31.3相似三角形的应用（第1课时）（教学课件）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦相似三角形的应用，核心知识点为利用相似三角形测量不能直接测量的物体高度和宽度。课堂导入通过复习相似三角形的性质及相似图形知识体系，搭建从性质到应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于结合泰勒斯测金字塔高度等历史典故及《数书九章》《孙子算经》中的古代问题，将实际问题转化为相似三角形模型，培养模型观念与推理意识。采用合作探究、典例分析及中考题链接，提升学生应用能力，为教师提供系统教学资源，助力高效教学。

31.3 相似三角形的应用 （第1课时） 第三十一章 相似 人教版九年级下册 学习目标 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度. 一 能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力，发展模型观念. 二 1 复习引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 复习引入 三角形 边 构成元素 对应角相等 对应边成比例 相关元素 角 高、中线、角平分线 周长 面积 对应线段的比等于相似比 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 问题 相似三角形有哪些性质？ 复习引入 相似 相似多边形 从一般到特殊 相似三角形 相似图形 三角形相似的判定 平行线分线段成比例 预备定理 判定定理 性质定理 应用 相似三角形在测量和设计等活动中有着广泛的应用. 合作探究 例1 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度.如图，木杆EF长2 m，测得木杆的影子FD=3 m，OA= 201 m. 求金字塔的高度BO. 2 3 201 ？ 两角分别相等 △ABO∽△DEF 对应边成比例 判定 性质 解：太阳光是平行光线， 因此∠BAO=∠EDF. 又 ∠AOB=∠DFE=90°， ∴ △ABO∽△DEF. ∴ = . ∴BO= = = 134. 因此，金字塔的高度为134 m. 合作探究 2 3 201 ？ 如何测出OA的长？ 测量方法： 1.量出底面正方形的边长，算出中心O到边AB的距离； 2.测量金字塔影子顶端A到边AB的距离； 3.将上面两段距离相加，就得到了OA的长度. 合作探究 合作探究 例2 如图，左、右并排的两棵树的高分别为AB=8 m和CD=12 m，两树底部的距离BD=5 m，一个人估计自己眼睛距地面1.6 m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于或等于多少米时，就看不到右边较高的树的顶端C了？ 分析：如图，观察者从左向右前进时，由于两棵树的遮挡，区域I 和Ⅱ都看不到.当她眼睛的位置与两棵树的顶 端 A，C 恰在一条直线上时及其之后，就看不到右边较高树的顶端C了 . 合作探究 追问1 图中含有相似三角形吗？如何证明？ 答：△AEH∽△CEK.利用“两角分别相等”证明两个三角形相似. 追问2 要想得到问题的答案，需要求出EH的长度，你能计算出 哪些线段的长度？（具体数值或用含EH的式子表示） 答：EF=HB=KD=1.6，HK=BD=5； AH=8-1.6=6.4；CK=12-1.6=10.4； EK=EH+5. 1.6 5 8 12 解：如图，假设观察者从左向右走到点F时 ，她眼睛的位置与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上.设此时观察者眼睛的位置为点E，画出观察者的水平视线EG，分别交AB，CD于点 H，K. ∵ AB⊥l，CD⊥l， ∴AB//CD. ∴ △AEH∽△CEK. ∴ = . 即 = . 解得EH=8. 因此，观察者从左向右前进，当她与左边 树的距离小于或等于8 m 时，由 于左边树 的遮挡，她看不到右边树的顶端C. 合作探究 合作探究 利用相似三角形解决实际问题的一般步骤： 实际问题 数学问题 (相似三角形) 抽象 判定三角形相似 列比例式(方程) 解方程 数学问题 的答案 实际问题 的答案 目标 典例分析 例1 如图，某零件的外径为10 cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA:OC=OB:OD=3，且量得CD= 3 cm，则零件的厚度x为（    ） A．0.3 cm B．0.5 cm C．0.7 cm D．1 cm B 解：设这栋楼的高度为x m. ∵同一时刻、同一地点，太阳光为平行光线，物体高度与影长的比值 相等， ∴ = ，解得：x=36. 答：设这栋楼的高度为36 m. 典例分析 例2 在某地的同一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，一栋楼的影长为60 m，这栋楼的高度是多少？ 典例分析 例3 如图，AB⊥BC，CE⊥BC，垂足分别为 B，C.测得BD=120 m，DC= 60 m，EC=50 m. 求河宽AB. 解：∵ AB⊥BC，CE⊥BC，∴AB//CE. ∴ △ABD∽△ECD. ∴ = . 即 = . 解得AB=100. 答：河宽AB为100 m. 典例分析 例4 在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC=20米，CE=10米，CD=7米，EF=1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D， 可求出塔的高度．根据以上信息， 求塔的高度． 解：如图，过F作FQ⊥AB于Q，交CD于H， 则FH=CE=10，QH=AC=20，FQ=AE=AC+CE=30，EF=CH=AQ=1.4， ∴DH=7−1.4=5.6， ∵DC∥BA， ∴△FDH∽△FBQ， ∴DH:BQ=FH:FQ， ∴10:30=5.6:QB， 解得：QB=16.8，经检验符合题意； ∴AB=AQ+QB=1.4+16.8=18.2（米）， 答：塔的高度为18.2米. 典例分析 巩固练习 1.泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（    ） A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似 D 巩固练习 2.如图，小明探究课本“综合与实践”版块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“E”字高度为（ ）mm A．4.36 B．29.08 C．43.62 D．121.17 C 巩固练习 3.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶 端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 巩固练习 4.在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，求树高. 巩固练习 解：如图所示，连接AE，过点E作EF⊥AB于点F， 由题意，DE=0.2米，CD=BF=0.3米，BC=DF=3.84米， 则EF=DE+DF=3.84+0.2=4.04（米）， 设AF=x米， 由题意，得x:4.04=0.9:0.6， 解得：x=6.06， ∴AB=AF+FB=6.06+0.3=6.36（米）． 答：树高为6.36米. 归纳总结 利用相似三角形解决实际问题的一般步骤： 实际问题 数学问题 (相似三角形) 抽象 判定三角形相似 列比例式(方程) 解方程 数学问题 的答案 实际问题 的答案 目标 感受中考 1.（2026年贵州）如图，小红利用标杆DE测量学校旗杆BC的高度，标杆DE高3 m，测得AE=6 m，BE=18 m，则旗杆BC的高度是（     ） A．9 m B．12 m C．18 m D．24 m B 感受中考 2.（2024年江苏镇江）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长CD=3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 D 感受中考 3.（2025年四川绵阳）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10 m远的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2 m至A点时，看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D，测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6 m，竹竿CD长3 m，则大树的高度EF为_______m． 10 小结梳理 相似 相似多边形 从一般到特殊 相似三角形 相似图形 三角形相似的判定 平行线分线段成比例 预备定理 判定定理 性质定理 应用 测量物体的高度和宽度 布置作业 必做题：习题31.3 第1，2，3题. 1 探究性作业：习题31.3 第6题. 2 人教版九年级下册 谢谢观看！ $