14.2.2 三角形全等的判定(二) (ASA、AAS)-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

第2课时 三角形全等的判定（二）(ASA、AAS) 课前·预习笔记 预！1.掌握用ASA、AAS证明两个三角形全等的方法. 习！2.能用尺规作图：已知两角及其夹边作三角形 目 3.能综合运用全等三角形的判定和性质解决线段相等或角相等的问题，并能解决生活 标 中的有关问题.重点© 第。®明确考情 i1.考频：5年4考 2.分值：8分 3.题型：解答题 第三步梳理知识 !1.两个三角形全等的基本事实：角边角， (1)角边角：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角 边角”或“ASA”). (2)书写格式：如图，在△ABC和△DEF中， r∠B=∠E, BC=EF, 预 ∠C=∠F, 习 ∴.△ABC≌△DEF(ASA). 任 2.三角形全等的推论：角角边， 务 (1)角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可 以简写成“角角边”或“AAS”). (2)书写格式：如图，在△ABC和△DEF中， ∠B=∠E, ㄥC=ㄥF, AC=DF, ∴.△ABC≌△DEF(AAS), 第三步预习检测 如图，AC与BD相交于点O,∠A=∠D,OB=OC,不添加辅助线， 判定△AB0≌△DC0的依据是 50 随堂笔记8年级数学RJ上册 课堂·听课笔记 新知解读 知识点1》>用“角边角”(ASA)判定两个三角形全等 举一反三》参考答案见答案册P6 1.基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等1-1如图，B是线段AC的中 (可以简写成“角边角”或“ASA”). 点，AD∥BE,BD∥CE.求证 2.书写格式 △ABD≌△BCE. 如图，在△ABC和△DEF中， r∠B=∠E, BC=EF,-+把夹边相等写在中间BA ∠C=ㄥF, ·.△ABC≌△DEF(ASA). 注意事项：(1)利用“ASA”判定两个三角形全等时，要认准边必 须是两个对应相等的角的夹边；（2)在书写两个三角形全等的条件 “角边角”时，要按照“角→边→角”的顺序来写。 例1[教材P35例题]如图，点D在AB上，点 E在AC上，AB=AC,∠B=∠C.求证AD=AE. 【分析】如果能证明ACD≌ABE,就可以得出AD= D AE.由题意可知，△ACD和△ABE具备“角边B 2-1如图，D是△ABC的边AB 角”的条件 的中点，CE∥AB,BD=CE, 【答案】证明：在△ACD和△ABE中， AC与DE相交于点F.求证 r∠A=∠A（公共角)， △ADF≌△CEF. AC=AB, -·按照“角→边→角”的顺序书写 ∠C=∠B, ∴.△ACD≌△ABE(ASA). .AD=AE. 例2如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E,BC= EF.求证△ABC≌△DEF. 【分析】如果能证明∠C=∠F,就可以利用“角边角”证明 分析证明结论还缺少的条件 第十四章全等三角形 51 △ABC和△DEF全等.由三角形内角和定理可以证明∠C=∠F. 【答案】证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°， ∴.∠C=180°-∠A-∠B. 同理∠F=180°-∠D-∠E. 又∠A=∠D,∠B=∠E, ∴.LC=LF. 在△ABC和△DEF中， r∠B=∠E, BC=EF, →按照“角→边→角”的顺序书写 l∠C=∠F, .△ABC≌△DEF(ASA). 知识点2>用“角角边”（AA$)判定两个三角形全等 举一反三>参考答案见答案册P6 1.推论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角3-1下列各图中，α，b,c为 形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”). 三角形的边长，则甲、乙、丙 2.书写格式 三个三角形中，和△ABC全等 如图，在△ABC和△DEF中， 的是( 「∠B=∠E, B ∠C=∠F, 按照“角→角→边 的顺序书写 /50° 509 BA a AC=DF, 甲 C45872以 .△ABC≌△DEF（AAS). b 注意事项：(1)由“ASA”和“AAS”可知，两个三角形如果具备 72 两角和一边对应相等，就可判定它们全等；（2)在书写两个三角形全 等的条件“角角边”时，要按照“角→角→边”的顺序来写，即把其中 乙50°> 了50丙 a 一组等角的对边相等写在最后面，以突出两角相等且其中一组等角的 A.甲和乙 B.乙和丙 对边相等. C.甲和丙 D.只有丙 例3如图，点B,F,C,E在同一条直线上，已知FB=CE, 3-2如图，已知AB=AE,AB∥ AC/∥DF,∠A=∠D.求证△ABC≌△DEF, DE,∠ECB=70°，∠D=110°， 求证△ABC≌△EAD. D E B 【答案】证明：FB=CE, .BC=EF. 又ACDF, ∴.∠ACB=∠DFE. 两直线平行，内错角相等 52随堂笔记8年级数学RJ上册 「∠A=∠D, 在△ABC和△DEF中， ∠ACB=∠DFE, BC=EF, .△ABC≌△DEF(AAS), ★方法京线 判定两个三角形全等时常用的等角：(1)公共角；(2)对 顶角；(3)等角加（或减）等角；(4)同角或等角的余 (或补)角；(5)由角的平分线得到的两个角；(6)由垂直 得到的角；(7)由平行线得到的同位角或内错角 课本练习[教材P36练习] 1.如图，AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别为B,D,且∠1=∠2. 答案 求证AB=AD. 1. 证明略.提示：△ABC≌ △ADC(AAS). 2.原因略.提示：由△ABC≌ △EDC(ASA),得AB=DE. （第1题) (第2题) 2.如图，要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离，可以在池 塘外取AB的垂线BF上的两点C,D,使BC=CD,再画出 BF的垂线DE,使点E与点A,C在一条直线上，这时测得 DE的长就是AB的长.为什么？ 课后·提升笔记 题型训练 题型1●》添加条件判定两个三角形全等 变式训练》参考答案见答案册P6 例1如图，点E,F在BC上，BE=CF,∠B=∠C,添加一个1-1如图，已知点E,B,F, 条件，不能证明△ABF≌△DCE的是() C四点在同一条直线上，EB= CF,∠A=∠D,添加以下条件 之一，仍不能证明△ABC≌ △DEF的是() 第十四章全等三角形 53 D B BE FC A.∠E=∠ABCB.AB=DE A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC C.AB//DE D.DF/∥AC C.AB=DC D.AF=DE 【解析】BE=CF,.BE+EF=CF+EF,即BF=CE,.当∠A= ∠D时，利用“AAS”可得△ABF≌△DCE,故A选项不符合 题意；当∠AFB=∠DEC时，利用“ASA”可得△ABF≌ △DCE,故B选项不符合题意；当AB=DC时，利用“SAS”可 得△ABF≌△DCE,故C选项不符合题意；当AF=DE时，无法 证明△ABF≌△DCE,故D选项符合题意， 【答案】D 题型2》利用角平分线构造全等三角形 变式训练参考答案见答案册P6 例2如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD,垂2-1如图所示，已知∠BAC= 足是D. 90°，AB=AC,∠ABC=∠ACB= (1)求证∠2=∠1+∠C; 45°，M为AC边上的中点.AD⊥ (2)若ED∥BC,∠ABD=28°，求∠ADE的度数. BM于点E,交BC于点D,连接 A DM.求证∠AMB=∠CMD. 【答案】(1)证明：如图，延长AD交BC于点H. BD⊥AH, ∴.∠BDA=∠BDH=90. ·BD是∠ABC的平分线， .∠ABD=∠HBD.又BD=BD, .△BDA≌△BDH（ASA), ∴.BA=BH,∠2=∠BHA. ,∠BHA=∠1+∠C, ∴.∠2=∠1+∠C. (2)解：·∠ABD=28°，∠BDA=90°， .∠2=62°， ∴.∠BHA=∠2=62°， .∴.∠AHC=180°-62°=118°. ED//BC, ∴.∠ADE=∠AHC=118°. 54 随堂笔记8年级数学RJ上册 题型3●》“一线三等角”全等模型的应用 》变式训练参考答案见答案册P7 例3三个相等的角的顶点在同一条直线上，称为“一线三等3-1如图，点C在BD上，AB⊥ 角”模型.利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件， BD,ED⊥BD,AC⊥CE,AB= 进而解决问题. CD.求证△ABC≌△CDE. (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m经过 点A,BD⊥直线m,CEL直线m,垂足分别为点D,E.求证 DE=BD+CE. (2)如图2，将（1)中的条件改为在△ABC中，AB=AC,D, A,E三点都在直线m上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=∠a, 其中∠α为任意钝角，请问DE=BD+CE是否成立？若成立，请 给出证明；若不成立，请说明理由. B D A E m D A E m 图1 图2 【答案】(1)证明：BDL直线m,CE⊥直线m, ∴.∠BDA=∠CEA=90°， .∠BAD+∠ABD=90°. :∠BAC=90°， 3-2如图，∠BAC=90°，AB= ∴.∠BAD+∠CAE=90°， AC,BD⊥AE,CE⊥AE,垂足 ∴.∠CAE=∠ABD 分别为点D,点E,CE=2, 在△ADB和△CEA中， DE=5,求BD的长. 「∠BDA=∠AEC, ∠ABD=∠CAE, AB=AC, .△ADB≌△CEA(AAS), .BD=AE,AD=CE, ∴.DE=AE+AD=BD+CE. (2)解：成立.理由如下： .∠BDA=∠BAC=∠a, .∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-∠a, .∠CAE=∠DBA: 在△ADB和△CEA中， '∠ABD=∠CAE, ∠BDA=∠AEC, AB=CA, 第十四章全等三角形 55 ∴.△ADB≌△CEA(AAS), ∴.BD=AE,AD=CE, ∴.DE=AE+AD=BD+CE. 题型4>利用截长补短法构造全等三角形 变式训练》参考答案见答案册P7 例4如图，已知AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB和∠DBA,4-1如图，已知等边三角形 CD过点E.求证AB=AC+BD ABC,在AB边上任取一点D, 延长BC到E,使CE=AD.连 接DE交AC于点P,求证DP= EP. 【答案】证明：方法一（补短法）如图1，延长AE,BD相交于 点F .AC∥BD,∴.∠CAE=∠F .·EA,EB分别平分∠CAB和∠DBA, E ∴.∠CAE=∠EAB,∠FBE=∠ABE, ∴.∠EAB=∠F. 在△AEB和△FEB中， 「∠EAB=∠F, 图1 ∠ABE=∠FBE, BE=BE, 4-2如图，在△ABC中， ∴.△AEB≌△FEB（AAS), ∠ABC=60°，AD,CE分别平 ∴.AB=BF,AE=EF 分∠BAC,∠ACB,求证AC= 在△ACE和△FDE中， AE+CD. 「∠CAE=∠F, AE=FE, ∠AEC=∠DEF, .△ACE≌△FDE(ASA), .AC=DF, .AB=BF=DF+BD=AC+BD. 方法二（截长法)如图2，在AB上取一点M,使得AM=AC, 连接EM. :EA平分∠CAB, .∴.∠CAE=∠MAE. AC=AM,AE=AE, 56随堂笔记8年级数学RJ上册 .△CAE≌△MAE(SAS), ∴.∠C=∠AME. .AC∥BD, ∴.∠C+∠D=180°. :∠AME+∠BME=180°， 图2 .∴.∠EMB=∠D. ,EB平分∠DBA, ∴.∠MBE=∠DBE. 又BE=BE, ∴.△MBE≌△DBE(AAS), ∴.BM=BD, ∴.AB=AM+BM=AC+BD. 链接中考 考点1●用“AAS”判定两个三角形全等 AB=8, 题型 难度 分值 .CD=AB-AC-BD=8-2-2=4, 解答题 ★☆☆ 8分 即CD的长为4. 考点2利用三角形全等证明边相等 典例[营口中考]如图，点A,B,C,D在 题型 难度 分值 同一条直线上，点E,F分别在AB的两侧， 解答题 ★☆☆ 8分 且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF (1)求证△ACE≌△BDF; 典例2[中考改编]如图，AB=AC,AB⊥AC, (2)若AB=8,AC=2,求CD的长 AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE.求证BD=CE. 【答案】证明：AB⊥AC,AD⊥AE, 【答案】（1)证明：在△ACE和△BDF中， ∴.∠BAE+LCAE=90°，∠BAE+∠BAD=90°， ∠ACE=∠BDF, ∴.∠CAE=∠BAD ∠A=∠B, 又AB=AC,∠ABD=∠ACE, AE=BF, ∴.△ABD≌△ACE(ASA), .△ACE≌△BDF(AAS): ∴BD=CE. (2)解：由（1)知，△ACE≌△BDF, ∴.AC=BD=2. 第十四章全等三角形 57M 在△ACD和△MBD中， (AD=DM ∠ADC=∠BDM, CD=BD ∴.△ACD≌△MBD(SAS), ∴.AC=MB=AE,∠C=∠MBD :.∠ABM=∠ABC+∠MBD=∠ABC+∠C 180°-∠BAC. ,AE⊥AC,AF⊥AB, .∠FAE=90°+90°-∠BAC=180°-∠BAC, ∴.∠ABM=∠FAE. 在△AEF和△BMA中， (AE=BM, ∠EAF=∠MBA, AF=BA, ∴.△AEF≌△BMA(SAS), ∴.EF=AM, :.AD=1EF. 2 第2课时 三角形全等的 判定（二）(ASA、AAS) 预习检测 AAS 举三反目 1-1证明：B为线段AC的中点， ∴.AB=BC. .AD∥BE .∠A=∠EBC BD∥CE, ∴.∠C=∠DBA, 在△ABD和△BCE中， I∠A=∠EBC, AB=BC, (∠DBA=∠C, .△ABD≌△BCE(ASA)· 2-1证明：，D是AB的中点， ∴.AD=BD BD=CE, ∴.AD=CE. .CE∥AD, ∴.∠A=∠ECF,∠ADF=∠E. 在△ADF和△CEF中， ∠A=∠ECF, AD=CE, ∠ADF=∠E, ∴.△ADF≌△CEF(ASA). 3-1B【解析】在△ABC和三角形乙中，满足 三角形全等的判定方法SAS,所以三角形乙和 △ABC全等；在△ABC和三角形丙中，满足三角 形全等的判定方法AAS,所以三角形丙和 △ABC全等；在△ABC中，a为50°角的邻边，在 三角形甲中，a为50°角的对边，所以三角形甲 与△ABC一定不全等. 3-2证明：.∠ECB=70°，.∠ACB=110°. .·∠D=110°， .∴.∠ACB=∠D. .'AB∥DE, .∠CAB=∠E. 在△ABC和△EAD中， ∠ACB=∠D, ∠CAB=∠E, AB=EA, ∴.△ABC≌△EAD(AAS). 变式训练 1-1B【解析】添加∠E=∠ABC,根据“AAS” 能证明△ABC≌△DEF,故A选项不符合题意： 添加AB=DE,不能证明△ABC≌△DEF,故B选 项符合题意；添加AB∥DE,可得∠E=∠ABC,根 据“AAS”能证明△ABC兰△DEF,故C选项不 符合题意；添加DF∥AC,可得∠DFE= ∠ACB,根据“AAS”能证明△ABC≌△DEF,故 D选项不符合题意. 2-1证明：如图，过点C作FC⊥AC,交AD的 延长线于点F .∴.∠ACF=90° .∴.∠F+∠FAC=90. ·AD⊥BM, ∴.∠AEM=90°， ∴.∠FAC+∠AME=90°， ∴.∠F=∠AME. .·∠BAC=∠ACF=90°，AB=AC, ∴.△BAM≌△ACF(AAS), ∴.AM=CF. ,M为AC边上的中点， ∴.AM=CM, ∴.CM=CF. :∠ACB=45° ∴.∠DCF=LACF-∠ACB=45°， .∠DCF=∠ACB. CD=CD, ∴.△MCD≌△FCD(SAS), 6 ∴.∠F=∠CMD, .∴.∠AMB=∠CMD. 3-1证明：.AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE, ∴.∠B=∠D=∠ACE=90°， ∴.∠DCE+∠DEC=90°，∠BCA+∠DCE=90°， ∴.∠BCA=∠DEC. 在△ABC和△CDE中， I∠BCA=∠DEC, ∠B=∠D, AB=CD, .△ABC≌△CDE(AAS). 3-2解：.BD⊥AE,CE⊥AE, ∴.∠BDA=90°=∠CEA=∠BAC, ∴.∠CAE+∠BAD=90°=∠CAE+∠ACE, ∴.∠ACE=∠BAD. 在△AEC和△BDA中， I∠ACE=∠BAD, ∠AEC=∠BDA, AC=BA, ∴.△AEC≌△BDA(AAS), ∴.CE=AD,AE=BD CE=2,DE=5, ∴.AE=AD+DE=CE+DE=7, ∴.BD=7. 4-1证明：如图，过点D作DF∥BE交AC于 点F, 则∠ADF=∠B,∠AFD=∠ACB,∠FDE=∠E. ,·△ABC为等边三角形， ∴.∠A=∠B=∠ACB=60°， ∴.△ADF是等边三角形 ∴.AD=DF .AD=CE, ∴.DF=CE. 在△DPF和△EPC中， I∠DPF=∠EPC, ∠FDE=∠E, DF=EC, ∴.△DPF≌△EPC(AAS), ∴.DP=EP 4-2证明：如图，AD与CE交于点P.在AC上 截取AF=AE,连接PF. :AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD, AP=AP, ∴.△APE≌△APF(SAS), ∴.∠APE=∠APF, ·∠ABC=60°，AD,CE分别平分 ∠BAC,∠ACB, ∴.∠APC=120°，∠APE=60°， .∴.∠APF=∠CPD=60°=∠CPF, ∴.△CPF≌△CPD(ASA), .CF=CD, ∴.AC=AF+CF=AE+CD. E D 第3课时 三角形全等的判定（三）(SSS) 预习检测 1.C 2.AB=FE 3.B 举一反写 1-1证明：在△CDA和△DCB中， (AD=BC, AC=BD, DC=CD, ·.△CDA≌△DCB(SSS), ∴.∠DAC=∠CBD. 1-2B【解析】如图，连接AD. 在△ADB和△ADC中， (AB=AC, AD=AD, BD=CD, ∴.△ADB≌△ADC(SSS), 1 ∠BMD=∠CAD=2∠BAC=30,LADB= LADC=2×(360-140)=10, ∴.∠B=180°-∠BAD-∠ADB=40°. 2-1解：如图，CD即为所作. 提示：以CB为一边，在∠AOB内部作 ∠BCD=∠BOA,则CD∥OA.(答案不唯一) D 3-1解：(1)如图1，分别以点E,P为圆心，同 一长度为半径画弧，分别交∠α的两边于点 F,G,交∠B的两边于点M,N.