（暑假作业）基础与拔高专题：不等式与不等式组-2025-2026学年人教版 数学七年级下册

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组，以“概念辨析-解法应用-拓展创新”为逻辑主线，融合基础巩固与拔高训练，通过实际情境与新定义问题培养抽象能力、推理意识和模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题（多结论判断）|参数范围确定、整数解边界分析|从不等式性质到不等式组求解，构建“性质-解法-应用”链条| |拔高训练|21题（子方程新定义）|新定义转化、分类讨论|结合实际情境与创新概念，深化含参综合与模型应用|

（暑假作业）基础与拔高专题：不等式与不等式组-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024） 基础巩固 1．下列不等式的解集不包含的是（     ） A． B． C． D． 2．下列不等式的变形正确的是（     ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知实数x、y、m满足，且对于任意满足条件的，均为负数，则的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 4．如图1，某工厂内的一人形机器人正在搬运货物，如图2，这是该款人形机器人说明书上的一部分，表示该人形机器人每次搬运的货物的质量不能超过．设该人形机器人每次搬运的货物的质量为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．在某校班级足球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场扣1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得20分，那么这个班至少要胜多少场？（     ） A． B． C． D． 6．已知关于x的不等式组的解集是，则的算术平方根为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．不等式组的解集在数轴上应表示为（    ） A． B． C． D． 8．某商店甲商品的单价为8元，乙商品的单价为2元．已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的2倍少4件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元．设购买甲商品件，依题意可列不等式组得（     ）． A． B． C． D． 9．如果关于的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对共有（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 10．关于x的不等式组，下列五个结论： ①若不等式的解集是，则不等式的解集是； ②若不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，则的取值范围是； ③若不等式组仅有5个整数解，则； ④若不等式组无解，则； ⑤当时，不等式组有解． 其中正确的结论是（     ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．②③④ D．①③④ 11．的值比的值至多大3的不等式是___________． 12．已知关于的不等式组的解集为，则的值为________． 13．一次智力测验，有道选择题，评分标准为：对题给分，错题扣分，不答题不给分也不扣分，小明有道题未答，则他至少要答对_______道题，总分才不会低于分． 14．关于x的不等式的解集如图所示，则a的值是______． 15．关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是_______． 16．对于任意两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：．若，则的取值范围是__________． 17．按要求解答下列问题： (1)解不等式：，并把不等式的解集在数轴上表示出来； (2)解不等式组：． 18．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌的毽子．拟定如下表的两种购买方案： 甲品牌毽子/个 乙品牌毽子/个 总价/元 方案一 12 4 152 方案二 15 8 214 (1)求甲品牌毽子和乙品牌毽子的单价； (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共1000个，且总费用不超过9100元，甲品牌毽子最多能买多少个？ 19．阅读下面的材料：∵，即，∴的整数部分是4，小数部分是．请你观察上述方法，解答下列问题： (1)若介于连续的两个整数a和b之间，且，则______，_______． (2)若x是的小数部分，y是的整数部分，求的值； (3)由（2）中的x，求的算术平方根． 拔高训练 20．若实数x、y满足，则称点为“统一点”． (1)请直接写出一个“统一点” ； (2)若点是“统一点”，且a、b分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围； (3)已知点是满足的“统一点”，且m、n是关于x的不等式组的解，其中，求t的取值范围． 21．定义：若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为该一元一次不等式组的子方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程是不等式组的子方程．请根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． (1)在方程①，②，③中，不等式组的子方程是________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的一个子方程，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的子方程，求的取值范围． 22．为迎接旅游发展大会的召开，小宇所在的班级开展家乡旅游宣讲竞赛，需要去商店购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：某商店在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买1个A款运动盲盒、1个B款运动盲盒，共需18元． 素材2：该商店开展促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折出售（已知小宇在此之前不是该商店的会员）；线上网店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的九折出售且包邮． (1)该商店在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小宇计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若在线下商店成为会员购买，共需要_______________元；若在线上网店购买，共需要______________元．（均用含m的代数式表示） (3)请你帮小宇算一算，在（2）的条件下，至少购买多少个A款运动盲盒，线下购买方式合算？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C A D A C C D 1．D 【分析】逐一判断各选项不等式解集是否包含即可． 【详解】解： 选项，的解集包含． 选项，的解集包含． 选项，的解集包含． 选项，的解集不包含． 2．A 【详解】解：A、∵，，∴两边同除以，得，变形正确； B、∵的符号未确定，若，则，且时分式无意义，∴变形错误； C、∵当时，，∴变形错误； D、∵的符号未确定，当时，不成立，∴变形错误． 3．B 【分析】先将用含的式子表达出来，再结合为负数的条件列出不等式分析求解． 【详解】解：由，得， 由二次根式有意义的条件，得，即． 为负数， ，代入的表达式得， 移项得， 需要找到的最大值． 设，， 在时随的增加而增加， 在时随的增加而减少， 又在时也随的增加而减少， 在时随的增加而减少， 当时，取得最大值， ． 4．C 【分析】“不能超过”是不等关系中的“小于或等于”，即；同时货物质量必须为正数，即，综合可得取值范围． 【详解】解：由题意，该人形机器人每次搬运的货物质量不能超过， ∴． 又∵货物质量为正数， ∴． 综上，x的取值范围是． 5．A 【分析】设这个班要胜场，则负场，根据总得分至少20分的不等关系列不等式求解即可． 【详解】解：设这个班要胜场，则负场， 由题意得， 化简得， 解得， ∴的最小值为， ∴这个班至少要胜场． 6．D 【详解】解：解不等式， 得． 解不等式， 得． ∵ 不等式组的解集是， ∴ ，． 解得，． ∴ ． 的算术平方根为， ∴的算术平方根为5． 7．A 【详解】解：， 解不等式①得, 解不等式②，去分母，得, 移项，合并同类项，得 ∴不等式组的解集在数轴上表示为A选项． 8．C 【分析】先根据甲商品件数为件，用含的式子表示出乙商品的购买件数，利用甲乙的总件数不少于件和甲乙总费用不超过元分别列不等式即可． 【详解】解：设购买甲商品件，则购买乙商品件， 依题意得：． 9．C 【分析】根据整数解仅为1,2,3，确定不等式组解集边界的取值范围，注意等号的取舍. 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解仅为1，2，3， ∴，， 解得，， ∵m，n为整数， ∴m可取1，2，3，共3个，n可取7，8，共2个， ∴整数对共有对. 10．D 【分析】先将不等式组的解集用含参数的式子表示，再结合各结论的条件建立关于的等式或不等式求解判断． 【详解】解：不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ①若不等式的解集是， ， 解得：， 将代入得：， 解得：， 故①正确； ②不等式组的解集中任意都在范围内， ， 解得：，与结论中不符， 故②错误； ③不等式组仅有5个整数解，且， 整数解为4，3，2，1，0， ， 解得：， 故③正确； ④不等式组无解， ， 解得：， 故④正确； ⑤当时，，此时不等式组解集为且，无解， 故⑤错误； 综上所述，正确的结论为①③④． 11． 【分析】“至多”表示不超过，即小于等于，先计算与的差，再根据不等关系列不等式． 【详解】解：∵的值比的值至多大3， ∴减去的差不大于3， 因此列出不等式为：． 12． 【分析】先解不等式组，结合已知解集得到和的值，再计算即可． 【详解】解：解得， ∵不等式组的解集为， ∴，， ∴， ∴． 13．14 【分析】设小明答对道题，则答错道题，利用总分答对题目数答错题目数，结合总分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设小明答对道题，则答错道题， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 14．5 【分析】先解关于x的一元一次不等式，用含a的代数式表示解集，再根据数轴确定不等式的实际解集，建立关于a的方程求解． 【详解】解：，得， 由数轴可知，不等式的解集为， ， 解得． 15． 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，根据整数解的个数确定a的范围即可． 【详解】解：解不等式组， 由得， 由得， 故不等式组的解集为， 不等式组只有三个整数解，且， 整数解为 ，，， 可得， 解得． 16． 【分析】根据新定义规则，可得大于，解一元一次不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵符号表示两个不相等实数，中的较大值，且， ∴ 解得． 17．(1)； (2) 【分析】（1）根据不等式的基本性质，通过移项、系数化为来求解，再将解集在数轴上表示出来； （2）分别求解两个不等式，再取它们的公共部分得到不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ， ； 数轴图略． （2）解：， 解不等式，得：； 解不等式，得：， 不等式组的解集为：． 18．(1)甲品牌的毽子单价为10元，乙品牌的毽子单价为8元 (2)甲品牌的毽子最多能买550个 【分析】（1）理解题意，先设甲品牌的毽子单价为元，乙品牌的毽子单价为元，结合表格数据列出方程组，最后解得，的值，即可作答． （2）根据购买甲、乙两种品牌毽子共1000个，且总费用不超过9100元，列出一元一次不等式，再解得，最后作答即可． 【详解】（1）解：设甲品牌的毽子单价为元，乙品牌的毽子单价为元 依题意，得 解得 答：甲品牌的毽子单价为10元，乙品牌的毽子单价为8元， （2）解：设甲品牌的毽子买了个，则乙品牌的毽子买了个， 依题意，得 解得 答：甲品牌的毽子最多能买550个 19．(1)6，7 (2) (3)3 【分析】（1）夹逼法求出的范围，即可得出结果； （2）求出的范围，进而求出的值，再进行计算即可； （3）先计算，再根据算术平方根的定义进行求解即可. 【详解】（1）解：∵，即， ∴； （2）解：∵，即， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：由（2）知：， ∴的算术平方根为3. 20．(1)（答案不唯一，满足即可） (2) (3) 【分析】（1）根据“统一点”定义，取一个x的值，计算对应y值即可； （2）先解不等式组得到解集范围，结合“统一点”定义可知最大整数解比最小整数解大1，由此确定整数解的具体值，再列不等式求k的取值范围； （3）先联立“统一点”条件和，解方程组得到m和n的值，再分类讨论不等式组的解集，根据m、n都是解列不等式求t的取值范围． 【详解】（1）解：令，由，得， ∴点是“统一点”．（答案不唯一） （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有最大整数解a和最小整数解b， ∴最大整数解为， ∵点是“统一点”， ∴， ∴，即最小整数解为， ∴， 解得：． （3）解：∵点是“统一点”， ∴， 联立， 解得：， ∵m、n是不等式组的解， ∴和均满足不等式组， 此时分两种情况讨论： ①当，即时， ∴不等式的解集为，不等式的解集为， ∴不等式组的解集为， ∵和都在解集中， ∴，解得：， ∵， ∴； ②当，即时， ∴不等式的解集为，不等式的解集为， ∴不等式组的解集为， 此时和均不满足，不符合题意，舍去， 综上所述，t的取值范围是． 21．(1)③ (2) (3) 【分析】（1）求出三个方程的解和不等式组的解集，再根据定义可得答案； （2）求出方程的解和不等式组的解集，再根据定义得到关于a的不等式，解之即可得到答案； （3）求出两个方程的解和不等式组的解集，再根据定义得到关于m的不等式组，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程得， 解方程得； 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∵， ∴只有方程是不等式组的子方程； （2）解：解方程得， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∵关于的方程是不等式组的一个子方程， ∴， 解得； （3）解：解方程得， 解方程得； 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∵方程，都是关于的不等式组的子方程， ∴， 解得． 22．(1)该商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元 (2)， (3)个 【分析】（）设该商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元，根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）根据题意得在线下商店成为会员购买，共需要；在线上网店购买，共需要，然后进行化简即可； （）由（）得在线下商店成为会员购买，共需要元，在线上网店购买，共需要元，根据题意得，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：设该商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元， 根据题意得，， 解得：， 答：该商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元； （2）解：在线下商店成为会员购买，共需要： （元）； 在线上网店购买，共需要： （元）； （3）解：由（）得，在线下商店成为会员购买，共需要元，在线上网店购买，共需要元， 根据题意得，， 解得：， 答：至少购买个A款运动盲盒，线下购买方式合算． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $