专题09 数列（专项训练）（上海专用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 聚焦上海高考数列核心考点，以真题研析为载体，构建三层梯度训练体系，强化知识逻辑与命题趋势的精准对接。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考情概览|1份命题解读|覆盖填空、选择、解答题，呈现基础-中档-压轴三层结构|以等差、等比数列为核心，延伸至综合构造及与函数、不等式的融合| |真题研析|3道2026真题|基础题考查基本量运算，综合题侧重知识迁移，压轴题体现工具性|从独立考点向思想工具转变，强调概念生成与应用拓展| |真题精炼|7道近3年真题|涵盖单调性、恒成立等区分题型|通过真题串联定义、性质与运算，构建逻辑链条| |模拟探源|27道模拟题|新定义、跨学科情境题占比提升|预判命题新趋势，强化数学思维与应用意识|

专题09 数列 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 数列是上海高考数学的核心主干知识之一，近三年春秋考中持续稳定考查，分值占比约12—15分，题型覆盖填空题、选择题及解答题。命题呈现"基础题保底、中档题区分、压轴题选拔"的三层梯度结构，是区分中等生与优等生的关键板块。 等差数列 2026秋考第9题 2025秋考第3题 2024春考第7题 2024秋考第18题 等比数列 2026秋考第2题 2024秋考第12题 等差与等比数列综合 2026春考第13题 2025春考第7题 数列单调性与不等式恒成立 2025秋考第16题 2024春考第12题 1.整体命题导向 2026年上海高考数学试卷以"固本观实明思维，融新启智显素养"为核心导向，严格对标《普通高中数学课程标准》，易中难比例维持6:3:1，但整体难度较2025年有所提升。上海市教育考试院评价试卷"立足基础、主干知识全覆盖""观照现实、情境创设有高度""聚焦思维、创新设计重应变""深度区分、思维层级利选拔"。 2.数列板块的三大特征 特征一：基础题"稳"，双数列各占一席 2026秋考第2题（等比）和第9题（等差）均为基础层级填空题，分别位于试卷前段和中段，考查基本量运算。这一布局体现了"主干知识全覆盖"的命题原则——等差、等比两大基础数列各至少一题，确保基础扎实的学生能稳定得分。两题合计10分，是数列板块的"基本盘"。 特征二：春考"新"，综合构造成趋势 2026春考第13题以等差等比综合形式出现，通过构造新数列考查知识迁移能力。这与2025年考试院明确指出的"构建由等差数列和等比数列组成的新结构，考查考生探究新结构、解决新问题的能力"一脉相承。春考作为秋考的"试验田"，其新定义、新构造的命题思路值得秋考备考重点关注。 特征三：压轴"隐"，数列融入函数与不等式 2026年秋考未出现数列专属压轴题，但这并不意味着数列的区分功能减弱——数列思想深度融入了函数压轴题（第19题、第21题）中。2025秋考第16题（选择压轴）已展示了"数列+函数+不等式恒成立"的复合形态，2026年这一趋势进一步深化，数列从"独立考点"向"思想工具"转变。 考向一 等差数列 典例1．（2026·上海·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 考向二 等比数列 典例2．（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 考向三 等差与等比数列综合 典例3．（2026·上海·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（    ） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 考向一 等差数列 1．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 2．（2024·上海·高考真题）数列，，c的取值范围为___________． 3．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 考向二 等差与等比数列综合 4．（2025·上海·高考真题）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________． 考向三 数列单调性与不等式恒成立 5．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 6．（2024·上海·高考真题），任意，满足，求有序数列有_____对. 7．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______． 一、单选题 1．（2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·上海嘉定·二模）设数列满足，且，其中．下列选项中错误的是（   ） A．存在，使得存在正整数N，当时，总有 B．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 C．对任意，都不存在正整数N，使得当时，总有 D．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 3．（2026·上海浦东新·三模）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，若．已知，记和分别为数列和的前项和，则下列结论正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，离心率为e，P是上一点，满足：，则以下结论（    ） （1）成等差数列的充要条件为； （2）若成等比数列，则函数的定义域不可能为R； A．结论（1）（2）都成立 B．结论（1）（2）都不成立 C．结论（1）成立，结论（2）不成立 D．结论（1）不成立，结论（2）成立 5．（2026·上海·模拟预测）命题：已知为无穷数列，对于任意正整数，若令首项，由递推式生成的数列，最终都会从某一项起变为同一个常数． 命题：且的公差为； 命题：数列的通项公式为． 则下列说法正确的是（     ）． A．、都是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．只有是的充分条件 D．、都不是的充分条件 6．（2026·上海·二模）一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得（   ）． A．为严格增数列 B．为公差不为零的等差数列． C．为等比数列（其中，） D．为周期数列 7．（2026·上海黄浦·二模）若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（    ）． A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列 C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列 8．（2026·上海闵行·模拟预测）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题： ①存在递增数列，使得它是“攀登数列”； ②存在周期数列，使得它是“攀登数列”； ③存在等差数列，使得它是“攀登数列”； ④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列． 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 9．（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 10．（2026·上海黄浦·二模）在公比q为正数的等比数列中，，，则q的值为______． 11．（2026·上海·模拟预测）已知数列满足，若，则__________． 12．（2026·上海浦东新·三模）已知等差数列满足，则的前7项和______________． 13．（2026·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前n项和，且公差，若，且，，成等比数列，则______________. 14．（2026·上海·三模）已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则的值为____________. 15．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知数列满足，，则数列前2026项的和为__________． 16．（2026·上海金山·二模）已知是数列的前项和，且，且．若，则__________． 17．（2026·上海·模拟预测）如图，已知直角三角形的两直角边和的长分别为5和12，直角三角形的斜边所在的直线与以、、…、、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆与边所在的直线相切，半圆圆心都在边上，半径分别为、、…、、…，前个半圆面积的总和，则_______． 18．（2026·上海崇明·二模）已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________． 19．（2026·上海普陀·二模）设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______. 20．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. 三、解答题 21．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，． (1)，求的值； (2)若，，依次成等比数列，求的值． 22．（2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 23．（2026·上海长宁·二模）已知（其中，）. (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 24．（2026·上海·二模）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 25．（2026·上海奉贤·二模）设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． (1)若，，求； (2)求证：数列是严格递减数列； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 26．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切；若，且，所有幂函数均与抛物线交于点M． (1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足，求：动点R的轨迹方程； (2)设，求：数列前2026项的和； (3)已知直线与某个以点为圆心的相切，当最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2026·上海虹口·三模）对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． (1)若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； (2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； (3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 数列 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 数列是上海高考数学的核心主干知识之一，近三年春秋考中持续稳定考查，分值占比约12—15分，题型覆盖填空题、选择题及解答题。命题呈现"基础题保底、中档题区分、压轴题选拔"的三层梯度结构，是区分中等生与优等生的关键板块。 等差数列 2026秋考第9题 2025秋考第3题 2024春考第7题 2024秋考第18题 等比数列 2026秋考第2题 2024秋考第12题 等差与等比数列综合 2026春考第13题 2025春考第7题 数列单调性与不等式恒成立 2025秋考第16题 2024春考第12题 1.整体命题导向 2026年上海高考数学试卷以"固本观实明思维，融新启智显素养"为核心导向，严格对标《普通高中数学课程标准》，易中难比例维持6:3:1，但整体难度较2025年有所提升。上海市教育考试院评价试卷"立足基础、主干知识全覆盖""观照现实、情境创设有高度""聚焦思维、创新设计重应变""深度区分、思维层级利选拔"。 2.数列板块的三大特征 特征一：基础题"稳"，双数列各占一席 2026秋考第2题（等比）和第9题（等差）均为基础层级填空题，分别位于试卷前段和中段，考查基本量运算。这一布局体现了"主干知识全覆盖"的命题原则——等差、等比两大基础数列各至少一题，确保基础扎实的学生能稳定得分。两题合计10分，是数列板块的"基本盘"。 特征二：春考"新"，综合构造成趋势 2026春考第13题以等差等比综合形式出现，通过构造新数列考查知识迁移能力。这与2025年考试院明确指出的"构建由等差数列和等比数列组成的新结构，考查考生探究新结构、解决新问题的能力"一脉相承。春考作为秋考的"试验田"，其新定义、新构造的命题思路值得秋考备考重点关注。 特征三：压轴"隐"，数列融入函数与不等式 2026年秋考未出现数列专属压轴题，但这并不意味着数列的区分功能减弱——数列思想深度融入了函数压轴题（第19题、第21题）中。2025秋考第16题（选择压轴）已展示了"数列+函数+不等式恒成立"的复合形态，2026年这一趋势进一步深化，数列从"独立考点"向"思想工具"转变。 考向一 等差数列 典例1．（2026·上海·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 【答案】 【详解】根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出， 且，是单调递增的，所以必须满足， 所以，所以. 考向二 等比数列 典例2．（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 【答案】 【详解】设数列的公比为，则，则. 考向三 等差与等比数列综合 典例3．（2026·上海·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（    ） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 【答案】C 【详解】设该数列为，则该数列满足，其中. 则，因为常数，该式对任意正整数成立，则， 从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意. 故选：C 考向一 等差数列 1．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 【答案】 【详解】根据等差数列的求和公式，. 故答案为： 2．（2024·上海·高考真题）数列，，c的取值范围为___________． 【答案】 【详解】因为，则， 可知数列为等差数列， 则，解得， 所以c的取值范围为. 故答案为：. 3．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 【详解】（1），则， ，，， ，定义域为， 要解不等式，则，． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． （2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列， 则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得，． 令，由，则， 在有解． 又在上是严格增函数， ，即， 又，则. 考向二 等差与等比数列综合 4．（2025·上海·高考真题）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________． 【答案】 【详解】由题意得，， 则，所以前三项和为， 解得或-1（舍去）， 故答案为： 考向三 数列单调性与不等式恒成立 5．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【详解】由题意，不妨设， 三点均在第一象限内，由可知，， 故点恒在线段上，则有. 即对任意的，恒成立， 令，构造函数， 则，由单调递增， 又，存在，使， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故至多个零点， 又由， 可知存在个零点，不妨设，且. ①若，即时，此时或. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，即时，此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得或； 综上可知，正整数的个数有个. 故选：B. 6．（2024·上海·高考真题），任意，满足，求有序数列有_____对. 【答案】48 【详解】由题意知， 满足， 不妨设， 则必有， 若，解得； 若，解得， 由此可知此时有2种情况， 结合任意，共有对， 故答案为：48 7．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】由题设有，因为，故，故， 当时，，故，此时为闭区间， 当时，不妨设，若，则， 若，则， 若，则， 综上，， 又为闭区间等价于为闭区间， 而，故对任意恒成立， 故即，故， 故对任意的恒成立，因， 故当时，，故即. 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为等比数列， 所以， 因为，， 令，则，整理得， 所以，，， 所以，该数列的公比为. 2．（2026·上海嘉定·二模）设数列满足，且，其中．下列选项中错误的是（   ） A．存在，使得存在正整数N，当时，总有 B．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 C．对任意，都不存在正整数N，使得当时，总有 D．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 【答案】C 【详解】对于A，令，则， 存在，当时，有且，所以，故A正确； 对于B，令，则， 当时，， 当时，， 由A当时，总有， 因此不存在正整数，对所有的，总有，故B正确； 对于C，令，则， 当时，有， 又因为，，而，所以， 则时，总有， 因此当时，存在，当时，有，故C错误； 对于D，令，则，数列正负交替出现， 因此不存在正整数，对所有的，总有，故D正确； 3．（2026·上海浦东新·三模）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，若．已知，记和分别为数列和的前项和，则下列结论正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【详解】依题意得，，因为，所以是一条线性增长的直线，增长速度稳定； ，因为，所以是指数增长的曲线，前期增长慢，后期会加速增长， 因为，，所以当，， 当，， 因为，， 所以； ， ， 接下来先证明：． 设， 则， 设， 则， 因为，所以， 所以在上单调递增，所以，所以， 所以在上单调递增， 所以当，，即， 令，所以，所以 ，即， 所以， 所以. 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，离心率为e，P是上一点，满足：，则以下结论（    ） （1）成等差数列的充要条件为； （2）若成等比数列，则函数的定义域不可能为R； A．结论（1）（2）都成立 B．结论（1）（2）都不成立 C．结论（1）成立，结论（2）不成立 D．结论（1）不成立，结论（2）成立 【答案】A 【详解】因为，则，，. 结论（1）：若成等差数列，等价于， 即，整理可得， 即成等差数列等价于， 所以成等差数列的充要条件为，故结论（1）正确； 结论（2）：若成等比数列，显然均不为0， 则，即， 整理可得，解得或（舍去）， 可知为无理数， 根据指数幂的定义可知当为负数时无定义， 所以函数的定义域不可能为R，故结论（2）正确. 5．（2026·上海·模拟预测）命题：已知为无穷数列，对于任意正整数，若令首项，由递推式生成的数列，最终都会从某一项起变为同一个常数． 命题：且的公差为； 命题：数列的通项公式为． 则下列说法正确的是（     ）． A．、都是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．只有是的充分条件 D．、都不是的充分条件 【答案】B 【详解】对于首项，由递推式生成的数列，最终都会从某一项起变为同一个常数， 若数列最终为常数，则，解得，即最终稳定为. 命题：且的公差为，所以， 取，则，则，， ，，从起恒为. 取任意正整数，， 递推过程中数值会逐渐减小，最终都会到达并保持， 所以，是的充分条件. 命题：，对，，且， 递推得，， ，， 数列在和之间循环，不会稳定为同一常数， 不满足命题，所以推不出，不是的充分条件. 综上，只有是的充分条件. 6．（2026·上海·二模）一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得（   ）． A．为严格增数列 B．为公差不为零的等差数列． C．为等比数列（其中，） D．为周期数列 【答案】C 【详解】在A选项中，假设是严格递增的无穷数列， 但，且是周期函数，在一个周期内有增有减， 对无穷等差数列，当，则， 所以会周期性波动，不可能一直严格递增，A错误， 在B选项中，设等差数列的首项为，公差为（）， 则，所以， 由于是关于的周期变化的函数， 所以不是常数， 即不是公差不为零的等差数列，B错误， 在C选项中，设等差数列的首项为，公差为（）， 则， 若为等比数列，则， ，，， ， 当，时，则， 该数列各项均为正数，且不为常数列，其项和为 ，此时数列， 当为奇数时，为奇数，， 当为偶数时，为偶数，， 故为数列，是公比为的等比数列， 所以存在这样的无穷等差数列使得为等比数列，C正确， 在D选项中，因为是各项为正数且不为常数列的无穷等差数列， 所以，即， 所以会趋近于， 而周期数列是指经过一定的项数后会重复出现相同的项， 所以不可能是周期数列，D错误. 7．（2026·上海黄浦·二模）若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（    ）． A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列 C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列 【答案】D 【详解】对于选项AC：例如等差数列的公差为， 则，， 注意到能表示大于的所有正整数， 且为整数，必能用两个大于的整数之差表示， 所以等差数列为T数列，且有无数个，故AC错误； 对于选项BD：设等比数列的公比为，则， 对于确定的，令，， 令， 因为，则，可知函数在内单调递增， 且，，可知函数在内有且仅有一个零点. 即存在使得，即， 此时， 对于不同的，的零点可以看出方程的解， 即与在交点的横坐标， 当变化时，由幂函数的图像可得交点的横坐标相异，故等比数列有无数个， 所以T集中含有无穷多个等比数列，故B错误，D正确； 故选：D. 8．（2026·上海闵行·模拟预测）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题： ①存在递增数列，使得它是“攀登数列”； ②存在周期数列，使得它是“攀登数列”； ③存在等差数列，使得它是“攀登数列”； ④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列． 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】对于①，当时，满足为递增数列， 而，， 则，即， 因此，存在递增数列，使得它是“攀登数列”，故①正确； 对于②，当周期数列为时，周期为2， 对任意的，都有， 因此，存在周期数列，使得它是“攀登数列”，故②正确； 对于③，设等差数列的公差为，则，， 要使数列为“攀登数列”， 则，对任意的恒成立， 当时，是开口向上的二次函数， 当时，，故不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意. 综上所述，不存在等差数列，使得它是“攀登数列”，故③错误； 对于④，由于等比数列的公比为，， 则， 所以， 当为奇数时，由于，则， 要使，则需使，即符合题意； 当为偶数时，由于， 则（*）， 因， 由于方程的根为，而，则， 而，则由（*）可得， 又，要使，需使，即符合题意. 综上所述，存在，对于任意，使得为攀登数列，故④正确. 二、填空题 9．（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 【答案】 【详解】当时，， 当时，，符合上式， 所以. 10．（2026·上海黄浦·二模）在公比q为正数的等比数列中，，，则q的值为______． 【答案】 【详解】因为，，则， 且，所以. 11．（2026·上海·模拟预测）已知数列满足，若，则__________． 【答案】 【详解】，， 所以是以3为首项，为公比的等比数列， 所以. 12．（2026·上海浦东新·三模）已知等差数列满足，则的前7项和______________． 【答案】133 【详解】设， 由得，即， 由得，即， 联立得，。 故. 13．（2026·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前n项和，且公差，若，且，，成等比数列，则______________. 【答案】 【详解】，,计算可得； 又成等比数列， ,变换可得,代入，计算可得,。 14．（2026·上海·三模）已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则的值为____________. 【答案】 【详解】因为， 所以，即数列周期为， 已知，计算得，，以此类推，奇数项都为， 偶数项都为. . 因为，所以总和为， 所以. 15．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知数列满足，，则数列前2026项的和为__________． 【答案】 【详解】因为，即， 且，可知数列是以首项为1，公比为2的等比数列， 则，可得， 所以数列前2026项的和为. 16．（2026·上海金山·二模）已知是数列的前项和，且，且．若，则__________． 【答案】 【详解】因为， ， ， ， . 所以. 设， 则. 所以， 所以. 17．（2026·上海·模拟预测）如图，已知直角三角形的两直角边和的长分别为5和12，直角三角形的斜边所在的直线与以、、…、、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆与边所在的直线相切，半圆圆心都在边上，半径分别为、、…、、…，前个半圆面积的总和，则_______． 【答案】 【详解】 设以为圆心的圆与AB相切于点，连接， 易得与相似，则有， 又，，所以，代入可得，解得. 同理可得，即，解得，依次可求得， 因为，所以是以为首项，以为公比的等比数列， 则是以为首项，以为公比的等比数列， 前n个半圆面积的总和为， . 18．（2026·上海崇明·二模）已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意可得，取， 当时，有， 当时，有，故； 若，则当时，指数函数增速会大于一次函数， 故不可能恒成立，故； 综上可得； 下证充分性： 当时，不妨设，则， 故需满足，即， 令，则只需满足数列为非递减数列即可， ， 由，则，， 则， 故数列为非递减数列， 即时符合题意. 19．（2026·上海普陀·二模）设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______. 【答案】． 【详解】由题意知，等比数列的首项为，公比为，所以， 从而， 设，因为，且随的增大而增大， 所以数列的变化只与函数在正数范围内的比较性质有关． 对任意，， 因此对任意正整数，有 又因为单调递增，所以也随的增大而增大． 题意“恰存在个的值，使得对任意的 ， 皆有成立”表示数列恰好连续下降两次， 即，等价于， 代入上式，得， 即解得， 综合可得. 20．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. 【答案】 【详解】由题意得，等比数列的首项和公比均为，所以. 因为，且，所以新数列的最小项为，从而等差数列的首项为． 设等差数列的公差为，则. 由题意可知，与在中的间隔数为． 也就是说，在与之间，除去右端点本身外，恰有个等差数列的项． 下面证明． 若，设大于的第一个等差数列的项为，则前一项不大于，所以. 于是. 这说明在内至少有个等差数列的项，与题意中恰有个矛盾．故. 若，因为可以取得足够大，所以可取正整数，使. 若内有个等差数列的项，设其中第一个为，则最后一个为. 又，所以，这与最后一个项应小于矛盾． 故. 综上，，所以. 此时把等差数列与等比数列合并，并把相同大小的项只保留中的项，所得新数列仍为. 因此数列前项和为. 三、解答题 21．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，． (1)，求的值； (2)若，，依次成等比数列，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得， 则. （2）由，，， 因成等比数列，故， 即，得； 若，，依次成等比数列，则； 所以，，又，故，此时，，依次 为，符合题意； 综上，. 22．（2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 【答案】(1)数列的前项依次为 (2) 【详解】（1）根据题意可得，， 所以，，， ，，， 所以数列的前项依次为． （2） ． 所以． 23．（2026·上海长宁·二模）已知（其中，）. (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）将代入，可得，得， 故，该对数函数为定义在上的减函数， 故由可得，解得， 故不等式的解集为 （2）由已知可得， 即，故， 整理可得，故，得， 由题意可知方程有两个不同的实数根，且两根都大于， 设， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，解得， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，不等式无解， 综上可得实数的取值范围为 24．（2026·上海·二模）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 【详解】（1）由题意知，因为. 所以任取1人使用手机超过16小时的概率为， 50名同学中有位超过16小时， 那么至少2位同学使用手机超过16小时的概率为. （2）由题意得，. 代入回归方程有，解得. (3)证明：由题意知， 所以 所以是以为公比的等比数列. 所以. 因为时，恒成立，所以. 所以小虹的该复习计划表在寒假每一天均有效. 25．（2026·上海奉贤·二模）设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． (1)若，，求； (2)求证：数列是严格递减数列； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 【详解】（1）已知，， 当，，设切线斜率为， 则，直线为， 令，. (2)证明：设，，，，所以，，则直线为. 令，则. ，因为，且，所以， 所以数列是严格递减数列. (3)，理由如下： 当时，，，令，则，令.所以.构造函数，令，，求导， 构造函数，，所以单调递增，且，所以， 所以函数在上单调递增，当，，根据零点存在定理，存在唯一的使得， 所以结合数列的单调递减性，当，，此时； 当，，此时；当，，此时. 26．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切；若，且，所有幂函数均与抛物线交于点M． (1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足，求：动点R的轨迹方程； (2)设，求：数列前2026项的和； (3)已知直线与某个以点为圆心的相切，当最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）所有幂函数均过点，点在抛物线上，故， 设点，，则，， 由得， 故，所以， 又在抛物线上，且与点不重合， 所以，且，， 即，且， 化简得，且； （2）由题意得，设点，，， 则的半径为，，解得， 因为与外切，则， 即，整理可得， 又，所以，即， 故数列是为首项，公差为2的等差数列， 则，， ， ； (3)存在定点，使得点N，T，S始终三点共线，理由如下： 的方程为，显然与为两切线， 最大时，，由（2）知，，其单调递减，故最大值为， 故切点坐标为， 若过点的其中一条直线斜率不存在，此时直线与抛物线只有1个交点，不合要求， 故过点的直线斜率也不为0， 设过的直线方程为， 联立与得， 设，则， 则，故点横坐标为， 将代入中得， 故，同理可得， 由对称性可知在轴上，不妨设， 则，， 点N，T，S始终三点共线，故， ， ， 化简得，显然， 所以，即时，上式恒成立， 故存在定点，使得点N，T，S始终三点共线. 27．（2026·上海虹口·三模）对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． (1)若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； (2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； (3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 【详解】（1）假设存在严格增的有限数列，，…，， 使得， 因为，所以， 由于，，…，是严格增的有限数列，所以，，…，不都为0， 那么，与矛盾， 所以关于数列不具有“性质”； 若关于数列具有“性质”， 则需存在严格增的有限数列，，…，， 使得，即， 取数列，该数列是严格增的有限数列， 则 ， 所以存在严格增的有限数列，使得， 所以关于数列具有“性质”； 综上，关于数列不具有“性质”， 关于数列具有“性质”. （2）假设存在满足条件的等比数列，设等比数列的首项和公比都为， 则，若函数关于数列具有“性质”， 则， 因为，，，，，所以， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 又， 即，与矛盾， 所以不存在满足要求的等比数列. （3）设严格增的等差数列，其中公差， 令， 因为函数的图象是连续曲线，所以是关于t的连续函数， 已知集合 和 均不为空集， 因此存在实数使得，， 取足够小的正数d，令，此时所有的， 当时，所有，可得， 将数列整体向右平移，令， 此时所有的， 当时，可得， 根据连续函数零点存在定理，必然存在使得， 对应的等差数列严格递增，满足， 因此，对于任意给定的个正数，，，， 均存在严格增的有限等差数列， 使得函数对数列具有“性质”． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $