31.3相似三角形的应用（第1课时）（导学案）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学导学案聚焦“相似三角形的应用（第1课时）”，通过复习相似三角形性质引入，结合泰勒斯测量金字塔高度等案例，搭建从性质到实际问题解决的学习支架，引导学生掌握利用相似三角形测量物体高度和宽度的方法。 资料特色在于强化实际问题向数学模型的转化，合作探究中的追问与典例分析中的历史问题（如《数书九章》测塔高），培养学生模型观念和推理意识，思维导图归纳解题步骤，结合中考题与分层作业，提升应用能力，发展数学眼光和思维。

31.3相似三角形的应用（第1课时） 导学案 一、学习目标 1.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度。 2.能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力，发展模型观念。 学习重点：利用相似三角形解决实际问题。 学习难点：将实际问题转化为相似三角形的数学模型。 二、学习过程 （一）复习引入 问题 相似三角形有哪些性质？ 相似三角形在测量和设计等活动中有着广泛的应用，本节课我们就应用它来解决问题. （二）合作探究 例1 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度.如图，木杆EF长2 m，测得木杆的影子FD=3 m，OA=201 m. 求金字塔的高度BO. 分析：两角分别相等→△ABO∽△DEF →对应边成比例. 解：太阳光是平行光线， 因此∠BAO=∠EDF. 又 ∠AOB=∠DFE=90°， ∴ △ABO∽△DEF. ∴ = . ∴BO= = = 134. 因此，金字塔的高度为134 m. 追问 如何测出OA的长？ 测量方法： 1.量出底面正方形的边长，算出中心O到边AB的距离； 2.测量金字塔影子顶端A到边AB的距离； 3.将上面两段距离相加，就得到了OA的长度. 例2 如图，左、右并排的两棵树的高分别为AB=8 m和CD=12 m，两树底部的距离BD=5 m，一个人估计自己眼睛距地面1.6 m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于或等于多少米时，就看不到右边较高的树的顶端C了？ 分析：如图，观察者从左向右前进时，由于两棵树的遮挡，区域I 和Ⅱ都看不到.当她眼睛的位置与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上时及其之后，就看不到右边较高树的顶端C了 . 追问1 图中含有相似三角形吗？如何证明？ 答：△AEH∽△CEK.利用“两角分别相等”证明两个三角形相似. 追问2 要想得到问题的答案，需要求出EH的长度，你能计算出哪些线段的长度？（具体数值或用含EH的式子表示） 答：EF=HB=KD=1.6，HK=BD=5； AH=8-1.6=6.4；CK=12-1.6=10.4； EK=EH+5. 解：如图，假设观察者从左向右走到点F时 ，她眼睛的位置与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上.设此时观察者眼睛的位置为点E，画出观察者的水平视线EG，分别交AB，CD于点 H，K. ∵ AB⊥l，CD⊥l， ∴AB//CD. ∴ △AEH∽△CEK. ∴ = . 即 = . 解得EH=8. 因此，观察者从左向右前进，当她与左边树的距离小于或等于8 m 时，由 于左边树的遮挡，她看不到右边树的顶端C. 归纳 利用相似三角形解决实际问题的一般步骤： （三）典例分析 例1 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ B   ） A． B． C． D． 例2 在某地的同一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，一栋楼的影长为60 m，这栋楼的高度是多少？ 解：设这栋楼的高度为x m. ∵同一时刻、同一地点，太阳光为平行光线，物体高度与影长的比值相等， ∴ = ，解得：x=36. 答：设这栋楼的高度为36 m. 例3 如图，AB⊥BC，CE⊥BC，垂足分别为 B，C.测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m. 求河宽AB. 解：∵ AB⊥BC，CE⊥BC，∴AB//CE. ∴ △ABD∽△ECD. ∴ = . 即 = . 解得AB=100. 答：河宽AB为100 m. 例4 在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，求塔的高度． 解：如图，过作于，交于， 则，，，， ∴，   ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）. 答：塔的高度为18.2米. （四）巩固练习 1．泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（  D  ） A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似 2．如图，小明探究课本“综合与实践”版块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（ C）mm A． B． C． D． 3．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 4．在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，求树高. 解：如图所示，连接，过点E作于点F， 由题意，米，米，米， 则（米）， 设米， 由题意，得， 解得：， ∴（米）． 答：树高为6.36米. （5） 归纳总结 归纳 利用相似三角形解决实际问题的一般步骤： （六）感受中考 1．（2026年贵州）如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（  B   ） A． B． C． D． 2．（2024年江苏镇江）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（  D  ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 3．（2025年四川绵阳）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为___10___m． （七）布置作业 1.必做题：习题31.3 第1，2，3题. 2.探究性作业：习题31.3 第6题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 31.3相似三角形的应用（第1课时） 导学案 一、学习目标 1.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度。 2.能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力，发展模型观念。 学习重点：利用相似三角形解决实际问题。 学习难点：将实际问题转化为相似三角形的数学模型。 二、学习过程 （一）复习引入 问题 相似三角形有哪些性质？ 相似三角形在测量和设计等活动中有着广泛的应用，本节课我们就应用它来解决问题. （二）合作探究 例1 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度.如图，木杆EF长2 m，测得木杆的影子FD=3 m，OA=201 m. 求金字塔的高度BO. 分析：两角分别相等→ → . 解： 追问 如何测出OA的长？ 例2 如图，左、右并排的两棵树的高分别为AB=8 m和CD=12 m，两树底部的距离BD=5 m，一个人估计自己眼睛距地面1.6 m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于或等于多少米时，就看不到右边较高的树的顶端C了？ 分析：如图，观察者从左向右前进时，由于两棵树的遮挡，区域I 和Ⅱ都看不到.当她眼睛的位置与两棵树的顶端A，C 时及其之后，就看不到右边较高树的顶端C了 . 追问1 图中含有相似三角形吗？如何证明？ 追问2 要想得到问题的答案，需要求出EH的长度，你能计算出哪些线段的长度？（具体数值或用含EH的式子表示） 解： 归纳 利用相似三角形解决实际问题的一般步骤： 思维导图 （三）典例分析 例1 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（     ） A． B． C． D． 例2 在某地的同一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，一栋楼的影长为60 m，这栋楼的高度是多少？ 例3 如图，AB⊥BC，CE⊥BC，垂足分别为 B，C.测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m. 求河宽AB. 例4 在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，求塔的高度． （四）巩固练习 1．泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（    ） A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似 第1题图 第2题图 2．如图，小明探究课本“综合与实践”版块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（ ）mm A． B． C． D． 3．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 第3题图 第4题图 4．在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，求树高. （5） 归纳总结 归纳 利用相似三角形解决实际问题的一般步骤： （六）感受中考 1．（2026年贵州）如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（      ） A． B． C． D． 2．（2024年江苏镇江）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（     ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 第1题图 第2题图 第3题图 3．（2025年四川绵阳）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为______m． （七）布置作业 1.必做题：习题31.3 第1，2，3题. 2.探究性作业：习题31.3 第6题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $