14.2.3 三角形全等的判定(三)(SSS)-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

第3课时 三角形全等的判定（三）》 (SSS) 课前·预习笔记 预 1,掌握用SSS证明两个三角形全等的方法.重点@ 习 目 !2.能用尺规作图：已知三边作三角形，作一个角等于已知角 标 第步明确考情 1.考频：5年4考 2.分值：7分 3.题型：解答题 第步梳理知识 两个三角形全等的基本事实：边边边. 1.边边边：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或 “SSS”). 2.书写格式：如图，在△ABC和△A'B'C'中， AB=A'B', AC=A'C', 预 BC=B'C', 习 ∴.△ABC≌△A'B'C'(SSS) 任 第步预习检测 务 1.如图，下列三角形中，与△ABC全等的是() D 2.如图，已知AC=FD,BC=ED,点B,D,C,E在同一条 直线上，要利用“SSS”证明△ABC≌△FED,还需添加条 件 !3.如图，线段AD与BC交于点O,且AC=BD,AD=BC,则下列结 论中不正确的是( A.△ABC≌△BAD B.OB=OC C.∠CAB=∠DBA D.∠C=∠D 58 随堂笔记8年级数学RJ上册 课堂·听课笔记 新知解读 知识点1》用“边边边”(SSS)判定两个三角形全等 举一反三》参考答案见答案册P7 1.基本事实：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成1-1如图，在四边形ABCD中， “边边边”或“SSS”). AD=BC,AC=BD,AC与BD相 只要三角形三条边的长度确定了，这个三角形的形状、大小也就确定交于点E.求证LDAC=LCBD. 了，这也是三角形具有稳定性的原因 2.书写格式 如图，在△ABC和△A'B'C中， AB=A'B', B AC=A'C', BC=B'C', 用“边边边”判定 两个三角形全等 ·.△ABC≌△A'B'C'(SSS). 注意事项：(1)在列举函个三角形全等的条件时，一般是把同一个 1-2如图，已知AB=AC,BD= 三角形的三个量放在等号的同一侧；(2)在记两个三角形全等时， CD,∠A=60°，∠D=140°， “兰”号左、右两边对应顶点的顺序要保持一致， 则∠B=() 例1[教材P37例题]在如图所示的三角形钢架中，AB=AC, A AD是连接点A与BC中点D的支架.求证AD⊥BC: A.50° B.40° B C.40°或70° D.30° 【分析】如果△ABD≌△ACD,那么∠ADB=∠ADC,从而有AD⊥ BC.而△ABD与△ACD具备“边边边”的条件 【答案】证明：D是BC的中点， ∴.BD=CD 在△ABD和△ACD中， rAB=AC, BD=CD, AD=AD, .'.△ABD≌△ACD(SSS) .∠ADB=∠ADC. 又∠ADB+∠ADC=180°， 第十四章全等三角形 59 .∠ADB=90° .AD LBC. ★方法京拨： 证三角形全等时，常见的隐含的等边： (1)公共边相等；（2)等边加（或减)等边，其和（或 差)仍相等；(3)由中线的定义得出线段相等. 知识点2》已知三角形三边，利用直尺和圆规作三角形举一反三》参考答案见答案册P7 如图，已知三条线段a,b,c(其中任意两条线段的和大于第2-1如图，在∠AOB的边OB 三条线段)，求作△ABC,使其三边分别为a,b,c. 上有一点C.过点C作CD∥ OA.（要求：尺规作图，不写 作法，保留作图痕迹)） 作法：如图 B (1)作线段AB=c; (2)分别以点A,B为圆心，线段b,a为半径作弧，两弧相交 于点C; (3)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的三角形. 例21[教材P40例题]如图，已知直线AB及直线AB外一点 C.利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD. C· 【分析】我们知道，同位角相等，两直线平行.可以利用这个 结论，过点C作直线AB的平行线CD.为此需要先作出截线， 再作出相等的同位角. 【答案】解：如图. (1)过点C作一条直线，与直线AB相交于点E; (2)在点C处作∠CEB的同位角∠FCD,使∠FCD=∠CEB; (3)反向延长CD,得直线CD,则直线CD∥AB. 60随堂笔记8年级数学RJ上册 知识点3>》用直尺和圆规作一个角等于已知角 》举一反三》参考答案见答案册P门 已知：∠AOB. 3-1如图，已知∠a,∠B,求 求作：∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB. 作∠AOB,使∠AOB=∠a+ B B D ∠B. C A 作法：如图.（1)以点0为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA,OB于点C,D; (2)作一条射线0'A',以点O'为圆心，OC为半径作弧，交 O'A'于点C'; `+0C=0C (3)以点C'为圆心，CD为半径作弧，与上一步作的弧相交于 点D'; C'D'=CD 0D'=0D (4)过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB. ,依据△ODC≌△O'D'C(SSS) 例31[教材P40例题]如图，已知线段a,b和∠a,求作 △ABC,使AB=a,AC=b,∠A=∠a. :a a 【答案】作法：如图. (1)作∠DAE=∠； (2)在射线AD上作AB=a,在射线AE上作AC=b; (3)连接BC,则△ABC就是所求作的三角形. 课本练习[教材P38练习] 1.如图，AC=BD,BC=AD.求证∠ABC=∠BAD. 答案 1. 证明略.提示：因为△ABC≌ △BAD(SSS),所以∠ABC= ∠BAD. 2.解：移动角尺，使角尺两 (第1题) (第2题) 边相同的刻度分别与点M,N 2.工人师傅常用角尺平分一个任意角.如图，在∠AOB的边重合，.CM=CN 第十四章全等三角形 61 OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺两边相同的刻在△OMC和△ONC中， 度分别与点M,N重合.过角尺顶点C的射线OC便是 CM=CN, ∠AOB的平分线.为什么？ 0C=0C, LOM=ON, [教材P41练习] ∴.△OMC≌△ONC(SSS). 1.如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过△ABC的顶 ∴.∠M0C=∠NOC,即OC是 点A,并且与边BC平行 ∠AOB的平分线. 答案 1.作图略. ,a 2.作图略. (第1题) (第2题) 2.如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分 别等于∠a,∠B,这两角的夹边等于线段a. 课后·提升笔记 题型训练， 题型1●》>利用两个三角形全等进行有关角的计算 变式训川练)参考答案见答案册P8 例1如图，点C,E分别为△ABD的边BD,AB上两点，且AE=1-1如图，点B,C,E在同一 AD,CE=CD,∠D=70°，∠ECD=150°，求∠B的度数 条直线上，且AB=AD,AC=AE, BC=DE.若∠1+∠2+∠3=94°， 则∠3的度数为( E 【答案】解：如图，连接AC. 在△AEC和△ADC中， B 0 AE=AD, A.49° B.47° E AC=AC, C.45 D.43° CE=CD, D ∴.△AEC≌△ADC(SSS), ∴.∠D=∠AEC=70°. .∠ECD=150°， ∴.∠BCE=30°， ∴.∠B=∠AEC-∠BCE=70°-30°=40° 62随堂笔记8年级数学RJ上册 题型2●》利用“SSS”解决实际问题 〉变式训练参考答案见答案册P8 例2如图是雨伞开闭过程中某时刻的截面图，伞骨AB=AC,2-1如图，工人师傅要检查三 支撑杆0E=0F,AE=?AB,AF=?AC.当0沿AD上下滑动 角形工件ABC的∠B和∠C是 否相等，但他手边没有量角 时，雨伞开闭.雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？ 器，只有一个刻度尺，他是这 请说明理由. 样操作的：①分别在BA和CA 【答案】解：∠BAD=LCAD. 上截取BE=CG;②在BC上截 理由如下： 取BD=CF;③连接DE,FG, AB-AC,AE=TAB,AF=T 量出DE的长为am,FG的长 AC. 3 31 为bm.若a=b,则说明∠B .AE=AF. 和∠C是相等的，他的这种做 在△AE0和△AFO中， 法合理吗？为什么？ AE=AF, A0=A0, EO=FO, ∴.△AE0≌△AF0(SSS), .∠BAD=∠CAD 链接中考 考点用“$S”判定两个三角形全等 【答案】证明：在△ADB和△BCA中， 题型 难度 分值 (AD=BC, 解答题 ★☆☆ 7分 BD=AC, AB=BA, 典例[云南中考]如图，已知AD=BC,BD= .△ADB≌△BCA(SSS), AC. 求证∠ADB=∠BCA. '.∠ADB=∠BCA 第十四章全等三角形 63∴.∠F=∠CMD, .∴.∠AMB=∠CMD. 3-1证明：.AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE, ∴.∠B=∠D=∠ACE=90°， ∴.∠DCE+∠DEC=90°，∠BCA+∠DCE=90°， ∴.∠BCA=∠DEC. 在△ABC和△CDE中， I∠BCA=∠DEC, ∠B=∠D, AB=CD, .△ABC≌△CDE(AAS). 3-2解：.BD⊥AE,CE⊥AE, ∴.∠BDA=90°=∠CEA=∠BAC, ∴.∠CAE+∠BAD=90°=∠CAE+∠ACE, ∴.∠ACE=∠BAD. 在△AEC和△BDA中， I∠ACE=∠BAD, ∠AEC=∠BDA, AC=BA, ∴.△AEC≌△BDA(AAS), ∴.CE=AD,AE=BD CE=2,DE=5, ∴.AE=AD+DE=CE+DE=7, ∴.BD=7. 4-1证明：如图，过点D作DF∥BE交AC于 点F, 则∠ADF=∠B,∠AFD=∠ACB,∠FDE=∠E. ,·△ABC为等边三角形， ∴.∠A=∠B=∠ACB=60°， ∴.△ADF是等边三角形 ∴.AD=DF .AD=CE, ∴.DF=CE. 在△DPF和△EPC中， I∠DPF=∠EPC, ∠FDE=∠E, DF=EC, ∴.△DPF≌△EPC(AAS), ∴.DP=EP 4-2证明：如图，AD与CE交于点P.在AC上 截取AF=AE,连接PF. :AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD, AP=AP, ∴.△APE≌△APF(SAS), ∴.∠APE=∠APF, ·∠ABC=60°，AD,CE分别平分 ∠BAC,∠ACB, ∴.∠APC=120°，∠APE=60°， .∴.∠APF=∠CPD=60°=∠CPF, ∴.△CPF≌△CPD(ASA), .CF=CD, ∴.AC=AF+CF=AE+CD. E D 第3课时 三角形全等的判定（三）(SSS) 预习检测 1.C 2.AB=FE 3.B 举一反写 1-1证明：在△CDA和△DCB中， (AD=BC, AC=BD, DC=CD, ·.△CDA≌△DCB(SSS), ∴.∠DAC=∠CBD. 1-2B【解析】如图，连接AD. 在△ADB和△ADC中， (AB=AC, AD=AD, BD=CD, ∴.△ADB≌△ADC(SSS), 1 ∠BMD=∠CAD=2∠BAC=30,LADB= LADC=2×(360-140)=10, ∴.∠B=180°-∠BAD-∠ADB=40°. 2-1解：如图，CD即为所作. 提示：以CB为一边，在∠AOB内部作 ∠BCD=∠BOA,则CD∥OA.(答案不唯一) D 3-1解：(1)如图1，分别以点E,P为圆心，同 一长度为半径画弧，分别交∠α的两边于点 F,G,交∠B的两边于点M,N. B M H P 图1 图2 (2)如图2，画一条射线OA,以点0为圆心，EF 长为半径画弧l,交OA于点C (3)以点C为圆心，GF长为半径画弧，交弧1于 点H;以点H为圆心，MN长为半径画弧，在OA 的同侧与弧1交于点Q. (4)过点Q画射线OB,则LAOB=∠a+∠B. 变式训练 1-1B【解析】在△ABC和△ADE中， (AB=AD AC=AE,∴.△ABC≌△ADE(SSS), BC=DE, .∠ABC=∠1，∠BAC=∠2.在△ABC中， ∠3=∠ABC+∠BAC=∠1+∠2..∠1+∠2+ ∠3=2∠3=94° ∴.∠3=47° 2-1解：他的这种做法合理.理由如下： 在△BDE和△CFG中 BE=CG, BD=CF DE=FG. ∴.△BDE≌△CFG(SSS), .∴.∠B=∠C. 第4课时三角形全等的判定（四）(HL) 预习检测 1.D2.A3.8 举一反写 证明：，AD,AF分别是△ABC和△ABE的高， ∴.∠ADC=∠AFE=90° ∫AC=AE, 在Rt△ADC和Rt△AFE中，AD=AF, ∴.Rt△ADC≌Rt△AFE(HL),∴.CD=EF 在R△ABD有ABF中，品： ∴.Rt△ABD≌Rt△ABF(HL), ∴.BD=BF,∴.BD-CD=BF-EF,即BC=BE. 变式训练 (1)证明：BE=CF,BC=CB, ∴.BF=CE. 在R△ABF和Rt△DCE中，AB=DC, (BF=CE, .Rt△ABF≌Rt△DCE(HL), .∠E=∠F. (2)解：P0垂直平分BC.理由如下： 由(1)知∠E=∠F. ·PO平分∠EPF, ∴.∠EPO=∠FPO. 在△EPO和△FPO中， I∠E=∠F, ∠EPO=∠FPO, OP=OP, ∴.△EPO≌△FPO(AAS), .E0=F0,∠EOP=∠FOP=90°， ∴.PO垂直平分BC. 14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 预习检测 1.D2.A3.14 举二反三 1-1D【解析】从题图角平分线的作法得 出，△AFD与△AED的三边全部相等，则 △AFD≌△AED. 1-2B【解析】以点B为圆心作弧时，半径a 必须大于0；分别以点D,E为圆心，b为半径作 弧时，6必须大于D,否则没有交点 2-1B【解析】·OP为∠AOB的平分线， PC⊥OA,PD⊥OB,∴.PC=PD,故A选项不符合 题意； 在△0CP和△0P中，PCP5: ∴.Rt△OCP≌Rt△ODP,∴.∠CPO=∠DPO, OC=OD,故C,D选项不符合题意；不能得 出∠CPD=∠DOP,故B选项符合题意 3-1C【解析】如图，作EF⊥BC于点F. B C ,BE平分∠ABC,ED⊥AB,EF⊥BC,∴.EF= DE2.ocnGx5x25. 1 4-1已知：如图，△ABC≌△A'BC',BD,B'D' 分别是△ABC和△A'B'C的角平分线： B B 求证：BD=BD' 证明：：△ABC≌△A'B'C',