第1章 丰富的图形世界&第2章 有理数及其运算（专题专练）-【高效课堂】2026-2027学年七年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

不唯一，合理即可) 24人数（人 6.(1)这次调查是抽样调查 (2)已知收回调查表中，对社会 治安提出意见有540份，占回 12 1 收调查表的45%.则这次共收 回调查表为，540 0.45 =1200份. ☐身高(m) (3)1200×5%=60人，提道路 156516051645168517761765105 交通的人比提环境保护的多 (3)身高在1.695~1.755m之 60人. 间的男生所占的百分率为 (4)市民对社会治安意见较大， 0十 100%=44%;在1.695~ 对环境保护比较满意， 6.3数据的表示 1.755m之间的人数约有450× 第1课时扇形统计图 44%=198(人). 10.(1)135 1.A2.B3.C4.C5.72 6.40%7.60 (2)①居民月平均用水量大部 8.A=28-7-14=7, 分在2.0到6.5之间；②居民 月平均用水量在3.5<x≤5.0 7 优：28×360°=90； 范围内的最多； (3)要使60%的家庭收费不受 14 良：28×360°=180； 影响，家庭月均用水量应该定 为5吨，因为月平均用水量不 7 轻度污染：28×360°=90°， 超过5吨的有30户，则30÷ 50=60% 9.(1)50(2)8 5 第3课时统计图的选择 (3)360°×15 1.A2.A3.D4.C 50 108; 5.扇形条形折线 (4)1200× 10 =240(人) 6.1.41.647 50 7.(1)4103 答：该校1200名学生中最喜爱 (2)补图略 “相声”的学生大约有240人： (3)估计八年级及格人数为1000 10.(1)A品牌牛奶的主要竞争优 势是质量好，因为对此品牌牛 ×4+10+8=880(人)； 25 奶的质量满意的用户最多，而 (4)扇形 对其广告、价格满意的用户不 8.(1)5(2)5012 是最多； (3)72 (2)广告对用户选择品牌有影 :9.(1)90÷30%=300(名)，故 响，因为对于B、C两种品牌的 共调查了300名学生： 纯牛奶在质量和价格上顾客 (2)艺术的人数：300×20%= 满意率是相同的，但由于B品 60(名)，其他的人教：300× 牌牛奶广告做得好，所以销量 106=30(名)，补图略. 比C品牌大； (3)厂家C在提高质量和降低 (3)体育部分所对应的圆心角 价格的同时，加大宣传力度， 重视广告效用」 的度数为：0×360=48 第2课时频数直方图 (4)1800 300=480(名). 80 1.C2.B3.C4.D5.6 6.14≤x197.30 章末考点整合与素养提升 1.③2.C 8.如图所示. 从频数分布直方图上可得上班 3.七年级学生的视力情况25名 时间和下班时间闯红灯的人数 学生的视力情况 4.C5.B 较多」 32近数/车 6.(1)600(2)补图略 (3)根据统计图给出的数据，得 出结论合理即可.例如：跑步的 占比是总体的40%，在所有运 动项目中占比最多，所以我认 为跑步项目的场地需要加大 投入. 7.(1)补全直方图略.5018 10 24161820时间/点 18 9.(1)2412228250 (2)200×30%=60(人)， (2)频数直方图如下： 答：估计该年级成绩为优的有 60人： 61 (3)因为优秀率偏低，所以建议： 口自然增长率逐年下降；自 平时加强汉字的听写 2021年起，我市人口呈现负增 8.(1)根据题意可知，人口自然增 长（答案不唯一，合理即可）； 长率一出生率一死亡率 ②建议国家加大政策优惠力度 (2)5%a=11450,解得 a 和补贴力度，降低生育成本，鼓 =2290000. 励人们多生育（答案不唯一，合 (3)①近5年来，我市及全国人 理即可). 夹册《提分专练》参考答案 第一章丰富的图形世界 6 专练01正方体的展开图与三视图2.13： 典例导练 3.1. D 专练05有理数的运算技巧（二） 知能检测 加减乘除混合运算 1.A2.B3.1015 知能检测 第二章有理数及其运算 1.(1)-1. (2)100. (3)-7. 专练02数轴、相反数、绝对值 典例导练 (4)-2 91 (5)-2392 示范题1 (6)0 (1)略. (2)由题意，在数轴上表示为： 2.原数的倒数为(-是吕+品》 (c) -ba】 (b)(-c) 0 ÷1 c<-b<a<-a<b<-c. 品-(-￥号+)×36 示范题2 =-27-8+15=-20. ③④ 原式=一20 知能检测 1.D 专练06有理数的实际应用 2.(1)> < > 典例导练 (2)0 一1 (1)100×3+10一6-8=296（个）， (3)数轴如图所示： 答：前三天共生产296个， -b c (2)18一(-12)=18+12=30（个）， 答：产量最多的一天比产量最少的 按从小到大的顺序排列为：c<b 一天多生产30个. <a=-b< (3)这一周多生产的总个数是10一 专练03 绝对值的性质及其运用 6-8+15-12+18-9=8(个)，10 典例导练 ×700+12×8=7096(元). 示范题1 B 答：该厂工人这一周的工资是 示范题2 7096元. (1)|a=9,|b=3,∴.a=±9，： 知能检测 b=±3，|a-b1=b-a,∴.b>a, (1)根据题意，得：+175+（一30）+ ∴.b=±3，a=-9,①当a=-9,b= (+210)+(-50)+(+150)+(+ -3时，a+b=-12;②当a=-9,:30)+(一35)=450(m),500-450 b=3时，a十b=一6.综上所述：a十 =50(m). b=-12或-6. (2)175+30+210+50+150+30+ 知能检测 35=680(m),680×6÷100×0.5= (1)±56或一4(2)7或一3 20.4(L) (3),|a+1=2,∴.a+1=2或a+ 专练07乘方与数式规律 1=-2,解得a=1或a=-3, 典例导练 |2b-1|=7,∴.2b-1=7或2b- (1)512(-1)+1×2 1=-7,解得b=4或b=-3, (2)由题意，可知第一行第8个数 .'a<b,∴.a=1,b=4或a=-3,b 为：-28=-256，即a=-256,第二 =4, 行第8个数为：一256十1=一255， ∴.a+|b=1十4=5或a十|b即b=-255,第三行第8个数为： =3+4=7,∴.|a|+|b|的值为5 -[(-256)+(-255)]=511,即 或7. c=511,所以a一2b十c=一256一 (4).|a+3|与|b-5|互为相反数，2×(-255)+511=-256+510+ .a+3=0,b-5=0,解得a=-3,b:511=765 =5, 知能检测 ..1a-b=-3-5=8. (1)第①行数是：（一3）1，(-3)2， 专练04 有理数的运算技巧（一） (一3)3，（一3）4，…（一3）"，用式子表 加减运算 示规律为：（一3）”， 知能检测 (2)第②行数是第①行数相应的数 (2) 69 1.(1)6. 101 乘-子，即-号×(-3)，第③行数 的比第①行的数大1，即（一3）”十1. 62 (3)由题意，可知x=(一3)2024，y= 2=8. 3×(-3)2,之=(-3)024+1，所 第二章整式及其加减 专练11 整式及其应用（一） 以z+6y+g=3+6×(-3)× 利用整体思想求代数式的值 典例导练 32024+32024+1=32024X2-2X32024+ 示范题112 1=0+1=1 示范题2 专练08数轴与点的距离 由题意，得35p+33g+1=2024, 典例导练 ∴.3p+33q=2023.当x=-3时， (1)③ 代数式px+qx3+1=(-3)5力十 (2)因为AC=5,BC=3,所以AB=2, (-3)3g+1=-35力-33g+1 因为b=一1，所以a=一1一2=一3. -(35p+3q)+1=-2023+1= 知能检测 -2022. (1)-3 1 -4 知能检测 (2)因为点B为原点，AC=9,AB= 1.(1)-6 (2)3 2BC,所以点A所对应的数为一6,2.(1)原式=-2(x十1)=一2x-2。 点C所对应的数为3，所以m= -6 当x=一7时，原式=14一2=12. +3+0=-3. (3)因为原点O到点C的距离为6， (2).m-n=2,∴.n-m=-2, 所以点C所对应的数为士6，因为 .∴.2(n-m)-4m+4n-3=2(n-m) OC=AB,所以AB=6,①当点C对 +4(n-m)-3=6(n-m)-3=6× 应的数为6，因为AB=6,AB= (-2)-3=-15. 2BC,所以BC=3,所以点B所对应 (3)9 的数为3，点A所对应的数为一3， 专练12整式及其应用（二） 所以m=3-3+6=6; 利用整式的有关概念求值 ②当点C所对应的数为一6，因为 典例导练 AB=6,AB=2BC,所以BC=3,所 示范题 以点B所对应的数为一9，点A所 (1)由题意，得2+m十1=6,2n+5 对应的数为一15，所以m=一15一9 一m=6,解得：m=3,n=2. -6=-30. (2)原多项式为：-5x2y+xy 综上所述m=6或一30. 3x3-6,将该多项式按x的降幂重 专练09数轴与动点问题 新排列为：一3x3一5x2y4十xy2一6. 典例导练 知能检测 (1)|a=5,|b=2,.a=士5，b 1.(1)由题意，得2a-1=7,b+2= =土2，由数轴得，a<0,b<0,.a 4,解得a=4,b=2,a°=42=16. -5,b=-2. (2)由题意，得|a=3,a一3≠0， (2)-2-(-5)=-2+5=3,即A, b十2=0， B两点相距3个单位长度. .a=-3,b=-2,a2-3ab+b2= (3)由题意得，一5-1十2一3十4-… (-3)2-3×(一3)X(一2)+ -2021+2022-2023+2024=-5+ (-2)2=-5. (-1+2)+(-3+4)+…+:2.(1)6m-14n+2 (-2021+2022)+(-2023+2024)= (2)由题意，得6m一1=0,4n十 -5+1012=1007. 1 所以点P表示的数为1007. 2=0,∴.m= 6,n= 2,.3m+ 知能检测 2-6π 2n=一2 专练10绝对值与最值问题 专练13 典例导练 整式的加减（一） (1)7 1 整式的化简与求值 典例导练 (3)-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 示范题1 (4)有，最小值为6一3=3. 知能检测 原式=5x2-2y-8xy+2y-5.x2= 1.-5≤x2 -8xy,1x+81+(y-1)2=0, 2.(1)42 (2)|x-3+|x-2|+|x+1|+ .x=- |x+2=(x-3|+|x+2|)+ 8y=1,当x=-8y=1 (x-2+x+1|)要使|x一3+ 时，原式=-8×(-8)×1=1 x+2的值最小，x的值取一2到 3之间（包括一2、3）的任意一个 示范题2 数，要使x一2十x十1的值最 x3+ax2+2x-3-bx-5x2=x3+ 小，x取-1到2之间（包括一1、(a-5)x2十(2-b)x-3,由题意，得 2)的任意一个数，显然当x取一1a-5=0,2-b=0,解得：a=5,b= 到2之间（包括一1、2）的任意一 2,.∴.3(a2-2b2+3)-2(a2-3b+ 个数能同时满足要求，不妨取xab-4)=3a2-6b十9-2a2十6b =0代入原式，得|x-3|+|x-22ab+8=a2-2ab+17=52-2×5× 1+|x+11+|x+2|=3+2+1+2+17=22 63第一章丰富的图形世界 专练01正方体的展开图与三视图 【方法规律】正方体的展开图有11种，其中同颜色的是正方体中相对的面. 141型有6 231型有 3 333型有1种T 典例导练 示范题 如图所示，正方体的展开图为 B 【思路点拨】根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可， 知能检测 1.如图，是一个无盖正方体盒子，盒底标有一个字母，现沿箭头所指方向将盒子剪开， 则展开后的图形是 2.把如图所示的正方体展开，得到的平面展开图可以是 3.如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体从正面和上面看到的形状图，则搭成这个 几何体最少需要 个小正方体，最多需要 个小正方体. 从正面看 从上面看 2 第二章有理数及其运算 专练02数轴、相反数、绝对值 【方法规律】有关相反数，绝对值的问题，有时儒借助数轴这个“形”的工具来表示出 对应的数，体现“数”与“形”的完美统一 典例导练 示范题1已知有理数a<0,b>0,c<0,且|c>b>|a. (1)请在数轴上将a,b,c,一a,一b,一c填入相应的括号中. (2)试比较a,b,c,-a,-b,-c的大小. ()(X)()（) 0 【思路点拨】根据已知条件把a,b,c,一a,一b,一c在数轴上表示出来，再比较即可. 【自主解答】 示范题2已知a,b为有理数，下列说法：①若a,b互为相反数，则号=一1，②若a =b,则a=b;③若数轴上表示数a,b的点到原点的距离相等，则a=b:④a>b, 且a大于其相反数，则a>b.其中正确的结论有 (填序号). 【思路点拨】根据相反数、绝对值的定义逐项判断即可.注意①中a≠O. 之知能检测 1.有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是 a A.-b>a B.ab C.a<b D.-a>b 2.已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，且a=b. (1)a 0,b 0,c 0,a b,c b(用“>”、“=”或“<”填空). (2)a+b= (3)在数轴上标出一b与一c,试比较a,b,c,一b,一c的大小（按从小到大的顺序排列）. C 专练03绝对值的性质及其运用 【方法规律】 (1)若几个非负数的和为0，则这几个数都为0. (2)去掉绝对值的关键是要判断绝对值内的式子是正数，0，还是负数. )典例导练 模型一 若|a十b=0,则a=0,b=0 示范题1已知a十2|与2b一4|互为相反数，则a一b的值为 A.-6 B.6 C.-2 D.2 【思路点拨】根据互为相反数的两个数的和等于0，即可得出|α十2十2b一4=0，再 根据非负数的性质列式求出α、b的值，然后代入代数式进行计算即可. 模型二若|a=a,则a≥0；若|a=一a,则a≤0 示范题2已知|a=9,|b=3,则|a-b=b-a,求a+b的值 【思路点拨】根据绝对值的定义，可得互为相反数的两个数（α=士9，b=士3），再根据 a一b=b一a,可得b>a,确定a,b的取值，根据有理数的加法求解. 【自主解答】 知能检测 (1)数轴上点A表示的数为a. ①若点A到原点的距离为5，则a= ;②若点B的数为1，点A到点B的距离 为5，则a (2)若a-2=5,则a= (3)若a+1=2,2b-1|=7,a<b,求|a+|b1的值. (4)若a+3与b一5互为相反数，求a一b的值. 专练04有理数的运算技巧（一）加减运算 【方法规律】根据题目的特点，运用一些适当的计算技巧：对消与凑整、归类与组合、 裂项相消法等。 之知能检测 技巧一对消与凑整 1.计算： 10(-0.5)-（-31)+3.75-(+2).(2)-号-1-12-(+24)-(+2.75). 技巧二裂项相消法 2计算：六十十十购十太十 技巧三归类与组合 3.计算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+2018-2019-2020+2021. C 专练05有理数的运算技巧（二）加减乘除混合运算 【方法规律】有理数的乘除及混合运算，通常可采用交换律、结合律、分配律、变序、逆 用、拆项等方法， 之知能检测 技巧一 乘法运算律正反用 1.计算： 1(-5)÷(-1)×号×(-2)÷7 (2)25X(-0.125)×(-40×(-)×(-8)X1 3(日号+日)×(-. ④号×（号+）. (5)1 23×(-12). 64X(-7号)+4X5-4÷() 技巧二倒数法 2.计算：0÷(}-号+). 专练06有理数的实际应用 【方法规律】理解正负数、绝对值在实际生活中的意义，通过有理数的运算来解决实 际问题， ⑦典例导练 示范题 某厂一周计划生产700个玩具，平均每天生产100个，由于各种原因实际 每天生产量与计划量相比有出入，如表是某周每天的生产情况（增产为正，减产为负，单 位：个)： 星期 二 三 四 五 六 日 产量 +10 -6 +15 -12 +18 -9 (1)根据记录，前三天共生产多少个？ (2)请问产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？ (3)该厂实行计件工资制，每生产一个玩具10元，若按周计算，超额完成任务，超出 部分每个12元；若未完成任务，生产出的玩具每个只能按8元发工资，那么该厂员工这 一周的工资总额是多少？ 【思路点拨】(1)三天的计划总数加上三天多生产的个数的和即可；(2)求出超产的最 多数与最少数的差即可；(3)求得这一周生产的总个数，然后按照工资标准求解. 【自主解答】 知能检测 某登山队6名队员以大本营为基准，向距离大本营500m的顶峰前进，由于天气骤变， 攀登过程中不得不几次下撤躲避强高空风.记向上爬升的海拔高度为正数，向下撤退 时下降的海拔高度为负数，这次登山的行程记录如下（单位：m):+175,一30，+210， -50,+150,+30,-35, (1)他们最终有没有登上顶峰？若没有，他们距离顶峰还有多少米？ (2)登山时，6名队员在行进中全程均使用了氧气，每人每100m消耗氧气0.5L,他们 共使用了多少升氧气？ 专练07乘方与数式规律 【方法规律】从特殊到一般的数学思想：从特殊中找规律，得出一般结论 )典例导练 示范题观察下面三行数： 2,-4,8,-16,32,-64,… 3,-3,9,-15,33,63,… -5,7,-17,31,-65,127,… (1)第一行的第9个数是 ,第一行的第n个数是 (2)取每一行的第8个数，分别记为a,b,c,求a一2b十c的值. 【思路点拨】(1)观察各数可知其规律：第几个数是2的几次方，且偶数个数是负的， 即可得出答案；(2)由(1)可知a,第二行的数是在第一行数的基础上十1，即可得出b,第 三行的数是将前两行的数相加，再求相反数即可得出c,然后代入计算即可. 【自主解答】 心知能检测 观察下面三行数： -3,9,-27,81,…;① 1,-3,9,-27,…;② -2,10,-26,82,….③ (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)设x,y,z分别为第①②③行的第2024个数，求x+6y+之的值： 8 专练08 数轴与点的距离 【方法规律】理解在数轴上，点A所表示的数为xA,点B所表示的数为xB,则A,B之 间的距离为|xA一xB.特别地，当点A在点B的右侧时，A,B之间的距离为xA一xB.距 离与方向（正负）无关，其结果都是正的. 典创导练 示范题如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A,B,C把数轴分成①②③④ 四部分，点A,B,C对应的数分别是a,b,c,已知bc<0 ① ②③ ④ (1)原点在第 部分 (2)若AC=5,BC=3,b=-1,求a的值. 【思路点拨】(1)先根据题意，b,c的大小关系，再根据原点在正、负数之间求解； (2)先求AB的值，再根据向左就减求解. 【自主解答】 心知能检测 如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有三个点A、B、C;其中AB=2BC,设点A、 B、C所对应数的和为m. (1)若点C为原点，BC=1,则点A对应的数为 ,点B对应的数为 ,m 的值为 (2)若点B为原点，AC=9,求m的值. (3)若原点O到点C的距离为6，且OC=AB,直接写出的值. B C 专练09 数轴与动点问题 【方法规律】数轴上的动点问题一定要结合数轴进行分析，点在数轴上运动时，由于 数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负 速度.这样在起点的基础上加上，点的运动路程就可以直接得到运动后的位置.即一个点 表示的数为a,向左运动b个单位长度后所表示的数为a一b;向右运动b个单位长度后所 表示的数为a十b. )典例导练 示范题a,b分别是数轴上两个不同点A,B所表示的有理数，且|a=5,b=2, A,B两点在数轴上的位置如图所示. (1)试确定数a,b. (2)A,B两点相距多少个单位长度？ (3)点P从点A出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左 移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，依次操作2024次后，求点P表示的数. A B a 【思路点拨】(1)根据绝对值的定义求出a、b的值，再根据数轴确定a、b的符号，即可 求出α、b的值；(2)根据数轴上两点之间的距离公式计算即可；(3)根据数轴上点的移动 规律列出式子，然后计算即可. 【自主解答】 之知能检测 如图，半径为1的圆放在数轴上，点A表示的数是2，将圆沿数轴向 左侧转动三周，点A转动后表示的数是 10 专练10 绝对值与最值问题 【方法规律】利用数形结合及分类讨论思想解决绝对值最值问题. )典例导练 示范题同学们都知道，5一（一2）表示5与一2之差的绝对值，实际上也可理解为 5与一2两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索 (1)5-(-2)1= (2)同样道理x+4=|x一2表示数轴上有理数x所对点到一4和2所对的两点距 离相等，则x= (3)类似的x+5|+|x一2表示数轴上有理数x所对点到一5和2所对的两点距离 之和，请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+5+x一2=7，这样的整数是 (4)由以上探索猜想对于任何有理数x,x一3十x一6是否有最小值？如果有，写 出最小值；如果没有，说明理由 【思路点拨】(1)5与一2两数在数轴上所对的两点之间的距离为5一（一2）=7； (2)在数轴上，找到线段AB(点A表示的数一4，点B表示的数2)的中点表示的数即 可求解； (3)利用数轴解决：把x十5十x一2=7理解为：在数轴上，某点到一5所对应的点 的距离和到2所对应的，点的距离之和为7，然后根据数轴可写出满足条件的整数x; (4)把x一3十|x一6理解为：在数轴上表示x到3和6的距离之和，根据线段上的 点到这两，点的距离最小，求出表示3和6的两点之间的距离即可. 【自主解答】 知能检测 1.要使代数式|x十5十x一2取最小值时，相应的x的取值范围是 2.(1)x-3十|x-2十|x十1|的最小值为，此时x的值为 (2)x一3+|x一2+|x+1|+|x+2的最小值为，此时x的取值范围为