（暑假作业）基础与拔高专题：二次根式-2025-2026学年苏科版数学八年级下册

**基本信息** 以“概念-性质-运算-应用”为逻辑主线，通过基础巩固与拔高训练分层设计，融合定义辨析、运算技巧及跨学科应用，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|16题|二次根式定义辨析、最简/同类根式判断、分母有理化、勾股定理分类应用|从概念（定义/有意义条件）到性质（化简/运算律），再到基础运算与几何初步应用| |拔高训练|4题|新定义函数应用、海伦-秦九韶公式迁移、代数变形降次技巧|综合二次根式与函数、几何、数学文化，体现运算能力与应用意识的高阶发展|

（暑假作业）基础与拔高专题：二次根式-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024） 基础巩固 1．下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．若是二次根式，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 3．下面计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，，，则长为（     ） A． B． C． D． 6．若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，，，，，是的中点．则的长是（     ） A．4 B． C． D． 8．计算的结果是（     ） A． B．3 C．6 D． 9．在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 10．已知两条线段的长分别为，，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是__________． 11．已知、、在数轴上的位置如图所示．化简__________． 12．在中，，边上的高为2，，则的面积为__________． 13．如果，，那么代数式的值是_______． 14．小球从离地面为（单位：）的高处自由下落，落到地面所用的时间为（单位：），根据实验，发现与的关系近似满足（不考虑风速的影响）．若分别从，高处下落到落地所需时间分别为，，则是的____________倍． 15．计算： (1)； (2)． 16．已知，，求的值． 拔高训练 17．实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 18．规定：若一次函数满足，则称该函数为“简约函数”．例如：在一次函数中，，所以一次函数是“简约函数”． (1)判断：一次函数是否是“简约函数”，并说明理由． (2)如图，直线和直线分别为两个“简约函数”的图象，其中直线的解析式为，直线的解析式为．这两条直线交于点，求点的坐标． 19．再谈海伦-秦九韶公式 材料1：古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中、、为三角形的三边长，，为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为、、，三角形的面积为． 【解决问题】 (1)已知如图在中，，，．的面积______； (2)当的三边长分别为，，时，这个三角形的面积为________； (3)在（1）基础上，设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值． 20．【阅读感悟】 小华与他的小组成员在数学小组探究学习中，遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 【解决问题】 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)_____； (2)若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假作业）基础与拔高专题：二次根式-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C C D A D A 1．D 【详解】解：二次根式要求被开方数是非负数． A、中的，不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项A不符合题意； B、中的，当时不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项B不符合题意； C、中的，当时，，不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项C不符合题意； D，中的，符合被开方数为非负数，故是二次根式，选项D符合题意． 2．D 【分析】根据是二次根式，则，即可得到答案． 【详解】解：∵是二次根式， ∴， 各选项中只有满足． 3．C 【分析】先利用二次根式运算结果的非负性排除错误选项，再验证剩余选项的开方运算是否正确． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：由，可得，故C正确； D：，错误． 4．C 【分析】根据同类二次根式的定义：把二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，进行判断即可． 【详解】解：的被开方数为2， A．的被开方数为3，与的被开方数不同，不符合题意； B．化简后为2，被开方数为1，与的被开方数不同，不符合题意； C．的被开方数为2，与的被开方数相同，符合题意； D．的被开方数为6，与的被开方数不同，不符合题意； 故选：C． 5．D 【分析】根据旋转的性质，，，，由勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】由旋转可得，，，， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴． 6．A 【分析】本题考查最简二次根式的化简，先将化为最简二次根式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵是最简二次根式， ∴，， ∴． 7．D 【分析】连接，利用勾股定理可得，证明，，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴． 8．A 【详解】解：原式 ． 9． 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，被开方数非负，分母不等于零，据此列不等式求解即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴且， 解得：． 10．或 【分析】分两种情况讨论，分别为第三条线段是斜边、第三条线段是直角边，根据勾股定理计算即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 当第三条线段为斜边时，根据勾股定理，第三条线段的长为； 当第三条线段为直角边时，长为的线段为斜边， 根据勾股定理，第三条线段的长为， 综上所述，能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是或． 11．/ 【分析】根据数轴上数的位置关系，判断和的正负性．利用二次根式的性质，将原式转化为绝对值形式．根据绝对值的代数意义，去掉绝对值符号后合并同类项． 【详解】解：由数轴可得 ， 因此：，． 根据二次根式性质 ，对原式化简： ． 12．或 【分析】分是锐角和是钝角两种情况，分别根据等腰直角三角形的判定与性质可得，根据勾股定理可得，再根据线段的和差求解，即可求解三角形的面积． 【详解】解：设边上的高为，由题意，分以下两种情况： 如图，当是锐角时， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， 则 ∴； 如图，当是钝角时， 同理可得：， ∴， 综上，的面积为1或3． 13． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 14． 【详解】解：当时，代入中， 可得 ， 当时，代入中， 可得 ， 所以 ， 则是的倍． 15．(1) (2) 【分析】（1）先由二次根式性质、二次根式除法运算法则化简，然后合并同类二次根式，最后化简即可； （2）先由平方差公式、完全平方公式展开，再由二次根式性质化简，最后由加减运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16． 【分析】先将、进行分母有理化，再求出、的值，整体代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 17．(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)刷涂料的面积为平方米 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长 （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解： （平方米） 答：刷涂料的面积为平方米． 18．(1)解：一次函数不是“简约函数”，理由如下： ∵， ∴一次函数不是“简约函数”． (2) 【分析】（1）根据“简约函数”的定义判断即可； （2）根据“简约函数”的定义求出m、n的值，进而得到两条直线的解析式，再联立两直线解析式，解方程组即可得到点A的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵两个函数均为“简约函数”， ∴，， ， ∴直线与直线的解析式分别为， 联立，解得， ∴点的坐标是． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用海伦公式进行计算即可； （2）利用秦九韶公式进行计算即可； （3）用等积法进行求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴的面积； （2）解：∵，，， ∴这个三角形的面积为 ； （3）解：由题意，， ∵，，， ∴， ∴. 20．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分母有理化，即可求解； （2）先求得的值，进而可得，整体代入，降次计算即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）， ， ， ， ， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $