14.2.4 三角形全等的判定(四)(HL)-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

第4课时 三角形全等的判定（四） 课前·预习笔记 预1.掌握用HL证明两个直角三角形全等的方法 习 2能用尺规作图：已知一条直角边和斜边作直角三角形 目 3.能根据条件灵活选择三角形全等的判定方法.重点© 标 第步明确考情 11.考频：5年2考 12.分值：3分 3.题型：选择题、填空题 第号步梳理知识 两个直角三角形全等的判定方法：HL ,1.基本事实：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜 边、直角边”或“HL”), 2.书写格式：如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中， 预 AC=DF, 习 AB=DE, 任 .Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). 务 第三步预习检测 !1.下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（) A.一个锐角和一条斜边分别对应相等B.两条直角边分别对应相等 C.一条直角边和斜边分别对应相等 D.两个锐角分别对应相等 2.如图，BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要依据“HL”证明Rt△ABE≌ Rt△DCF,则还要添加一个条件是() A.AB=DC B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AE=BF 3.如图，在△ABC中，∠C=0°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E, BE=BC,连接BD,若AC=8,则AD+DE的值为 64 随堂笔记8年级数学RJ上册 课堂·听课笔记 新知解读 知识点》用“斜边、直角边”(L)判定两个直角三角形全等举一反三》参考答案见答案册P8 1.基本事实：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等如图，已知AD,AF分别是钝 (可以简写成“斜边、直角边”或“HL”) 角三角形ABC和钝角三角形 2.书写格式 ABE的高，如果AD=AF,AC= 如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中， AE,求证BC=BE. D [AC=DF, AB=DE, ·Rt△ABC≌Rt△DEF(HL), 用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时，两个三角形特号前 一定要加上“Rt F注意事项：一般三角形全等的判定方法(SAS,ASA,AAS,SSS) 对于直角三角形同样适用 3.判定两个直角三角形全等的思路 已知的条件 可用的判定方法 需寻找的条件 (除直角外) SAS 另一直角边对应相等 一直角边对应相等 HL 斜边对应相等 ASA或AAS 一锐角对应相等 AAS 一锐角对应相等 斜边对应相等 HL ·直角边对应相等 锐角对应相等 ASA或AAS 一边对应相等 例[教材P42例题]如图，AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C, D,AC=BD.求证BC=AD. 第十四章全等三角形 65 【答案】证明：AC⊥BC,BD⊥AD, .C=∠D=90° 在Rt△ABC和Rt△BAD中， AB=BA, “HL”只适用于直角三角形 AC=BD, ∴.Rt△ABC≌Rt△BAD(HL). .BC=AD 课本练习[教材P43练习] 1.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速答案 度分别沿两条直线行走，并同时到达D,E两地，且DA⊥1.相等.理由略.提示： AB,EB⊥AB.D,E到路段AB的距离相等吗？为什么？ Rt△ACD≌Rt△BCE（HL), D 得DA=EB,即D,E到路段 AB的距离相等. 2.证明略.提示：Rt△DFC≌ Rt△AEB(HL),则AE=DF. (第1题) (第2题) 2.如图，AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,CE= BF.求证AE=DF. 课后·提升笔记 题型训练 题型》利用三角形全等进行有关的证明 变式训练参考答案见答案册P8 例如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AD=BD,E是AD上如图所示，LA=∠D=90°， 一点，连接BE并延长，交AC于点F,BE=AC.求证： AB=DC,点E,F在直线BC (1)CD=ED; 上，且BE=CF (2)BF⊥AC. (1)求证∠E=∠F, (2)若P0平分∠EPF,则PO 与线段BC有什么关系？请说 明理由. B 66随堂笔记8年级数学RJ上册 【答案】证明：(1)AD LBC, ∴.∠ADC=∠BDE=90°. 在Rt△ACD和Rt△BED中， [AC=BE, AD=BD, ∴.Rt△ACD≌Rt△BED(HL), ∴.CD=ED. (2)由(1)可得，Rt△ACD≌Rt△BED, ∴.∠CAD=∠FBC .∠C+∠CAD=90°， ∴.∠FBC+∠C=90°， ∴.∠BFC=90°， .BF⊥AC. 链接中考 考点◆利用三角形全等证明角相等 ∴.∠AB0=15. 题型 难度 分值 【答案】15 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 典例2[东城模拟]如图，在Rt△ABC中， ∠A=90°，点D在AC上，DE1BC于点E,且 典例1[株洲中考]如图所示，点0在一块直角 DE=DA,连接DB.若∠C=20°，则∠DBE的 三角尺ABC上（其中∠ABC=30°)，OM⊥AB于点 度数为 M,ON⊥BC于点N,若OM=ON,则∠AB0= 【解析】.·∠A=90°，∠C=20°，.∠ABC= 90°-∠C=70°， M DE⊥BC于点E,∴.∠BED=90°， 【解析】OM⊥AB,ON⊥BC, 在Rt△EBD和Rt△ABD中， .∠OMB=∠ONB=90°. DB=DB, 在Rt△OMB和Rt△ONB中， DE=DA, rOB=OB, ∴.Rt△EBD≌Rt△ABD(HL), LOM=ON, .∠DBE=∠DBA, ∴.Rt△OMB≌Rt△ONB(HL), .∴.∠OBM=∠OBN. .∠DBE 2∠ABC=)×70=350 1 2 .∠ABC=30°， 【答案】35 第十四章全等三角形 67B M H P 图1 图2 (2)如图2，画一条射线OA,以点0为圆心，EF 长为半径画弧l,交OA于点C (3)以点C为圆心，GF长为半径画弧，交弧1于 点H;以点H为圆心，MN长为半径画弧，在OA 的同侧与弧1交于点Q. (4)过点Q画射线OB,则LAOB=∠a+∠B. 变式训练 1-1B【解析】在△ABC和△ADE中， (AB=AD AC=AE,∴.△ABC≌△ADE(SSS), BC=DE, .∠ABC=∠1，∠BAC=∠2.在△ABC中， ∠3=∠ABC+∠BAC=∠1+∠2..∠1+∠2+ ∠3=2∠3=94° ∴.∠3=47° 2-1解：他的这种做法合理.理由如下： 在△BDE和△CFG中 BE=CG, BD=CF DE=FG. ∴.△BDE≌△CFG(SSS), .∴.∠B=∠C. 第4课时三角形全等的判定（四）(HL) 预习检测 1.D2.A3.8 举一反写 证明：，AD,AF分别是△ABC和△ABE的高， ∴.∠ADC=∠AFE=90° ∫AC=AE, 在Rt△ADC和Rt△AFE中，AD=AF, ∴.Rt△ADC≌Rt△AFE(HL),∴.CD=EF 在R△ABD有ABF中，品： ∴.Rt△ABD≌Rt△ABF(HL), ∴.BD=BF,∴.BD-CD=BF-EF,即BC=BE. 变式训练 (1)证明：BE=CF,BC=CB, ∴.BF=CE. 在R△ABF和Rt△DCE中，AB=DC, (BF=CE, .Rt△ABF≌Rt△DCE(HL), .∠E=∠F. (2)解：P0垂直平分BC.理由如下： 由(1)知∠E=∠F. ·PO平分∠EPF, ∴.∠EPO=∠FPO. 在△EPO和△FPO中， I∠E=∠F, ∠EPO=∠FPO, OP=OP, ∴.△EPO≌△FPO(AAS), .E0=F0,∠EOP=∠FOP=90°， ∴.PO垂直平分BC. 14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 预习检测 1.D2.A3.14 举二反三 1-1D【解析】从题图角平分线的作法得 出，△AFD与△AED的三边全部相等，则 △AFD≌△AED. 1-2B【解析】以点B为圆心作弧时，半径a 必须大于0；分别以点D,E为圆心，b为半径作 弧时，6必须大于D,否则没有交点 2-1B【解析】·OP为∠AOB的平分线， PC⊥OA,PD⊥OB,∴.PC=PD,故A选项不符合 题意； 在△0CP和△0P中，PCP5: ∴.Rt△OCP≌Rt△ODP,∴.∠CPO=∠DPO, OC=OD,故C,D选项不符合题意；不能得 出∠CPD=∠DOP,故B选项符合题意 3-1C【解析】如图，作EF⊥BC于点F. B C ,BE平分∠ABC,ED⊥AB,EF⊥BC,∴.EF= DE2.ocnGx5x25. 1 4-1已知：如图，△ABC≌△A'BC',BD,B'D' 分别是△ABC和△A'B'C的角平分线： B B 求证：BD=BD' 证明：：△ABC≌△A'B'C',