第四章 整式的加减全章高频重点题型突破（八大高频+八大重难题型，专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 本专项以“概念-运算-应用-拓展”为逻辑主线，通过分级模块与题型化方法点拨，系统构建整式加减解题体系，培养抽象能力与运算推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|8题型（单项式识别等）|概念辨析（如单项式“积”的形式）、运算规范（如去括号“变号法则”）|从概念识别到基础运算，形成“定义-性质-操作”链条| |核心提升|8题型（规律探究等）|技巧迁移（如整体代入）、综合策略（如绝对值化简符号判断）|在基础上拓展为“变式-综合-创新”能力层级| |综合攻坚|跨模块综合题|模型构建（如程序框图转化整式）、问题转化（如作差比较大小）|整合知识形成“应用-探究-迁移”的完整认知体系|

第四章 整式的加减全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 单项式的识别与系数、次数 题型2 多项式的项、项数与次数 题型3 同类项的判断 题型4 去括号与合并同类项 题型5 整式的加减运算 题型6 整式的化简求值（直接代入） 题型7 整式在实际问题中的应用 题型8 整式加减中的看错问题（错中求解） 核心提升·重难题型归纳 题型1 单项式/多项式的规律探究 题型2 代数式的值与某字母无关（不含某项） 题型3 整体代入求值 题型4 利用整式加减比较大小 题型5 绝对值与整式的综合 题型6程序框图与整式运算 题型7 图形规律与整式表达 题型8 新定义运算 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 单项式的识别与系数、次数 ★ 方法点拨：判断单项式关键看"积"的形式：分母含字母的不是单项式；单独的数或字母是单项式。系数包含前面的符号，π是常数不是字母。次数只算字母指数之和，常数的次数为0。 1．（25-26七年级上·福建南平·期末）在代数式，2，a，中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）单项式的系数与次数分别是（   ） A．－3，3 B．，3 C．，4 D．，3 3．（25-26七年级上·重庆·期末）下列代数式：，其中单项式有______个． 4．（25-26七年级上·四川成都·期末）单项式的系数是______ ，次数是______ ． 5．（2025七年级上·北京·专题练习）若单项式的系数是3，次数是2，求a和b的值． 6． （25-26七年级上·贵州毕节·阶段检测）若是关于的单项式，且系数为，次数是3，求和的值． ◆题型2 多项式的项、项数与次数 ★ 方法点拨：多项式的次数是"次数最高项"的次数，不是所有字母指数之和；项包括前面的符号；常数项的次数为0但仍是一项。 7．（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式是________次________项式． 8．（25-26七年级上·全国·期末）把多项式按的降幂排列为： _______；这个多项式的次数为______；项数是_______． 9．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若多项式是关于的二次二项式，则________． 10．（2026·四川广安·二模）若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． 11．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． ◆题型3 同类项的判断 ★ 方法点拨：同类项"两同两无关"：字母相同、相同字母指数相同；与系数无关、与字母顺序无关。所有常数项都是同类项。 12．（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 13．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 14．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）若与是同类项，则的值是________． 15．（25-26七年级上·陕西安康·期末）若单项式与单项式是同类项，求的值． 16． （25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）已知单项式与的和仍是单项式，求的值． ◆题型4 去括号与合并同类项 ★ 方法点拨：去括号本质是乘法分配律：括号前系数要乘遍括号内每一项；括号前是负号时，去括号后各项都变号。多层括号由内向外（或由外向内）逐层去。 合并同类项：步骤：一找（标记同类项）、二移（加法交换律移到一起）、三并（系数相加，字母指数不变）。注意：移项时带符号走；不是同类项不能合并。 17．（25-26七年级上·陕西安康·期末）计算：． 18．（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）化简：． 19．（25-26七年级上·陕西西安·期末）化简：． 20．（25-26七年级上·安徽六安·期末）化简：． 21．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）化简：． 22. 计算： ◆题型5整式的加减运算 ★ 方法点拨：整式加减的实质就是去括号+合并同类项。求两个多项式的和/差时，要先把每个多项式用括号括起来再运算。 23．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知，，，，求的值． 24．一个多项式加上的2倍等于，求这个多项式． 25.已知， (1)化简 (2)若，，求的值． 26．（25-26七年级上·吉林白山·期末）已知，． (1)化简； (2)当，时，求的值． ◆题型6整式的化简求值（直接代入） ★ 方法点拨："先化简，再求值"是基本规范：先通过去括号、合并同类项将整式化到最简，再代入数值计算。代入负数和分数时要加括号。 27．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）先化简，后求值：，其中，． 28．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）先化简，再求值，其中，． 29．（25-26七年级下·江西吉安·期末）先化简，再求值：，其中，． 30．（25-26七年级上·广东东莞·期中）先化简，再求值：，其中，． 31． （25-26七年级上·四川宜宾·期中）先化简，再求值：，其中，． ◆题型7整式在实际问题中的应用 ★ 方法点拨：实际应用题关键是建立数学模型：用整式表示各量，再根据题意进行加减运算。注意单位统一和答案的实际意义。 32．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 33．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）如图，在长方形中挖去两个三角形．（单位：） (1)用含、、的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 34．（24-25七年级上·山西临汾·期末）“囧”像一个人脸郁闷的神情．如图，边长为a的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形（阴影部分）和一个长方形（阴影部分）得到一个“囧”字图案．设剪去的两个小直角三角形的两直角边长分别为x、y，剪去的小长方形长和宽也分别为x，． (1)用含a、x、y的式子表示“囧”的面积； (2)当，，时，求该图形面积的值． 35．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）我们知道：如果一个自然数的各位数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除．我们不妨用三位数来说明，已知三位数． (1)请用含a，b，c的代数式表示三位数：＿＿＿＿； (2)小军说：“若能被3整除，则三位数就能被3整除．”请判断他的说法是否正确，并说明理由； ◆题型8整式加减中的看错问题（错中求解） ★ 方法点拨："看错符号"类问题：先根据错误的运算求出原多项式，再进行正确运算。核心是"将错就错"，利用错误结果反推原式。 36．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）有一道题：“先化简，再求值：，其中．”小明做题时把“”错抄成了“”，但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因． 37．有这样一道题：求的值，其中，；有位同学把错抄成，但他的计算结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 38．（25-26七年级上·四川凉山·期末）一位同学做一道题：“已知两个多项式，，计算?他误将“”看成“”，求得的结果为，已知 ． (1)求； (2)当 时，求的值． 39．（24-25七年级上·湖南·期中）已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 40．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）小红做一道数学题：“两个多项式，，已知，试求的值．”在求的值时，小红误将看成，结果答案为（计算过程正确）． (1)若多项式的值与字母的取值无关，求多项式． (2)在（1）的条件下，当时，求的值． ◆题型1 单项式/多项式的规律探究 1．（2026·云南昆明·模拟预测）一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·云南曲靖·学业考试模拟）一组多项式的规律如下：，按此规律，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·云南德宏·一模）一组按规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南南阳·二模）一组按规律排列的代数式为：，，，，，，第个代数式为____． 5．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）已知多项式． (1)根据多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗？ (2)这个多项式的第七项和第八项分别是什么？ ◆题型2 代数式的值与某字母无关（不含某项） ★ 方法点拨："与x无关"或"不含x项"意味着合并后x项（或x的某次项）的系数为0。先合并同类项，再令对应系数为0列方程求解。 6．（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 7．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 8．（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． ◆题型3 整体代入求值 ★ 方法点拨：当已知条件无法求出每个字母的具体值时，观察所求式与已知式的关系，将某个代数式看作一个整体代入。常见技巧：倍数关系、相反数关系、添括号构造整体。 9．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在解决“已知，求代数式的值”这个问题时，小明同学提出了一种解法： 原式． 因为，所以原式． 这种思想叫“整体思想”，它是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简与求值中应用极为广泛．根据以上信息，完成下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 10．（25-26七年级上·山西大同·期末）阅读材料 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．比如．由此，若我们把看成一个整体，当成字母“”，则． 迁移应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是__________； (2)已知，则的结果是__________； (3)已知，求的值． 11．（25-26七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 在日常生活、生产中，人们经常需要处理一些结构相似、重复出现的量．例如：某工厂生产一种产品，每件产品的成本由两部分组成：固定成本（设备折旧、场地租金等）和可变成本（原材料、人工等）．若设每件产品的可变成本为元，固定成本分摊到每件产品上为3元，则每件产品的总成本可以表示为（x＋3）元．当我们研究“成本变化对利润的影响”时，常常不需要单独考虑和3，而是把看作一个整体来分析，这种把“一个代数式当成一个整体”来解决问题的方法，叫做整体思想．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中广泛应用．下图所示是老师安排的一道作业题： 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 12．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 13．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． ◆题型4 利用整式加减比较大小 ★ 方法点拨：比较两个整式A、B的大小，常用"作差法"：计算A−B，若结果>0则A>B；若=0则A=B；若<0则A<B。作差后通常需要配方或分析符号。 14．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）有长为米（米）的篱笆，利用它和房屋的一面墙（足够长）围成长方形园子，园子的宽为为4米． (1)若围成的园子如图1所示，求园子的面积（用含l的代数式表示）． (2)若围成的园子如图2所示，在园子的中间用篱笆隔开，并在上面开一道1米宽的门，此时园子的面积与图1中园子的面积相比，是增大还是减小了？增大或减小了多少？ 15．（25-26七年级下·吉林长春·期中）阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)【理解】若，则_____；（填“”、“”或“”） (2)【运用】若，证明 (3)【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案． 方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板． 方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小． 16．（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式，要比较大小，只要计算的值，即若，则；若，则；若，则，反过来也成立． 【解决问题】例如比较和的大小，我们可以用，即． 【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则_______；（填“>”“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)已知，，若，试比较与的大小． ◆题型5 绝对值与整式的综合 ★ 方法点拨：绝对值化简关键是判断绝对值内式子的正负性。先根据条件确定各整式的符号，再按"正不变、负变反"去绝对值，最后合并同类项。 17．（25-26七年级上·山东济南·期中）按要求解答 (1)已知： 计算 ； 若和时（1）中式子的值相等，求的值． (2)已知：有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． 若， ，的相反数是，求，，的值； 化简： ． 18．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，，当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则 ；当时，则 ． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，都不等于零，且的最大值是，最小值为，求的值． 19．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）已知 为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴填空： ①判断正负： ___0， ___0；（填“”或“”）； ②比较大小： ______ ；（填“”或“”） ③根据数轴化简∶ ___， __________． (2)数轴上，数到原点的距离表示 ，即 ； 类似的，数到数的距离可表示为_______； (3)应用： ①如果要表示数到3的距离是7，可记为： ，求的值； ②当取何值时，的值最小，最小值是多少？ ◆题型6 程序框图与整式运算 ★ 方法点拨：程序框图题要按箭头方向逐步运算，每一步将当前值代入对应整式。若为循环程序，注意观察周期规律。 20．（25-26七年级上·山东青岛·期末）老师给数学兴趣小组的同学们设计了一个运算程序，如图所示： (1)按上述运算程序填写下表，根据计算你发现了什么规律？ 输入 1 … 输出 0 0 … (2)请说明你发现的规律是正确的． 21．（24-25七年级上·山东青岛·期末）老师给数学兴趣小组的同学们设计了一个运算程序，如图所示： (1)按上述运算程序填写下表，根据计算你发现了什么规律？ 输入 … 输出 … (2)请说明你发现的规律是正确的． 22．按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？    输入 …… 输出答案 (1)填写表内空格： (2)你发现的规律是． (3)用简要的过程说明你发现的规律的正确性． ◆题型7 图形规律与整式表达 ★ 方法点拨：图形规律题先数出前几个图形的数量（如火柴棒根数、小正方形个数），再列成数列找规律，最后用含n的整式表示第n个图形的数量。 23．（24-25七年级上·江西九江·期中）下列图形都是由同样大小的按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有5个，第2个图形中一共有8个，第3个图形中一共有11个，…，按此规律排列． (1)第5个图形中一共有_____个； (2)第个图形中基本图形的个数有_____个． 24．（25-26七年级上·重庆·期末）【综合实践】 数形结合是常见数学思想方法，早在公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家就用小石子来研究具备图形特点的数，如图，第一行的1，3，6，10…称为三角形数，第二行的1，4，9，16…称为正方形数，第三行的1，5，12，22…称为五边形数．对于一个边形，其第个多边形数，记作，如：．“数海传奇”小组利用软件对多边形数的衍生规律进行了探究，并得出了当，，时，第个多边形数的规律： 名称 图例 第个多边形数 三角形数 正方形数 五边形数 【初步探究】 （1）通过观察“数海传奇”小组总结的，，时，第个多边形数的规律，请写出当时第个多边形数的代数式：________；（请将结果化简后再填入） （2）列举出所有100以内既是三角形数又是正方形数的数：_________； 【深入探究】 （3）按照上表中总结的第个多边形数的规律，若，求出所有满足条件的整数的值的和． 25．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为，…， (1)按上图所示规律，图6中有_________个“△”，图6中有_________个“★”； (2)按上图所示规律，图n中有_________个“△”，图n中有_________个“★”； (3)设图中有个“△”，个“★”． ①当时，的值是多少？ ②试求与之间的数量关系． 26．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）【观察思考】 【规律发现】 如图所示的图案都是由正八边形构成的图案，正八边形的每个顶点上都有“”或“”． 第1个图案中“”有个；“”有个； 第2个图案中“”有个；“”有个； 第3个图案中“”有个；“”有个； 第4个图案中“”有个；“”有个；． （1）第99个图案中“”有______个；“”有______个； （2）第个图案中“”有______个，“”有______个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （3）在第2025个图案中，求“”的个数比“”的个数少多少． 27．（25-26七年级上·四川成都·期中）规律探索渗透了从特殊到一般的数学思想方法．例如将一些边长为1的小正方形按如图方式拼图， 图①中边长为1小正方形的个数：； 图②中边长为1小正方形的个数：； 图③中边长为1小正方形的个数：； ．．．．．． 我们结合图形，从1开始两个连续奇数相加到3个，4个连续奇数相加，再到更多个连续奇数相加，从而探索出了从1开始的多个连续奇数相加求和的规律与方法．根据你的探索完成以下问题： (1)类比上例，写出第五个等式___________ ； (2)类比上例，计算：； (3)根据你所发现归纳的规律计算的值； (4)拓展应用：请探究并直接写出的计算公式．(用含n的代数式表示) ◆题型8 新定义运算 ★ 方法点拨：新定义运算题严格按照题目给出的运算规则代入计算，注意区分新运算符与常规运算符。先理解规则，再按步计算。 28．（25-26七年级上·陕西安康·期末）对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 29．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算：． (1)计算的值； (2)已知有理数在数轴上满足，化简． 30．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）对于有理数，，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，． (1)填空： ； ． (2)，在数轴上的位置如图所示，化简． 31．（25-26七年级上·福建厦门·期末）对于有理数a，b，规定一种新的运算：． 例如，． (1)计算：； (2)若的值与m的取值无关，求n的值． 32．（25-26七年级上·福建漳州·期末）定义新运算：．例如：． (1)计算的值； (2)已知，试说明的值与的取值无关． 1．（25-26七年级下·湖北十堰·期末）将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简：． 3．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中，． 4．（25-26七年级上·江西赣州·期末）小张在完成一道整式运算题：“已知两个多项式和，计算的值”时，不小心将看成了，结果为．已知． (1)求原题中的正确结果； (2)若的结果与的值无关，求的值． 5．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 6．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请阅读下面材料解决问题． 代数式的值为，则代数式的值为______． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，，则有，，所以代数式的值为． 【方法运用】 （1）若代数式的值为，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为　　　　． 7．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）综合与实践 实践主题：探索月历中数的排列规律，体会代数表示与规律推导的数学思想． 实践任务：探究方框中9个数的和与中心数的规律． (1)计算分析（图1）：图1中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：9个数的和是中心数的________倍． (2)验证迁移（图2）：图2中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：（1）中的关系在（2）中________（是、否）成立． (3)规律推广：假设中心数为n，那么以上这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？请写出你的猜想，并证明． 8．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）： ①与；②与 ． (2)多项式与的“对消值”为 ． (3)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 9．（25-26七年级下·上海金山·期末）取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． (1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 10．（25-26七年级下·广东深圳·期末）某学校数学俱乐部组织了“数字变化引擎”设计大赛．引擎的核心是一个运算程序：输入一个数，按一定的运算规则进行运算后，输出结果． 【理解与思考】 (1)理解“循环—判断” 小福设计的“数字变化引擎”程序如下： 规定：程序每运行到“”为一次运行． ①若输入，则输出的值为________； ②若该程序第一次运行后就直接输出值，则可以为________（写出一个满足条件的整数）． 【迁移与应用】 (2)利用“循环—判断”进行程序设计 在进一步探究中，小田发现“循环—判断”可以使程序重复执行一段运算，直到满足指定条件为止．于是他设计了一个运算程序，该程序输入一个任意的两位数，输出结果为一个定值．程序流程如图： ①若输入的两位数是23，请根据小田设计的运算程序，写出输出结果和找到结果的过程． ②若输入的两位数十位数字用表示，个位数字用表示，试结合代数式解释：任意输入一个两位数，该运算程序的结果总是固定的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 整式的加减全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 单项式的识别与系数、次数 题型2 多项式的项、项数与次数 题型3 同类项的判断 题型4 去括号与合并同类项 题型5 整式的加减运算 题型6 整式的化简求值（直接代入） 题型7 整式在实际问题中的应用 题型8 整式加减中的看错问题（错中求解） 核心提升·重难题型归纳 题型1 单项式/多项式的规律探究 题型2 代数式的值与某字母无关（不含某项） 题型3 整体代入求值 题型4 利用整式加减比较大小 题型5 绝对值与整式的综合 题型6程序框图与整式运算 题型7 图形规律与整式表达 题型8 新定义运算 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 单项式的识别与系数、次数 ★ 方法点拨：判断单项式关键看"积"的形式：分母含字母的不是单项式；单独的数或字母是单项式。系数包含前面的符号，π是常数不是字母。次数只算字母指数之和，常数的次数为0。 1．（25-26七年级上·福建南平·期末）在代数式，2，a，中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：依题意，不是单项式；是常数，是单项式；是字母，是单项式；是字母与字母的乘积，是单项式； ∴单项式有、、，共3个， 故选：C． 2．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）单项式的系数与次数分别是（   ） A．－3，3 B．，3 C．，4 D．，3 【答案】D 【详解】解：单项式的系数为，次数为， 故选：D 3．（25-26七年级上·重庆·期末）下列代数式：，其中单项式有______个． 【答案】3 【详解】解：是数字与字母的乘积，是单项式；是数字与字母的乘积，是单项式；1是单独的数字，是单项式；是多项式，不是单项式；分母中含有字母，是分式，不是单项式． 故答案为3． 4．（25-26七年级上·四川成都·期末）单项式的系数是______ ，次数是______ ． 【答案】 3 【详解】解：单项式的数字因数是，因此它的系数是， 单项式中字母的指数为，字母的指数为，所有字母的指数和为，因此它的次数是． 5．（2025七年级上·北京·专题练习）若单项式的系数是3，次数是2，求a和b的值． 【答案】， 【详解】解：∵单项式的系数是， ∴，解得， ∵次数是字母x的指数b， ∴． 6．（25-26七年级上·贵州毕节·阶段检测）若是关于的单项式，且系数为，次数是3，求和的值． 【答案】， 【详解】解：∵是关于的单项式，且系数为，次数是， ∴，， ∴，． ◆题型2 多项式的项、项数与次数 ★ 方法点拨：多项式的次数是"次数最高项"的次数，不是所有字母指数之和；项包括前面的符号；常数项的次数为0但仍是一项。 7．（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式是________次________项式． 【答案】 三 三 【详解】解：整式包含三个单项式，分别为，，，其中的次数为，的次数为，的次数为，可得最高次项的次数为，项数为，因此该整式是三次三项式． 8．（25-26七年级上·全国·期末）把多项式按的降幂排列为： _______；这个多项式的次数为______；项数是_______． 【答案】 三 四 【详解】解：把多项式按的降幂排列为：； 多项式的次数为三；项数为四． 故答案为：，三，四． 9．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若多项式是关于的二次二项式，则________． 【答案】 【详解】解：∵多项式是关于的二次二项式． ∴多项式的最高次数为，可得． ∵多项式为二项式，即总共只有个非零项，最高次项系数，常数项． ∴一次项的系数为，即， 解得． ∴． 10．（2026·四川广安·二模）若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． 【答案】或 【详解】解：多项式是关于，的三次多项式， 次数为的项的系数必须为，且最高次项的次数为， 可得， 由得， 将代入 得， 即或， 解得或， 当，时，， 当，时，． 11．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：因为多项式的次数是5， 所以．                             因为n是该多项式二次项的系数， 所以，                                 所以． ◆题型3 同类项的判断 ★ 方法点拨：同类项"两同两无关"：字母相同、相同字母指数相同；与系数无关、与字母顺序无关。所有常数项都是同类项。 12．（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：与所含字母不同，A错误； 与中相同字母的指数不相同，B错误； 与所含字母均为、，且相同字母指数均为1，C正确； 与中的指数不同，D错误． 13．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】解：A、和所含字母相同，但是相同字母的指数不同，不是同类项； B、和所含字母不同，不是同类项； C、和中，不是整式，不是同类项； D、1和都是常数，是同类项． 14．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）若与是同类项，则的值是________． 【答案】4 【详解】∵ 与 是同类项， ∴ 相同字母的指数相等， 可得 ，，解得 ， ∴ ． 15．（25-26七年级上·陕西安康·期末）若单项式与单项式是同类项，求的值． 【答案】3 【详解】解：∵单项式与单项式是同类项， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）已知单项式与的和仍是单项式，求的值． 【答案】 【详解】解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴，， ， ． ◆题型4 去括号与合并同类项 ★ 方法点拨：去括号本质是乘法分配律：括号前系数要乘遍括号内每一项；括号前是负号时，去括号后各项都变号。多层括号由内向外（或由外向内）逐层去。 合并同类项：步骤：一找（标记同类项）、二移（加法交换律移到一起）、三并（系数相加，字母指数不变）。注意：移项时带符号走；不是同类项不能合并。 17．（25-26七年级上·陕西安康·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 18．（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）化简：． 【答案】 【详解】解： 原式 ． 19．（25-26七年级上·陕西西安·期末）化简：． 【答案】． 【详解】解： ． 20．（25-26七年级上·安徽六安·期末）化简：． 【答案】 【详解】解： ； 21．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）化简：． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 22.计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． ◆题型5整式的加减运算 ★ 方法点拨：整式加减的实质就是去括号+合并同类项。求两个多项式的和/差时，要先把每个多项式用括号括起来再运算。 23．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知，，，，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴ ． 24．一个多项式加上的2倍等于，求这个多项式． 【答案】 【详解】解：根据题意，得这个多项式为：， ． 25.已知， (1)化简 (2)若，，求的值． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：当，时， ． 26．（25-26七年级上·吉林白山·期末）已知，． (1)化简； (2)当，时，求的值． 【详解】（1）解： ． （2）解：因为，， 所以． ◆题型6整式的化简求值（直接代入） ★ 方法点拨："先化简，再求值"是基本规范：先通过去括号、合并同类项将整式化到最简，再代入数值计算。代入负数和分数时要加括号。 27．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 28．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式=，　　　 当，时 ， 原式=． 29．（25-26七年级下·江西吉安·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【详解】解：          当，时， 原式     ． 30．（25-26七年级上·广东东莞·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式． 31．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ． 当，时 原式． ◆题型7整式在实际问题中的应用 ★ 方法点拨：实际应用题关键是建立数学模型：用整式表示各量，再根据题意进行加减运算。注意单位统一和答案的实际意义。 32．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 【详解】（1）解：广场的周长：． （2）解：当米，米时，（平方米）， ∵每平方米需费用200元， ∴建广场的总费用（元）． 33．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）如图，在长方形中挖去两个三角形．（单位：） (1)用含、、的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：阴影部分面积为． （2）解：当，时，阴影部分面积为． 34．（24-25七年级上·山西临汾·期末）“囧”像一个人脸郁闷的神情．如图，边长为a的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形（阴影部分）和一个长方形（阴影部分）得到一个“囧”字图案．设剪去的两个小直角三角形的两直角边长分别为x、y，剪去的小长方形长和宽也分别为x，． (1)用含a、x、y的式子表示“囧”的面积； (2)当，，时，求该图形面积的值． 【详解】（1）解：“囧”的面积为：； （2）解：当，，时， “囧”的面积为： ． 35．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）我们知道：如果一个自然数的各位数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除．我们不妨用三位数来说明，已知三位数． (1)请用含a，b，c的代数式表示三位数：＿＿＿＿； (2)小军说：“若能被3整除，则三位数就能被3整除．”请判断他的说法是否正确，并说明理由； 【详解】（1）解：三位数可表示为：； 故答案为：； (2)解：小军的说法正确．理由如下：， 其中是3的倍数，是3的倍数， 所以三位数就能被3整除． ◆题型8整式加减中的看错问题（错中求解） ★ 方法点拨："看错符号"类问题：先根据错误的运算求出原多项式，再进行正确运算。核心是"将错就错"，利用错误结果反推原式。 36．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）有一道题：“先化简，再求值：，其中．”小明做题时把“”错抄成了“”，但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因． 证明： ． ∵计算结果与x无关， ∴把“”错抄成“”，计算结果仍是正确的． 37．有这样一道题：求的值，其中，；有位同学把错抄成，但他的计算结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【详解】解： ， 当时，原式， 当时，原式， ∵原式化简的结果为， ∴计算的结果与x的符号无关，只与x的绝对值有关，而时和时的x的绝对值相同， ∴这位同学的计算结果也正确． 38．（25-26七年级上·四川凉山·期末）一位同学做一道题：“已知两个多项式，，计算?他误将“”看成“”，求得的结果为，已知 ． (1)求； (2)当 时，求的值． 【详解】（1）解：根据题意得 ； （2）解： ， 当时，原式 . 39．（24-25七年级上·湖南·期中）已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； ∵的计算结果中不含有x的项， ∴的计算结果就与x的取值无关， ∴小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的， 正确的结果为：把代入得：原式． 40．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）小红做一道数学题：“两个多项式，，已知，试求的值．”在求的值时，小红误将看成，结果答案为（计算过程正确）． (1)若多项式的值与字母的取值无关，求多项式． (2)在（1）的条件下，当时，求的值． 【详解】（1）解：因为，且， 所以 ． 因为整式A的值与字母x的取值无关， 所以， 所以， 所以多项式A为． （2）解：． 当时，． ◆题型1 单项式/多项式的规律探究 1．（2026·云南昆明·模拟预测）一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知，系数分别是1，，，，，， 即第1项系数为1，第2项系数为，第3项系数为，第4项系数为，第5项系数为， 则系数规律为； 的次数分别是，，，，，， 即第1项次数为，第2项次数为，第3项次数为，第4项次数为，第5项次数为， 则的次数规律为； 第个代数式为． 2．（25-26九年级下·云南曲靖·学业考试模拟）一组多项式的规律如下：，按此规律，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：推导a的系数的规律： ∵时系数为，时系数为，时系数为，时系数为 ∴第n个多项式a的系数为， 推导a的次数的规律： ∵时a的次数为，时a的次数为，时a的次数为，时a的次数为 ∴第n个多项式中a的次数为， 推导b的系数： ∵时b的系数为，时b的系数为，时b的系数为，时b的系数为， ∴n为奇数时b的系数为，n为偶数时b的系数为， 即第n个多项式中b的系数为， 综上可知，第个多项式是． 3．（2026·云南德宏·一模）一组按规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：观察给出的多项式： 第1个多项式：，b的指数为， 第2个多项式：，b的指数为， 第3个多项式：，b的指数为， 第4个多项式：，b的指数为， 且每个多项式的第一项始终为，第二项始终为的幂次， ∴可得第个多项式中，b的指数为， 即第个多项式为． 4．（2026·河南南阳·二模）一组按规律排列的代数式为：，，，，，，第个代数式为____． 【答案】 【详解】解：观察已知代数式可得： 第个代数式为， 第个代数式为， 第个代数式为， ... 由此归纳可得，第个代数式中，的次数为，分母为， 因此第个代数式为 5．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）已知多项式． (1)根据多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗？ (2)这个多项式的第七项和第八项分别是什么？ 【详解】（1）解：这个多项式是按a的降幂排列的，且每一项的次数都是10，奇数项的系数符号是正号，偶数项的系数符号是负号； 所以这个多项式是十次十一项式； （2）解：由多项式的规律得，第项是， 所以这个多项式的第七项是，第八项是． ◆题型2 代数式的值与某字母无关（不含某项） ★ 方法点拨："与x无关"或"不含x项"意味着合并后x项（或x的某次项）的系数为0。先合并同类项，再令对应系数为0列方程求解。 6．（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 7．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 【详解】（1）解：， ∵的结果中不含项和x项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵对于任意x，的值始终为， ∴，，， 解得，，． 8．（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 【详解】（1）解：∵设所遮住的整式为， ∴，即， 化简，得：， ∴小明的计算不正确，正确的整式为； （2）解：∵， ∴， 即， ∵的值与的取值无关， ∴，解得：． ◆题型3 整体代入求值 ★ 方法点拨：当已知条件无法求出每个字母的具体值时，观察所求式与已知式的关系，将某个代数式看作一个整体代入。常见技巧：倍数关系、相反数关系、添括号构造整体。 9．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在解决“已知，求代数式的值”这个问题时，小明同学提出了一种解法： 原式． 因为，所以原式． 这种思想叫“整体思想”，它是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简与求值中应用极为广泛．根据以上信息，完成下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【详解】（1）解： 把代入得：原式． （2）解：把两边同乘以可得： 把和，两边相加， 得：． 10．（25-26七年级上·山西大同·期末）阅读材料 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．比如．由此，若我们把看成一个整体，当成字母“”，则． 迁移应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是__________； (2)已知，则的结果是__________； (3)已知，求的值． 【详解】（1）解：原式 故答案为：； （2）由，得 因此 故答案为：； （3）解：， 又∵，即， ∴原式. 11．（25-26七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 在日常生活、生产中，人们经常需要处理一些结构相似、重复出现的量．例如：某工厂生产一种产品，每件产品的成本由两部分组成：固定成本（设备折旧、场地租金等）和可变成本（原材料、人工等）．若设每件产品的可变成本为元，固定成本分摊到每件产品上为3元，则每件产品的总成本可以表示为（x＋3）元．当我们研究“成本变化对利润的影响”时，常常不需要单独考虑和3，而是把看作一个整体来分析，这种把“一个代数式当成一个整体”来解决问题的方法，叫做整体思想．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中广泛应用．下图所示是老师安排的一道作业题： 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【详解】解：（1）， ， ； （2）把代入得： ， ， ∴把代入得： ； （3），， 12．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ （3）∵，，， ∴ 13．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 【详解】（1）解：因为， 所以 ； （2）解：当时， ，即， 当时，； （3）解：因为，， 所以 ． ◆题型4 利用整式加减比较大小 ★ 方法点拨：比较两个整式A、B的大小，常用"作差法"：计算A−B，若结果>0则A>B；若=0则A=B；若<0则A<B。作差后通常需要配方或分析符号。 14．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）有长为米（米）的篱笆，利用它和房屋的一面墙（足够长）围成长方形园子，园子的宽为为4米． (1)若围成的园子如图1所示，求园子的面积（用含l的代数式表示）． (2)若围成的园子如图2所示，在园子的中间用篱笆隔开，并在上面开一道1米宽的门，此时园子的面积与图1中园子的面积相比，是增大还是减小了？增大或减小了多少？ 【详解】（1）解：由题意，米； ∴园子的面积为； （2）解：由题意，米， ∴图2园子的面积为， ∵， ∴园子的面积与图1中园子的面积相比，减少了． 15．（25-26七年级下·吉林长春·期中）阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)【理解】若，则_____；（填“”、“”或“”） (2)【运用】若，证明 (3)【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案． 方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板． 方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 计算得： ， ∵， ∴， ∴， 计算得： ， ∵ ∴， ∴， 综上可得； （3）解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，， ∵ ， 又∵， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式，要比较大小，只要计算的值，即若，则；若，则；若，则，反过来也成立． 【解决问题】例如比较和的大小，我们可以用，即． 【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则_______；（填“>”“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)已知，，若，试比较与的大小． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴． ◆题型5 绝对值与整式的综合 ★ 方法点拨：绝对值化简关键是判断绝对值内式子的正负性。先根据条件确定各整式的符号，再按"正不变、负变反"去绝对值，最后合并同类项。 17．（25-26七年级上·山东济南·期中）按要求解答 (1)已知： 计算 ； 若和时（1）中式子的值相等，求的值． (2)已知：有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． 若， ，的相反数是，求，，的值； 化简： ． 【详解】（1）解：原式 当 时，中式子的值为 ，当时，中式子的值为， ，解得， ． （2）解：由数轴可知， 故由解得， 由解得， 由的相反数是得； ， ． 18．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，，当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则 ；当时，则 ． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，都不等于零，且的最大值是，最小值为，求的值． 【详解】（1）解：当时，则； 当时，则． 故答案为：；； （2）解：因为， 所以，异号． 当时，， 所以． 当时，， 所以． 综上可知，的值为2或； （3）解：a，b，c同正，原式； a，b，c同负，原式； a，b，c两正一负，不妨设， 原式； a，b，c两负一正，不妨设，原式． 因为的最大值是，最小值为， 所以， 所以． 19．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）已知 为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴填空： ①判断正负： ___0， ___0；（填“”或“”）； ②比较大小： ______ ；（填“”或“”） ③根据数轴化简∶ ___， __________． (2)数轴上，数到原点的距离表示 ，即 ； 类似的，数到数的距离可表示为_______； (3)应用： ①如果要表示数到3的距离是7，可记为： ，求的值； ②当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 【详解】（1）①由数轴可得， ∴，； ②，； ③∵， ∴，， ∴，； （2）解：数轴上，数a到原点的距离表示，即；类似的，数a到数的距离可表示为； （3）解：①∵， ∴， 解得：或10， 则的值为或； ②表示a到的距离和a到3的距离之和， 由数轴可得：当表示a的点在左侧或3右侧时，距离之和大于7，当表示a的点在和3之间时，距离为7，此时最小， ∴当时，最小，最小值为7． ◆题型6 程序框图与整式运算 ★ 方法点拨：程序框图题要按箭头方向逐步运算，每一步将当前值代入对应整式。若为循环程序，注意观察周期规律。 20．（25-26七年级上·山东青岛·期末）老师给数学兴趣小组的同学们设计了一个运算程序，如图所示： (1)按上述运算程序填写下表，根据计算你发现了什么规律？ 输入 1 … 输出 0 0 … (2)请说明你发现的规律是正确的． 【详解】（1）解： ，，； ，，； 无论输入的值为多少，输出的值都是． 输入 输出 解： ， 无论输入的值为多少，输出的值都是． 21．（24-25七年级上·山东青岛·期末）老师给数学兴趣小组的同学们设计了一个运算程序，如图所示： (1)按上述运算程序填写下表，根据计算你发现了什么规律？ 输入 … 输出 … (2)请说明你发现的规律是正确的． 【详解】（1）解： ，，； ，，； 无论输入的值为多少，输出的值都是． 输入 输出 （2） ， 无论输入的值为多少，输出的值都是． 22．按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？    输入 …… 输出答案 (1)填写表内空格： (2)你发现的规律是． (3)用简要的过程说明你发现的规律的正确性． 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：，，，； （2） 输入任何数的结果都为； （3）证明：∵， ∴无论取任何值，结果都为，即结果与字母x的取值无关． ◆题型7 图形规律与整式表达 ★ 方法点拨：图形规律题先数出前几个图形的数量（如火柴棒根数、小正方形个数），再列成数列找规律，最后用含n的整式表示第n个图形的数量。 23．（24-25七年级上·江西九江·期中）下列图形都是由同样大小的按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有5个，第2个图形中一共有8个，第3个图形中一共有11个，…，按此规律排列． (1)第5个图形中一共有_____个； (2)第个图形中基本图形的个数有_____个． 【详解】（1）解：第1个图形中的基本图形的个数为：， 第2个图形中的基本图形的个数为：， 第3个图形中的基本图形的个数为：， 第4个图形中的基本图形的个数为：， 第5个图形中的基本图形的个数为：； 故答案为：17； （2）第1个图形中的基本图形的个数为：， 第2个图形中的基本图形的个数为：， 第3个图形中的基本图形的个数为：， 第4个图形中的基本图形的个数为：， 以此类推，第n个图形中的基本图形的个数为：， 故答案为：． 24．（25-26七年级上·重庆·期末）【综合实践】 数形结合是常见数学思想方法，早在公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家就用小石子来研究具备图形特点的数，如图，第一行的1，3，6，10…称为三角形数，第二行的1，4，9，16…称为正方形数，第三行的1，5，12，22…称为五边形数．对于一个边形，其第个多边形数，记作，如：．“数海传奇”小组利用软件对多边形数的衍生规律进行了探究，并得出了当，，时，第个多边形数的规律： 名称 图例 第个多边形数 三角形数 正方形数 五边形数 【初步探究】 （1）通过观察“数海传奇”小组总结的，，时，第个多边形数的规律，请写出当时第个多边形数的代数式：________；（请将结果化简后再填入） （2）列举出所有100以内既是三角形数又是正方形数的数：_________； 【深入探究】 （3）按照上表中总结的第个多边形数的规律，若，求出所有满足条件的整数的值的和． 【详解】（1）解：通过观察“数海传奇”小组总结的，，时，第个多边形数的规律，当时第个多边形数为． 故答案为：． （2）根据题目中总结的规律，第个三角形数为， 第个正方形数为． 100以内所有的三角形数有：1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91． 100以内所有的正方形数有：1，4，9，16，25，36，49，64，81． ∴所有100以内既是三角形数又是正方形数的数为：1和36． 故答案为：1和36． （3） ， 为正整数，1，3，5，15． ，2，0，． ∴满足条件的值的和为． 25．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为，…， (1)按上图所示规律，图6中有_________个“△”，图6中有_________个“★”； (2)按上图所示规律，图n中有_________个“△”，图n中有_________个“★”； (3)设图中有个“△”，个“★”． ①当时，的值是多少？ ②试求与之间的数量关系． 【详解】（1）解：按上图所示规律得： 图4中“△”的个数为，“★”的个数为； 图5中“△”的个数为，“★”的个数为； 图6中“△”的个数为，“★”的个数为； 故答案为：16，33； （2）解：按上图所示规律，图中“△”的个数为，“★”的个数为， 故答案为：，； （3）解：①当时，， 解得，， 此时，， ②∵，， ∴， ∴． 26．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）【观察思考】 【规律发现】 如图所示的图案都是由正八边形构成的图案，正八边形的每个顶点上都有“”或“”． 第1个图案中“”有个；“”有个； 第2个图案中“”有个；“”有个； 第3个图案中“”有个；“”有个； 第4个图案中“”有个；“”有个；． （1）第99个图案中“”有______个；“”有______个； （2）第个图案中“”有______个，“”有______个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （3）在第2025个图案中，求“”的个数比“”的个数少多少． 【详解】解：（1）第99个图案中“”有个；“”有个； 故答案为：99；99； （2）第个图案中“”有个，“”有个，即个； 故答案为：；； （3）， 当时，， 即在第2025个图案中，求“”的个数比“”的个数少2024个． 27．（25-26七年级上·四川成都·期中）规律探索渗透了从特殊到一般的数学思想方法．例如将一些边长为1的小正方形按如图方式拼图， 图①中边长为1小正方形的个数：； 图②中边长为1小正方形的个数：； 图③中边长为1小正方形的个数：； ．．．．．． 我们结合图形，从1开始两个连续奇数相加到3个，4个连续奇数相加，再到更多个连续奇数相加，从而探索出了从1开始的多个连续奇数相加求和的规律与方法．根据你的探索完成以下问题： (1)类比上例，写出第五个等式___________ ； (2)类比上例，计算：； (3)根据你所发现归纳的规律计算的值； (4)拓展应用：请探究并直接写出的计算公式．(用含n的代数式表示) 【详解】（1）∵； ； ； 可知第五个式子是连续奇数从1加到11，即， 故答案是：； （2）总结规律得：， 令，得：， ∴； （3） ； (4)，理由如下： ∵， ∴ ， ， …… 左右两边分别相加得： ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ◆题型8 新定义运算 ★ 方法点拨：新定义运算题严格按照题目给出的运算规则代入计算，注意区分新运算符与常规运算符。先理解规则，再按步计算。 28．（25-26七年级上·陕西安康·期末）对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 【详解】（1）解：； （2）根据题意可知，，， ， ． 29．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算：． (1)计算的值； (2)已知有理数在数轴上满足，化简． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 30．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）对于有理数，，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，． (1)填空： ； ． (2)，在数轴上的位置如图所示，化简． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ （2）解：根据题意可知，， ∴ ∴ 31．（25-26七年级上·福建厦门·期末）对于有理数a，b，规定一种新的运算：． 例如，． (1)计算：； (2)若的值与m的取值无关，求n的值． 【详解】（1）解：∵，∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与m的取值无关， ∴， 解得， ∴n的值为． 32．（25-26七年级上·福建漳州·期末）定义新运算：．例如：． (1)计算的值； (2)已知，试说明的值与的取值无关． 【详解】（1）解：； （2）解：， ①； ， ②； 将①②得：， 整理化简得：； 的值为常数，与的取值无关． 1．（25-26七年级下·湖北十堰·期末）将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设1号正方形的边长为，2号正方形的边长为， 由图可知，3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 图①中长方形的周长为40， ， 即， ， 设图②中大长方形的长为，宽为，则， 阴影部分的周长由水平线段和竖直线段组成， 竖直线段之和：左侧边界长为，右侧边界长为，共， 水平线段之和：大长方形上下边未被覆盖部分长为，内部水平线段长为， 水平线段总长为， 阴影部分的周长为， 阴影部分的周长为． 2．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简：． 【答案】0 【详解】解：∵且， ∴， ∴ ． 3．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 4．（25-26七年级上·江西赣州·期末）小张在完成一道整式运算题：“已知两个多项式和，计算的值”时，不小心将看成了，结果为．已知． (1)求原题中的正确结果； (2)若的结果与的值无关，求的值． 【详解】（1）解：已知，且，则： ， ∴ ； （2）解： ∵， ∴ ， ∵的结果与的值无关， ∴， 解得：． 5．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 【详解】（1）解：由； ； ； ； 可知：； （2）解：由题意得：，， 若，则， 即：； （3）解：∵ ， ∵的值与x无关，即的值与x无关， ∴， 解得． 当时， ． 6．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请阅读下面材料解决问题． 代数式的值为，则代数式的值为______． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，，则有，，所以代数式的值为． 【方法运用】 （1）若代数式的值为，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为　　　　． 【详解】解：（1）由 ，得 将 变形为，代入 ： （2）当 时， 当 时， 所以 （3）先化简所求代数式： 将其变形为 ，代入 ，： 7．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）综合与实践 实践主题：探索月历中数的排列规律，体会代数表示与规律推导的数学思想． 实践任务：探究方框中9个数的和与中心数的规律． (1)计算分析（图1）：图1中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：9个数的和是中心数的________倍． (2)验证迁移（图2）：图2中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：（1）中的关系在（2）中________（是、否）成立． (3)规律推广：假设中心数为n，那么以上这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？请写出你的猜想，并证明． 【详解】（1）解：由图1知，方框的中心数为11， 框内9个数的和为． 结论：9个数的和是中心数的9倍 故答案为：11，99，9； （2）解：由图2知，方框的中心数为16， 框内9个数的和为． 结论：9个数的和是中心数的9倍 故答案为：16，144，是； （3）解：以上这个结论对于任何一个月的月历都成立，猜想：设9个数字的和为， 则 证明：中心数为 其余8个数分别为：，，，，，，，． ． 8．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）： ①与；②与 ． (2)多项式与的“对消值”为 ． (3)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 【详解】（1）解：，不是常数，故①不是“对消多项式”； ，为常数，故②是“对消多项式”； （2）解：； （3）解： ， ∵多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴“对消值”为2． 9．（25-26七年级下·上海金山·期末）取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． (1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 【详解】（1）解：均匀积木重心在中点，上层积木最多能超出下层；多层依次外伸时，第1块相对第2块最多伸，第2块相对第3块最多伸，第3块相对第4块最多伸，…，第n块相对下一块最多伸； 只推积木①至最远：①相对②最多延伸； 再固定①②推②：①②总质量为，②相对③最多延伸， 再叠加①相对②的，总延伸； 再固定①②②推③：①②②总质量为，相对④最多延伸， 总延伸； 故答案为：；； （2）解：固定①，推②至最远：②相对③最多伸，①跟着②一起外伸，总延伸； 固定①②相对位置，三块①②③放在④上，推③至最远， 设③相对④向右伸出，支撑边界为④的右端， 各块重心坐标（以④右端为，向右为正）： ① ②同①，为， ③， 三块总重心等于（临界平衡）： ， 解得 总延伸长度（最右端超出④的总长） ． （3）解：1．积木①先延伸 (相对②超出)，再固定①②推②： 设②相对③最远可伸， 由题意得，解得， 所以①②组合总延伸：； 2．再固定①②推③：①②②总质量为，③相对下层最远可伸， 总延伸：． 10．（25-26七年级下·广东深圳·期末）某学校数学俱乐部组织了“数字变化引擎”设计大赛．引擎的核心是一个运算程序：输入一个数，按一定的运算规则进行运算后，输出结果． 【理解与思考】 (1)理解“循环—判断” 小福设计的“数字变化引擎”程序如下： 规定：程序每运行到“”为一次运行． ①若输入，则输出的值为________； ②若该程序第一次运行后就直接输出值，则可以为________（写出一个满足条件的整数）． 【迁移与应用】 (2)利用“循环—判断”进行程序设计 在进一步探究中，小田发现“循环—判断”可以使程序重复执行一段运算，直到满足指定条件为止．于是他设计了一个运算程序，该程序输入一个任意的两位数，输出结果为一个定值．程序流程如图： ①若输入的两位数是23，请根据小田设计的运算程序，写出输出结果和找到结果的过程． ②若输入的两位数十位数字用表示，个位数字用表示，试结合代数式解释：任意输入一个两位数，该运算程序的结果总是固定的值． 【详解】（1）解：①当时，； 当时，， 所以输出的； ②根据题意，得， 解得， 所以的值可以为6（答案不唯一）； (2)①输出的结果为6．过程如下： 23的十位数字为2，个位数字为3，第一次运算后得到 ， 因为12不是个位数，所以重复操作； 12的十位数字为1，个位数字为2，第二次运算后得到 ， 因为6是个位数，所以输出结果为6； ②因为十位数字为a，个位数字为b， 所以，，． 当时，为个位数，输出为定值6， 当时，为6的倍数，即每一次运行都能得到结果为6的倍数， 又因为只有个位数时才输出结果， 所以最后输出的结果为定值6． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $