2027年重庆市高职对口招生《数学高频考点卷》（九）（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦重庆市高职对口招生数学高频考点，覆盖集合、数列、函数等核心模块，题型注重概念辨析与实际应用，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|选择1-3、13|集合关系、不等式性质、充要条件判断|从概念定义到性质应用，构建逻辑推理链| |函数与导数|选择9、11、21|单调性、函数求值、三角函数化简|从函数解析式到图像性质，结合方程求解| |几何应用|选择4、8、19、20|圆的对称、线面角、面积最值|从空间想象到代数建模，体现几何直观| |概率统计|选择7、14|分层抽样、概率计算|从数据收集到概率分析，培养数据意识| |数列|选择6、18|等差通项与求和|从基本量计算到前n项和公式应用|

2027年重庆市高职对口招生 数学 高频考点卷（九） 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.集合A={|}， B={|}，则下列关系正确的是（ ）. A. B. C. D. 答案：C 【考点】解方程、集合与集合的包含关系 【解析】 ，。 用于元素属于集合；用于集合之间。集合所有元素都属于，故。 故选 C。 2.下列式子中，不一定成立的是（ ）. A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 答案：D 【考点】不等式的基本性质 【解析】 A：不等式两边同时加同一个实数，不等号方向不变，成立。 B：不等式两边同时减去同一个实数，不等号方向不变，成立。 C：由可得，两边除以正数，得，成立。 D：当时，，由推不出，不一定成立。 故选 D。 3.“ ”是“是等比数列”的（ ）条件. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 【考点】充分条件、必要条件；等比数列定义 【解析】 若成等比数列，则，必要性成立。 取，满足，但不能构成等比数列，充分性不成立。 故 “” 是 “成等比数列” 的必要而不充分条件。 故选 B。 4.圆关于y轴对称的圆的标准方程为（ ）. A. B. C. D. 答案：C 【考点】圆的标准方程、点关于轴对称 【解析】 圆，圆心，半径。 点关于轴对称：纵坐标不变，横坐标取相反数，对称圆心，半径不变。 对称圆：。 故选 C。 5.已知 ，则 的大小关系为（ ）. A. B. C. D. 答案：A 【考点】指数函数、对数函数比较大小 【解析】 ； ； 所以。 故选 A。 6.等差数列中， ，，从第（ ）项起，前项和开始为负数. A. B. C. D. 答案：D 【考点】等差数列通项、等差数列前项和 【解析】 ，两式相减，代入得。 通项：。 前项和：。 令，，为正整数，。 ，不为负数；，故从第 17 项起前项和开始为负数。 故选 D。 7.某公司有职员100人，其中女员工60人，现采用按性别分层抽样的方法抽取一个样本，如果样本中有8名男职员，则样本容量为（ ）. A. B. C. D. 答案：B 【考点】分层抽样 【解析】 总职员 100 人，女 60 人，男职员人。 设样本容量为，抽样比； 样本男职员：，解得。 故选 B。 8.正方体中，直线与形成的角度为（ ）. A. B. C. D. 答案：C 【考点】正方体异面直线所成角 【解析】 正方体中，，异面直线与夹角等价。 都是面对角线，长度相等，为等边三角形，。 故选 C。 9.函数的单调递增区间为（ ）. A. B. C. D. 答案：A 【考点】二次函数单调区间 【解析】 ，二次项系数，开口向下； 对称轴。 开口向下，对称轴左侧单调递增，递增区间。 故选 A。 10.向量，点，，，则点的坐标为（ ）. A. B. C. D. 答案：C 【考点】平面向量坐标运算 【解析】 。 由，得，。 ，设，。 ，解得，即。 故选 C。 11.已知函数，若，则（ ）. A.  B.  C.  D. 答案：B 【考点】分段函数、分类讨论求值 【解析】 已知。 ①当： 。 指数函数的值恒大于 0，此情况无解。 ②当： 。 ，，代入第一段： 故选 B。 12.已知椭圆C:的左焦点为，经过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限内的点，，则椭圆的标准方程是（ ）. A. B. C. D. 答案：A 【考点】椭圆标准方程、椭圆定义、直角三角形三角函数 【解析】 椭圆， 。 将代入椭圆，得到。 在中，，，故。 由椭圆定义： 椭圆标准方程：。 故选 A。 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13.已知集合，，则________。 答案： 【考点】一元二次不等式、集合的并集运算 【解析】 解不等式，因式分解：，得。 。 故并集。 14.某教师去外地学习，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4，则该教师不乘轮船去的概率是________。 答案： 【考点】对立事件的概率 【解析】 乘轮船的概率为，“不乘轮船” 为对立事件。 故。 15.已知函数，则 ________。 答案： 【考点】抽象函数求解析式（换元法） 【解析】 令，则。 即。 将自变量替换为： 16.中，已知，，且是锐角，且是一元二次方程的一个根，则的面积________。 答案： 【考点】一元二次方程、同角三角函数关系、三角形面积公式 【解析】 解方程，因式分解，两根：，。 为锐角，，取。 三角形面积： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 44 分） 17.（8分）（本小题满分8分） 已知不等式 对一切实数恒成立，求实数的取值范围。 答案： 【考点】一元二次不等式恒成立，二次项系数分类讨论 【解析】 整理不等式： 移项合并： 该不等式对一切实数恒成立。 ①若，即，不等式化为，不能对全体实数成立，舍去。 ②若，必须满足二次函数开口向上，判别式小于 0： 化简：。 结合条件，解得。 故：实数的取值范围是 18.（8分）（本小题满分8分，（1）小问 4分，（2）小问 4分） 已知公差不为零的等差数列的首项为1，且,,是一个等比数列的前三项，记数列的前项和为，求： （1）数列的通项公式； （2）数列的前项和。 答案：(1)；(2) 【考点】等差数列通项，等比中项，分组求和 【解析】 (1) 等差数列首项，公差。 成等比数列，则。 ，，代入： 展开整理：。 ，故。 通项公式：。 (2) 前项和： 数列即，求前 20 项和， 两两分组： 故：(1) 数列的通项公式为；(2) 该数列前 20 项和为。 19.（8 分）（本小题满分 8 分，（1）小问 4分，（2）小问 4分） 小王想在自家院内靠墙一边（墙足够长）围一个矩形鸡圈，如图所示，小王现有长度为的围栏，设长为，矩形的面积为。 （1）写出与之间的函数关系式； （2）当的长度是多少时，矩形鸡圈的面积最大？并求此最大面积。 答案：(1)，定义域；(2)，最大面积 【考点】二次函数实际应用，围墙面积最值 【解析】 (1) 矩形一边靠墙，，围栏总长，则平行于墙的边长BC为。 面积：。 边长大于 0：， 故，定义域为。 (2) 展开函数：，二次项系数，开口向下。 对称轴：，，在定义域内。 将代入解析式为： 故：(1)；(2) 当长为时，矩形鸡圈面积最大，最大面积。 D A C B 第19题图 20.（10分）（本小题满分 10 分，（1）小问 4分，（2）小问 6分） 已知直线，圆C的圆心在轴正半轴上，圆与直线和轴均相切，求： （1）圆的标准方程； （2）若直线与圆C交于两点，且，求的值。 答案：(1)；(2) 【考点】圆的标准方程，直线与圆相交弦长，点到直线距离 【解析】 (1) 圆心在轴正半轴，设圆心。 圆与轴相切，半径；圆与直线相切，则。 所以，圆心，半径。 圆的标准方程：。 (2) 已知弦长，半弦长为，半径。 由圆的弦长几何关系，圆心到直线距离： 直线方程：，点到直线距离： ，得。 故：(1) 圆的标准方程为；(2)的值为。 21.（10分）（本小题满分 10 分，（1）小问 4分，（2）小问 6分） 已知函数，则： （1）把函数化为的形式，并求出最小正周期； （2）若方程在上有解，求实数的取值范围。 答案：(1)，最小正周期；(2) 【考点】 【解析】 利用二倍角公式： 辅助角公式： 这里 ， ，最小正周期 故，最小正周期 (2) 方程 在 上有解 方程等价于： 在 有解，即属于在区间上的值域。 由 令 ，则， 在 单调递增，单调递减。 当时，（最大值） 当时，（最小值） ， 因此： 所以要使 有解，则实数的取值范围为 故： (1) ，最小正周期； (2) 实数的取值范围是。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年重庆市高职对口招生 数学 高频考点卷（九） 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.集合A={|}， B={|}，则下列关系正确的是（ ）. A. B. C. D. 2.下列式子中，不一定成立的是（ ）. A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 3.“ ”是“是等比数列”的（ ）条件. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.圆关于y轴对称的圆的标准方程为（ ）. A. B. C. D. 5.已知 ，，，则 的大小关系为（ ）. A. B. C. D. 6.等差数列中， ，，从第（ ）项起，前项和开始为负数. A. B. C. D. 7.某公司有职员100人，其中女员工60人，现采用按性别分层抽样的方法抽取一个样本，如果样本中有8名男职员，则样本容量为（ ）. A. B. C. D. 8.正方体中，直线与形成的角度为（ ）. A. B. C. D. 9.函数的单调递增区间为（ ）. A. B. C. D. 10.向量，点，，，则点的坐标为（ ）. A. B. C. D. 11.已知函数，若，则（ ）. A.  B.  C.  D. 12.已知椭圆C:的左焦点为，经过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限内的点，，则椭圆的标准方程是（ ）. A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13.已知集合，，则________。 14.某教师去外地学习，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4，则该教师不乘轮船去的概率是________。 15.已知函数，则 ________。 16.中，已知，，且是锐角，且是一元二次方程的一个根，则的面积________。 三、解答题（本大题共 5 小题，共 44 分） 17.（8分）（本小题满分8分） 已知不等式 对一切实数恒成立，求实数的取值范围。 18.（8分）（本小题满分8分，（1）小问 4分，（2）小问 4分） 已知公差不为零的等差数列的首项为1，且,,是一个等比数列的前三项，记数列的前项和为，求： （1）数列的通项公式； （2）数列的前项和。 19.（8 分）（本小题满分 8 分，（1）小问 4分，（2）小问 4分） 小王想在自家院内靠墙一边（墙足够长）围一个矩形鸡圈，如图所示，小王现有长度为的围栏，设长为，矩形的面积为。 （1）写出与之间的函数关系式； （2）当的长度是多少时，矩形鸡圈的面积最大？并求此最大面积。 D A C B 第19题图 20.（10分）（本小题满分 10 分，（1）小问 4分，（2）小问 6分） 已知直线，圆C的圆心在轴正半轴上，圆与直线和轴均相切，求： （1）圆的标准方程； （2）若直线与圆C交于两点，且，求的值。 21.（10分）（本小题满分 10 分，（1）小问 4分，（2）小问 6分） 已知函数，则： （1）把函数化为的形式，并求出最小正周期； （2）若方程在上有解，求实数的取值范围。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $