专题08 三角函数（专项训练）（上海专用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 以正弦型函数为核心载体，通过“五步法”等系统方法整合图象性质、恒等变换与跨模块应用，构建从真题研析到模拟预测的备考体系，培养数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数的图象与性质|6道真题+多道模拟题|“五步法”（振幅、周期等）、双问结构突破（送分+区分）|从基础性质到导数结合，构建“概念-性质-应用”链条| |三角函数的应用|2道真题+模拟题|情境建模（物理/几何测量）|从文字情境提取三角关系，体现数学眼光与应用意识| |三角恒等变换|3道真题+模拟题|公式熟练运用与计算准确性|基础公式到向量融合，强调数学语言表达的简洁性|

专题08 三角函数 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1. 载体高度集中：正弦型函数f(x)=Asin(ωx+φ)是绝对核心载体，6道图象与性质题中有4道直接以此为载体，占比67%。复习时应将正弦型函数的"五步法"（振幅、周期、相位、平移、值域）作为重中之重。 2. 解答题范式固定：春考第17题（2024）与第19题（2026）均采用"第一问求切线/值域（6分送分）+第二问零点个数求参数范围（8分区分）"的双问结构，设问梯度清晰，区分度集中在第二问。 3. 应用题位置稳定：三角函数应用固定出现在填空题第11—12题，分值5分，情境多为物理运动或几何测量，要求考生具备从文字情境中提取三角关系的能力。 4. 恒等变换重基础：三角恒等变换题多为填空题前6题（4分档）或与向量结合的中档题，不追求复杂技巧，强调公式的熟练运用与计算准确性。 5. 跨模块融合明显：2025秋考第12题（向量+三角）、2026秋考第11题（导数+三角+物理）体现了上海卷"在知识交汇处命题"的特色，单一知识点的纯记忆型题目已基本绝迹。 三角函数的图象与性质 2026秋考第11题 2026春考第19题 2025秋考第5题 2025春考第16题 2024秋考第14题 2024春考第17题 三角函数的应用 2026春考第12题 2025秋考第11题 三角恒等变换 2026秋考第3题 2025秋考第12题 2025春考第5题 1. 正弦型函数仍是核心：f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与性质（值域、周期、零点、单调性、对称性）将继续作为考查重点，"大区间零点个数"题型出现概率极高。 2. 应用题情境持续创新：第11题应用题可能继续以物理、天文、生活场景为背景，如简谐运动、潮汐变化、温度周期、声波振动等，考查建模能力。 3. 跨模块融合加深：三角函数与导数（切线、极值）、向量（数量积、模）、解析几何（参数方程）的结合将更加紧密，需关注综合题型。 4. 计算量稳中有降：2026秋考整体评价为"计算量适中、重思考"，三角函数题预计延续这一风格，更侧重思维方法而非繁琐运算。 考向一 三角函数的图象与性质 典例1．（2026·上海·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 考向二 三角函数的应用 典例2．（2026·上海·高考真题）有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转_____________度可使油倒出（精确到） 考向三 三角恒等变换 典例3．（2026·上海·高考真题）已知，则__________． 考向一 三角函数的图象与性质 1．（2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 2．（2025·上海·高考真题）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（   ）． A．0 B．338 C．674 D．1012 3．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为_________． 4．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·上海·高考真题）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 考向二 三角函数的应用 6．（2025·上海·高考真题）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到） 考向三 三角恒等变换 7．（2025·上海·高考真题）已知，则__________． 8．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 一、单选题 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．1013 B．2026 C．3039 D．4052 2．（2026·上海徐汇·二模）设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·上海·三模）若对于任意的，总存在．使得，则满足条件的的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·上海虹口·三模）若对于任意的，总存在，使得，则实数可以是（     ）． A． B． C． D． 二、填空题 5．（2026·上海静安·二模）若，则______． 6．（2026·上海徐汇·二模）若，则______. 7．（2026·上海长宁·二模）函数，的值域为________. 8．（2026·上海·三模）若角的终边经过，则__________. 9．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 10．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数 在上有两个最值点，则的取值范围为__________． 11．（2026·上海黄浦·三模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________． 12．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 __________. 13．（2026·上海·三模）若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 14．（2026·上海·模拟预测）设，若存在使得对恒成立，则实数的最小值为______． 15．（2026·上海·三模）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 16．（2026·上海·三模）已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是________． 三、解答题 17．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数的表达式为. (1)若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像关于直线对称，求的最小值； (2)若函数在区间上恰有2个极值点和2个零点，求实数m的取值范围. 18．（2026·上海闵行·二模）已知. (1)当时，解方程； (2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点. 19．（2026·上海黄浦·二模）已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 20．（2026·上海·三模）已知点是函数的一个对称中心． (1)求的值； (2)若函数的最大值为，求的最小值和单调递增区间． 21．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数． (1)当 ，求：的取值集合与的最值； (2)当时，若的最小内角为，的最小内角 ，满足：，求证：当且时 ，若事件：在 上有最大值和一个零点与事件独立，其中事件的概率不为0，当且仅当事件为必然事件． 22．（2026·上海浦东新·三模）已知函数是定义在上的函数，其导函数为．对于，若对任意恒成立，则称为函数的“切线支撑点”，记函数的所有切线支撑点构成的集合为． (1)若，判断是否为函数的“切线支撑点”，并说明理由； (2)若．证明：； (3)若，其中均为正实数，求．若存在，使得直线过点，求坐标原点到直线的距离． 23．（2026·上海黄浦·三模）对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”． (1)已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由； (2)已知是周期为的偶函数，且当时，．函数是的“关联函数”，若在上至少有26个解，求的最小值； (3)已知函数和的定义域均为．当（为正整数）时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”且是的“关联函数”，求函数的零点． 24．（2026·上海·三模）设、、是三个定义域为的函数，如果对一切实数x恒成立（A是常数），就称、、是一组“A有序和谐函数”. (1)为了使得、、是一组“0有序和谐函数”，求一个满足要求的函数； (2)设，，，求的所有可能取值，使得、、是一组“有序和谐函数”； (3)已知、、是一组“1有序和谐函数”，且恒成立，证明：存在零点. （注：①在上每一处都存在导数的函数必连续；②当、都可导时 .） 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三角函数 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1. 载体高度集中：正弦型函数f(x)=Asin(ωx+φ)是绝对核心载体，6道图象与性质题中有4道直接以此为载体，占比67%。复习时应将正弦型函数的"五步法"（振幅、周期、相位、平移、值域）作为重中之重。 2. 解答题范式固定：春考第17题（2024）与第19题（2026）均采用"第一问求切线/值域（6分送分）+第二问零点个数求参数范围（8分区分）"的双问结构，设问梯度清晰，区分度集中在第二问。 3. 应用题位置稳定：三角函数应用固定出现在填空题第11—12题，分值5分，情境多为物理运动或几何测量，要求考生具备从文字情境中提取三角关系的能力。 4. 恒等变换重基础：三角恒等变换题多为填空题前6题（4分档）或与向量结合的中档题，不追求复杂技巧，强调公式的熟练运用与计算准确性。 5. 跨模块融合明显：2025秋考第12题（向量+三角）、2026秋考第11题（导数+三角+物理）体现了上海卷"在知识交汇处命题"的特色，单一知识点的纯记忆型题目已基本绝迹。 三角函数的图象与性质 2026秋考第11题 2026春考第19题 2025秋考第5题 2025春考第16题 2024秋考第14题 2024春考第17题 三角函数的应用 2026春考第12题 2025秋考第11题 三角恒等变换 2026秋考第3题 2025秋考第12题 2025春考第5题 1. 正弦型函数仍是核心：f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与性质（值域、周期、零点、单调性、对称性）将继续作为考查重点，"大区间零点个数"题型出现概率极高。 2. 应用题情境持续创新：第11题应用题可能继续以物理、天文、生活场景为背景，如简谐运动、潮汐变化、温度周期、声波振动等，考查建模能力。 3. 跨模块融合加深：三角函数与导数（切线、极值）、向量（数量积、模）、解析几何（参数方程）的结合将更加紧密，需关注综合题型。 4. 计算量稳中有降：2026秋考整体评价为"计算量适中、重思考"，三角函数题预计延续这一风格，更侧重思维方法而非繁琐运算。 考向一 三角函数的图象与性质 典例1．（2026·上海·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 【答案】 【详解】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4， 又， 所以，解得，故； 已知初速度为0，则，解得， 已知，则， 速度第一次达到4时用时秒，则，即， 此时． 考向二 三角函数的应用 典例2．（2026·上海·高考真题）有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转_____________度可使油倒出（精确到） 【答案】 【详解】 设壶嘴最低点，最高点分别是， 图中圆柱轴截面矩形，距离点最近的顶点是点，另外三个顶点分别为， 当水平液面经过点时，可将油倒出， 设倾斜角为，当液面经过点时，， 先考虑液面不超过点，即的情况， 设液面与分别交于点， 设的中点为，过作的垂线，垂足为， 则，，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 在中，， 即， 即， 即，所以， 即， 因为，所以至少将油壶倾斜即可将油倒出. 故答案为： 考向三 三角恒等变换 典例3．（2026·上海·高考真题）已知，则__________． 【答案】 【详解】． 考向一 三角函数的图象与性质 1．（2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 【详解】（1）当时，则， 根据可得，故，故， 由于，故，故， ，则， 故函数在处的切线方程为，故， （2）函数的最小正周期为，故，所以， 令，当，则， 令，则或， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，无解， 综上可得或. 2．（2025·上海·高考真题）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（   ）． A．0 B．338 C．674 D．1012 【答案】D 【详解】由，即， 对于，周期为， 且，， 当或时，不等式在中无整数解； 当时，若不等式有在内只有1个整数解， 比如时，此时在内的整数解为， 而， 则在中可能有个整数解； 若不等式有在内只有2个整数解， 比如时，此时在内的整数解为或， 则在中可能有个整数解； 由于， 则在内最多只有2个整数解，因此在中不可能有1012个整数解. 故选：D. 3．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为_________． 【答案】 【详解】由函数在上单调递增，在单调递减， 且， 故函数在上的值域为. 故答案为：. 4．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 5．（2024·上海·高考真题）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以令， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，故， （2）由题意得，所以，可得， 当时，，，即，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以， 即，故. 考向二 三角函数的应用 6．（2025·上海·高考真题）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到） 【答案】 【详解】如图，在处，，在处满足， （其中水平面，是射过处杆子最高点的光线，光线交斜面于）， 故设，则， 由勾股定理，，解得， 于是 故答案为： 考向三 三角恒等变换 7．（2025·上海·高考真题）已知，则__________． 【答案】 【详解】由可得， 所以， 故答案为： 8．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．1013 B．2026 C．3039 D．4052 【答案】B 【详解】因，则函数是周期函数，其最小正周期为. 令，当时，单调递增，单调递增，所以单调递增； 又在上单调递减，故函数 在上单调递增； 又因，所以函数在上有一个零点. 当 时， ，，则，函数在上无零点. 当时， ，则 ，. 令，在 上单调递增，单调递增，所以单调递增； 在 上单调递增，且增长速度逐渐增快. 若，则，而，所以； 若，则，，所以 ； 若，则，，所以 ； 又 ，所以在上恰有一个零点. 综上，函数 在有两个零点. 所以函数 有 个零点. 2．（2026·上海徐汇·二模）设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 由，. 因为函数在上没有最大值和最小值， 所以函数的半个周期的区间长度不小于，即. 结合正弦函数性质，则有或， 解得或. 即的取值范围为：. 3．（2026·上海·三模）若对于任意的，总存在．使得，则满足条件的的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意，都存在，使得成立， 所以， 因为，所以，， 若对任意，都存在，使得成立， 可知在内的值域包含， 只需，即可， 因为，则， 对于A：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故A错误； 对于B：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故B错误； 对于C：当时，，则， 因为，，取值符合条件，故C正确； 对于D：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故D错误； 4．（2026·上海虹口·三模）若对于任意的，总存在，使得，则实数可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意，都存在，使得成立， 所以， 因为，所以，， 若对任意，都存在，使得成立， 可知在内的值域包含， 只需，即可， 因为，则， 对于A：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故A错误； 对于B：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故B错误； 对于C：当时，，则， 因为，，取值符合条件，故C正确； 对于D：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故D错误； 二、填空题 5．（2026·上海静安·二模）若，则______． 【答案】 【详解】， 故. 6．（2026·上海徐汇·二模）若，则______. 【答案】5 【详解】由， 则. 7．（2026·上海长宁·二模）函数，的值域为________. 【答案】 【详解】因为，由正弦函数的性质得：函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数有最小值，当时，函数有最大值. 所以函数在上值域为. 8．（2026·上海·三模）若角的终边经过，则__________. 【答案】 【详解】根据三角函数的定义得，又因为，所以. 9．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 【答案】 【详解】，，， 由题意得解得， ，， 当时，取最大值为， 所以y的最大值是. 10．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数 在上有两个最值点，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】因为，所以， 由正弦函数性质可知，要使函数有两个最值点， 则，且，解得且， 所以的取值范围为. 11．（2026·上海黄浦·三模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________． 【答案】 【详解】设，则以为终边的角为， 又，， 所以， 所以点的横坐标为    12．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 __________. 【答案】 【详解】如图，延长，交直线于点， 由题意可得：，， 设，则， 因为密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上， 容器里的水的体积不变，且放在坡角为的斜坡上时， 水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积的一半之和， 因为，解得：，即， 因为，所以， 因为，所以， 所以， . 13．（2026·上海·三模）若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 【答案】 【详解】对关于的命题：对任意的，总存在，使得， 其否定为：存在，，使得， 若为真，由，得， 则， 所以且， 所以，得， 由上，若为真，则，即的取值范围是. 14．（2026·上海·模拟预测）设，若存在使得对恒成立，则实数的最小值为______． 【答案】 【详解】记， 因为， 故为周期函数且周期为，故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，先证：给定和，证明：存在使得； 由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解，矛盾，故无解； 故存在，使得， 在上面结论中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 15．（2026·上海·三模）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 【答案】 【详解】，振幅为，周期， 设点，则，， ， ， 解得，解得或（舍去）， ，解得． 16．（2026·上海·三模）已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】令， 令，因为，所以， 即，所以方程变为：， 若函数在区间有10个零点， 则等价于函数与函数在上有10个交点， 则需满足，解得：， 由，令 ， 即，由，则， 又，所以要使函数在区间有10个极值点， 即方程在上有10个实数解， 则需满足，解得：， 所以函数在区间要有10个零点与10个极值点，则的取值范围是. 三、解答题 17．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数的表达式为. (1)若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像关于直线对称，求的最小值； (2)若函数在区间上恰有2个极值点和2个零点，求实数m的取值范围. 【详解】（1）由， 当函数右移个单位得，则 ， 由关于对称，可得： ， 整理得：，又，取得最小正数， 即的最小值为； （2）由（1）可得：， 当，令， 再由的零点满足：或，， 再由的极值点为，， 若函数在区间上恰有2个极值点和2个零点， 则， 即所求实数m的取值范围. 18．（2026·上海闵行·二模）已知. (1)当时，解方程； (2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点. 【详解】（1）当时，， 令，得，即，，解得, 故方程的解集为. （2）由题意得， 在区间上，，， 令，则， 在上单调递增，且， 若函数在上有唯一的极值点，则在该区间有唯一解， 即有唯一解，故的取值范围为， 设为该极值点， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以极值点为极大值点. 19．（2026·上海黄浦·二模）已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 所以函数的单调增区间为． （2）由（1）知， 将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象， 所以， 由的图象关于点对称，可得， 所以，解得， 又，可知，故， 当时，， 由②知，解得， 故的取值范围是． 20．（2026·上海·三模）已知点是函数的一个对称中心． (1)求的值； (2)若函数的最大值为，求的最小值和单调递增区间． 【详解】（1）已知点是对称中心，则有， 解得，又因为，所以当时，. （2）由(1)知， 则 即 因为，所以的最大值为 由题意可知. 所以，所以的最小值是. 解得， 所以单调递增区间为 21．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数． (1)当 ，求：的取值集合与的最值； (2)当时，若的最小内角为，的最小内角 ，满足：，求证：当且时 ，若事件：在 上有最大值和一个零点与事件独立，其中事件的概率不为0，当且仅当事件为必然事件． 【详解】（1）当时， 可得， 由，可得，所以的取值集合为， 当时，即时，即. 函数的最大值，最大值为，当时，即时，即. 函数的最小值，最小值为. (2)设. 则. 因为. 所以，解得，故. 又因为，，所以. 当时，. 于是. 令.因为，所以 函数在该区间内有零点，等价于. 在时，. 所以可能出现的零点只对应. 因此在上有一个零点，当且仅当. 即.当时，区间中一定包含，所以能取得最大值． 故事件发生当且仅当. 按题意，在有限等可能样本空间 中讨论事件，样本点总数为．事件对应. 所以. 设事件含有个样本点，事件含有个样本点．因为事件与事件独立，所以. 即.整理得. 因为是质数，且，所以．又因为事件的概率不为，所以. 因此. 所以事件为必然事件．反过来，若事件为必然事件，则，且. 故事件与事件独立． 综上，事件与事件独立，且，当且仅当事件为必然事件． 22．（2026·上海浦东新·三模）已知函数是定义在上的函数，其导函数为．对于，若对任意恒成立，则称为函数的“切线支撑点”，记函数的所有切线支撑点构成的集合为． (1)若，判断是否为函数的“切线支撑点”，并说明理由； (2)若．证明：； (3)若，其中均为正实数，求．若存在，使得直线过点，求坐标原点到直线的距离． 【详解】（1）若，则，故， 当时，，取，则， 显然， 因此不是函数的“切线支撑点”. （2）由题，令 ， 又， 故时，，函数严格增； 时，，函数严格减； 因此，， 即对任意，对任意恒成立， 由此可得. （3）由题，， 则存在，使得对任意恒成立， 即对任意恒成立， 显然，①，②， 由②可得，，即，其中， 故， 显然，也满足①， 因此. 此时，， ，故直线方程为， 代入，得， 因此，坐标原点到直线的距离. 23．（2026·上海黄浦·三模）对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”． (1)已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由； (2)已知是周期为的偶函数，且当时，．函数是的“关联函数”，若在上至少有26个解，求的最小值； (3)已知函数和的定义域均为．当（为正整数）时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”且是的“关联函数”，求函数的零点． 【详解】（1）假设存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”． 由定义可得， 取，则，矛盾． 故不存在这样的函数． （2）因为是周期为的偶函数，且当时， 所以当时，因为是周期为的偶函数，且当时，，所以． 又因为是的“关联函数”，所以． 由，得．当时，． 令，得，所以或． 当时，或，故方程无解． 当时，在区间内，方程有4个解， 分别为， 因此，在内有2个解；之后每经过一个形如的区间，会增加4个解． 要至少有26个解，除开始的2个解外，还需增加24个解， 即需要6个这样的区间．第26个解为， 故的最小值为． （3）由题意，存在函数及，使得且 若，则由可得； 若，则由可得． 因此与的零点相同． 所以求方程的解，等价于求方程的解． 当时，， 令，得，因为，所以. 当时，，于是 因为，所以. 又因为，所以，从而 故时，方程无解． 综上，方程的解为 24．（2026·上海·三模）设、、是三个定义域为的函数，如果对一切实数x恒成立（A是常数），就称、、是一组“A有序和谐函数”. (1)为了使得、、是一组“0有序和谐函数”，求一个满足要求的函数； (2)设，，，求的所有可能取值，使得、、是一组“有序和谐函数”； (3)已知、、是一组“1有序和谐函数”，且恒成立，证明：存在零点. （注：①在上每一处都存在导数的函数必连续；②当、都可导时 .） 【详解】（1）因为，，所以，． 若，，是一组“有序和谐函数”，则 代入得，即 因为，所以 因此可取 （2）由题意， 根据“有序和谐函数”的定义，得 由积化和差公式，得 三式相加，得 因为所以原式等于 若它对一切实数恒等于常数，则含的项必须为，所以即 因此或 若，则，符合条件． 若，则，不符合条件． 所以的所有可能取值为 (3)因为，，是一组“有序和谐函数”，所以， 即所以， 令，则， 由，得，所以 令，则，所以在上单调递增． 若，则，即 所以， 取充分大的正数，使得，则． 又因为，所以， 若，则，即， 所以， 取充分小的负数，使得，则． 又因为，所以 因为在上可导，所以在上连续． 又，，由零点存在定理可知，存在，使得 故存在零点． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $