（暑假作业）基础与拔高专题：四边形-2025-2026学年苏科版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦四边形从基础到拔高的系统训练，以性质判定为核心，融合多种解题方法，构建从概念到综合应用的逻辑体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|17题（选择/填空/解答）|菱形/矩形/正方形性质应用、平行四边形判定、中位线定理、对称转化求最值|从平行四边形到特殊四边形的性质判定，结合三角形知识形成逻辑链| |拔高训练|3题（综合解答）|动态几何分析、旋转性质应用、全等构造与多问递进推理|综合运用性质与变换，发展几何直观与推理能力|

（暑假作业）基础与拔高专题：四边形-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024） 基础巩固 1．在菱形中，对角线，，则菱形的边长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．在中，，的度数为（     ） A． B． C． D． 3．在四边形中，，下列条件中，添加哪个条件，可判断四边形是平行四边形（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知点，分别为的边，的中点，平分且交于，，则的长为（     ） A．12 B．14 C．16 D．20 5．如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，连接，若，，则的长为（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 6．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．如图，O是矩形的对角线上一点，过点O作，分别交于点E，F，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折得到，延长交于点，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 9．菱形的两条对角线长分别为8和6，则菱形的面积为__________． 10．在四边形中，如果，，那么当_______，_____时，四边形ABCD为平行四边形． 11．如图，在边长为的菱形中，，点为边的中点，点为对角线上一动点，连接，，则周长的最小值为________． 12．如图，在平行四边形中，以为圆心，为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于一点，连接交于点，连接．若，，则四边形的面积是________． 13．如图，在菱形中，，，E为上一动点，绕点A旋转得到线段，对应点F落在菱形内（不包括边界），则的取值范围为_______________． 14．把正方形和按如图所示的方式放置，点、在直线上，点、在x轴上，则点的坐标为________． 15．如图，平行四边形的面积为24，点E、F、G分别是边的中点，连接，，垂足为E，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的长． 16．如图，延长四边形的各条边，标记4个角，其中． (1)添加中任意两个角的一个数量关系，可以证明四边形是平行四边形，添加的条件是 ； (2)根据添加的条件，求证：四边形是平行四边形． 17．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点均在格点上，下列要求所画的图形的顶点都在格点上． (1)在图1中以为边，画一个面积为6的平行四边形． (2)在图2中以为边，画一个面积为4的菱形． (3)在图3中以为边，画一个正方形． 拔高训练 18．矩形中，，E为上一点，过D作交的延长线于点F． (1)若，求证：； (2)若，判断与的数量关系，说明理由； (3)若，，连接，若平分，求的长． 19．菱形中，，点是菱形所在平面内一点，连接，． (1)如图1，当时，满足，垂足为点，若，求四边形的面积； (2)如图2，当时，在上取一点，连接，，若．猜想并用等号表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，点在直线上运动的过程中，当的长度取最小值时，直接写出的值． 20．在正方形中，点为上一动点，于点，延长交于点，在上取，连接，． (1)如图1，当在上时，若，求的长； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，连接，若，判断与的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假作业）基础与拔高专题：四边形-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A A B B A B B 1．A 【分析】根据题意画出图形，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合图形，求出，，再根据勾股定理计算出即可得菱形的边长. 【详解】解：如图， 设菱形的对角线与交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴. ∴菱形的边长为5. 2．A 【分析】根据“平行四边形对角相等”即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 3．A 【分析】根据平行四边形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A．添加时，两组对边分别相等，可判定为平行四边形，故本选项符合题意； B．添加时，一组对边平行，另一组对边相等，无法判定平行四边形，可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； C．添加时，对角线相等，不一定是平行四边形（如等腰梯形），结合不能保证是平行四边形，故本选项不符合题意； D．添加时，菱形的对角线互相垂直，但仅对角线互相垂直不能判定该四边形为平行四边形，故本选项不符合题意． 4．B 【分析】先根据三角形中位线的性质得出，，，再根据平行线的性质和角平分线定义证明，然后根据等腰三角形的判定得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点，分别为的边，的中点， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．B 【分析】根据平行四边形的性质可得，结合角平分线和平行线性质证得，求出的长，再利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴． 6．A 【分析】先由矩形的性质证明，结合三角形中位线定理得到，，再利用勾股定理，得，求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，， 是边的中点，是矩形的对角线的中点， ，， ， ， ， ． 7．B 【分析】先作，可知四边形是矩形，再得出，然后根据得出答案． 【详解】解：过点O作，交于点P，Q， ∵四边形是矩形，且， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 8．B 【分析】连接，然后根据正方形的性质和翻折性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求的面积即可． 【详解】解：连接，如图， 四边形为正方形， ，， 点是边上的中点， ， 沿直线翻折得到， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 设，则，， ∵在中，， ∴，解得， ，，， ， ， 的面积的面积， 的面积． 9．24 【分析】已知菱形两条对角线的长度，利用菱形面积等于对角线乘积的一半直接计算即可． 【详解】解：∵菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，已知两条对角线长分别为和， ∴该菱形的面积为． 10． 6 4 【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，让四边形的对边长度相等即可得到结果． 【详解】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴若四边形为平行四边形，需满足对边相等，即，， ∵，， ∴，． 11．/ 【分析】的周长，其中长度固定，求周长最小值转化为求的最小值．根据菱形性质，点关于的对称点是，连接，则的长即为的最小值． 【详解】解：∵四边形是菱形，点与点关于直线对称， ∴，， 当、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 连接，交于点P， ∵菱形边长为，， ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴周长的最小值． 12．120 【分析】由作法可得，平分，即，根据平行四边形的性质可得，有，接着证明，即可得四边形是平行四边形，又，可得四边形是菱形．根据菱形的对角线性质和面积公式即可求得答案． 【详解】解：由作法可得，平分， ． 四边形是平行四边形， ， ， ． ， ． 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ，，， 在中，， ． 四边形的面积为． 【点睛】本题考查作图痕迹的判断，平行四边形的性质、菱形的判定和性质、菱形面积公式的综合运用，熟练掌握作图方法和各类性质判定是解决此题的关键． 13． 【分析】分别求出当点F落在边上时，，当点F落在上时，E为的中点，此时，再结合图形得出答案即可． 【详解】解：取中点M，的中点N，连接，，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴和都是等边三角形，， ∴，，， ∴，，，， ∵， ∴， 根据旋转可得：，， 当点E在点D处时，点F在的延长线上； 当点E在点N处时，点F在线段上； 当点E在线段上时，点F在菱形外； 当点F落在边上时， ∵，， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， 设，如图，过E作交于G， 则， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即当点F落在边上时，； 当点F落在上时，E为的中点，此时， ∴的取值范围为． 14． 【分析】根据正方形的性质以及点的坐标即可得出的长度，将代入中求出y值；再根据正方形的性质即可得出，由此即可得出点的坐标． 【详解】解：∵点在直线上， ∴点的坐标是，即， ∵四边形为正方形， ∴， 令中，，则， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 15．(1)证明：连接交于点O，如图 ∵点E、F、G分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． (2)5 【分析】（1）连接交于点O，推导出是的中位线，是的中位线，得到，，继而推导出，则平行四边形是菱形，即可解答； （2）设，，得到，推导出，根据菱形的面积公式，得到，求出，继而根据菱形的性质，得到，，再根据勾股定理得到，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，， ∴， ∵是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴． 16．(1)（或） (2)证明：若， ∵（对顶角相等）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 选， ∵（对顶角相等），又， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 若， ∵，（对顶角相等）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：（或）； （2）略 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）要画面积为6的平行四边形，因为平行四边形的面积等于底高，所以可以画一个底边长为3，高为2，以为边的格点平行四边形即可； （2）要画面积为4的菱形，因为菱形的面积等于对角线乘积的一半，又因为菱形的对角线互相垂直平分，所以可以画一个以为边，对角线互相垂直且长度分别为2和4的格点菱形即可； （3）要画正方形，因为正方形的四条边长相等，邻边互相垂直，所以画一个以为边（长度为），邻边互相垂直的格点正方形即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 18．(1)证明：当时，， ∴矩形是正方形， ∴，， ∴， ， ∴ ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． (2)解：，理由如下： 分别取、的中点M、N，连接． 则， ∴． ∵四边形为矩形，， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵N为的中点， ∴． (3) 【分析】（1）当时，，则矩形是正方形，得到，，证得，根据同角的余角相等得到，从而可得，即可证明； （2）分别取、的中点M、N，连接．根据三角形的中位线定理得到．当时，由M为的中点得到，从而．根据矩形的性质得到，根据同角的余角相等得到，因此，从而证得，即可得出． （3）方法一：过B作交其延长线于G，作于H，则，结合得到四边形是矩形，因此，根据同角的余角相等得到，根据角平分线的性质得到，因此，可得．设，则，，，根据列出方程，求解即可； 方法二：过点B作，交的延长线于点P，则．由角平分线的定义得到，因此，从而，根据同角的余角相等得到，即可证明，得到．同方法一求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：方法一： 过B作交其延长线于G，作于H，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴． ∵平分，，， ∴， ∴， ∴． 设， ∵， ∴， 由（2）可得，． ∵， ∴， ∴， 由，得，解得， ∴． 方法二： 过点B作，交的延长线于点P，则． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在矩形中，，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 设， ∵， ∴， 由（2）可得，． ∵， ∴， ∴， 由，得，解得， ∴． 19．(1) (2)解：，证明如下： 如图，连接，，设与交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）首先利用菱形的性质求出，然后得到，求出，，进而得到，，，然后利用四边形的面积求解即可； （2）连接，，设与交于点，证明，得到，然后证明，得到，，推出是等边三角形，得到，然后等量代换求解即可； （3）将绕点B顺时针旋转得到，连接交于点H，证明，得到，然后判断出点M在垂直于的直线上运动，当时，取得最小值，此时点M为和的交点，如图，过点B作于点I，设，然后求出，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴四边形的面积 ； （2）略 （3）解：如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接交于点H 由旋转得，，，， ∴，即， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M在垂直于的直线上运动， ∴当时，取得最小值． ∵， ∴， ∴此时点M为和的交点，如图，过点B作于点I， 设， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 20．(1) (2)证明：，， ，， ∵在四边形中，， ， ， ， ． (3)解：， 理由：如图3，过点作于点 ，， 为中点，即 ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又， ． 【分析】（1）首先证明垂直平分，得证及是等腰直角三角形，继而得到，，从而得到的值． （2）首先证明，得到，根据四边形内角和，得到，从而证明即可． （3）过点作于点，根据已知条件得出是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一，即点为的中点， 再结合四边形的性质，找出与全等，得出，即可得到与的数量关系． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，为对角线， ，，， ，， 垂直平分， 又， ，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． （2）略 （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $