恰好不从外环射出磁场，则甲、乙两粒子所带电量之比为（　　） A．1：3 B．3：1 C．1：2 D．2：1 【答案】B 【详解】根据题意结合左手定则，画出两粒子的运动轨迹，如图所示. 由几何关系可知，甲粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径 乙粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径 根据洛伦兹力提供向心力有 可得 两粒子质量相等，初速度大小相等，所以有 故选B。 4．（25-26高二上·如皋中学·月考）如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里、大小为，场区足够宽，磁场内有一块足够长平面感光薄板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离处有一个点状的放射源S，它在纸面内均匀的向各个方向发射比荷相等的带正电的粒子，粒子的速度大小都满足，不计重力和粒子间的相互作用，则（　　） A．击中ab板的粒子运动的最长时间为 B．击中ab板的粒子运动的最短时间为 C．ab上被粒子打中的区域的长度为 D．放射源S发射的粒子中有41.7%的粒子可以击中ab板 【答案】C 【详解】A．粒子在磁场中偏转，设偏转半径为，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 粒子运动的周期为 因粒子的偏转半径与放射源S到ab板的距离相等，由放射源S竖直向下射出的粒子，轨迹圆与ab板相切，如图所示 可知在击中ab板的粒子中对应的圆心角最大，运动的时间最长，为，故A错误； B．由放射源S沿与竖直方向成向右上方射出的粒子，在击中ab板的粒子中，轨迹圆的弦长最短，对应的圆心角最小，运动的时间最短，如图所示 设圆心角为，因三角形为等边三角形，故，则在磁场中运动的最短时间为，故B错误； C．作出击中ab板左、右两端最远的粒子运动轨迹，如图所示 根据几何关系，可知ab板上被粒子打中的区域长度为MN之间的距离，则有，故C正确； D．由AC项轨迹图，可知沿竖直向上方向射出粒子与ab板相切粒子走过的弧长为周长的，沿竖直向下方向射出粒子与ab板相切粒子走过的弧长为周长的，二者夹角为，即由点射出从竖直向下到竖直向上的右侧的粒子都能击中板，占总发射粒子的50%，故D错误。 故选C。 5．粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子之间相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子1可能为质子 B．粒子2可能为电子 C．若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点 D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点 【答案】D 【详解】A．粒子1经过磁场未发生偏转，说明不带电，可能为中子，故A错误； B．粒子2向上偏转，故刚进入磁场时所受洛伦兹力竖直向上，根据左手定则可知，粒子2带正电，可能为质子，故B错误； C．粒子1不受洛伦兹力，故增大磁感应强度对其轨迹无影响，故C错误； D．根据向心力方程有 可知粒子做圆周运动的半径满足 故增大粒子入射速度，粒子轨迹半径增大，可能打在探测器上的Q点，故D正确。 故选D。 6．（25-26高二下·兰州新区·期末）如图所示，在正方形abcd范围内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，两个相同的电子以不同的速率从a点沿ab方向垂直磁场方向射入磁场，其中甲电子从c点射出，乙电子从d点射出．不计电子重力，则甲、乙两电子（     ） A．速率之比为1∶2 B．在磁场中运动的周期之比为1∶2 C．速度偏转角之比为1∶2 D．在磁场中运动时，动能和速度均不变 【答案】C 【详解】设正方形边长为，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力： 可得轨道半径公式 甲电子从点射出：轨迹圆心在边上，由几何关系得轨道半径，速度偏转角为90°； 乙电子从点射出：轨迹为半圆，轨道半径，速度偏转角为180°。 A．因，轨道半径与速率成正比，所以，故A错误； B．带电粒子在匀强磁场中的周期公式为，两个电子完全相同、磁场一致，因此周期相等，比值为1:1，故B错误； C．甲偏转角为90°，乙偏转角为180°，偏转角之比为，故C正确； D．洛伦兹力不做功，因此电子动能不变，但速度是矢量，运动过程中速度方向不断改变，因此速度是变化的，故D错误。 故选C 。 7．（25-26高二下·江苏江阴·学情调研）如图所示，半径为的圆形区域存在垂直圆面的匀强磁场，在圆心处向平面内发射不同速度的带电粒子，粒子质量均为，电荷量均为，其中速度大小为的粒子恰好被约束在磁场区域内。不计重力及粒子间相互作用。则磁感应强度大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】速度大小为的粒子恰好被约束在磁场区域内，可知粒子运动的轨道半径为，根据 可得 故选D。 8．（25-26高二下·深圳龙城高级中学·期中）如图所示，在半径为的圆形区域内有一匀强磁场，有一粒子从边界上的点以一定的速度沿径向垂直于磁场方向射入，在磁场边界上距点圆周处飞出，则粒子在磁场中的圆周运动的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】假设粒子带正电荷，粒子从点沿径向射入，在距点圆周处飞出，对应的圆心角为，磁场区域半径为，设粒子做圆周运动的半径为，由几何关系可知，轨迹圆圆心（设为）、磁场圆圆心（设为）和入射点构成直角三角形，有，根据几何关系可得 解得 故B正确。 二、多选题 9．（2026·辽宁沈阳·模拟）在平面直角坐标系xOy中有如图所示的有界匀强磁场区域，磁场上边界是以O′（0，4d）点为圆心，半径为R=5d的一段圆弧，圆弧与x轴交于M（-3d，0）、N（3d，0）两点，磁场下边界是以坐标原点O为圆心，半径为r=3d的一段圆弧。现有一束带负电的粒子沿x轴负方向以速度v0射入该磁场区域。已知磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为，带电粒子质量为m，电荷量大小为q，不计粒子重力。下列说法中正确的是（　　） A．所有入射粒子都一定过O点 B．只有正对O′点入射的粒子离开磁场后会过O点 C．粒子在磁场区域运动的最长时间为 D．若粒子速度变为2v0，正对O′点入射的粒子离开磁场后一定过O点 【答案】AC 【详解】ABC．设粒子从上边界的点入射，轨迹圆心为，首次到达下边界于点。由洛伦兹力提供向心力有 结合题给 解得，粒子带负电，轨迹圆心在点正下方。由于 四边形为平行四边形，所以 关键轨迹及几何关系如图所示。 下边界半径为，所以，又有，​ 满足 故。粒子在点的速度方向与垂直，且指向点，离开磁场后做匀速直线运动，故所有入射粒子均通过点。设与轴正方向的夹角为，由入射范围可知 在直角三角形中，设，则 所以。粒子从点运动到点所对的圆心角为 该圆心角随增大而增大，正对磁场上边界最高点入射时。故 由匀速圆周运动的弧长关系得，故AC正确，B错误； D．当粒子速度变为时，由前述洛伦兹力方程得轨迹半径 正对点入射时，入射点坐标为，轨迹圆心为，所以 因，轨迹圆与下边界圆相交。设交点为，若粒子从点离开磁场后通过点，则必须为轨迹圆在点的切线，所以。由勾股定理应有 这与矛盾，故D错误。 故选AC。 10．（2026·邢台清河中学·选拔考）如图所示，边长为的正方形区域存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AB、BC和AD边为三块挡板，CD边无挡板，。处有小孔，质量为，电荷量为的粒子，自点进入磁场区域，速度方向与AD边夹角为，垂直磁场进入，进入速率不同。已知粒子与挡板相碰将被吸收，速率满足一定条件的粒子将通过CD连线离开磁场区域。整个空间各点电势均相等，不计粒子之间的相互作用，不计重力。已知，。则下列说法正确的是（     ） A．从点离开的粒子速率为 B．能离开磁场区域的粒子速度应满足 C．能离开磁场区域的粒子在ABCD区域运动的最长时间和最短时间之比为2∶1 D．从E点离开的粒子的速率为 【答案】AD 【详解】A．如图甲所示 由几何关系可知，粒子从下边缘点射出时，轨迹圆的半径为 由洛伦兹力提供向心力可知，，故A正确； C．自点离开的粒子在磁场中运动转过的圆心角为120°，如图甲所示，自点离开的粒子在磁场中运动转过的圆心角为30°，根据，所以最长时间与最短时间之比为4∶1，故C错误； B．自点离开的粒子轨迹半径应满足 所以 所以能离开磁场的粒子速度应满足，故B错误； D．如图乙所示 由几何知识可得 故， 则为等腰直角三角形，则粒子运动半径 则，故D正确。 故选AD。 三、解答题 11．（2026·江苏泰州·模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，虚线边界OM与轴正方向成角。时刻，在第一象限加垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，此时，位于OM上的一正离子源S（到原点的距离为）在xOy平面内发射出大量质量为、电荷量为的同种不同速率的离子，方向斜向右下方，均与OM成角，且所有离子均能运动到边界OM。当所有离子运动到边界OM时，撤去磁场，在第一象限加沿轴负方向、大小为的匀强电场，使得所有离子经过第一象限OM与y轴间的某边界OP（图中未画出）时的速率均相等。不计离子的重力以及离子间的相互作用力，求： (1)所有离子经过边界OM的时刻。 (2)离子的最大发射速率。 (3)边界OP满足的方程。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）离子在匀强磁场中运动的周期为，周期与离子速率无关。 由几何关系，入射方向与成，弦切角为，因此离子运动的圆心角 运动时间 ，与速率无关，所有离子运动时间都相同。 （2）洛伦兹力提供向心力，解得轨迹半径 由几何关系，到x轴的距离，为保证离子不离开磁场应满足 因此，代入得 （3）撤去磁场后加电场，设到达边界上点时速率为，由第二问可知到达点的离子速度，则 由几何关系，所有离子运动到边界OM时方向均为水平向左，离子在电场中做匀加速直线运动。出射点在上的坐标，有， 根据动能定理 代入整理后，要求为常数（与无关），消去含的项后可得 第一象限，即 12．（25-26高二下·江苏江阴·学情调研）如图所示，宽为、长为的长方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，在的中点处有一个离子源，沿图示的与成角的方向发射任意速度大小的相同带正电粒子，已知粒子的电量为，质量为，且不计粒子重力及粒子间的相互作用，则： (1)若粒子恰好在边中点射出，求速度大小； (2)求粒子从边射出所用的时间； (3)求粒子在边上射出的区域长度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动。取为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向，设轨道半径为、圆心为。由左手定则可知，圆心位于点右上方，且垂直于初速度方向，故 粒子恰从边中点射出时，该点坐标为，由轨迹圆的几何关系有 解得，由洛伦兹力提供向心力，有，结合 解得 （2）令粒子再次到达边的点为。由轨迹圆方程令，除点外得到 半径与沿粒子运动方向所夹的圆心角为 粒子的角速度为 故所用时间 （3）设粒子第一次到达边的点为。该点在轨迹圆上，有 整理得 由于，故，即 粒子在向右运动过程中从边射出时，点位于圆心所在水平线的下方，故 代入并利用，整理得 结合 可知 故射出区域的长度为 2 学科网（北京）股份有限公司 $