1.2.2 第2课时 全称量词命题和存在量词命题的否定(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦全称量词与存在量词命题的否定，通过“探险家保命”情境导入激发兴趣，以表格梳理命题否定形式为核心，结合自我诊断、典例研析与跟踪训练，构建从情境感知到概念理解再到应用巩固的学习支架。 其亮点在于以数学眼光创设问题情境，通过典例研析和通性通法培养数学思维中的推理能力，如题型三结合二次函数求参数范围渗透数学语言的模型观念。学生能提升逻辑推理与问题解决能力，教师可借助分层训练高效开展教学。

2.2　全称量词与存在量词 第二课时　全称量词命题和存在量词命题的否定 第一章　预备知识 1 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 3 　　一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧 死，说假话，将被五马分尸.” 【问题】　请问探险家该如何保命？ 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点　全称量词命题和存在量词命题的否定 p p的否定 结论 全称量词命题“∀x∈M，p （x）” ∃x∈M， 􀱑p（x） 全称量词命题的否定是 ⁠ ⁠命题 存在量词命题“∃x∈M，p （x）” ⁠ ⁠ 存在量词命题的否定是 ⁠ ⁠命题 存 在量词　 ∀x∈M， 􀱑p（x） 全 称量词　 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）全称量词命题与其否定的真假可以相同. （　×　） （2）命题“正方形是矩形”的否定是“正方形不是矩形”. （　×　） （3）“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2＜0”. （　√　） （4）“∃x∈R，｜x｜＝x”是假命题. （　×　） × × √ × 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 若命题p：∃x＞0，x2－3x＋2＞0，则命题p的否定为（　C　） A. ∃x＞0，x2－3x＋2≤0 B. ∃x≤0，x2－3x＋2≤0 C. ∀x＞0，x2－3x＋2≤0 D. ∀x≤0，x2－3x＋2≤0 C 3. 已知命题p：∀x＞2，x3－8＞0，那么p的否定是 ⁠ ⁠. ∃x＞2，x3－ 8≤0　 数学·必修第一册（BSD） 目录 典例研析 >> 目录 8 题型一　全称量词命题的否定 （1）命题“∀x∈A，｜x｜＋1≥1”的否定是 ⁠ ⁠. 解析：命题“∀x∈A，｜x｜＋1≥1”是全称量词命题，它的否定是 “∃x∈A，｜x｜＋1＜1”. （2）写出下列命题的否定并判断真假： ①等圆的面积相等； ②对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3； ③平面内与同一条直线垂直的两条直线平行. ∃x∈A，｜x｜＋1 ＜1　 数学·必修第一册（BSD） 目录 解：①该命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定是“存在一对 等圆，其面积不相等”.由等圆的概念知原命题的否定是假命题. ②该命题的否定：至少存在一个x∈Z，x2的个位数等于3，因为02＝0，12 ＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝ 81，…，所以这是一个假命题. ③命题省略了全称量词“任意”，即“平面内任意两条与同一条直线垂直 的直线平行”，因此其否定为“平面内存在两条与同一条直线垂直的直线 不平行”，是假命题. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 1. 对全称量词命题否定的两个步骤 （1）改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词； （2）否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成 立”等. 2. 全称量词命题否定后的真假判断 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要 说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　命题“负数的平方是正数”的否定是（　　） A. 负数的平方不是正数 B. 有些负数的平方是正数 C. 所有负数的平方是正数 D. 有些负数的平方不是正数 解析：该命题为省略了全称量词的全称量词命题，故其否定：有些负数的平方不是正数. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型二　存在量词命题的否定 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： （1）∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点； 解：该命题的否定为∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点.因为 当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图象经过原点，所以是假命题. （2）至少有一个直角三角形不是等腰三角形； 解：该命题的否定为所有直角三角形都是等腰三角形.因为有一个内角为 30°的直角三角形不是等腰三角形，所以是假命题. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （3）有些三角形是锐角三角形. 解：该命题的否定为所有三角形都不是锐角三角形（或任意三角形都不是 锐角三角形），所以是假命题. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 1. 对存在量词命题否定的两个步骤 （1）改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词； （2）否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存 在”等. 2. 存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要 说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（　　） A. ∀x∈R，｜x｜＞0 B. ∃x∈R，｜x｜＞0 C. ∀x∈R，｜x｜≤0 D. ∃x∈R，｜x｜≤0 解析：由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： （1）∃x∈R，x＋1≤0； 解：真命题.该命题的否定：∀x∈R，x＋1＞0. （2）有的三角形是等腰三角形； 解：真命题.该命题的否定：所有的三角形都不是等腰三角形. （3）有一个偶数是素数. 解：真命题.该命题的否定：任意一个偶数都不是素数. 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型三　根据命题的真假求参数的取值范围 〔一题多解〕已知命题p：“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求 实数m的取值范围. 解：法一　􀱑p：∀x∈R，x2－2x＋m＞0是真命题，即m＞－x2＋2x＝ －（x－1）2＋1，x∈R恒成立， 设函数y＝－（x－1）2＋1，由二次函数的性质知， 当x＝1时，ymax＝1，∴m＞ymax＝1， 即实数m的取值范围是{m｜m＞1}. 数学·必修第一册（BSD） 目录 法二　􀱑p：∀x∈R，x2－2x＋m＞0是真命题，设函数y＝x2－2x＋m， 由二次函数的图象和性质知，只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ＜ 0， 即4－4m＜0，得m＞1， 即实数m的取值范围是{m｜m＞1}. 数学·必修第一册（BSD） 目录 【母题探究】 （变条件）本例中，若条件中的“假命题”改为“真命题”，则m的取值 范围是 ⁠. 解析：∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0，即关于x的方程x2－2x＋m＝0有实 根，∴Δ＝4－4m≥0，解得m≤1. {m｜m≤1}　 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 由命题的否定求参数取值范围的两个关注点 （1）命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转 化； （2）求参数取值范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题 的意义列不等式求取值范围. 数学·必修第一册（BSD） 目录 　已知命题：∀x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}，且 其否定是假命题，求实数a的取值范围. 解：命题的否定是假命题即原命题是真命题， 即∀x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}成立， 所以 解得－3≤a≤1， 所以实数a的取值范围为{a｜－3≤a≤1}. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 命题“∀x∈R，｜x｜＋x2≥0”的否定是（　　） A. ∀x∈R，｜x｜＋x2＜0 B. ∀x∈R，｜x｜＋x2≤0 C. ∃x∈R，｜x｜＋x2＜0 D. ∃x∈R，｜x｜＋x2≥0 解析：条件∀x∈R的否定是∃x∈R，结论“｜x｜＋x2≥0”的否定是“｜x｜＋x2＜0”. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（　　） A. 对任意实数x，都有x＞1 B. 不存在实数x，使x≤1 C. 对任意实数x，都有x≤1 D. 存在实数x，使x≤1 解析：利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解.“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”.故选C. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 〔多选〕下列命题是假命题的是（　　） A. ∀x∈{－1，1}，2x＋1＞0 B. ∃x∈Q，x2＝5 C. ∀x∈R，x2－1＞0 D. ∃x∈N，｜x｜≤0 解析：对于A，x＝－1时，不合题意，A是假命题；对于B，x2＝5，x＝± ，B是假命题；对于C，比如x＝0时，－1＜0，C是假命题；D是真 命题. √ √ √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 命题“同位角相等”的否定为 ⁠. 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：有的同位角 不相等. 有的同位角不相等　 数学·必修第一册（BSD） 目录 课时作业 >> 目录 27 1. 命题“任意x∈A，2x∈B”的否定为（　　） A. 任意x∈A，2x∉B B. 任意x∉A，2x∉B C. 存在x∉A，2x∈B D. 存在x∈A，2x∉B 解析：命题“任意x∈A，2x∈B”是一个全称量词命题，其命题的否定为“存在x∈A，2x∉B”，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 命题“存在一个无理数，它的平方是无理数”的否定是（　　） A. 任意一个有理数，它的平方是无理数 B. 任意一个无理数，它的平方不是无理数 C. 存在一个有理数，它的平方是无理数 D. 存在一个无理数，它的平方不是无理数 解析：量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是无理数”否定后为“它的平方不是无理数”，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 命题“∀x∈（0，2），x2－2x＋3≤0”的否定是（　C　） A. ∀x∈（0，2），x2－2x＋3＞0 B. ∀x∉（0，2），x2－2x＋3≤0 C. ∃x∈（0，2），x2－2x＋3＞0 D. ∃x∉（0，2），x2－2x＋3＞0 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（　　） A. 命题p的否定是真命题 B. 命题p是存在量词命题 C. 命题p是全称量词命题 D. 命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题 解析：　命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故命题p的否定是假 命题，命题p是全称量词命题，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 〔多选〕关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是（　　） A. p的否定：∃x∈R，x2＋1＝0 B. p的否定：∀x∈R，x2＋1＝0 C. p是真命题，p的否定是假命题 D. p是假命题，p的否定是真命题 解析：命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”.所以p是真命题，p的否定是假命题. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 6. 〔多选〕下列说法正确的有（　　） A. 命题“∃x∈R，1＜y≤2”的否定是“∀x∈R，y≤1或y＞2” B. “至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题 C. “∃x∈R，x－2＞ ”是真命题 D. “∀x∈R，x2＞0”的否定是真命题 解析：由存在量词命题的否定是全称量词命题，知选项A中说法正确；“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是存在量词命题，故选项B中说法错误；当x＝9时，x－2＞ ，即7＞3成立，故选项C中说法正确；命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，当x＝0时，x2≤0成立，故选项D中说法正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 7. 命题“∀x∈R， ＜0”的否定是 　∃x∈R， ＞0或x－2＝0　. ∃x∈R， ＞0或x－2＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 8. 命题p：存在实数x∈M，使得x，3，4能成为三角形的三边长.若命题 p为假命题，则x的取值集合M＝ ⁠. 解析：当命题p为真命题时，可得4－3＜x＜3＋4，即1＜x＜7.所以当命 题p为假命题时，可得{x｜x≤1或x≥7}. {x｜x≤1或x≥7}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 9. 已知命题p：“∀x≥3，2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值 是 ⁠. 解析：当x≥3时，2x≥6⇒2x－1≥5，因为“∀x≥3，2x－1≥m”是真 命题，所以m≤5. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 10. 写出下列命题的否定，并判断其真假： （1）p：不论m取何实数，关于x的方程x2＋mx－1＝0都有实根； 解：p的否定：∃m∈R，关于x的方程x2＋mx－1＝0无实根，假命题. （2）r：∃x∈{三角形}，x是等边三角形； 解：r的否定：∀x∈{三角形}，x不是等边三角形，假命题. （3）s：至少有一个实数x，使x2＋1＝0. 解：s的否定：∀x∈R，x2＋1≠0，真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 11. 已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范 围是（　　） A. {a｜a＜1} B. {a｜a≤1} C. {a｜a＞1} D. {a｜a≥1} 解析：　∵命题p为假命题，∴命题p的否定为真命题，即∀x＞0，x＋ a－1≠0，即∀x＞0，x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1.∴实数a的取值范 围是{a｜a≥1}.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 12. 〔多选〕若“∃x∈M，x＜0”为真命题，“∃x∈M，x≥3”为假命 题，则集合M可以是（　　） A. （－∞，1） B. [－1，3] C. [0，2） D. （－3，3） 解析：由题意∃x∈M，x＜0为真命题，∀x∈M，x＜3为真命题，则满足题意的选项应为集合{x｜x＜3}的子集，且满足∃x∈M，x＜0，A、D选项均满足，B选项当x＝3时不符合∀x∈M，x＜3，故错误，C选项不存在x∈M，x＜0，故错误.故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 13. 已知函数y1＝x2－2x，y2＝ax＋2（a＞0），集合A＝{x｜－ 1≤x≤2}，若∀x1∈A，∃x2∈A，使得 －2x1＝ax2＋2，则实数a的取值 范围是 ⁠. 解析：由二次函数的性质可得，当－1≤x≤2时，y1∈{y1｜－1≤y1≤3}， 由一次函数的性质可知，当－1≤x≤2时，y2∈{y2｜2－a≤y2≤2＋2a}. 因为∀x1∈A，∃x2∈A，使得 －2x1＝ax2＋2，所以 解得 a≥3. [3，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 14. 已知命题p：∀x∈{x｜1≤x≤2}，x2＋x－a≥0，命题q：∃x∈R， x2＋3x＋2－a＝0. （1）当p为假命题时，求实数a的取值范围； 解：由p为假命题，得􀱑p为真命题， 即∃x∈{x｜1≤x≤2}，x2＋x－a＜0， 即a＞x2＋x在x∈{x｜1≤x≤2}时有解， 所以a＞（x2＋x）min，x∈{x｜1≤x≤2}， 易知当x＝1时，（x2＋x）min＝2， 所以a＞2，即实数a的取值范围是{a｜a＞2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 （2）若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围. 解：由（1）可知，当p为真命题时，a≤2；当p为假命题时，a＞2. 当q为真命题时，方程x2＋3x＋2－a＝0在x∈R上有解，故Δ＝9－4（2 －a）≥0，解得a≥－ ；当q为假命题时，a＜－ . 所以当p为真命题，q为假命题时，a＜－ ；当p为假命题，q为真命题 时，a＞2. 所以当p和q中有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是{a｜a＜ － ，或a＞2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 $