14.2.1 三角形全等的判定(一) (SAS)-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

(3)直线AD与直线CE垂直.理由如下： 如图，延长CE交AD于点F. .△ABD≌△EBC, ∴.∠D=∠C. 在Rt△ABD中，∠A+∠D=90°， ∴.∠A+∠C=90° ∴.∠AFC=90°，即直线AD与直线CE垂直 F以E C 5-1解：由题意知，△ADE≌△A'DE, ∴.∠ADE=∠A'DE, ∠AED=∠A'ED=2×(180°-70)=559 .∠A=55°， ∴.∠ADE=∠A'DE=180°-55°-55°=70°， .∠A'DB=180°-70°-70°=40°. 14.2三角形全等的判定 第1课时三角形全等的 判定（一）(SAS) 预习检测 1.SAS 2.证明：.AC平分∠BAD, ∴.∠BAC=∠DAC. 在△ABC和△ADC中， (AB=AD, ∠BAC=∠DAC, AC=AC. .△ABC≌△ADC(SAS). 举一反三 证明：.：∠AOC=∠BOD, .∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD, 即∠COD=∠AOB. 在△AOB和△COD中， (OA=OC, ∠AOB=∠COD, OB=OD, .△AOB≌△COD(SAS). 变式训练 1-1D【解析】在△BAF和△CAE中， (AF=AE, ∠BAF=∠CAE,∴.△BAF≌△CAE(SAS), AB=AC, ∴.BF=CE.BF=5,DE=1,∴.CD=CE-DE= BF-DE=5-1=4. 1-2(1)证明：，CD平分∠ACE, ∴.∠ACD=∠ECD. CE平分∠BCD, ∴.∠BCE=∠ECD, ∴.LACD=∠ECD=∠BCE= x180°=60°. 3 C是线段AB的中点， ∴.CA=CB. 在△ACD和△BCE中， CD=CE. ∠ACD=∠BCE, CA=CB. ∴.△ACD≌△BCE(SAS). (2)解：在△ADC中， ∠D=75°，∠ACD=60°， ∴.∠A=180°-75°-60°=45°. △ACD≌△BCE, ∴.∠B=∠A=45°. 2-1D【解析】在△AOB和△D0C中， (OA=OD, ∠AOB=∠DOC,∴.△AOB≌△DOC(SAS), 0B=0C, ∴.AB=CD=a. :EF=b,该容器的壁厚是之(b-a), 3-1证明：如图，延长CE到点F,使EF= CE,连接FB. ·CE是△ABC的中线， ∴.AE=EB. 在△AEC和△BEF中， (AE=BE, ∠AEC=∠BEF, EC=EF, ∴.△AEC≌△BEF(SAS), ∴.∠A=∠EBF,AC=FB .AB=AC, .∠ABC=∠ACB, ∴.∠CBD=∠A+∠ACB=∠EBF+∠ABC= ∠CBF. .CB是△ADC的中线， ∴.AB=BD. 又AB=AC,AC=FB, ∴.FB=BD 在△CBF和△CBD中， (CB=CB, ∠CBF=∠CBD, BF=BD. ∴.△CBF≌△CBD(SAS), .∴.CD=CF=CE+EF=2CE. 3-2证明：如图，延长AD至点M,使AD= DM,连接BM. 5 M 在△ACD和△MBD中， (AD=DM ∠ADC=∠BDM, CD=BD ∴.△ACD≌△MBD(SAS), ∴.AC=MB=AE,∠C=∠MBD :.∠ABM=∠ABC+∠MBD=∠ABC+∠C 180°-∠BAC. ,AE⊥AC,AF⊥AB, .∠FAE=90°+90°-∠BAC=180°-∠BAC, ∴.∠ABM=∠FAE. 在△AEF和△BMA中， (AE=BM, ∠EAF=∠MBA, AF=BA, ∴.△AEF≌△BMA(SAS), ∴.EF=AM, :.AD=1EF. 2 第2课时 三角形全等的 判定（二）(ASA、AAS) 预习检测 AAS 举三反目 1-1证明：B为线段AC的中点， ∴.AB=BC. .AD∥BE .∠A=∠EBC BD∥CE, ∴.∠C=∠DBA, 在△ABD和△BCE中， I∠A=∠EBC, AB=BC, (∠DBA=∠C, .△ABD≌△BCE(ASA)· 2-1证明：，D是AB的中点， ∴.AD=BD BD=CE, ∴.AD=CE. .CE∥AD, ∴.∠A=∠ECF,∠ADF=∠E. 在△ADF和△CEF中， ∠A=∠ECF, AD=CE, ∠ADF=∠E, ∴.△ADF≌△CEF(ASA). 3-1B【解析】在△ABC和三角形乙中，满足 三角形全等的判定方法SAS,所以三角形乙和 △ABC全等；在△ABC和三角形丙中，满足三角 形全等的判定方法AAS,所以三角形丙和 △ABC全等；在△ABC中，a为50°角的邻边，在 三角形甲中，a为50°角的对边，所以三角形甲 与△ABC一定不全等. 3-2证明：.∠ECB=70°，.∠ACB=110°. .·∠D=110°， .∴.∠ACB=∠D. .'AB∥DE, .∠CAB=∠E. 在△ABC和△EAD中， ∠ACB=∠D, ∠CAB=∠E, AB=EA, ∴.△ABC≌△EAD(AAS). 变式训练 1-1B【解析】添加∠E=∠ABC,根据“AAS” 能证明△ABC≌△DEF,故A选项不符合题意： 添加AB=DE,不能证明△ABC≌△DEF,故B选 项符合题意；添加AB∥DE,可得∠E=∠ABC,根 据“AAS”能证明△ABC兰△DEF,故C选项不 符合题意；添加DF∥AC,可得∠DFE= ∠ACB,根据“AAS”能证明△ABC≌△DEF,故 D选项不符合题意. 2-1证明：如图，过点C作FC⊥AC,交AD的 延长线于点F .∴.∠ACF=90° .∴.∠F+∠FAC=90. ·AD⊥BM, ∴.∠AEM=90°， ∴.∠FAC+∠AME=90°， ∴.∠F=∠AME. .·∠BAC=∠ACF=90°，AB=AC, ∴.△BAM≌△ACF(AAS), ∴.AM=CF. ,M为AC边上的中点， ∴.AM=CM, ∴.CM=CF. :∠ACB=45° ∴.∠DCF=LACF-∠ACB=45°， .∠DCF=∠ACB. CD=CD, ∴.△MCD≌△FCD(SAS), 614.2三角形全等的判定 第1课时 三角形全等的判定（一） 课前·预习笔记 预 习 !1.掌握用SAS证明两个三角形全等的方法.重点© 目 12.能用尺规作图：已知两边及其夹角作三角形 标 第步明确考情 1.考频：5年4考 12.分值：8分 !3.题型：解答题 第二步梳理知识 两个三角形全等的基本事实：边角边 !1.边角边：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角 边”或“SAS”) 12.书写格式：如图，在△ABC和△A'B'C'中， 预 (AB=A'B', 习 ∠B=∠B', 任 BC=B'C', 务 .△ABC≌△A'B'C'(SAS). 第三步预习检测 11.如图，已知AB=DC,∠ABC=∠DCB,能判定△ABC≌△DCB的依据是 B 2.如图，已知AC平分∠BAD,AB=AD.求证△ABC≌△ADC. 44 随堂笔记8年级数学RJ上册 课堂·听课笔记 新知解读 知识点》用“边角边”(SA$)判定两个三角形全等 举一反三》参考答案见答案册P5 1.基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等如图，已知OA=OC,OB=OD, (可以简写成“边角边”或“SAS”). ! ∠AOC=∠BOD. 2.书写格式 求证△AOB兰△COD. 如图，在△ABC和△A'B'C'中， D (AB=A'B', 把夹角相等写在中间 ∠B=∠B', BC=B'C', BA .△ABC≌△A'B'C'(SAS): 注意事项：(1)用“SAS”判定两个三角形全等时，角女须是两条 分别相等的边的夹角，边水须是夹相等的角的两边；(2)书写时要注 意“边角边”的顺序 管思考：满足“边边角”的两个三角形不一定全等 两边和其中一边的对角分别相等不能作为 判定两个三角形全等的条件.如图，在△ABC 和△ADC中，AC=AC,CB=CD,∠CAB= D ∠CAD,其中∠A是CB,CD的对角，显然△ABC与△ADC不全等. 例[教材P33例题]如图，AC=AD,AB平 分∠CAD,求证∠C=∠D. 【分析】如果能证明△ABC兰△ABD,就可 以得出∠C=∠D.由题意可知，△ABC与 △ABD具备“边角边”的条件 【答案】证明：AB平分∠CAD, ∴.∠CAB=∠DAB. 在△ABC和△ABD中， (AC=AD, ∠CAB=∠DAB, AB=AB. .△ABC≌△ABD(SAS). ∴.∠C=∠D. 第十四章全等三角形 45 课本练习[教材P34练习] 1.如图，有一池塘，要测池塘两端A,B的距离，可先在平地答案 上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B,1.理由略.提示：易证△ABC≌ 连接AC并延长到点D,使CD=CA,连接BC并延长到点E, △DEC,可得AB=DE. 使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离. 2.证明略.提示：△ABF≌ 为什么？ △DCE(SAS), (第1题) (第2题) 2.如图，点E,F在BC上，BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求 证∠A=∠D. 课后·提升笔记 题型训练 题型1●》用三角形全等进行有关线段、角的证明或计算 变式训练》参考答案见答案册P5 例1如图1，在等腰三角形ABC和等腰三角形ADE中，∠BAC=1-1如图，点E在AB上，点 ∠DAE=40°，连接BD,CE. F在AC上，且AE=AF,AB= (1)求证BD=CE. AC,BF=5,DE=1,则DC的 (2)如图2，延长BD,CE相交于点P,AC与BP相交于点M.长为（() B 求∠BPC的度数. E A D A.1 B.2 B C.3 D.4 :1-2如图，C是线段AB的中 图1 图2 点，CD平分∠ACE,CE平分 【答案】(1)证明：：△ABC和△ADE是等腰三角形， ∠BCD,CD=CE. .'AB=AC,AD=AE. (1)求证△ACD≌△BCE; 46随堂笔记8年级数学RJ上册 ∠BAC=∠DAE, （2)若∠D=75°，求∠B的 .∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 度数. .∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中， rAB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, .△BAD≌△CAE(SAS),∴.BD=CE. (2)解：由（1)知△BAD≌△CAE, ∴.∠ABD=∠ACE. .∠AMB=∠PMC, .∴.180°-∠ABD-∠AMB=180°-∠ACE-∠PMC, ∴.∠BAC=∠BPC. .∠BAC=40°，∴.∠BPC=40°， 题型2》判定两个三角形全等的实际应用 变式训练》参考答案见答案册P5 例2某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山，2-1在测量一个容器的壁厚 如图，设计时要测量隧道AB的长，恰好在小山的前面是一片 时，荣荣用“X型转动钳”按 空地.利用这一有利的地形，测量人员是否可以利用三角形全如图方法进行测量，其中O= 等的知识测量出隧道AB的长？请画出你设计的测量方案图， OD,OB=OC,测得AB=a, 并说明理由。 EF=b,该容器的壁厚 是() B B 【答案】解：设计的测量方案图如下. 如图，（1)过点A作线段AD; (2)取AD中点C,连接BC并延长至点E,使EC=BC; (3)连接DE,则DE的长就是AB的长 A.a B.6 理由：在△ACB和△DCE中， C.b-a 1 D.2(b-a) rAC=DC, ∠ACB=∠DCE, BC=EC, .△ACB≌△DCE(SAS),∴.AB=DE. C E 第十四章全等三角形 47 题型3●》 利用倍长中线法构造全等三角形 >变式训练参考答案见答案册P5 例3【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下3-1如图，CE,CB分别是 问题： △ABC,△ADC的中线，且AB= AC.求证CD=2CE. B M 图1 图2 图3 如图1，在△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD 的取值范围。荣荣在组内经过合作交流，得到了如下的解决方 法：如图2，延长AD至点E,使DE=AD.请根据荣荣的方法 思考： (1)请问判定△ADC≌△EDB的依据是什么？ 3-2如图，AD是△ABC的中线， (2)求AD的取值范围； AE⊥AC,AF⊥AB,且AE=AC, (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”，可以考 虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结 AF=AB.求证AD=2EF 论对应到同一个三角形中. 【问题解决】如图3，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,M 为BC的中点，求证DE=2AM. 【答案】(1)解：在△ADC和△EDB中， (AD=ED, ∠ADC=∠EDB, CD=BD. .△ADC≌△EDB(SAS), .判定△ADC≌△EDB的依据是“SAS” (2)解：由（1)知，△ADC≌△EDB, ∴.BE=AC=6,AE=2AD 在△ABE中，AB=8,BE=6, 由三角形三边关系，得8-6<2AD<8+6,即1<AD<7, (3)证明：如图，延长AM至点N,使MN=AM,连接BN, .M为BC的中点， .CM=BM. 48随堂笔记8年级数学RJ上册 在△AMC和△NMB中， (AM=NM, ∠AMC=∠NMB, CM=BM, .△AMC≌△NMB(SAS), .∴.AC=BN,∠C=∠NBM. AB⊥AE,AD⊥AC, .∴.∠EAB=∠DAC=90°， .∠EAD+∠BAC=180°， ∴.∠ABN=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD 在△EAD和△ABN中， 「AE=BA, ∠EAD=∠ABN, AD=BN, ∴.△EAD≌△ABN(SAS), ∴.DE=NA=2AM. 链接中考 考点●用“SAS”判定两个三角形全等 ·∠ABE=∠DBE. 题型 难度 分值 在△ABE和△DBE中， 解答题 ★☆☆ 8分 (AB=DB, ∠ABE=∠DBE, 典例[宜昌中考]如图，在△ABC中，D是 BE=BE, BC边上的一点，AB=DB,BE平分∠ABC,交 .△ABE≌△DBE(SAS). AC边于点E,连接DE. (2)解：∠A=100°，∠C=50°， (1)求证△ABE≌△DBE; ∴.∠ABC=30°. (2)若∠A=100°，∠C=50°，求∠AEB的 .BE平分∠ABC, 度数 AE-ABG-15' 在△ABE中，∠AEB=180°-∠A-∠ABE= D 180°-100°-15°=65°. 【答案】(1)证明：BE平分∠ABC, 第十四章全等三角形 49