第10章 空间直线与平面（复习讲义）高二数学沪教版必修第三册

该高中数学讲义以“平面基本性质-空间位置关系-平行垂直判定与性质-空间角计算”为主线，通过表格梳理平面公理、位置关系等核心知识，分层呈现重难点，如平行垂直转化关系、空间角构造方法，构建系统知识脉络。 讲义亮点在于题型分类与方法指导，如线面平行判定通过中位线找平行线，空间角计算强调构造平面角，培养逻辑推理与空间观念。基础达标与能力进阶分层练习，助力不同学生提升，教师可据此实施精准教学。

第10章 空间直线与平面 复习要点 1.理解平面的基本特征，掌握平面三个公理及推论，能利用公理完成点、线共面、多点共线、多线共点的简单证明。 2.分清空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，熟练使用立体几何点线面符号规范书写推理过程。 3.掌握线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，分清判定与性质的逻辑方向，能够完成简单的几何证明。 4.理解异面直线所成角、线面角、二面角的定义，掌握各类空间角的取值范围，学会构造角度进行计算。 5.了解斜二测画法、异面直线距离相关概念，会结合几何体综合运用定理，体会立体几何转化的思想方法。 复习重难点 重点： 1.平面的公理体系与空间位置关系。掌握三个公理及其推论，能够辨析空间直线的三种位置关系，理解异面直线概念。 2.平行与垂直的判定和性质。熟练掌握线线、线面、面面平行、垂直的判定定理与性质定理，理清 “线线 — 线面 — 面面” 之间的转化关系。 3.空间三类角的理解。掌握异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的定义，明确角度范围，会构造平面角求解。 难点： 1.立体几何逻辑证明。容易混淆判定定理与性质定理条件，定理条件写不全；共面、共线、共点证明，空间想象不足容易出错。 2.空间角的构造与计算。二面角平面角构造难度大，容易忽略平面角三要素；求角时忽视异面直线所成角取锐角或直角的限制。 3.空间转化思想运用。灵活实现线线、线面、面面之间平行与垂直的互相转化；距离问题中实现异面直线距离向线面、面面距离转化。 _________知识点 平面及其基本性质 一、平面 平面 叙述 平面的表示 ①在立体几何中，通常以用_________来表示平面 可写成平面，平面，平面或平面（对角线） 平面的画法 ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成_________，且横边长等于其邻边长的_________倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成_________ 图示 平面的特点 ①平面是平的； ②平面是_________的没有边界的； ③平面是没有_________的。 点、直线、平面的位置关系 ①点与直线（平面）的位置关系只能用“_________”或“_________”； ②直线与平面的位置关系只能用“_________”或“_________” 二、3个公理 1、公理1 文字定义：如果一条直线上有_________在一个平面内，那么这条直线上_________都在这个平面内。 符号表达： 核心作用：①判断直线、点是否在平面内；②借助直线检验平面。 2、公理2及其三个推论 公理2：过不在_________上的三个点，有且只有一个平面。 功能：确定平面、判定两平面重合、证明点线共面。 三条推论： 推论1：经过一条直线和直线_________一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条_________直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条_________直线，有且只有一个平面。 3、公理3 文字定义：两个不重合的平面若有一个公共点，则它们有且只有一条经过该点的_________。 核心作用：①判断两平面相交；②证明多点共线；③证明多条直线交于同一点。 三、直观图 1、斜二测画法 空间几何体的直观图常用_________来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点 画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使_________(或_________)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中_________于轴或y轴的线段，在直观图中分别画成_________于轴或轴的线段 第三步 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度_________， 平行于轴的线段，长度为原来的_________ 强调注意： “斜”是指在已知图形的平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与轴成_________或_________； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度_________；平行于轴的线段长度变为原来的_________． 2、直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为_________，即原图面积是直观图面积的_________倍， ②直观图面积是原图面积的_________倍. 要点速测 1．用适当的符号填空：如图，已知长方体，则直线______平面． 2．如图，是一个平面图形的直观图，若，则这个平面图形的面积是（     ） A． B． C． D． 知识点 直线与直线间的位置关系 一、基本事实4与等角定理 1.基本事实4 ①文字语言：平行于_________直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的_________． ②符号表述：，作用：证明两条直线平行 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的_________分别对应平行，那么这两个角_________或_________． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别_________，那么这两个角_________或_________； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别_________，那么这两组直线所成的_________（或_________）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 3.空间四边形 顺次连接_________的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的_________顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接_________的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 二、空间两条直线的位置关系 平行关系 相交关系 独有关系 图示 图示 图示 符号 语言 a∥b 符号语言 符号 语言 a，b是异面直线 异面直线判定定理 过_________一点与_________一点的直线，和此平面上_________的任何一条直线都是_________ 三、异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的_________(或_________) 取值范围 _________ 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作_________ 要点速测 3．在长方体的各条棱所在的直线中，与异面且垂直的直线有（    ）条． A．6 B．4 C．2 D．0 4．已知在空间四边形中，各边的中点分别为、、、，且，则四边形是____． 知识点 直线与平面的位置关系 一、直线与平面平行 1.判定定理：平面_________一条直线，若与平面_________一条直线平行，则该直线与此平面平行。 使用三大必备条件： ①直线在平面外：_________；②平行线在平面内：_________；③两直线互相平行： 2.性质定理：若直线与平面平行，过这条直线的平面与原平面相交，则该直线与_________平行。 二、直线与平面垂直 1.定义：若一条直线垂直平面内_________直线，称直线垂直于该平面；直线为垂线，平面为垂面，交点为垂足。 基础结论：过一点有且仅有一条直线垂直已知平面；过一点有且仅有一个平面垂直已知直线。 2.判定定理：一条直线垂直平面内两条_________直线，则直线垂直这个平面。 3.性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相_________。 4.拓展重要结论 （1）线面垂直，则直线垂直平面内_________直线； （2）两直线平行，一条垂直平面，另一条也垂直该平面； （3）同垂直于一条直线的两个平面互相_________； （4）过一点有且只有一条直线垂直已知平面；过一点有且仅有一个平面垂直已知直线。 三、直线与平面所成角 直线与平面_________且不垂直，这条直线为平面斜线，交点为斜足；斜线上取点作平面垂线，垂足与斜足连线为斜线射影；斜线和自身射影形成的_________，即为直线与平面所成角。 四、三垂线定理 平面内一条直线与平面斜线垂直的充要条件：该直线垂直斜线在平面内的射影。 要点速测 5．已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则，是异面直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．如图，在三棱柱中，底面，，，，点是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面． 知识点 平面与平面的位置关系 一、平面与平面平行 1.两个平面的位置关系 位置关系 定义 符号 面面平行 两平面无公共点 面面相交 两平面有且仅有一条公共直线 2.面面平行判定定理 若一个平面内存在两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，简记：线面平行面面平行。 符号语言： 注：仅一条直线、两条平行线、无数条平行线均无法推出面面平行。 3.面面平行性质定理 若两个平行平面同时与第三个平面相交，则两条交线互相平行。 符号语言： 4.核心重要结论 1.垂直于同一条直线的两个平面互相平行； 2.两平面平行，则一个平面内任意直线都平行于另一平面； 3.一条直线垂直于两个平行平面中的一个，必垂直另一个； 4.夹在两平行平面间的平行线段长度相等； 5.平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。 5.半平面定义 平面内一条直线将平面分成两部分，每一部分称为半平面。 二、二面角 1.定义：从一条直线出发的两个半平面组成的图形为二面角；这条直线是棱，两个半平面是二面角的面。 2.记法 二面角、二面角等。 3.作图： 分为平卧式（卧式）、直立式（立式）两种画法。 三、二面角的平面角 1.定义：在二面角棱上任取一点，以此点为垂足，在两个半平面内分别作棱的垂线，两条垂线构成的角为二面角的平面角；平面角为直角时，该二面角称为直二面角。 2.关键说明 1.二面角大小由其平面角度量，与棱上垂足选取位置无关； 2.平面角三要素缺一不可：顶点在棱上、两边分属两个半平面、两边都垂直于棱； 3.二面角取值范围；两半平面重合为，共面展开为，垂直为。 3.求平面角方法 1.定义法：棱上取特殊点，两面内作棱垂线，直接构造平面角，基础通用解法； 2.三垂线定理法：借助斜线与射影垂直关系，快速找到垂直棱的两条射线，适用于含垂线、斜线几何体； 3.公垂面法：作同时垂直于棱的平面，该平面与二面角两面的交线夹角即为平面角； 4.面积射影法：，多用于无棱二面角，计算简便； 四、平面与平面垂直 1.定义：两平面相交，若所成二面角为直二面角，则称两平面互相垂直。 2.面面垂直判定定理 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两平面垂直，简记：线面垂直面面垂直。 符号语言： 3.面面垂直性质定理 两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于两平面交线的直线，垂直于另一个平面。 符号语言： 要点速测 7．已知是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点.    (1)求证：平面平面； (2)如果，，为中点.求证：平面平面. 知识点 异面直线间的距离 一、异面直线的距离定义 1.公垂线存在唯一性定理：任意两条异面直线，有且仅有一条直线能同时与两条异面直线垂直且相交。 2.概念定义：同时垂直、同时与两条异面直线相交的直线叫作异面直线的公垂线；公垂线上两个垂足之间的线段为公垂线段；公垂线段的长度，就是两条异面直线的距离。 二、异面直线距离相关公式与求解方法 1.异面直线距离公式：设两条异面直线所成角为，公垂线段长度为，在直线上取点，直线上取点，，，，公式：，变形求异面直线距离： 2.三种常规求解方法： （1）直接法：在几何体中作出或直接找出异面直线的公垂线，通过解三角形计算公垂线段长度，是最直观的基础方法。 （2）转化线面距离法：过异面直线其中一条作另一条直线的平行线，两线确定一个平面，原异面直线到该平面的距离等于异面直线距离。 （3）转化面面距离法：分别过两条异面直线构造两个互相平行的平面，两个平行平面之间的距离，等价于异面直线的距离。 要点速测 9．如图，在四面体ABCD中，已知所有棱长都为a．求两异面直线与之间的距离． 题型1空间的点、直线与平面 ▌例1 已知点不在直线和平面上，若存在空间中过的直线和平面，则（    ） A．由直线平面可唯一确定 B．由直线平面可唯一确定平面 C．由直线平面可唯一确定 D．由平面平面可唯一确定平面 ▌迁移练1-1若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（    ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2用适当的符号填空：如图，已知长方体，则直线______平面． ▌迁移练1-3如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，. 证明：四点共面. 题型2空间图形的平面直观图的画法 解题要点 掌握斜二测画法规则，平行于x轴线段长度不变，平行于y轴线段长度减半，角度画成45°或135°。画图注意水平、竖直平面的绘制规范。 记住原图与直观图面积倍数关系，原图面积是直观图的倍。做完后核对线段平行关系，避免原图与直观图的位置发生错乱。 ▌例2 如图，是水平放置的的直观图，，，则（    ）    A． B． C． D． ▌迁移练2-1如图，已知水平放置的的斜二测直观图为，其中，，则的面积为（     ） A． B． C． D． ▌迁移练2-2如图， 是的直观图 (斜二测画法). 其中在轴上，且轴. . ，则的周长为_____. ▌迁移练2-3如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是菱形，且，，则原来的平面图形的周长为__________. 题型3异面直线 ▌例3 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 ▌迁移练3-1如图，在正方体中，点N为正方形的中心，E为中点，M是线段的中点，则（    ） A．且直线是相交直线 B．且直线是相交直线 C．且直线是异面直线 D．且直线是异面直线 ▌迁移练3-2如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么以下说法不正确的是（    ） A．直线和直线是异面直线 B．直线和直线是异面直线 C．直线和直线是异面直线 D．直线和直线是异面直线 ▌迁移练3-3在正四棱台的12条棱所在的直线及直线BD，，中，与直线AC是异面直线的直线共有（    ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 题型4两条异面直线所成的角 ▌例4 在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练4-1在正四面体 中，E，F，G分别为 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． ▌迁移练4-2在四棱锥中，平面，，且，，，，，则异面直线与所成角的余弦值_______． ▌迁移练4-3在正四棱柱中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 题型5直线与平面平行的判定定理 解题要点 在平面内寻找一条和已知直线平行的直线。可以借助中位线、平行四边形性质来找平行线，实现线线平行推导线面平行。 ▌例5 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，， 为底面圆上的点，，，是母线的中点．    (1)求证：； (2)求证：平面. ▌迁移练5-1如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. ▌迁移练5-2如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． ▌迁移练5-3如图，在四棱锥中，，为的中点.证明：平面. 题型6直线与平面平行的性质定理 ▌例6 如图，是棱长为2的正方体的棱上一点，且面，则线段的长度是_________. ▌迁移练6-1如图，在四棱锥中，底面是矩形，M，N分别在棱，上，且，平面，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练6-2如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为棱上的点，若，且平面，则____________． ▌迁移练6-3如图，多面体是由一个直三棱柱与一个四棱锥组成，其中，，，E是AC上的一点．    (1)若E是AC中点，求异面直线与所成角的余弦值． (2)若E为BD与AC交点，K为线段上一点，且满足平面，求的值． 题型7直线与平面垂直 解题要点 判定定理要求直线垂直平面内两条相交直线，只垂直无数条平行直线不能够推出线面垂直。线面垂直可以推出直线垂直平面内任意一条直线。 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。证明题分清判定与性质，注意条件，常用线面垂直去推导线线垂直、面面垂直。 ▌例7如图，在直三棱柱中，，、分别是棱、上的点（点不在的端点处），且，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． ▌迁移练7-1如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； ▌迁移练7-2如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面； ▌迁移练7-3如图，已知四棱锥的底面是正方形，平面，．    (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求证：平面． 题型8直线与平面所成的角 ▌例8 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． ▌迁移练8-1已知正三棱台，，侧棱为4，则与底面所成角为（     ） A． B． C． D． ▌迁移练8-2如图所示长方体中，下列结论不正确的有（   ） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 ▌迁移练8-3如图，在直三棱柱中，，是棱BC上一点，且. (1)证明：； (2)当时，求AC与平面所成角的正弦值． 题型9平面与平面平行的判定定理 ▌例9 如图，正方体的棱长为2，为的中点，在线段上． (1)若平面，求证：是的中点； (2)求直线和平面所成的角的大小． ▌迁移练9-1在如图所示的几何体中，三个侧面，，都是平行四边形，则平面与平面的位置关系是______________． ▌迁移练9-2如图，已知正方体，求证： (1)； (2)平面平面. ▌迁移练9-3如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 题型10平面与平面平行的性质定理 ▌例10 如图，正四棱锥中，，点在侧棱上且． (1)记平面平面，证明：； (2)若点在侧棱上且，求证：平面． ▌迁移练10-1如图，已知点为某正方体的顶点或者其所在棱的中点．则在下列各图中，不满足直线平面的是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练10-2在四棱锥中，四边形 是平行四边形，点在棱上，且，点在棱上，若平面，则（   ） A． B． C． D． ▌迁移练10-3如图，已知 均为圆台 的母线，四边形 为圆台的轴截面，且 ，．证明：； 题型11平面与平面垂直的判定定理 ▌例11 如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面，且为中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. ▌迁移练11-1如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，为的中点．证明：平面平面； ▌迁移练11-2如图，在四棱锥中，，平面平面，，，点为的中点. (1)求证：平面； (2)若，求证：平面平面. ▌迁移练11-3如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点，且 (1)证明： ; (2)证明：平面平面． 题型12平面与平面垂直的性质定理 解题要点 已知两个平面互相垂直，在一个平面内作垂直于交线的直线，该直线就垂直另一个平面。这个定理是由面面垂直得到线面垂直。 做题一定要满足 “在平面内”“垂直交线” 两个条件，缺少任意一个条件结论不成立。常用来作平面的垂线，为求空间角提供垂线条件。 ▌例12 如图，已知四棱台的底面是平行四边形，，为的中点，为钝角三角形． (1)求证：平面； (2)若平面平面，，求证：平面． ▌迁移练12-1如图，是的直径，点是所在平面外一点，点是圆周上不同于，的任意一点，若平面平面，则下列结论一定正确的是（    ）    A．平面 B． C．平面 D． ▌迁移练12-2矩形中，，，将矩形沿对角线折成直二面角后，异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练12-3如图，三棱台中，底面，平面平面. (1)证明：； (2)若，点为线段的中点，点为线段的中点，证明：平面. 题型13二面角 ▌例13 已知空间四边形各边长都为2，则其对角线与所成角为______，当______时，二面角的平面角为． ▌迁移练13-1如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，E为的中点. (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：平面； (3)求二面角的余弦值. ▌迁移练13-2如图，在长方体中，，若二面角的度数为，则_________. ▌迁移练13-3如图1，直角梯形中，，，，，将沿翻折至，使得（如图2）. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 难点一 空间几何证明（平行、垂直证明） 难点：容易记混判定定理与性质定理，书写证明时漏写关键条件，例如证明线面平行漏掉线含于面，证明面面平行只用一组平行线。空间想象薄弱，分不清立体图形中线面的位置，逻辑链条断裂，条件与结论之间推理没有依据。 处理方法：做题要分清，判定定理是由低维推高维（线⇒面），性质定理是由高维得低维（面⇒线）。书写证明逐条核对定理全部条件，不能缺项。 难点精练 1．如图，在平面四边形中，， ，，将沿边翻折，使点到达点 的位置，且平面 平面 ，则 的长度为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在梯形中，，，，为边上的点，，，将沿直线翻折到的位置，且，连接．求证：； 难点二 空间角求解（异面直线角、线面角、二面角） 难点：构造角是主要障碍，找不准二面角的平面角，忽略平面角三要素：顶点在棱上、两边在两个面内、两边垂直棱。容易搞错角度取值范围，异面直线所成角只取锐角或直角，算出钝角需要取补角。 处理方法：异面直线角：平移直线，把异面转化成相交直线夹角。 线面角：找斜线在平面内的射影，斜线与射影夹角即为线面角。 二面角优先使用定义法、三垂线定理构造平面角；构造完成后放到三角形中计算，最后核对角度范围。 难点精练 3．如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)在棱上是否存在一点，使与面所成角为？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，且.    (1)求证：平面平面; (2)当时，求直线与平面所成角的大小； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围． 基础达标 一、填空题 1．已知按斜二测画法得到（如图所示），其中，，则的周长为__________. 2．已知是正四面体，（由四个全等的正三角形围成的空间封闭图形）M为AB中点，则SM与BC所成角的余弦值为____________. 3．如图，在平面四边形中，，，，，，分别为，的中点．将沿折起，使二面角的大小为，则的余弦值为______；直线与平面所成角的正弦值为______．    二、单选题 4．空间四条直线a，b，c，d，满足，，，，则必有（   ） A． B． C．或 D．且 5．如图，正方体中，，分别是，的中点，则平面与平面的夹角为（     ） A． B． C． D． 6．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 三、解答题 7．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 8．如图：正方体中，点，为上两点，点G，H分别为，的中点，且． (1)求证：平面 (2)求证：平面平面 9．如图，在三棱锥中，，平面． (1)证明：． (2)若，，求与平面所成角的正切值． 10．如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为平行四边形，其中 ，， 为棱 上一点. (1)若 为 中点，求证： 平面 ； (2)若 ，求直线 和平面 所成角的正弦值. 11．如图，在三棱锥中，底面，垂足为，且，，为中点，， (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 12．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证，平面平面； (3)求直线与平面所成角的大小 能力进阶 1．在正六棱柱中，，，为底面所在平面内的任意一点，则异面直线与所成角的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，，，则下列结论不正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．当时，从点出发沿着该八面体表面到点的最短路程为 D．当该八面体表面积为时，二面角的大小为 3．如图，在多面体中，是边长为的等边三角形，平面，，，，，记的中点为． (1)证明：平面； (2)设为棱上的动点， （i）若，求到的距离； （ii）求与平面所成角的正弦值的最大值． 4．如图，在三棱台中，平面平面，，，且． (1)证明：； (2)求直线与平面所成的角的大小； (3)线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切值为？若存在，求出线段BE的长，若不存在，请说明理由． 5．如图所示，四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，且平面平面，，分别为的中点. (1)求证：平面平面； (2)若点在棱上，，点在棱上，，证明：平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 6．在边长为2的正方形中（图1），、分别为、的中点，将四边形沿向上折起，形成二面角，为的中点，在上运动.在图2中，连接、，其中点为的中点. (1)证明：； (2)当二面角为直二面角时， （i）求直线与面所成的角； （ii）证明：平面平面. 7．如图所示，在等腰梯形中，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图所示，平面平面．    (1)点为的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 空间直线与平面 复习要点 1.理解平面的基本特征，掌握平面三个公理及推论，能利用公理完成点、线共面、多点共线、多线共点的简单证明。 2.分清空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，熟练使用立体几何点线面符号规范书写推理过程。 3.掌握线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，分清判定与性质的逻辑方向，能够完成简单的几何证明。 4.理解异面直线所成角、线面角、二面角的定义，掌握各类空间角的取值范围，学会构造角度进行计算。 5.了解斜二测画法、异面直线距离相关概念，会结合几何体综合运用定理，体会立体几何转化的思想方法。 复习重难点 重点： 1.平面的公理体系与空间位置关系。掌握三个公理及其推论，能够辨析空间直线的三种位置关系，理解异面直线概念。 2.平行与垂直的判定和性质。熟练掌握线线、线面、面面平行、垂直的判定定理与性质定理，理清 “线线 — 线面 — 面面” 之间的转化关系。 3.空间三类角的理解。掌握异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的定义，明确角度范围，会构造平面角求解。 难点： 1.立体几何逻辑证明。容易混淆判定定理与性质定理条件，定理条件写不全；共面、共线、共点证明，空间想象不足容易出错。 2.空间角的构造与计算。二面角平面角构造难度大，容易忽略平面角三要素；求角时忽视异面直线所成角取锐角或直角的限制。 3.空间转化思想运用。灵活实现线线、线面、面面之间平行与垂直的互相转化；距离问题中实现异面直线距离向线面、面面距离转化。 知识点 平面及其基本性质 一、平面 平面 叙述 平面的表示 ①在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面 可写成平面，平面，平面或平面（对角线） 平面的画法 ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线 图示 平面的特点 ①平面是平的； ②平面是无限延展的没有边界的； ③平面是没有厚度的。 点、直线、平面的位置关系 ①点与直线（平面）的位置关系只能用“”或“”； ②直线与平面的位置关系只能用“”或“” 二、3个公理 1、公理1 文字定义：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号表达： 核心作用：①判断直线、点是否在平面内；②借助直线检验平面。 2、公理2及其三个推论 公理2：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 功能：确定平面、判定两平面重合、证明点线共面。 三条推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 3、公理3 文字定义：两个不重合的平面若有一个公共点，则它们有且只有一条经过该点的公共直线。 核心作用：①判断两平面相交；②证明多点共线；③证明多条直线交于同一点。 三、直观图 1、斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点 画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使(或)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段 第三步 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段，长度为原来的一半 强调注意： “斜”是指在已知图形的平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变；平行于轴的线段长度变为原来的一半． 2、直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍， ②直观图面积是原图面积的倍. 要点速测 1．用适当的符号填空：如图，已知长方体，则直线______平面． 【答案】 【详解】因为直线在平面内，所以直线平面. 2．如图，是一个平面图形的直观图，若，则这个平面图形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 根据斜二测画法的性质：原图形面积与直观图面积满足关系 ， 已知，，， 因此，直观图面积： ， 代入面积关系得原图形面积：. 知识点 直线与直线间的位置关系 一、基本事实4与等角定理 1.基本事实4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． ②符号表述：，作用：证明两条直线平行 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 3.空间四边形 顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 二、空间两条直线的位置关系 平行关系 相交关系 独有关系 图示 图示 图示 符号 语言 a∥b 符号语言 符号 语言 a，b是异面直线 异面直线判定定理 过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 三、异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 要点速测 3．在长方体的各条棱所在的直线中，与异面且垂直的直线有（    ）条． A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】B 【详解】在长方体的各条棱所在的直线中， 与异面且垂直的直线是，共4条. 4．已知在空间四边形中，各边的中点分别为、、、，且，则四边形是____． 【答案】矩形 【详解】如图， ，，，分别是四条边的中点， 且，且， 且，故四边形是平行四边形． 又，，， ， 平行四边形是矩形． 知识点 直线与平面的位置关系 一、直线与平面平行 1.判定定理：平面外一条直线，若与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。 使用三大必备条件： ①直线在平面外：；②平行线在平面内：；③两直线互相平行： 2.性质定理：若直线与平面平行，过这条直线的平面与原平面相交，则该直线与交线平行。 二、直线与平面垂直 1.定义：若一条直线垂直平面内任意一条直线，称直线垂直于该平面；直线为垂线，平面为垂面，交点为垂足。 基础结论：过一点有且仅有一条直线垂直已知平面；过一点有且仅有一个平面垂直已知直线。 2.判定定理：一条直线垂直平面内两条相交直线，则直线垂直这个平面。 3.性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 4.拓展重要结论 （1）线面垂直，则直线垂直平面内所有直线； （2）两直线平行，一条垂直平面，另一条也垂直该平面； （3）同垂直于一条直线的两个平面互相平行； （4）过一点有且只有一条直线垂直已知平面；过一点有且仅有一个平面垂直已知直线。 三、直线与平面所成角 直线与平面相交且不垂直，这条直线为平面斜线，交点为斜足；斜线上取点作平面垂线，垂足与斜足连线为斜线射影；斜线和自身射影形成的锐角，即为直线与平面所成角。 四、三垂线定理 平面内一条直线与平面斜线垂直的充要条件：该直线垂直斜线在平面内的射影。 要点速测 5．已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则，是异面直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，则或与相交或，是异面直线，故A错误； 对于B，若，，则或与相交或，是异面直线，故B错误； 对于C，，，则或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确. 6．如图，在三棱柱中，底面，，，，点是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明：因为，，满足，所以， 又因底面，在平面内，所以， 又，且都在平面内，所以平面. 因为在平面内，所以. (2)证明：连接交于点，连接． 因为四边形为矩形，所以点为的中点．又因点为的中点，故． 因为平面，平面，所以平面． 【详解】（1）略 （2）略 知识点 平面与平面的位置关系 一、平面与平面平行 1.两个平面的位置关系 位置关系 定义 符号 面面平行 两平面无公共点 面面相交 两平面有且仅有一条公共直线 2.面面平行判定定理 若一个平面内存在两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，简记：线面平行面面平行。 符号语言： 注：仅一条直线、两条平行线、无数条平行线均无法推出面面平行。 3.面面平行性质定理 若两个平行平面同时与第三个平面相交，则两条交线互相平行。 符号语言： 4.核心重要结论 1.垂直于同一条直线的两个平面互相平行； 2.两平面平行，则一个平面内任意直线都平行于另一平面； 3.一条直线垂直于两个平行平面中的一个，必垂直另一个； 4.夹在两平行平面间的平行线段长度相等； 5.平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。 5.半平面定义 平面内一条直线将平面分成两部分，每一部分称为半平面。 二、二面角 1.定义：从一条直线出发的两个半平面组成的图形为二面角；这条直线是棱，两个半平面是二面角的面。 2.记法 二面角、二面角等。 3.作图： 分为平卧式（卧式）、直立式（立式）两种画法。 三、二面角的平面角 1.定义：在二面角棱上任取一点，以此点为垂足，在两个半平面内分别作棱的垂线，两条垂线构成的角为二面角的平面角；平面角为直角时，该二面角称为直二面角。 2.关键说明 1.二面角大小由其平面角度量，与棱上垂足选取位置无关； 2.平面角三要素缺一不可：顶点在棱上、两边分属两个半平面、两边都垂直于棱； 3.二面角取值范围；两半平面重合为，共面展开为，垂直为。 3.求平面角方法 1.定义法：棱上取特殊点，两面内作棱垂线，直接构造平面角，基础通用解法； 2.三垂线定理法：借助斜线与射影垂直关系，快速找到垂直棱的两条射线，适用于含垂线、斜线几何体； 3.公垂面法：作同时垂直于棱的平面，该平面与二面角两面的交线夹角即为平面角； 4.面积射影法：，多用于无棱二面角，计算简便； 四、平面与平面垂直 1.定义：两平面相交，若所成二面角为直二面角，则称两平面互相垂直。 2.面面垂直判定定理 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两平面垂直，简记：线面垂直面面垂直。 符号语言： 3.面面垂直性质定理 两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于两平面交线的直线，垂直于另一个平面。 符号语言： 要点速测 7．已知是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】首先证明充分性： 已知，，若，由线面垂直的性质可得或， 若，因，即平面经过平面的一条垂线，根据面面垂直的判定定理，可得； 若，则平面内存在直线满足，结合得，即平面经过平面的垂线， 根据面面垂直的判定定理，可得，故充分性成立； 再证明必要性： 已知，，若，由面面垂直的性质结合，可得或， 若，因，根据线面垂直的性质可得， 若，则平面内存在直线满足，结合得，故，故必要性成立， 综上，“”是“”的充要条件，故C正确. 8．如图，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点.    (1)求证：平面平面； (2)如果，，为中点.求证：平面平面. 【答案】(1)因为，分别为棱，的中点，所以， 又因为平面，而平面，所以平面， 同理，，分别为棱，的中点，所以， 又因为平面，而平面，所以平面， 由于和交于点，所以平面平面. (2)因为，为中点，所以， 同理，因为，所以， 在平面中，和交于点，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略. （2）略. 知识点 异面直线间的距离 一、异面直线的距离定义 1.公垂线存在唯一性定理：任意两条异面直线，有且仅有一条直线能同时与两条异面直线垂直且相交。 2.概念定义：同时垂直、同时与两条异面直线相交的直线叫作异面直线的公垂线；公垂线上两个垂足之间的线段为公垂线段；公垂线段的长度，就是两条异面直线的距离。 二、异面直线距离相关公式与求解方法 1.异面直线距离公式：设两条异面直线所成角为，公垂线段长度为，在直线上取点，直线上取点，，，，公式：，变形求异面直线距离： 2.三种常规求解方法： （1）直接法：在几何体中作出或直接找出异面直线的公垂线，通过解三角形计算公垂线段长度，是最直观的基础方法。 （2）转化线面距离法：过异面直线其中一条作另一条直线的平行线，两线确定一个平面，原异面直线到该平面的距离等于异面直线距离。 （3）转化面面距离法：分别过两条异面直线构造两个互相平行的平面，两个平行平面之间的距离，等价于异面直线的距离。 要点速测 9．如图，在四面体ABCD中，已知所有棱长都为a．求两异面直线与之间的距离． 【答案】. 【详解】取的中点，连接， 因为， 所以，又平面，， 所以平面，平面， 所以， 由已知可得，为中点， 所以， 所以为异面直线与的公垂线段， 因为，， 所以， 所以异面直线与之间的距离为. 题型1空间的点、直线与平面 ▌例1 已知点不在直线和平面上，若存在空间中过的直线和平面，则（    ） A．由直线平面可唯一确定 B．由直线平面可唯一确定平面 C．由直线平面可唯一确定 D．由平面平面可唯一确定平面 【答案】C 【详解】对于A，过平面外一点与平面平行的直线有无数条，故A错误； 对于B，过直线外一点且与该直线平行的平面有无数个，故B错误； 对于C，过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故C正确； 对于D，过平面外一点，与已知平面垂直的平面有无数个，故D错误． ▌迁移练1-1若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点Q（元素）在直线b（集合）上，所以. 又因为直线b（集合）在平面（集合）内，所以. 所以.故选项B正确. ▌迁移练1-2用适当的符号填空：如图，已知长方体，则直线______平面． 【答案】 【详解】因为直线在平面内， 所以直线平面. 故答案为：. ▌迁移练1-3如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，. 证明：四点共面. 【答案】证明见解析 【详解】在中，， 在平行六面体中：且 又因为，，所以， 则有，即四点共面. 题型2空间图形的平面直观图的画法 解题要点 掌握斜二测画法规则，平行于x轴线段长度不变，平行于y轴线段长度减半，角度画成45°或135°。画图注意水平、竖直平面的绘制规范。 记住原图与直观图面积倍数关系，原图面积是直观图的倍。做完后核对线段平行关系，避免原图与直观图的位置发生错乱。 ▌例2 如图，是水平放置的的直观图，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由直观图可知，，因为，，故， 故，则． ▌迁移练2-1如图，已知水平放置的的斜二测直观图为，其中，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由斜二测画法知，且， 所以. ▌迁移练2-2如图， 是的直观图 (斜二测画法). 其中在轴上，且轴. . ，则的周长为_____. 【答案】 【详解】由斜二测画法可知，因为轴，且，所以原图形中，且轴； 因为在轴上，，所以原图形中在轴上，； 所以原图形中为原点，坐标为，坐标为，坐标为， 因此， 所以的周长为：. ▌迁移练2-3如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是菱形，且，，则原来的平面图形的周长为__________. 【答案】12 【详解】 由题可知原图为长方形，且， 所以原来的平面图形的周长为. 题型3异面直线 ▌例3 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 【答案】C 【详解】如图所示，把正方体的平面展开图，还原为一个正方体， 根据异面直线的定义得，在正方体中直线和为异面直线. ▌迁移练3-1如图，在正方体中，点N为正方形的中心，E为中点，M是线段的中点，则（    ） A．且直线是相交直线 B．且直线是相交直线 C．且直线是异面直线 D．且直线是异面直线 【答案】B 【详解】设正方体的棱长为2，以D为原点，分别以所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为M是线段ED的中点，可得， 所以， 所以, 连接，易知平面平面， 所以且直线是相交直线. 故选：B. ▌迁移练3-2如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么以下说法不正确的是（    ） A．直线和直线是异面直线 B．直线和直线是异面直线 C．直线和直线是异面直线 D．直线和直线是异面直线 【答案】D 【详解】展开图还原为几何体后，如图: 直线和直线是异面直线，直线和直线是异面直线，直线和直线是异面直线，和平行，所以ABC正确，D错误. ▌迁移练3-3在正四棱台的12条棱所在的直线及直线BD，，中，与直线AC是异面直线的直线共有（    ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】B 【详解】 与直线AC是异面直线的直线有，，，，，，，共7条. 故选：B. 题型4两条异面直线所成的角 ▌例4 在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：如图，分别取，，的中点，，，分别连结，，，，则， ，所以（或其补角）即为直线与所成角， 设，可得，，， ， 在中，由余弦定理可得，， 由于直线与所成角为锐角，故直线与所成角的余弦值为，故D正确. 解法二：如图，把三棱锥扩充为正方体，直线与所成角即为直线与所成角， 因为为等边三角形，所以直线与所成角为， 即直线与所成角的余弦值为，故D正确. ▌迁移练4-1在正四面体 中，E，F，G分别为 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于 分别是 中点，所以 ， 可得是异面直线 与 所成角（或其补角）， 设正四面体的边长为，则， ， 所以. ▌迁移练4-2在四棱锥中，平面，，且，，，，，则异面直线与所成角的余弦值_______． 【答案】/ 【详解】设直线与所成角为， 由题可知底面是梯形，， ， 因为平面，所以， 所以. ▌迁移练4-3在正四棱柱中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 【答案】 【详解】取棱 的中点 ，连接，，. 又为棱的中点，则有， 正四棱柱中，且， 则四边形是平行四边形，有，所以， 则为异面直线与所成的角（或其补角）. 依题意可得底面为正方形，设，则，， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. 题型5直线与平面平行的判定定理 解题要点 在平面内寻找一条和已知直线平行的直线。可以借助中位线、平行四边形性质来找平行线，实现线线平行推导线面平行。 ▌例5 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，， 为底面圆上的点，，，是母线的中点．    (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明：连接，因为，， 所以且，则四边形是平行四边形， 所以. (2)证明：取中点，连接 ， 因为是中点，所以，， 而，，则，， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面.   ； 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 ▌迁移练5-1如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 【答案】在中点与中点连线上 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在平面与面的交线上， 所以点在线段上，即点在中点与中点连线上， ▌迁移练5-2如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1) 连接，由已知条件，点分别为棱的中点， 故有 ， 又 平面，平面， 所以直线平面； (2). 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 因为，，，所以， 根据直三棱柱性质可知，，所以， ， 在中，由余弦定理得， 又，故， 即异面直线与所成的角的大小为． ▌迁移练5-3如图，在四棱锥中，，为的中点.证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】取的中点为，连接，则，且， 又，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 题型6直线与平面平行的性质定理 ▌例6 如图，是棱长为2的正方体的棱上一点，且面，则线段的长度是_________. 【答案】 【详解】连接与相交于点，连接，则点是的中点， 平面平面， 因为平面，所以， 可得点是的中点， 所以, 故答案为：, ▌迁移练6-1如图，在四棱锥中，底面是矩形，M，N分别在棱，上，且，平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，与交于点，连接，交于点， 连接，因为平面，平面， 平面平面， 所以，由于是的中点，所以. 过点作，交于点，则， 因为，所以， 所以，即. ▌迁移练6-2如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为棱上的点，若，且平面，则____________． 【答案】/ 【详解】如图，连接交于点，连接． 因为，所以， 因为平面，平面平面平面， 所以，所以． 故答案为：. ▌迁移练6-3如图，多面体是由一个直三棱柱与一个四棱锥组成，其中，，，E是AC上的一点．    (1)若E是AC中点，求异面直线与所成角的余弦值． (2)若E为BD与AC交点，K为线段上一点，且满足平面，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）如下图所示，连接交于点F，连接EF，    在三棱柱中，，， 所以，四边形为平行四边形． 因为，所以F为的中点． 又因为E为AC的中点，所以，且， 因为平面，平面，故平面； 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC， 所以，所以， 同理可得，， 所以，，， 因为，所以，异面直线与所成角为或其补角， 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为． （2） 如下图所示：   因为，，所以． 因为平面，平面，平面平面， 所以 ，故，因此． 所以，线段上存在一点K，使得平面，且． 题型7直线与平面垂直 解题要点 判定定理要求直线垂直平面内两条相交直线，只垂直无数条平行直线不能够推出线面垂直。线面垂直可以推出直线垂直平面内任意一条直线。 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。证明题分清判定与性质，注意条件，常用线面垂直去推导线线垂直、面面垂直。 ▌例7如图，在直三棱柱中，，、分别是棱、上的点（点不在的端点处），且，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)在直三棱柱中，平面，平面， ， ，且平面， 平面. (2)根据（1）得平面， 平面， ， 在中，， 为的中点， 连接，得，且，即四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 ▌迁移练7-1如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 【答案】证明：连接，延长交于点，由为底面圆的直径，得， 由，得，， 又，则平分，， 又，则为正三角形，是其中心， 于是是中点，， 而平面，平面，则， 又,且,平面，所以平面. 【详解】略 ▌迁移练7-2如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面； 【答案】证明：因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，，， 则，且，则， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. 【详解】略 ▌迁移练7-3如图，已知四棱锥的底面是正方形，平面，．    (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明：平面，平面， ， 又，平面， 平面； 【分析】 【详解】（1）解：连接，    则， 平面，平面， ， ， ， 就是异面直线与所成角或其补角， ， 故异面直线与所成角的大小为； （2）略 题型8直线与平面所成的角 ▌例8 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)连接，设． 因为底面为平行四边形，所以为的中点． 又因为为的中点， 所以．因为平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接． 因为为的中点，为的中点， 所以，且． 因为平面，， 所以平面，且． 所以为在平面内的射影， 则为直线与平面所成的角． ，，则，， 在中，，， 由勾股定理得． 因为为斜边的中点， 所以． 在中，． 所以． 即直线与平面所成角的正弦值为． ▌迁移练8-1已知正三棱台，，侧棱为4，则与底面所成角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分别取正三棱台上下底面正三角形的中心、，连接、、，过点作，垂足为.    ∵ 正三棱台上下底面中心连线为棱台的高， ∴ 底面，故， 又正三棱台上下底面平行，故，结合， ∴ 四边形为矩形，因此，且底面， ∴ 即为侧棱与底面所成的角. ∵ 正三角形中心（重心）到顶点的距离为其高的， 下底面正三角形的高为，故， 上底面正三角形的高为，故， ∴ . 在中，， 由勾股定理得， ∴ ， 又正三棱台的侧棱与底面所成角范围为，故，即所求线面角为. ▌迁移练8-2如图所示长方体中，下列结论不正确的有（   ） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】C 【详解】在长方体中，侧棱底面，而平面，所以，故选项A正确； 在长方体中，因为，又平面，平面， 所以平面，故选项B正确； 在长方体中，，平面，平面，故平面， 所以不垂直于平面，故选项C错误； 在长方体中，因为且，所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面； 同理，由且可知四边形是平行四边形，则， 因为且，所以四边形是平行四边形，故； 又平面，平面，所以平面； 因为，且平面，根据面面平行的判定定理，平面平面，故选项D正确. ▌迁移练8-3如图，在直三棱柱中，，是棱BC上一点，且. (1)证明：； (2)当时，求AC与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)在直三棱柱中，平面，由平面， 得，而，平面， 因此平面，又平面，所以. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）作于，连接，由（1）知平面，而平面， 则，而平面，因此平面， 是AC与平面所成的角，由，， 得，则， 所以AC与平面所成角的正弦值为. 题型9平面与平面平行的判定定理 ▌例9 如图，正方体的棱长为2，为的中点，在线段上． (1)若平面，求证：是的中点； (2)求直线和平面所成的角的大小． 【答案】(1)因为平面，平面，且平面平面， 所以，而为的中点，则是的中点. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）连接交于点，连接， 在正方体中，四边形为正方形，即， 又平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 则直线和平面所成的角为， 因为正方体的棱长为2， 所以，即，而， 则在中，， 即直线和平面所成的角为. ▌迁移练9-1在如图所示的几何体中，三个侧面，，都是平行四边形，则平面与平面的位置关系是______________． 【答案】平行 【详解】因为侧面是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面． 同理可证平面．又因为， 平面，平面， 所以平面平面． 答案：平行 ▌迁移练9-2如图，已知正方体，求证： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)因为平面，平面，所以. 又因为，，平面，所以平面. 又平面，所以. (2)因为，平面，平面，所以平面. 同理得，平面. 又，且平面， 所以平面平面. 【详解】（1）略 （2）略 ▌迁移练9-3如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. (2) 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型10平面与平面平行的性质定理 ▌例10 如图，正四棱锥中，，点在侧棱上且． (1)记平面平面，证明：； (2)若点在侧棱上且，求证：平面． 【答案】(1)证明：在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. (2)证明：连接交于，连接，则为中点， 取中点，又，则， 过作的平行线交于，连接，在中，有， 由平面PAC，平面PAC，得平面PAC，而，则， 又，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又，得平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 ▌迁移练10-1如图，已知点为某正方体的顶点或者其所在棱的中点．则在下列各图中，不满足直线平面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，由图可知为正方体棱上的中点，所以平面与正方体的正面平行， 而线包含在正方体的正面，所以直线平面，A选项正确； B选项，如图，连接对角线，所以得到，所以， 且直线平面，所以直线平面，B选项正确； C选项，如图，取正方体中点，连接并延长与正方体棱的延长线交于点，连接， 因为为正方体棱上中点，所以，即平面， 在正方体中，由三角形全等可得，所以四边形为平行四边形， 所以，且直线平面， 所以直线平面，C选项正确； D选项，如图，取正方体棱上中点，连接， 由均为正方体棱上中点，可证明， 所以共面，则不满足直线平面，D选项错误. ▌迁移练10-2在四棱锥中，四边形 是平行四边形，点在棱上，且，点在棱上，若平面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，取棱的中点H，连接，，，记，连接． 因为四边形是平行四边形，所以O是线段的中点． 因为H是线段的中点，所以． 因为，所以，则，即E是线段的中点，所以． 因为平面ACE，平面ACE，所以平面． 由平面，平面，， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 得，则． ▌迁移练10-3如图，已知 均为圆台 的母线，四边形 为圆台的轴截面，且 ，．证明：； 【答案】证明：因为均为圆台的母线， 所以延长必交于一点，如图： 因为，所以确定一个平面， 又因为圆台的上下底面互相平行，即平面平面， 因平面平面，平面平面， 根据面面平行的性质定理，得； 【详解】略 题型11平面与平面垂直的判定定理 ▌例11 如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面，且为中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明：如图所示，取中点，连接. ∵为中点，∴. 又，∴， 四边形为平行四边形，∴. 又平面，平面， ∴平面. (2)证明：∵四边形为平行四边形，∴四点共面. ∵为正三角形，为中点，∴. 又因为平面，，∴平面. ∵平面，∴. 又，平面，平面，∴平面. 又平面，∴平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 ▌迁移练11-1如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，为的中点．证明：平面平面； 【答案】四边形为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，记为中点，所以. 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，所以，， 因为，所以. 又，平面， 所以平面． 平面，所以平面平面. 【详解】略 ▌迁移练11-2如图，在四棱锥中，，平面平面，，，点为的中点. (1)求证：平面； (2)若，求证：平面平面. 【答案】(1)因为，，所以，且. 所以四边形是平行四边形，从而. 又平面，平面，所以平面. (2)由已知平面平面，平面平面， ，平面，所以平面. 平面，从而. 又，， 平面，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 ▌迁移练11-3如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点，且 (1)证明： ; (2)证明：平面平面． 【答案】(1)连接， 在中，因为E，F分别是，的中点， 所以是的中位线，则， 同理可得，所以． (2)设，连接． 因为四边形为平行四边形， 所以互相平分， 在中，，O是的中点，所以， 在中，，O是的中点，所以， 又，且 平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型12平面与平面垂直的性质定理 解题要点 已知两个平面互相垂直，在一个平面内作垂直于交线的直线，该直线就垂直另一个平面。这个定理是由面面垂直得到线面垂直。 做题一定要满足 “在平面内”“垂直交线” 两个条件，缺少任意一个条件结论不成立。常用来作平面的垂线，为求空间角提供垂线条件。 ▌例12 如图，已知四棱台的底面是平行四边形，，为的中点，为钝角三角形． (1)求证：平面； (2)若平面平面，，求证：平面． 【答案】(1)由四棱台的结构可知， 因为为的中点，， 则， 又四边形是平行四边形，， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； (2)作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 由棱台的性质可知，侧棱相交于一点，即共面， 因为棱台的底面底面， 底面平面，底面平面， 所以，所以， 又，所以， 又平面， 所以平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 ▌迁移练12-1如图，是的直径，点是所在平面外一点，点是圆周上不同于，的任意一点，若平面平面，则下列结论一定正确的是（    ）    A．平面 B． C．平面 D． 【答案】B 【详解】由是的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，得， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，而平面，因此，B正确； 由不垂直于知不垂直于平面，A错误； 因与不一定垂直，故得不出平面,故C错误； 又因，但与不一定垂直，故得不出平面，从而推不出,即D错误. ▌迁移练12-2矩形中，，，将矩形沿对角线折成直二面角后，异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过作，且，连接，， 可知异面直线和所成角为（或其补角）， 过作，垂足为，连接， 因为平面平面，平面平面，平面， 可得平面，且平面，则， 在中，，，，则， 可得，， 在中，，，， 由余弦定理可得， 即，可得， 在中，由余弦定理可得， 且异面直线和所成角为锐角，所以异面直线和所成角的余弦值是. ▌迁移练12-3如图，三棱台中，底面，平面平面. (1)证明：； (2)若，点为线段的中点，点为线段的中点，证明：平面. 【答案】(1) 在平面内作，垂足为 又面平面，平面平面，且 所以平面. 又因为平面，所以. 因为平面，平面，所以. 因为，，，平面， 所以平面，平面， 所以. (2)连接，交于点，在侧面中，因为，所以. 因为点为线段的中点，点为线段的中点，所以， 所以，公用，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型13二面角 ▌例13 已知空间四边形各边长都为2，则其对角线与所成角为______，当______时，二面角的平面角为． 【答案】 【详解】取的中点为，连接： ，为中点， 由等腰三角形三线合一性质得， 又平面，所以平面， 因为平面，所以，因此与所成角为.    因为，所以即为二面角的平面角， 故，由题意知，、均为边长为2的等边三角形， 所以， 在中，由余弦定理得：， 故. ▌迁移练13-1如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，E为的中点. (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：平面； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明：连接，交于M，如图所示： 因为底面是正方形，故M为的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. (2)证明：在正方形中，有， 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，平面平面，所以， 因为平面，平面，所以平面． (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵平面，平面， ∴. ∵在正方形中，且，、平面， ∴平面，平面， ∴. ∵，E为的中点，故. 又，且平面，平面， ∴平面，、平面， 所以，. 由二面角的定义知为二面角的平面角， 在中， 所以二面角的平面角的余弦值为. ▌迁移练13-2如图，在长方体中，，若二面角的度数为，则_________. 【答案】 【详解】连接，，，，，过点作于，交于，连接，因为，由对称性可知，，于是为二面角的平面角，即. 设，则，，从而，，. 在中，有. 在中，由余弦定理有. 故， 从而，所以. ▌迁移练13-3如图1，直角梯形中，，，，，将沿翻折至，使得（如图2）. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)由题意得， 过作的垂线，交于点，因为且，则， 易知四边形为矩形， 所以，， 因为，所以， ， 因为，且， 所以，即， 易得， 因为，且， 所以，即， 平面， 所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）在平面中，， 在平面中，， 由二面角的平面角的定义，即为二面角的平面角， 易得，因此， 在图1中的中，且， 则是一个等腰直角三角形，即，即， 所以二面角的大小为. 难点一 空间几何证明（平行、垂直证明） 难点：容易记混判定定理与性质定理，书写证明时漏写关键条件，例如证明线面平行漏掉线含于面，证明面面平行只用一组平行线。空间想象薄弱，分不清立体图形中线面的位置，逻辑链条断裂，条件与结论之间推理没有依据。 处理方法：做题要分清，判定定理是由低维推高维（线⇒面），性质定理是由高维得低维（面⇒线）。书写证明逐条核对定理全部条件，不能缺项。 难点精练 1．如图，在平面四边形中，， ，，将沿边翻折，使点到达点 的位置，且平面 平面 ，则 的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】取的中点，连接 .因为，所以 . 由已知， .所以为直角三角形. 所以 ，又因为，所以 . 因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，所以 平面 . 又 平面，所以 . 则. 2．如图，在梯形中，，，，为边上的点，，，将沿直线翻折到的位置，且，连接．求证：； 【答案】 ，，， ，， 又，为等边三角形； 取中点，连接， ，为中点，； ，，，平面， 平面，又平面， ， ，平面， 平面， 又平面，； ，，， 四边形为菱形， ， 又，平面, 平面， 平面，． 【分析】详解】略 难点二 空间角求解（异面直线角、线面角、二面角） 难点：构造角是主要障碍，找不准二面角的平面角，忽略平面角三要素：顶点在棱上、两边在两个面内、两边垂直棱。容易搞错角度取值范围，异面直线所成角只取锐角或直角，算出钝角需要取补角。 处理方法：异面直线角：平移直线，把异面转化成相交直线夹角。 线面角：找斜线在平面内的射影，斜线与射影夹角即为线面角。 二面角优先使用定义法、三垂线定理构造平面角；构造完成后放到三角形中计算，最后核对角度范围。 难点精练 3．如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)在棱上是否存在一点，使与面所成角为？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【详解】（1）证明：如图1所示，取中点，连接， 因为，所以， 又因为，所以 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：存在． 如图1所示，作于点，由（1）知， 因为，且平面，所以平面， 设，则，， 因为无解，即点在延长线上，如图2所示， 所以，解得，即， 所以，所以垂足与构成一个正方形， 过作交于，连接, 因此平面，所以平面，所以， 记，则，， 所以，解得，即存在满足条件． 4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，且.    (1)求证：平面平面; (2)当时，求直线与平面所成角的大小； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)因为平面，平面，故， 又，，，平面， 故平面，又平面， 故平面平面． (2) (3) 【详解】（1）略. （2）因为四边形为平行四边形， 所以且， 又平面，所以平面． 所以直线与平面所成的角为， 因为，， 故，在中，，所以． 所以，中，， 所以，． （3）过点作于，过作于，连接， 由于平面平面，平面平面，平面， 故平面 又平面，故，    又，，，平面， 故平面，所以，为二面角的平面角， 设，，则，， 由， 解得：， 又， 解得：， 故在中，， 设，则， 由于，故，则， 所以，二面角的正切值的取值范围为． 基础达标 一、填空题 1．已知按斜二测画法得到（如图所示），其中，，则的周长为__________. 【答案】/ 【详解】根据斜二测画法的规则作出原图如图： 由于直观图中，， 可得中，，， 因为，则， 又底边，所以的周长为. 2．已知是正四面体，（由四个全等的正三角形围成的空间封闭图形）M为AB中点，则SM与BC所成角的余弦值为____________. 【答案】/ 【分析】详解】设正四面体棱长为2，取AC中点N，连接MN、NS， 因为M为AB中点，则，且， 可知SM与BC所成角为（或其补角）， 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以SM与BC所成角的余弦值为. 3．如图，在平面四边形中，，，，，，分别为，的中点．将沿折起，使二面角的大小为，则的余弦值为______；直线与平面所成角的正弦值为______．    【答案】 【分析】详解】    因为，所以所以 过点D作，则,又， 所以二面角的平面角为,所以，所以, 因为，所以 ， 所以； 在中，由余弦定理得, 则，而,所以,则 所以,, 所以， 到平面的距离是 , 设到平面的距离是，, 因为，所以，则， 直线与平面所成角为，则 所以直线与平面所成角的正弦值是. 二、单选题 4．空间四条直线a，b，c，d，满足，，，，则必有（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【详解】在正方体中， 令直线为直线，直线为直线，平面内任意一条直线均可为， 显然直线不一定垂直，A错误；同理B错误； 假设不平行，过上任取一点作， 则确定一个平面，由，得， 又，则，同理，因此， 假设不平行，同理可证，则或，C正确，D错误. 5．如图，正方体中，，分别是，的中点，则平面与平面的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】根据题意，连接， 因为，是的中点，则， 设正方体棱长为， 则， 所以，所以， 又平面， 所以平面，而平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的夹角为. 6．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】如图，连接，设，连接. 因为平面，平面平面，平面， 所以. 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，即. 所以与相似， 则，又在中，由可得. 所以，即. 三、解答题 7．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明：如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． (2)证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 【详解】（1）略 （2）略 8．如图：正方体中，点，为上两点，点G，H分别为，的中点，且． (1)求证：平面 (2)求证：平面平面 【答案】(1)如图，取的中点，连接，． 在中，，分别为，的中点，所以，且． 因为，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以． 又平面，平面， 所以平面. (2)因为、在上，所以平面与平面是同一平面， 因为正方体， 所以平面，又平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，即平面， 又平面，所以平面平面. 【详解】（1）略 （2）略 9．如图，在三棱锥中，，平面． (1)证明：． (2)若，，求与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明：因为平面，平面，所以． 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以； (2) 【详解】（1）略 （2）取的中点D，连接，， 因为，所以， 因为平面，平面，所以，, 又，平面，所以平面， 所以是与平面所成的角， 在中,， 在中,，， 所以，则， 故与平面所成角的正切值为. 10．如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为平行四边形，其中 ，， 为棱 上一点. (1)若 为 中点，求证： 平面 ； (2)若 ，求直线 和平面 所成角的正弦值. 【答案】(1)因为，， 所以由余弦定理可得， 所以，即， 又平面，平面，故， 平面，故平面， 又平面，故, 是中点， 故，又平面， 故平面. (2) 【详解】（1）略 （2）记点到平面的距离为， 由， 得，得，解得， 因为，所以点到平面的距离为， 由, 则，由，得，而， 得，得， 记直线 和平面 所成角为，则， 故直线 和平面 所成角的正弦值为. 11．如图，在三棱锥中，底面，垂足为，且，，为中点，， (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)平面，平面，         ，D是中点，             又平面，平面，，平面     平面， (2) 【详解】（1）略 （2）法一： 连接，平面，平面，∴平面平面     过作，为垂足. ∵平面平面，平面，平面， 为与平面所成角. ，，，. 平面，平面，． ， ， ， . 即与平面所成角正弦值为．             法二： 连接，过作， 平面，平面，. 又，平面，平面，， 平面. 为与平面所成角，             ，，，，         平面，平面，． ，             ，             由余弦定理，， ， ，             即与平面所成角正弦值为． 12．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证，平面平面； (3)求直线与平面所成角的大小 【答案】(1)因为平面，平面，则， 又因为底面是正方形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 因为，为中点，则， 且，平面，所以平面. (2)设，连接， 因为平面，平面，则， 又因为底面是正方形，则， 且，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面. (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为平面，平面，则， 可知直线与平面所成角为， 由题意可知：，， 则，可得， 所以直线与平面所成角的大小为. 能力进阶 1．在正六棱柱中，，，为底面所在平面内的任意一点，则异面直线与所成角的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】正六棱柱中，平面， 所以点在平面上的投影为，则在平面上的投影为. 因为为底面所在平面内的任意一点，所以异面直线与所成角的最小值就是与投影所成的角. 在中，，，则. 又异面直线所成角范围为，所以. 故当位于过点且平行于的直线上时，异面直线与所成角取得最小值，为. 2．如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，，，则下列结论不正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．当时，从点出发沿着该八面体表面到点的最短路程为 D．当该八面体表面积为时，二面角的大小为 【答案】B 【详解】对于A：如图，连接交于点O，则点O为正方形的中心，平面， 由可知，，所以四边形为平行四边形， 又，故四边形为菱形，由，平面，平面，得平面，故A正确； 若平面，则，与矛盾， 故B错误； ，所以与为等边三角形， 展开至同一平面，连接交于，则为中点，故路程最短为， 其他路径同理可得路程最短为，故C正确. 对于D：该八面体八个面都是全等的等腰三角形，则， 取中点，则，，则二面角的平面角为， 因为，所以，所以，， 由得，所以， 故，，即，故D正确. 3．如图，在多面体中，是边长为的等边三角形，平面，，，，，记的中点为． (1)证明：平面； (2)设为棱上的动点， （i）若，求到的距离； （ii）求与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)如图，取的中点，连接，. 平面，，，平面，平面. 为的中点，为的中点，， 在直角梯形中，，. ，，，； 平行四边形是平行四边形. . 平面，平面，平面平面. 是等边三角形，为的中点，. 平面平面，平面，平面. ，平面. (2)（i）；（ii） 【详解】（1）略 （2）（i）如图，过点分别作，，垂足分别为点，；取中点，连接，，，. 是边长为2的等边三角形，为的中点，，，. ，； ，，，，. 在中，. ，平面，平面. 在中，； 在中，. 在中，； . 在中，. 即点到的距离为. （ii）如图，过点作平面，垂足为点，连接，则为与平面所成角； 分别过点，作，，，垂足分别为，，. 则，，，. 在中，； 在中，； 在中，； ，即为等腰三角形. 是的中点，，. ，. 为棱上的动点，设，. 在中，. 在中，； 在中，； 在中，； . .，. 由（1）得平面，则平面. ，即，解得. 在中，. ，当时，取得最大值，即. 即与平面所成角的正弦值的最大值为. 4．如图，在三棱台中，平面平面，，，且． (1)证明：； (2)求直线与平面所成的角的大小； (3)线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切值为？若存在，求出线段BE的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：三棱台中，平面平面，， 又，所以四边形为等腰梯形，易得. 在中，， 则，所以，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. (2) (3)存在， 【详解】（1）略 （2）三棱台中，因为，所以. 由（1）知，平面，因为平面，所以. 因为平面，，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 过点作，交的延长线于. 因为平面平面，平面，所以平面， 则即为直线与平面所成的角. 在中，，，所以，即. 故直线与平面所成的角大小为. （3）设三棱台侧棱的延长线交于点，易知为等边三角形， 由平面平面，平面平面，得平面平面. 取中点，连接，则，且. 又平面平面，平面，所以平面. 连接，过点作交于，则平面. 因为平面，所以. 过点作交于，连接. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以，则即为二面角的平面角. 若存在点，使得二面角的平面角正切值为，即. 设，则， 因为，，则， 即，解得. 在中，， 在中，， 在直角梯形中，， 因为，即，所以， 所以线段上存在满足题意的点，. 5．如图所示，四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，且平面平面，，分别为的中点. (1)求证：平面平面； (2)若点在棱上，，点在棱上，，证明：平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)在等边中，为中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 则平面，又因为平面，所以， 在正方形中，，又因为分别为的中点， 所以，所以，且平面，平面，， 所以平面，平面， 所以平面平面. (2)连接 ，设其与 交于点 ， 显然，平面，且 平面， 又因为平面，且 平面，所以平面平面， 设平面， 因为平面，且平面，所以， 因此三点共线， 在中，直线分别交 的延长线于 ， 已知：， 设， 则， 因为三点共线，所以，则， 即， 因为，所以， 所以，所以. 因为平面且平面， 所以平面. (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）取中点，连接， 因为分别为中点，所以且， 所以异面直线与的所成角或其补角， 在等边中， 由（1）可知，在中， 所以，， 所以. 6．在边长为2的正方形中（图1），、分别为、的中点，将四边形沿向上折起，形成二面角，为的中点，在上运动.在图2中，连接、，其中点为的中点. (1)证明：； (2)当二面角为直二面角时， （i）求直线与面所成的角； （ii）证明：平面平面. 【答案】(1)在折叠过程中，，， 又因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. 图1中，、分别为、的中点，则，所以. 在中，，点为的中点，所以. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. (2) （i） （ii）在中，，，所以，即. 直二面角中，平面平面，平面平面，， 平面，所以平面，因为平面，所以. 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【详解】（1）略 （2）因为，，平面平面， 所以是二面角的平面角，所以. （i）连接. 由（1）知，平面，所以为直线与面所成的角， 在中，，所以. 在中，，所以. 在Rt中，， 因为，所以， 故直线与面所成的角为. （ii）略 7．如图所示，在等腰梯形中，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图所示，平面平面．    (1)点为的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)取的中点，连接，.如图：    因为是中点，所以是的中位线，故，且. 由等腰梯形性质，且， 因此且，四边形是平行四边形，故. 又平面，平面，因此平面. (2) (3)存在，. 【详解】（1）略 （2）因为在等腰梯形中，，，， 所以，.连接，如图：    因为，所以，且平面平面， 所以平面，平面，所以. 在直角中，. 又在中，，所以，故. 因为，，且，平面， 所以平面，平面，所以. 在直角中，，所以. 设点到平面的距离为，则. 又因为，. 因为，所以，得. 设直线与平面所成角为，则. 因此直线与平面所成角的正弦值为. （3）理由如下： 延长相交于，过点作于，连接，如图： 因为，且，所以是的中位线， 因此，.    因为平面，平面，所以平面平面， 同理平面平面，所以平面与平面的交线为. 由，，，得平面， 故平面平面，且平面与平面的交线为， 又因为，平面，所以平面， 因此平面在平面的射影面为. 设，，所以. 在中，由（2）知，， . 在中，，. 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 由射影定理得，所以. 如图，直角中，.    在中，由余弦定理得 . 在直角中，，所以. 又在中，由余弦定理得， ， 化简得，两边平方， 即，解得或（舍去），经检验是原方程的根. 因此棱（不包括端点）上是存在点，且时，平面与平面的夹角的余弦值为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $