2.2.2 有理数的除法-【随堂笔记】2026-2027学年七年级上册数学（人教版·新教材）

2.2.2 有理数的除法 课前·预习笔记 1.了解有理数除法的意义，理解有理数除法与乘法的互逆关系. 预 习 2.掌握有理数除法法则，能运用法则熟练地进行有理数除法运算.重点© 目3.通过利用有理数除法法则进行运算的过程，体会转化的数学思想， 标14. 能根据条件选择合适的法则，熟练地进行有理数的加减乘除混合运算 第步明确考情 1.考频：5年3考 2.分值：3分 13.题型：选择题、填空题 第二步梳理知识 1。有理数除法法则 (1)除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数 (2)两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除 以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0的数，都得0. 2.化简分数的实质 分数的化简，就是将分数改写成分子除以分母的除法运算，利用有理数除法 预 法则进行化简. 习 13. 有理数的乘除混合运算 任 有理数的乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后 务 求出结果 第三步预习检测 1. 若号>0，则一定有( A.a>0且b>0 B.a<0且b<0 C.a,b同正或同负 D.不确定 2计算(-6)÷(-号) 的结果是( A.-18 B.2 C.18 D.-2 3.下列计算正确的是（) A.(-32)÷4×(-8)=1 R-3.5÷8×(-)=-3 c-6÷(-4)×名- D.0×(63)=-1 48 随堂笔记7年级数学RJ上册 课堂·听课笔记 新知解读山 知识点1》有理数除法法则 举一反三》参考答案见答案册P8 有理数除法法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 1-1若6=0，则一定有 倒数将除法转化为乘法， e 体现了转化的数学思想4 () 用字母表示：ab=a·(6≠0)： “除数一定不能为0 A.a≠0，b≠0 B.a=b=0 ”先确定商的特号，再确定绝对值的商 C.a=0或b=0 有理数除法法则二：两数相除，同号得正，异号得负，且商的 D.b=0,a≠0 绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任 何一个不等于0的数，都得0. 1-2计算4 }÷2的值是 国拓展提升(1)有理数除法的两个法则要根据具体情况灵 ( ) 活选用，对于同一个除法运算，用不同的法则计算，所得的 B子 结果是相同的.(2)除法运算中，被除数可以为0，但除数 不能为0.(3)有理数的除法没有交换律、结合律，更没有 C D.35 8 分配律.(4)两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若 1-3计算： 商是-1，则这两个数互为相反数。 (-是 ÷3 例1[教材P44例题]计算： (2②)(-号)÷(-多 ②)(-1名÷(- (1)(-36)÷9; 异号得负，绝对值相除 【答案】解：(1)（-36)÷9=-(36÷9)=-4； ,除法变乘法 ★方法点拨 在进行有理数除法运算时，首先确定商的符号，然后将其绝 对值相除或者将除法转化为乘法进行计算， 知识点2》化简分数 举一反三》参考答案见答案册P8 化简分数：分数可以理解为分子除以分母， 2-1化简下列分数： 例21[教材P44例题]化简： 、，分戴化简的本质是有 -3 (1)是，(2) 理数的除法 (1) -2.7(2)-16 0.5 -12 【答案】解：(1)号(-2)÷3=-23》： 2 (3) ④ -89 3 (2)二5=(-45)÷-122=45÷12 (5) ()95 -6 41 将分数改写成除法时，，分母是负数的要加上括号 第二章有理数的运算 49 ★方法京拨 分数化简时，可以先确定符号，也可以先化为除法运算后再 确定符号.当分子、分母都是整数时，也可以直接约去最大 公因数进行约分 ◆注意事项：分数中用“一”号的移号方法化简分数时仍遵循 “同号得正，异号得负”的特号法则，因此对于一个分数可得移 号法则：分子、分母、分数线前，若有一个或两个负号，则负 号可以移到三个位置中的任何一个，而分数的值不变. 知识点3●》有理数的乘除混合运算 举一反三》参考答案见答案册8 1.运算顺序：因为乘除属于同级运算，所以按从左到右的顺序 3-1计算： 依次计算，有括号的先算括号内的， 2.乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号， )(-)÷(-)÷ 最后求出结果 (-0.25)； 例3[教材P45例题]计算： ②)3(-马》×名(-》 ()(-125)÷(-5):(2)-2.5÷8×(-4. 【答案】解：(1)（-125)÷(-5) =(25+)×5 1。拆项 125×?+)×·运用集法分配得 25+月 =257 (2)-258×(- 5x4 =1:+小数化成分数 女方法点拨 紧扣同级混合运算的先后顺序，将除法统一成乘法是解题的 关键. 知识点4>有理数的加减乘除混合运算 举一反三》参考答案见答案册P8 有理数的加减乘除混合运算的顺序：先乘除，后加减，有括号 的先算括号里面的. 50 随堂笔记7年级数学RJ上册 ☒拓展提升有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先 4-1计算： 做什么运算，则与小学所学的混合运算一样，先算 (1)(-63)÷9-(-25)× 高级运算（乘除），再算低级运算（加减）九，同级运算在混 （-6); 合运算中可以同时运算，但只有同级运算时，必须遵循从左 (2)(-8)+骨×号÷(-160. 至右的顺序来计算。 例4[教材P46例题]计算： (1)-8+4÷(-2)；(2)(-7)×（-5)-90÷(-15). 【答案】解：(1)-8+4÷(-2) =-8+（-2)先算除法，后算加法 =-10; (2)(-7)×(-5)-90÷(-15) 5-1计算： =35-（-6)先算乘除，后算减法 (1) [-号+(- =35+6 =41. [1+(-子×(-1： 春注意事项：同绒运算在混合运算中可以同时运算，但只有同绒 运算时，必须遵循从左至右的顺序来计算。 (2)(-21)÷9 例5[衔接教材P47练习]计算： (1)(-1号)÷(-32)-(-1)÷1号： 24]÷(-5). (2)-2写×(1-12)+(-53)÷1g 【答案】解：(1)(-1号)÷（-3分)-（-1子)÷1号 =子×(-号)-(-子)×号八先等集食。后票和或 23 20: (2)-2×(1-1分)+(-53)1g 先算括号里面的，后算括号外面的 ★万法点拔： 有理数的加减乘除混合运算，通常把除法转化为乘法，把减 法转化为加法，再根据有理数的加法、乘法运算法则按运算 顺序进行计算。 第二章有理数的运算 51 知识点5>有理数加减乘除混合运算的实际应用 举一反三》参考答案见答案册9 将实际问题转化为数学问题，列式计算 6-1某旅游景点在某天 例61[教材P46例题]某公司去年1月一3月平均每月亏损1.5 13:00的气温是5℃，此后气 万元，4月一6月平均每月盈利32万元，7月一10月平均每月 温持续下降，夜间某时刻测得 盈利21.7万元，11月一12月平均每月亏损2.3万元.这个公司 气温已经下降到-1℃.如果 去年总的盈亏情况如何？ 平均每4h气温下降3℃，那 【答案】解：记盈利额为正数，亏损额为负数.由 么此刻的时间是几点？ (-1.5)×3+32×3+21.7×4+（-2.3)×2 1~3月共3个月 11~12月共2个月 4~6月共3个月 ￥7~10月共4个月 =-4.5+96+86.8-4.6 =173.7. 可知，这个公司去年全年盈利173.7万元 ★方法凉拨 在实际问题中，建立有理数的混合运算模型来解决问题，与 小学的列式计算解应用题是一样的，关键是要抓住能够表示 运算关系的词语。 知识点6>》用计算器计算 举一反三》参考答案见答案册9 计算器具有运算快、操作简便等优势，当有理数的混合运算的 7-1用计算器计算（结果保 计算量大时，可借助计算器计算.各种类型的计算器在使用时， 留两位小数)： (1)93.58÷(-3.56)； 操作方法不尽相同（具体参见计算器的使用说明)，但在进行 (2)-6.85÷3.2+8.74×0.52. 加、减、乘、除四种运算时按键方法通常是一样的 例7[衔接教材P47练习]用计算器计算（结果保留三位小数）： (1)-12.3×（-0.13); (2)1.36÷(-3.26)+(-8.12)×(-3.26). 【答案】解：(1)按键顺序如下： 注意数的符号不要漏 ⊙①②⊙③&OO⊙①③€ 就可以显示出答案：1.599， (2)按键顺序如下： ①⊙③⑥⊙Θ③⊙②⑥+©⑧⊙①②&⊙③⊙②⑥€ 就可以显示出答案：26.054， 52 随堂笔记7年级数学RJ上册 ★方法点拨 不同品牌的计算器的操作方法可能有所不同，但在进行加减 乘除四种运算时按键方法通常是一样的：(1)按“0N”键 开启计算器；(2)按照算式的书写顺序准确输入数据； (3)按“=”键执行运算，计算器显示结果；(4)每一次 进行新的运算之前按“AC”键清零. 课本练习[教材P45,P47练习] 1.计算： 答案 (1)(-18)÷6;(2)（-63)÷(-7)；(3)1÷（-9); 1.(1)-3;(2)9; ④0÷(-8)：(5)(-65)013，(6)(-)÷(-2. 1 (3)-g(4)0: 2.化简： (5)-50;(6)3. 0g2,2)二8(3)95426 2.(1)-8；(2) 子：30， 3.计算： (1)号÷(-6)：(2)(-36)9： 1 (2)-4 (3)(-12)÷(-4)÷(-1}: 3.(1)-30 (3)- :4 64 (④)(-号)×号÷(-025) 4.计算： 4.(1)2; (1)6-(-12)÷(-3); (2)-16; (2)3×(-4)+(-28)÷7; (3)-156; (3)(-48)÷8-（-25)×(-6); (4) ④)2x(-号)+(-孕÷(-05). 5.(1)17; 先乘除，后加减，有括号的先计算括号里面的.同绒运算中 (2)-6.68; 按照从左到右的顺序计算 (3)-471; (4)-1816.355. 5.用计算器计算： 用计算器计算，要注意裁的符号 (1)357+（-154)+26+(-212); (2)-5.13+4.62+（-8.47)-（-2.3); (3)26×(-41)+(-35)×(-17); (4)1.252÷（-44)-(-356)÷（-0.196)（结果保 留小数点后三位). 第二章有理数的运算53 课后·提升笔记 题型训练 题型1●>有理数的除法与绝对值的综合应用 )变式训练>参考答案见答案册P9 巴如k0若m名·效·告，则m+1 1-1若有理数x,y满足y≠ 【解析】①当a、b、c都为正值或一正二负时，m=2×3×4= 0则m+升的最 y 24,m+1=25; 大值是一 ②当a,b,c都为负值或一负二正时，m=-(2×3×4)=-24, m+1=-23. 【答案】-23或25 题型2》有理数相关的新定义运算 变式训练》参考答案见答案册9 例2对有理数a,b,定义新运算“田”如下：a⊕b= a+b' 2-1如果对于任何有理数a, 例如：23-号得-号求4©(-2)的值 b,定义新运算“△”如下： 【答案】解：因为a④b=ab, aa6=日÷(-2)，如 a a+b' 所以4④（-2) 23=3÷(-2)=- =4×(-2) 4+(-2) 求（-2△7)△4的值. -8 2 =-4. 题型3●>应用倒数的概念对除法进行简便运算 〉变式训练》参考答案见答案册9 计算：(-动÷（合-音+号-》. 31计奖：(0)÷（后 【答案灯解：原式的倒数=〈合是+号-子)》÷(-安 =哈音+号-3》×(-2) 7×42) =-(7-9+28-12) =-14, 故原式：女 54随堂笔记7年级数学RJ上册 题型4●>利用计算器进行规律探索 变式训练》参考答案见答案册9 例4用计算器计算下列各式，将结果填写在横线上， 4-1用计算器计算： 9999×11= 9999×12= 22×22 9999×13= 9999×14= 1+2+1 333×333 (1)你发现了什么？ 1+2+3+2+1 (2)不用计算器，你能直接写出9999×19的结果吗？ 4444×4444 【答案】解：9999×11=109989；9999×12=119988；9999× 1+2+3+4+3+2+1 13=129987;9999×14=139986. 请根据你的发现，写出一个类 故答案为109989；119988；129987；139986 似的等式，并用计算器验证. (1)发现如下：通过观察这些数据可以发现，积的最高两位数 比两位的因数少1，积的末尾两位数与两位的因数的和是100， 中间为99， (2)9999×19=189981. 链接中考 考点1◆有理数的除法 考点2●有理数的混合运算 题型 难度 分值 题型 难度 分值 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 典例1[苏州中考](-21) ÷7的结果是 典例2[南京中考]计算：12+（-18)÷(-6)- (-3)×2的结果是() A.3 B.-3 C. D.-1 A.7 B.8C.21 D.36 【解析】12+(-18)÷(-6)-（-3)× 【解析】(-21)÷7=(-2)×号=-(21× 2=12+3-(-6)=12+3+6=21. 月)=-3。 【答案】C 【答案】B 第二章有理数的运算 55=(100-g)×(-13) -130+号 =-12983: (2)57× +27× 28 =(56+1)×8+(28-1)×器 55 =56++28×-烈 2828 =5+ 2+27-6 4 =821 6 5-1解：(1)（-2)⊕(-3) =(-2)×(-3)+2×(-2) =6-4 =2; (2)(-5)⊕[2⊕(-4)] =(-5)⊕[2×(-4)+2×2] =(-5)⊕(-8+4) =(-5)⊕(-4) =(-5)×(-4)+2×(-5) =20-10 =10. 2.2.2 有理数的除法 预习检测， 1.C2.C3.C 举一反写 1-1D1-2D 1-3解：1)(-导号=号× 5 (2②)(-1名)÷(-)6×9- 6×7=21 2-1解：(1) -3-10 16 -27=g(2）-0. -32; ；(4)-54=27 -8=49 (09-2 (6)9 75=0. 3-1解：(0(-号)÷(-)÷(-0.25) =(-子)x(-各)×(-4) -(号××4 =-3 (2)3÷(- )×名(- 5 =3x(-3)×名x(-) 753 =3×3× ×5 6 4-1解：(1)(-63)÷9-(-25)×（-6) =-7-150 =-157; (2)(-81)+号×号(-16) =-81×号×号×(-) =1. 5-1解：0[-号+(-爱》]÷1+(-子)× -1 ( 1+号) =(-9+号 19 8 (2)(-27)÷9 =(-27-) 1 -3品 -3品 (3)14-(爱+6-子)×24]÷(-5列 =算-（层x24+6×24-2×241(-5) 3 1 =克-(9+4-18)1÷(-5) =2+5)x(-》 2x(片+5x(片 1 器 6-1解：[5-(-1)]÷3×4=8(h),13+ 8=21. 答：此刻的时间是21：00. 7-1解：(1)93.58÷(-3.56)≈-26.29； (2)-6.85÷3.2+8.74×0.52≈2.40. 变式训练 1-12【解析】因为有理数x,y满足xy≠ 0,所以话=山，罗=，所以m=高+ y的最大值是m=1+1=2. 2-1解：（-2△7)△4 =[-(-3△4 =7A4 =7(-) 3-1解：原式的倒数=（后-分-兮+名）÷ =后2g+8)×(-) =-(后×78-分×8-写×8+ x78) =-（12-39-26+65) =-12, 故原式=-2 1 22×22 333×333 4-1解：+2+1=121；1+2+32+1 4444×4444 12321；1+2+3+4+3+2+1=1234321. 55555×55555 1+2+3+4+5+4+3+2+1=123454321. 2.3有理数的乘方 2.3.1乘方 预习检测 1.C 2.解：原式=-8+[16-(-8×3)] =-8+40 =32 举三反三 1-1A【解析】43表示3个4相乘，即4× 4×4. 1-2D【解析】24的底数是2，-24的底 数也是2，故D选项符合题意. 2-1C【解析】因为34=81,43=64， 34≠43，所以选项A中的两个数值不相等；因 为-42=-16，（-4)2=16，-42≠(-4)2， 所以选项B中的两个数值不相等；因为-2= -8,（-2)3=-8,所以-23=(-2)3，所以 选项C中的两个数值相等；因为24=16，-2= -16,24≠-24，所以选项D中的两个数值不