2.2.1 有理数的乘法-【随堂笔记】2026-2027学年七年级上册数学（人教版·新教材）

2.2有理数的乘法与除法 2.2.1 有理数的乘法 课前·预习笔记 预1. 掌握有理数乘法法则及多个有理数相乘的符号法则，会进行有理数的乘法运算. 重点 习2.理解有理数的倒数的意义，会求一个有理数的倒数 目3.理解并掌握有理数的乘法运算律，并会运用运算律简化运算 标 4.能运用有理数的乘法运算及乘法运算律解决简单的实际问题.重点@ 第明确考情 11.考频：5年2考 2.分值：3分 3.题型：选择题、填空题 第€梳理知识 11.有理数乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积 (2)任何数与0相乘，都得0. 12.1 倒数 (1)乘积是1的两个数互为倒数. (2)0没有倒数. 3.有理数乘法运算律 预 (1)乘法交换律：ab=ba (2)乘法结合律：(ab)c=a(bc). 习 (3)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac. 4 任 多个有理数相乘的法则 务 (1)几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数 的个数是奇数时，积为负数 (2)几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0 第三步预习检测 1.计算(-4)×2的结果等于（） A.-2 B.2 C. 2024的倒数是( 1 1 A.-2024 B.2024 C…2024 D.-2024 3计算(1-3+分 ×(-12)时，运用哪种运算律可以避免通分( A.乘法分配律 B.乘法结合律 C.乘法交换律 D.乘法结合律和交换律 40 随堂笔记7年级数学RJ上册 课堂·听课笔记 新知解读 知识点1》 有理数乘法法则 举一反三》参考答案见答案册P6 同正或同负 少一正一负 1-1计算： 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝 (1)4×(-2) = 对值等于乘数的绝对值的积.任何数与0相乘，都得0 注意事项：“同号得正，异号得负”是确定积的符号， 不要 (2)(-)×(-) 与加法中确定和的符号相混淆. 例11[教材39例题]计算： 两负裁相乘，第一 (1)8×(-1); 个负乘裁可以不带括 号，但后面的负乘 (2)(-)×(-2: 数必须带括号 (3)(-子)×(-). 1-2已知x=-2,y=4,则 1xy1=一： 【答案】解：(1)8×(-1)=-(8×1)=-8； (2)(-)×(-2)=+(号×2列是置得负.绝时值相康 1 1-3若1a1=2,Ib1=5, 且ab<0,则a+b的值为 同号得正，绝对值相乘 (a)(-子》×(-)=+（×》 10 () A.-3 B.3 ★方法京拨上 C.-3或3 D.-3或-7 (1)有理数乘法的运算步骤：①确定积的符号；②确定积 的绝对值. (2)有理数的乘法运算中，如果乘数有带分数的，先化为 假分数再进行计算，能约分的一定要约分， (3)任何数与1相乘都等于这个数本身；任何数与-1相乘 都等于这个数的相反数 知识点2>倒数 举一反三》参考答案见答案册7 倒数：乘积是1的两个数行为倒数古交紧杂裂9心 注意事项：（1)因为倒数是两个数之间的一种相互关系，其 中一个数叫作另一个数的倒数，所以单独一个数不能称其为倒数. (2)因为任何数与0相乘，都得0，所以0没有倒数. 例2[衔接教材P40练习]（1)-3的倒数是 ，8的 倒数是 第二章有理数的运算 41 (2) 的倒数是125，-4兮是 的倒数； (3)- 互为倒数， 没有倒数， 2-1一个数的倒数是1 3 【解折】（④）-3的倒数是-行8的倒数是g: 这个数是( ) 根据有理数乘 B.3 (2)因为1.25-，所以号的倒数是1.25； 法法则中“同 号得正”可知 C. 2 因为-4兮=-号所以-4兮是-高的倒数： 3 互为倒数的两 个裁的符号相 (3)- 与-互为倒数，0设有倒数 同，即正数的 倒裁是正裁， 【答案】（①）-日日 (2)号 3 2-2已知a与2互为相反 13 负数的倒裁是 负数 数，则a的倒数为() (3)-2 0 A.2 B.-2 ★方法京拨大 求倒数的方法： (1)一个不为0的整数的倒数就是这个数分之一； (2)求一个真分数的倒数就是把这个分数的分子和分母交 换位置； (3)求一个带分数的倒数要先把带分数化成假分数，然后 交换分子、分母的位置； (4)求一个小数的倒数要先把小数化成分数，再求其倒数. 知识点3》有理数乘法的应用 举一反三》参考答案见答案册门 例3[教材P40例题]用正负数表示气温的变化量，上升为正，3-1规定：水位上升为正， 下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高1km气温的变化量为 水位下降为负；几天后为正， -6℃.登高3km后，气温有什么变化？ 几天前为负.若水位每天下降 【答案】解：（-6)×3=-18. 4cm,今天的水位记为0cm, 答：登高3km后，气温下降18℃. 则3天前的水位用算式表示正 例4[衔接教材P40练习]A超市平均每天可盈利120元，那 确的是（) 么一周的利润是多少元？B超市平均每天亏损30元，那么一周 A.(+4)×（+2) 的利润是多少元？ B.(+4)×（-3) 【答案】解：根据正负数的意义，我们可以规定盈利为正，亏 C.(-4)×(+2) 损为负. D.(-4)×(-3) A超市一周的利润是(+120)×7=840（元）. 4-1用正数表示盈利，用负 B超市一周的利润是(-30)×7=-210（元） 数表示亏损，某服装店平均每 答：A超市一周的利润是840元，B超市一周的利润是-210元. 天亏损20元，一周的利润 ★方法京拔 是(). 根据实际问题中提供的数据列出有理数的乘法算式，利用有 A.120元 B.-120元 理数乘法法则进行计算是解决问题的关键： C.140元 D.-140元 42 随堂笔记7年级数学RJ上册 知识点4>有理数乘法运算律 举一反三》参考答案见答案册门 乘法交换律：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 5-1在运用分配律计算3.6× 用字母表示：ab=ba 在利用乘法交换律交换乘裁的位置 (-9)时，下列变形较为简便 时，要连同乘数特号一起交换 的是() 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两 A.(3+0.96)×(-99) 个数相乘，积不变， +把能凑整、，便于约分的数结合 B.(4-0.04)×（-99) 在一起，使计算简便 C.3.96×(-100+1) 用字母表示：(ab)c=a(bc) D.3.96×(-90-9) 乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与 这两个数相乘，再把积相加： 分配律可逆向使用， 用字母表示：a(b+c)=ab+ac 即ab+ac=a(b+c) 5-2计算： (1)(-8)×36×（-125); ☒拓展提升 乘法运算律的推广：（1)乘法交换律和乘法 (2)号×(-3×8: 3 75 结合律可以推广到多个有理数相乘，三个或三个以上不为0 的有理数相乘，任意交换乘数的位置，或者先把其中几个乘 (a)(-4+6-g+始× 数相乘，积相等 (-24). (2)分配律也可以推广到一个不为0的有理数同多个有理 数的和相乘，即a(b+c+…+m)=ab+ac+…+am.此 外，对于某些算式，逆用分配律能使计算简便， 例5[教材P41例题](1)计算2×3×0.5×(-7)； (2)用两种方达计算（好+6-3）×2， 【答案】解：(1)2×3×0.5×(-7) =(2×0.5)×[3×(-7)] =1×(-21) =-21. (2)解法1：（日+石分×12、麦鞋多密 再算括号外面的 =(最+品岛×12 =-2×12 =-1. 解法2：（+ ）×12 =有×12+石×2-3×12一菱用了泰击配作志法括 1 号，再相加减，运算量小 =3+2-6 =-1. 心注意事项：在使用分配律的时候需要注意符号问题，每一项的 符号都要带上.每一项都要与括号外那个数相乘，不能漏乘. 第二章有理数的运算 43 知识点5>多个有理数相乘 举一反三》参考答案见答案册门 多个有理数相乘的法则：（1)几个不为0的数相乘，负的乘 6-1a,b,c为非零有理数， 数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时， 它们的积一定为正数的 积为负数.简记为“偶正奇负” 有乘裁0的裁相乘的法则 是() (2)几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0. A.a,b,c同号 心注意事项：(1)几个不是0的数相乘，积的将号由负因数的 B.a>0,b与c同号 个数决定.(2)多个有理数相乘时，先看乘数中是否有0，避免 盲目进行计算. C.b<0,a与c同号 例61[衔接教材P43练习]计算： D.a>b>O>c (-3)××(-号)×(-： 6-2计算： (1)-0.75×（-0.4)× (2)(-5)x6×(-)×4 4 1 I答案】解：((-3)×8×(-号)×(- (2)(-4×号×(-0)× =-3xx91 X 有3个负乘裁，积的特号为负 6 5×4 再把各个乘数的绝对值相乘 =8 (2)(-5) x6×(-号)×4 4 41 =5×6×5×1 有2个负乘裁，积的特号为正，再把 4 各个乘数的绝对值相乘 =6. 例7[衔接教材P43练习]计算： 7-1计算： ()0×(-10×(-g)×(-g: ()06×(-子)x(-名)× (2)(-0)×(-9)x0×手 （-2号： (2)（-2021)×（-2022)× 【答案】解：(1) ×(-×(-多)×(-) 7 2×（-2023)×0×（-2024). 从左往右依次计算 13 1 =-6 (2)(- )x0×号=0， 3 有乘数为0，那么积等于0 ★方法点拨 三步轻松搞定多个有理数相乘：第1步，看乘数中有没有0； 第2步，判断积的符号（根据负乘数的个数)；第3步，计 算绝对值的积。 44 随堂笔记7年级数学RJ上册 课本练习[教材P40,P43练习] 1.计算：有理裁相乘时，应先确定积的特号 答案 (1)6×（-9)(2)（-4)×6;(3)（-6)×(-1)； 1.(1) -54；(2)-24; (4)(-6)×0; (5)(-4)×4 (6) 9 (3)6;(4)0; -5 (5)-1;(6) 2.商店降价销售某种商品，每件降5元，售出60件.与按原 2.销售额减少了300元 价销售同样数量的商品相比，销售额有什么变化？ 3.写出下列各数的倒数： 3.1,-1,3,-3, 5, 1,1分5，-5子子 -13 3 31 5,2’-2 正最的倒裁是正数，负裁的倒戴是负裁.倒裁等于它本身的裁是±1 4.计算： 4.(1)-8500; (2)15; (1)（-85)×（-25)×（-4),*乘法结合律 (3)25; (2)(-日)）x15×(-1》；来法交换律、结合律 (4)-6. 5.(1) 2 (3)(品)×30：→泰法分配律 (2)0. (4)(-号)×(-3)+(-g)×(+?}). 逆用乘法分配律 5.计算： 0（昌×名××(-：系个特小数转意 对值相乘 其中有乘数为0，积为0 课后·提升笔记 题型训练， 题型1●》逆用有理数乘法法则和绝对值判断因数的符号或值 变式训练》参考答案见答案册P门 例1若1al=3,1b1=7,且ab<0,则a+b的值为() 1-1若a,b,c满足(a-b) A.-4B.4C.-4或4 D.-3或-7 (b-c)>0,则下列叙述正确 【解析】因为|al=3,Ib1=7,所以a=±3，b=±7. 的是() A.可以确定最大的数是a,最 因为ab<0,所以a=3,b=-7或a=-3,b=7. 小的数是c 当a=3,b=-7时，a+b=3-7=-4; B.可以确定最大的数是c,最 当a=-3,b=7时，a+b=-3+7=4. 小的数是a 【答案】C C.可以确定中间的一个数是b D.可以确定它们的大小关系 第二章有理数的运算45 题型2>相反数、绝对值、倒数的综合运用 》变式训练》参考答案见答案册7 例2已知a,b互为相反数，c,d互为负倒数，m的绝对值是 2-11-写1的负倒数与 5,则(a+b+cd)m-cd的值是多少？ -0.4的相反数的积为 【答案】解：因为a,b互为相反数， 2-2已知a与b互为相反数， 所以a+b=0. c与d互为倒数，e为绝对值 因为c,d互为负倒数， 最小的数，求2024(a+b)+ 所以cd=-1. cd+e的值是： 因为m的绝对值是5，所以m=±5. 当m=5时，原式=(0-1)×5-(-1)=-4； 当m=-5时，原式=(0-1)×(-5)-（-1)=6. 所以（a+b+cd)m-cd的值是-4或6. 题型3》逆用分配律进行简便运算 >变式训练》参考答案见答案册P门 计算：(-47.65)x29+3.15×2+10.5×(-7》, 11 3-1计第：25x子(-25)× 【答案】解：(-7.6)×2号+n.15×2品+105x(-7） 3+25× 1 11 =【(-47.65)+37.15]×2品+10.5×(-7) =(-10.5)x2+10.5×(-71) 11 =（-10.5)×(2+77》 =（-10.5)×10 =-105 题型4●>巧用拆分法与分配律进行简便运算 》变式训练》参考答案见答案册门 0计算：(-91将) ×16. 4-1计算： (1)998 ×(-13); 【答案】解：(-95 16 )×16 (2)57×8+27×器 =(-10+6）×16 1 =-10×16+16×16 =-160+1 =-159 46随堂笔记7年级数学RJ上册 题型5>有理数乘法在新定义运算中的应用 变式训练》参考答案见答案册P8 例5若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b=4ab,如 5-1小梅同学对运算有浓厚 2*3=4×2×3=24. 的兴趣.她借助有理数的运 (1)求3*（-4)的值； 算，定义了一种新运算 (2)求(-2)*(6*3)的值： “⊕”，规则如下：a⊕b=a× 【答案】解：(1)3*(-4) b+2×a. =4×3×(-4) (1)求(-2)⊕(-3)的值； =-48; (2)计算(-5)⊕[2⊕ (2)(-2)*(6*3)》 (-4)]. =(-2）*(4×6×3) =（-2)*72 =4×（-2)×72 =-576. 链接中考 考点1◆有理数的乘法 【答案】D 题型 难度 分值 考点2倒数 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 题型 难度 分值 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 典例①[宜昌中考]如果ab<0,那么下列判断 正确的是() 典例③[广安中考]百年前的“奥运三问”到 A.a<0,b<0 今天的“双奥之城”，2022年中国与奥运再次 B.a>0,b>0 牵手，2022年注定是不平凡的一年.数字2022 C.a≥0，b≤0 的倒数是( D.a<0,b>0或a>0,b<0 A.2022 B.-2022 【解析】因为ab<0,所以a与b异号，所以 1 C.-2022 D202 a<0,b>0或a>0,b<0. 【答案】D 【解折】因为2022×202=1，所以202的 典例2[江苏中考]计算(-3)×2，正确的结 果是() 倒数是02 A.6 B.5 C.-5 D.-6 【答案】D 【解析】此类问题可直接运用有理数乘法法则 进行计算.在计算时，注意先确定积的符号， 再将绝对值相乘.（-3)×2=-6. 第二章有理数的运算 4712.4 =(-44+12.4)+4品-28-20 =8-1 =7; (2)原式-子子6+号- =(+(+-1 +-1 一4 13 5.獬：(1)+5-3+7-8+12-4-7=2 (米). 答：守门员最后没有回到球门线的位置 (2)+5-3=2（米)，+5-3+7=9（米)， +5-3+7-8=1(米)，+5-3+7-8+12= 13(米)，+5-3+7-8+12-4=9（米）， +5-3+7-8+12-4-7=2(米). 答：守门员离球门线最远的距离是13米， (3)1+51+1-31+1+71+1-81+1+121+ 1-41+1-71=46（米). 答：他共跑了46米. 举三反写， 1-1B 【解析】根据题意得-5-4= -9(℃). 1-2D【解析】-2+3=1，故A选项错 误；-2-3=-5，故B选项错误；（-2)+ (-3)=-5,故C选项错误；（-2)-(-3)= -2+3=1,故D选项正确. 2-114【解析】由题意得，这天夜间皂 幕山的气温是16+8-10=14（℃）. 2-2解：原式=5.7+1.2-4-2-8.4-2.3= 6.9-16.7=-9.8. 3-1B【解析】算式8-7+6-3的正确 读法为正8、负7、正6、负3的和，或者读作 8减7加6减3. 3-214-17-23+9【解析】14-(+17)+ （-23)-（-9)=14-17-23+9. 变式训练 1-1D【解析】因为1x|=9,1y1=4,所 以x=±9，y=±4.因为x+y<0,所以x=- 9,y=-4或x=-9,y=4.当x=-9,y=- 4时，x-y=-9+4=-5；当x=-9,y=4 时，x-y=-9-4=-13,所以x-y的值是 -5或-13. 2-1解：(1)26+(-32)+（-15)+34+ (-38)+（-20)=-45（吨)， 480-（-45)=525(吨). 答：3天前粮库里存放粮食525吨. (2)5×(1261+1-321+1-151+1341+ 1-381+1-201)=5×165=825(元). 答：这3天要付825元装卸费. 2.2有理数的乘法与除法 2.2.1有理数的乘法 预习检测 1.A 2.A3.A 举一反三 1-1)-2:2)81-28 1-3C【解析】因为|a1=2,Ib1=5,所以 a=±2，b=±5.因为ab<0,所以a=2,b=-5 或a=-2,b=5,当a=2,b=-5时，a+b= 2-5=-3;当a=-2,b=5时，a+b=-2+ 5=3. 2-1B【解析】因为-个数的倒数是1号- ?,所以这个数是号 2-2D【解析】因为a与2互为相反数， 所以a=-2,a的倒数为- 3-1D 4-1D【解析】盈利为正，亏损为负，一 周的利润是7×(-20)=-140（元）. 5-1C【解析】用乘法分配律进行简便计 算时，通常把不易计算的数变换成易于计算的 整数或整十整百的数.3.96×(-99)=3.96× (-100+1) 5-2解：(1)（-8)×36×(-125) =8×125×36 =1000×36 =36000; (2)号×(-号)×品×8 75 =(号×x(-号) 1 =-8 (3)(-g+石g+位)×(-24) =-4×(-24)+6×(-24)-8×(-24)+ 2(-2) =6-4+3-2 =3. 6-1B【解析】a,b,c为非零有理数， 它们的积一定为正数的是a>0,b与c同号. 6-2解：(1)-0.75×(-0.4)x1号 3.2、5 =4×5×3 (2)）（-4)×(-0.25)×号x2 2. 2 .125 =4×4×3×2 _5 7-1解：(106x(-)x(-名)×(-2号) 3358 -5×4×6×3 =-1; (2)(-2021)×(-2022)×2×(-2023)× 0×(-2024)=0. 变式训练 1-1C【解析】因为(a-b)(b-c)> 0,所u6-0成6-20所以a> 或c>b>a. 不能确定最大的数是a,A选项不符合题意；不 能确定最大的数是c,B选项不符合题意；可以 确定中间的数是b,C选项符合题意；无法确定 它们的大小关系，D选项不符合题意。 2-1-2 【解析】1-专=行它的负倒数 是-5，-0.4的相反数是0.4，(-5)×0.4= -2. 2-21【解析】根据题意，得a+b=0, cd=1,e=0,所以2024(a+b)+cd+e= 2024×0+1+0=1. 3-1解：25×子-(-25)×7+25×号 =25×号+25×3+25x号 1 =25x(+分+好 =25×2 4-1解：()998×(-13) =(100-g)×(-13) -130+号 =-12983: (2)57× +27× 28 =(56+1)×8+(28-1)×器 55 =56++28×-烈 2828 =5+ 2+27-6 4 =821 6 5-1解：(1)（-2)⊕(-3) =(-2)×(-3)+2×(-2) =6-4 =2; (2)(-5)⊕[2⊕(-4)] =(-5)⊕[2×(-4)+2×2] =(-5)⊕(-8+4) =(-5)⊕(-4) =(-5)×(-4)+2×(-5) =20-10 =10. 2.2.2 有理数的除法 预习检测， 1.C2.C3.C 举一反写 1-1D1-2D 1-3解：1)(-导号=号× 5 (2②)(-1名)÷(-)6×9- 6×7=21 2-1解：(1) -3-10 16 -27=g(2）-0. -32; ；(4)-54=27 -8=49 (09-2 (6)9 75=0. 3-1解：(0(-号)÷(-)÷(-0.25) =(-子)x(-各)×(-4) -(号××4 =-3 (2)3÷(- )×名(- 5 =3x(-3)×名x(-) 753 =3×3× ×5 6 4-1解：(1)(-63)÷9-(-25)×（-6) =-7-150 =-157; (2)(-81)+号×号(-16) =-81×号×号×(-) =1. 5-1解：0[-号+(-爱》]÷1+(-子)× -1 ( 1+号) =(-9+号 19 8