专题2 充要条件（讲义）-2027年甘肃省（中职升学考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年甘肃省中职升学考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年甘肃省中职升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 充要条件 【复习目标】 1. 理解命题、逆命题、否命题和逆否命题，掌握四种命题的真假关系。 2. 理解充分条件、必要条件和充要条件，能够判断两个条件之间的关系。 3. 掌握充要条件与集合包含关系的联系，能够解决简单含参数问题。 考点1 命题 【知识梳理】 （1）命题是可以判断真假的陈述句；判断为真的命题叫真命题，判断为假的命题叫假命题。疑问句、祈使句以及无法判断真假的语句不是命题。 （2）设原命题为“若 ，则 ”，其逆命题为“若 ，则 ”，否命题为“若 ，则 ”，逆否命题为“若 ，则 ”。 （3）原命题与逆否命题真假相同；逆命题与否命题真假相同。 （4）命题“所有 都具有性质 ”的否定是“存在 不具有性质 ”。 【即时训练】 1．下列语句是命题的是（　） A． B． C．请保持安静 D．多么美丽的校园 2．下列命题为假命题的是（　） A． B．若 ，则 C．所有实数的平方都大于0 D．空集是任何集合的子集 3．命题“若 ，则 ”的逆命题是（　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 4．命题“若 ，则 ”的逆否命题是（　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 5．与原命题一定具有相同真假的是（　） A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题 D．以上都不是 6．命题“所有实数 都满足 ”的否定是（　） A．所有实数 都满足 B．存在实数 ，使 C．存在实数 ，使 D．所有实数 都满足 7．若命题“若 ，则 ”为真，则下列命题一定为真的是（　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D． 与 都为真 8．命题“若 ，则 ”的否命题为______。 考点2 充分条件、必要条件与充要条件 【知识梳理】 （1）若 ，则称 是 的充分条件， 是 的必要条件。 （2）若 且 ，则 是 的充分不必要条件；若 且 ，则 是 的必要不充分条件。 （3）若 且 ，即 ，则 是 的充要条件。若两个方向均不能推出，则为既不充分也不必要条件。 （4）判断方法：先检验“由 能否推出 ”，再检验“由 能否推出 ”；必要时可举反例。 【即时训练】 9．“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．设 ，“ 是偶数”是“ 是偶数”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．若 且 ，则 是 的______条件。 考点3 充要条件与集合的关系 【知识梳理】 （1）设命题 ，命题 。若 ，则 ，即 是 的充分条件。 （2）若 ，则 ，即 是 的必要条件。 （3）若 ，则 ，即 是 的充要条件。 （4）含参数的充要条件问题可转化为集合的包含或相等问题，再比较区间端点。 【即时训练】 17．设 ，则“”是“”的（　） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．设 ，则“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．若“”是“”的充要条件，则（　） A． B． C． D． 20．设 ，，则“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21．设 ，，则“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．设 ，，则“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．若“”是“”的充分条件，则 的取值范围是______。 24．是否存在实数 ，使“”是“”的充要条件？若存在，求 ；若不存在，说明理由。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年甘肃省中职升学考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年甘肃省中职升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 充要条件 【复习目标】 1. 理解命题、逆命题、否命题和逆否命题，掌握四种命题的真假关系。 2. 理解充分条件、必要条件和充要条件，能够判断两个条件之间的关系。 3. 掌握充要条件与集合包含关系的联系，能够解决简单含参数问题。 考点1 命题 【知识梳理】 （1）命题是可以判断真假的陈述句；判断为真的命题叫真命题，判断为假的命题叫假命题。疑问句、祈使句以及无法判断真假的语句不是命题。 （2）设原命题为“若 ，则 ”，其逆命题为“若 ，则 ”，否命题为“若 ，则 ”，逆否命题为“若 ，则 ”。 （3）原命题与逆否命题真假相同；逆命题与否命题真假相同。 （4）命题“所有 都具有性质 ”的否定是“存在 不具有性质 ”。 【即时训练】 1．下列语句是命题的是（　） A． B． C．请保持安静 D．多么美丽的校园 【答案】B 【分析】命题必须能够判断真假。 【详解】 是可以判断真假的陈述句，且为真命题。故选B。 2．下列命题为假命题的是（　） A． B．若 ，则 C．所有实数的平方都大于0 D．空集是任何集合的子集 【答案】C 【分析】检验各陈述是否成立。 【详解】当实数为0时平方等于0，并不大于0，所以C是假命题。 3．命题“若 ，则 ”的逆命题是（　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】B 【分析】逆命题交换条件和结论。 【详解】交换“”和“”，得到“若 ，则 ”。 4．命题“若 ，则 ”的逆否命题是（　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】C 【分析】逆否命题先交换条件结论，再分别否定。 【详解】逆否命题为“若 ，则 ”。故选C。 5．与原命题一定具有相同真假的是（　） A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题 D．以上都不是 【答案】C 【分析】原命题与逆否命题等价。 【详解】互为逆否的两个命题真假相同。故选C。 6．命题“所有实数 都满足 ”的否定是（　） A．所有实数 都满足 B．存在实数 ，使 C．存在实数 ，使 D．所有实数 都满足 【答案】B 【分析】全称命题的否定为存在性命题。 【详解】“所有都成立”的否定是“至少存在一个不成立”。故选B。 7．若命题“若 ，则 ”为真，则下列命题一定为真的是（　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D． 与 都为真 【答案】C 【分析】原命题与逆否命题真假相同。 【详解】原命题为真，则其逆否命题“若 ，则 ”也为真。 8．命题“若 ，则 ”的否命题为______。 【答案】若 ，则 【分析】否命题分别否定原命题的条件和结论。 【详解】原命题条件的否定为 ，结论的否定为 。 考点2 充分条件、必要条件与充要条件 【知识梳理】 （1）若 ，则称 是 的充分条件， 是 的必要条件。 （2）若 且 ，则 是 的充分不必要条件；若 且 ，则 是 的必要不充分条件。 （3）若 且 ，即 ，则 是 的充要条件。若两个方向均不能推出，则为既不充分也不必要条件。 （4）判断方法：先检验“由 能否推出 ”，再检验“由 能否推出 ”；必要时可举反例。 【即时训练】 9．“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 能推出 ，反之不成立。 【详解】 还可能有 ，故为充分不必要条件。 10．“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】检验两个方向的推出关系。 【详解】，但 不能推出 ，故为必要不充分条件。 11．“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】小范围可以推出大范围。 【详解】，反之不成立。故选A。 12．设 ，“ 是偶数”是“ 是偶数”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】整数的平方与原数奇偶性相同。 【详解】偶数的平方为偶数；若平方为偶数，则原整数也为偶数。故为充要条件。 13．“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】等边三角形一定是等腰三角形。 【详解】等腰三角形不一定等边，所以是充分不必要条件。 14．“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 可推出平方相等，反之可能 。 【详解】反例 表明必要性不成立。故选A。 15．“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 时 ，但 也满足。 【详解】所以“”是“”的充分不必要条件。 16．若 且 ，则 是 的______条件。 【答案】充要 【分析】两个方向均成立即等价。 【详解】，所以 是 的充要条件。 考点3 充要条件与集合的关系 【知识梳理】 （1）设命题 ，命题 。若 ，则 ，即 是 的充分条件。 （2）若 ，则 ，即 是 的必要条件。 （3）若 ，则 ，即 是 的充要条件。 （4）含参数的充要条件问题可转化为集合的包含或相等问题，再比较区间端点。 【即时训练】 17．设 ，则“”是“”的（　） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】集合包含关系对应推出关系。 【详解】 表明 ，故为充分条件。 18．设 ，则“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】，反向不成立。 【详解】所以“”是“”的必要不充分条件。 19．若“”是“”的充要条件，则（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】充要条件对应两个集合相等。 【详解】两个方向均能推出，故 且 ，所以 。 20．设 ，，则“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】。 【详解】由 能推出 ，反之不能，故为充分不必要条件。 21．设 ，，则“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】，所以 。 【详解】 是 的必要不充分条件。 22．设 ，，则“”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】。 【详解】属于小集合可以推出属于大集合，反向不能。故选A。 23．若“”是“”的充分条件，则 的取值范围是______。 【答案】 【分析】转化为区间包含关系。 【详解】要求 ，所以 。 24．是否存在实数 ，使“”是“”的充要条件？若存在，求 ；若不存在，说明理由。 【答案】存在， 【分析】充要条件对应两个区间相等。 【详解】要求 ，比较端点得 。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $