1.2.1 第1课时 必要条件与充分条件(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦必要条件与充分条件，通过“双刀开关控制灯”情境导入，结合命题概念预备知识，构建从具体问题到抽象推出关系、条件关系的学习支架。 其亮点在于情境贴近生活激发兴趣，典例分题型（必要条件判断、充分条件判断、参数范围）并总结通性通法，融入数学抽象和逻辑推理。如用集合关系法解参数问题，助学生建立逻辑思维，教师可高效开展教学。

2.1　必要条件与充分条件 第一章　预备知识 1 课标要求 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定理与充要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 第一课时　必要条件与充分条件 第一章　预备知识 3 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 5 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一 个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开关，如图 所示. 【问题】　（1）A开关闭合时B灯一定亮吗？ （2）B灯亮时A开关一定闭合吗？ 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点一　命题 定义 可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题 表示 一个命题通常可以表示为“若p，则q”和“p是q”两种形式 理解 当命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的 结论 符号表示 当命题“若p，则q”是真命题时，就说由p推出q，记作p⇒q 数学·必修第一册（BSD） 目录 知识点二　必要条件与充分条件 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p ⁠q p ⁠q 条件关系 q是p的 ⁠条件 p是q的 ⁠条件 q不是p的 ⁠条件 p不是q的 ⁠条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件； 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 ⇒　 ⇒/　 必要　 充分　 必要　 充分　 数学·必修第一册（BSD） 目录 提醒：（1）①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q 是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式是等价的；（2）一 般地，如果p⇒q且q⇒/ p，则称p是q的充分不必要条件；（3）如果p⇒/ q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件；（4）如果p⇒/ q且q⇒/ p，则 称p是q的既不充分也不必要条件. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）如果q是p的必要条件，那么q是唯一的. （　×　） （2）q是p的必要条件的含义是：如果q不成立，则p一定不成立. （　√　） （3）“xy＞0”是“x，y都大于0”成立的充分条件. （　×　） （4）若p是q的充分条件，则q是p的必要条件. （　√　） × √ × √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 下列语句不是命题的是（　　） A. 5＞2 B. 3＞4 C. x－2＝0 D. 方程x2－3x＋4＝0有实根 解析：对于A，5＞2为命题且为真命题；对于B，3＞4为命题且为假命题；对于C，x－2＝0，无法判断真假，不是命题；对于D，Δ＝9－4×4＜0，故方程x2－3x＋4＝0没有实数根，故D为假命题.故选C. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 〔多选〕下列条件中是x2＞4的充分条件的是（　　） A. x＞－2 B. x＜－2 C. x＜－3 D. x＞4 解析：　当x＝0时，x＞－2，但x2＜4，故A错，B、C、D都符合. 4. p：｜x｜＝｜y｜，q：x＝y，则p是q的 条件（填“充分” 或“必要”）. 解析：∵x＝y⇒｜x｜＝｜y｜，即q⇒p，∴p是q的必要条件. 必要　 √ √ √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 典例研析 >> 目录 13 题型一　必要条件的判断 指出下列哪些命题中q是p的必要条件： （1）p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； 解：因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件. （2）p：A⊆B，q：A∩B＝A； 解：因为p⇒q，所以q是p的必要条件. （3）p：a＞b，q：ac＞bc. 解：因为p⇒/q，所以q不是p的必要条件. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 必要条件的两种判断方法 （1）定义法： （2）命题判断法： 如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件； 如果命题“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 使x＞1成立的一个必要条件是（　　） A. x＞0 B. x＞3 C. x＞2 D. x＜2 解析：　只有x＞1⇒x＞0，其他选项均不可由x＞1推出. 2. “－3＜x＜4”是“－2＜x≤3”的 条件.（用“充分不 必要”“必要不充分”填空） 解析：设集合A＝{x｜－3＜x＜4}，集合B＝{x｜－2＜x≤3}，可知 B⫋A，所以A是B成立的必要不充分条件，即“－3＜x＜4”是“－2＜ x≤3”的必要不充分条件. 必要不充分　 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型二　充分条件的判断 下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ （1）已知x∈R，p：x＝1，q：（x－1）（x－2）＝0； 解：由于x＝1⇒（x－1）（x－2）＝0， ∴p是q的充分条件. （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； 解：这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q， ∴p是q的充分条件. 数学·必修第一册（BSD） 目录 （3）p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； 解：∵等腰梯形的对角线相等， ∴四边形的对角线相等⇒/四边形是矩形. ∴p不是q的充分条件. （4）p：m＜－1，q：x2－x－m＝0无实根. 解：由方程x2－x－m＝0无实根， 得Δ＝1＋4m＜0，即m＜－ . ∵m＜－1⇒m＜－ ，即p⇒q. ∴p是q的充分条件. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 充分条件的两种判断方法 （1）定义法： （2）命题判断方法： 如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件. 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 若a，b∈R，则“a＝b”是“a2＝b2”的 条件.（用 “充分不必要”“必要不充分”填空） 解析：由a2＝b2可得a＝b或a＝－b，所以“a＝b”是“a2＝b2”的充 分不必要条件. 充分不必要　 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 〔多选〕使0＜x＜3成立的一个充分条件是（　　） A. 2＜x≤3 B. 0≤x＜1 C. 0＜x≤2 D. 1＜x＜2 解析：从集合观点看，求0＜x＜3成立的一个充分条件，就是从A、B、C、D中选出集合{x｜0＜x＜3}的子集.由于{x｜0＜x≤2}⊆{x｜0＜x＜3}，{x｜1＜x＜2}⊆{x｜0＜x＜3}，故选C、D. √ √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 题型三　根据必要条件、充分条件求参数的取值范围 已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0，q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 解：p：3a＜x＜a，记集合A＝{x｜3a＜x＜a}. q：－2≤x≤3，记集合B＝{x｜－2≤x≤3}. 因为p⇒q，所以A⊆B，所以 ⇒－ ≤a＜0， 所以a的取值范围是 . 数学·必修第一册（BSD） 目录 【母题探究】 （变条件）若本例中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数 x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围. 解：p：3a＜x＜a，其中a＜0，记集合A＝{x｜3a＜x＜a}. q：－3≤x≤0，记集合B＝{x｜－3≤x≤0}. 因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以A⊆B， 所以 ⇒－1≤a＜0. 所以a的取值范围是[－1，0）. 数学·必修第一册（BSD） 目录 通性通法 利用充分（必要）条件确定参数的值（范围）的步骤 设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}. （1）若A⊆B，则p是q的充分条件（p⇒q），q是p的必要条件；若 A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件，即p⇒q且 q⇒/p； （2）若B⊆A，则p是q的必要条件，q是p的充分条件； （3）根据集合的关系列不等式（组）； （4）解不等式（组）得结果. 数学·必修第一册（BSD） 目录 已知全集U＝R，非空集合A＝{x｜2＜x＜3a＋1}，B＝{x｜a＜x＜a＋ 2}.记p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围. 解：∵A≠∅，∴3a＋1＞2，即a＞ . ∵q是p的必要条件，∴A⊆B， ∴ 解得a≤ ， 又a＞ ，∴ ＜a≤ ，即实数a的取值范围是 . 数学·必修第一册（BSD） 目录 1. 若a∈R，则“a＝1”是“｜a｜＝1”的（　　） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不是充分条件，也不是必要条件 D. 无法判断 解析：　当a＝1时，｜a｜＝1成立，但｜a｜＝1时，a＝±1，所以a ＝1不一定成立.所以“a＝1”是“｜a｜＝1”的充分条件. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. “x＞2”是“x＞ ”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既是充分条件，也是必要条件 D. 既不是充分条件，也不是必要条件 解析：∵2＜ ，∴“x＞2”是“x＞ ”的必要不充分条件.故选B. √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 已知p：三角形是等腰直角三角形，q：三角形是直角三角形，则p是q 的 条件.（用“充分”或“必要”填空） 解析：由图可知，p是q的充分条件. 4. “x2＝2x”是“x＝0”的 条件，“x＝0”是“x2＝2x” 的 条件（用“充分”“必要”填空）. 解析：由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x ＝0”是“x2＝2x”的充分条件. 充分　 必要　 充分　 数学·必修第一册（BSD） 目录 课时作业 >> 目录 29 1. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句 来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标 的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不是充分条件，也不是必要条件 D. 既是充分条件，也是必要条件 解析：荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第一册（BSD） 目录 2. 若“x＞5”是“x＞a”的必要不充分条件，则a的取值范围是（　　） A. {a｜a＜5} B. {a｜a≤5} C. {a｜a＞5} D. {a｜a≥5} 解析：由“x＞5”是“x＞a”的必要不充分条件知：x＞a⇒x＞5且x＞5⇒/x＞a，即{x｜x＞a}是{x｜x＞5}的真子集，可得知a＞5.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 3. 若p：四边形ABCD是菱形，q：四边形ABCD是矩形，则p是q的 （　　） A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件 C. 既是充分条件，也是必要条件 D. 既不是充分条件，也不是必要条件 解析：依题意，当四边形ABCD是菱形时，不一定是矩形.当四边形ABCD是矩形时，不一定是菱形.∴p⇒/ q，q⇒/ p，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 4. 已知集合A＝{3，m}，B＝{1，3，5}，则m＝1是A⊆B的（　　） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既是充分条件又是必要条件 解析：　若A⊆B，则有m∈B且m≠3，所以m＝1或m＝5，故当m＝1 时，有A⊆B，而A⊆B时，m不一定是1，故m＝1是A⊆B的充分条件， 不是必要条件. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 5. 〔多选〕下列式子：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜1；④－1＜x ＜0.其中，是－1＜x＜1的充分条件的序号为（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 解析：∵－1＜x＜1，∴②③④是－1＜x＜1的充分条件. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 6. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. “A∩B＝B”是“B＝∅”的必要不充分条件 B. “x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0” C. “m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数” D. “｜x｜＝1”是“x＝－1”的充分条件 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解析：由A∩B＝B，得B⊆A，所以“B＝∅”可推出“A∩B＝B”，反之不成立，A正确；解方程x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，所以“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”，B正确；“m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不一定成立，C正确；解方程｜x｜＝1，得x＝±1，则“｜x｜＝1”是“x＝－1”的必要条件，D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 7. 若“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分条件，则实数m的 值为 ⁠. 解析：由“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分条件，所以 m2×22－（m＋3）×2＋4＝4m2－2m－2＝0，所以2m2－m－1＝（m－ 1）（2m＋1）＝0，解得m＝1或m＝－ . 1或－ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 8. 设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形” 是“AC⊥BD”的 条件（填“充分”或“必要”）. 解析：若“四边形ABCD”为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若 “对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四 边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件. 充分　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 9. 设命题p：k＞5，b＜5，命题q：一次函数y＝（k－4）x＋b－5的图 象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的 条件；q是p 的 条件（用“充分”或“必要”填空）. 解析：当k＞5，b＜5时，函数y＝（k－4）x＋b－5的图 象如图所示，此时一次函数y＝（k－4）x＋b－5的图象交 y轴于负半轴，交x轴于正半轴，所以p是q的充分条件，q 是p的必要条件. 充分　 必要　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 10. 指出下列命题中，p是q的充分条件，还是必要条件： （1）p：x2＝2x＋1，q：x＝ ； 解：因为x2＝2x＋1⇒/x＝ ，x＝ ⇒x2＝2x＋1，所以p是q的必要条件. （2）p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； 解：因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0⇒/a2＋b2＝0，所以p是q的充分条件. （3）p：x＞4或x＜－1，q：x≥4或x＜0. 解：因为p⇒q，但q⇒/p，所以p是q的充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 11. 设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条 件是（　　） A. x＋y＝2 B. x＋y＞2 C. x2＋y2＞2 D. xy＞1 解析：对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C、D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2＞2，xy＞1，但命题不成立. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 12. 〔多选〕一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正实数根的充分不必要条件是 （　　） A. n＝4 B. n＝－5 C. n＝－1 D. n＝－12 解析：设y＝x2＋4x＋n，则函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－2，要使得一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正实数根，则满足当x＝0时，y＜0，即n＜0，所以一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正实数根的充分不必要条件可以为B、C、D. 故选B、C、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 13. 已知集合A＝{x｜x＜－1或x＞2}，B＝{x｜2a≤x≤a＋3}，且 B≠∅.若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数a的取值范围 是 ⁠. 解析：因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A，因为B≠∅， 所以 或 解得a＜－4或1＜a≤3.综上可得， 实数a的取值范围是{a｜a＜－4，或1＜a≤3}. {a｜a＜－4或1＜a≤3}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 14. 在如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条 件？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 解：题图①中，闭合开关A或者闭合开关C都可以使灯泡B亮；反之，若 要使灯泡B亮，不一定非要闭合开关A，因此“闭合开关A”是“灯泡B 亮”的充分不必要条件. 题图②中，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮；反之，若要使灯泡 B亮，则开关A必须闭合，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充 分条件. 题图③中，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮；反之，灯泡B亮也 可不闭合开关A，只要闭合开关C即可，因此“闭合开关A”是“灯泡B 亮”的既不充分也不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（BSD） 目录 $