专题1 集合（讲义）-2027年甘肃省（中职升学考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年甘肃省中职升学考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年甘肃省中职升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合 【复习目标】 1. 理解集合、元素及二者关系，掌握常用数集与符号。 2. 掌握列举法、描述法，能选择合适方法表示简单集合。 3. 理解子集、真子集、集合相等、空集与全集，能判断集合关系并计算子集个数。 4. 理解交集、并集、补集，能进行有限集和区间型集合的基本运算。 【考点1 集合与元素、常用数集及符号】 知识梳理 （1）一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合。集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。 （2）元素与集合之间只有属于和不属于两种关系，分别记作 和 。 （3）常用数集：自然数集 ，正整数集 ，整数集 ，有理数集 ，实数集 。 （4）空集是不含任何元素的集合，记作 ； 与只含元素0的集合 不同。 【即时训练】 1．下列对象能组成集合的是（　） A．某班个子较高的学生 B．接近10的数 C．小于5的正整数 D．我国著名的城市 【答案】C 【分析】利用集合中元素的确定性判断。 【详解】“小于5的正整数”有明确的判断标准，可以组成集合；其余对象的标准不确定。故选C。 2．下列关系正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常用数集的含义判断。 【详解】，且2是自然数，所以 。故选B。 3．集合 中元素的个数为（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】集合中的重复元素只计一次。 【详解】由元素的互异性可知 ，共有3个元素。故选C。 4．下列说法错误的是（　） A．集合中的元素必须是数 B．集合中的元素具有无序性 C．集合中的元素具有互异性 D． 【答案】A 【分析】集合的元素可以是数、点、图形或其他确定对象。 【详解】集合中的元素不一定是数，因此A错误。故选A。 5．下列关系中正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】区分元素0、集合 与空集 。 【详解】集合 的唯一元素是0，所以 。故选C。 6．若 ，则下列结论一定正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一个元素属于集合，可以得到由该元素组成的单元素集合是原集合的子集。 【详解】因为 ，所以集合 中的每个元素都属于 ，即 。故选A。 7．集合 与集合 的关系是（　） A． B． 但 C． D． 【答案】C 【分析】集合中元素的排列顺序不影响集合。 【详解】 与 所含元素完全相同，所以 。故选C。 【考点2 集合的表示方法】 知识梳理 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，并写在花括号内；元素之间用逗号隔开。 （2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合，一般写成 。 （3）有限且元素较少时常用列举法；无限集或元素具有明显共同特征时常用描述法。 （4）点集中的元素是有序数对，例如 ；数集中的元素是数，二者不能混淆。 【即时训练】 8．用列举法表示集合 ，正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出指定范围内的所有整数。 【详解】满足 的整数为 ，所以 。故选B。 9．集合 用描述法可表示为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】描述法既要体现偶数特征，也要限定元素范围。 【详解】当 时， 依次得到2、4、6、8。故选B。 10．方程 的解集为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程后用集合表示全部解。 【详解】，解得 或 ，故解集为 。 11．下列集合表示点集的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点集的元素通常为有序数对。 【详解】 的元素为满足 的点，所以它表示点集。故选C。 12．表示所有偶数组成的集合，最适合使用（　） A．列举法 B．描述法 C．图表法 D．无法表示 【答案】B 【分析】无限集通常使用描述法。 【详解】偶数有无限多个，可表示为 ，所以最适合使用描述法。故选B。 13．已知 ，则 （　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本考纲中自然数集包含0。 【详解】满足 且 的数为 ，所以 。 14．若集合 ，则实数 的值为______。 【答案】 【分析】利用集合相等和元素互异性。 【详解】要使 只有一个元素2，必须有 ，解得 。 【考点3 集合之间的关系】 知识梳理 （1）若集合 中的任意一个元素都是集合 的元素，则 是 的子集，记作 。 （2）若 且 ，则 是 的真子集，记作 。 （3） 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。若 且 ，则 。 （4）含有 个元素的集合有 个子集、 个真子集、 个非空真子集。 （5）常用等价关系：，。 【即时训练】 15．集合 的子集个数为（　） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】含有 个元素的集合有 个子集。 【详解】 含3个元素，所以子集个数为 。故选D。 16．集合 的真子集个数为（　） A．8 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】真子集个数为 。 【详解】 含4个元素，真子集个数为 。故选C。 17．下列结论正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】空集是任何集合的子集，包括空集本身。 【详解】 正确；空集不是自身的真子集，且 含有一个元素。故选B。 18．已知 ，，则（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较两个集合所含元素。 【详解】 的每个元素都属于 ，且 ，所以 。故选B。 19．已知 ，，若 ，则 的取值集合为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】集合 中的元素必须全部属于 。 【详解】因为 ，所以 ，即 。故选C。 20．设 ，。若 ，则实数 的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数轴比较两个区间的包含关系。 【详解】要使区间 中的每个数都小于 ，必须且只需 。故选B。 21．已知 ，则下列结论正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用交集与包含关系的等价结论。 【详解】 表示 中的元素都属于 ，所以 。故选A。 【考点4 集合的基本运算】 知识梳理 （1）由所有属于 或属于 的元素组成的集合叫作并集，记作 。 （2）由所有既属于 又属于 的元素组成的集合叫作交集，记作 。 （3）设全集为 ，由 中不属于 的所有元素组成的集合叫作 在 中的补集，记作 。 （4）区间型集合的运算可借助数轴完成；先画出各集合，再根据“交取公共、并取所有、补取剩余”确定结果。 （5）常用运算律：，，，。 【即时训练】 22．若 ，，则 （　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】并集包含两个集合中的全部不同元素。 【详解】。故选C。 23．若 ，，则 （　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】交集取两个区间的公共部分。 【详解】两个区间的公共部分为 ，所以 。故选B。 24．设全集 ，，则 （　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从全集中去掉集合 的全部元素。 【详解】 中不属于 的元素为2、4，所以 。故选B。 25．已知 ，则（　） A． B． 与 没有公共元素 C． D． 【答案】B 【分析】交集为空集表示没有公共元素。 【详解】 的含义是 与 没有公共元素。故选B。 26．设全集 ，，，则 （　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求补集，再求交集。 【详解】，所以 。故选C。 27．设 ，，则 （　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解方程得到集合 ，再求交集。 【详解】由 得 ，所以 。故选A。 28．某班有40人，参加数学兴趣小组的有25人，参加计算机兴趣小组的有18人，两组都参加的有10人，则至少参加一个小组的有______人。 【答案】 【分析】利用两个集合的容斥关系。 【详解】至少参加一个小组的人数为 。 考点01 集合间的关系 1.（2024·甘肃·真题T04）已知集合，则集合的子集和真子集的个数分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有个元素的集合，其子集个数为个和真子集个数为个可得答案． 【详解】集合含有个元素，其子集个数为个， 真子集的个数为个. 故选：C. 2.（2023·甘肃·真题T02）集合的真子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合内的元素个数易得真子集个数. 【详解】因为内有3个元素, 所以集合的真子集个数为. 故选:C. 考点02 集合的运算 3.（2022·甘肃·真题T03）设集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义列出方程组即可得解. 【详解】集合，， ，解得， 所以， 故选：. 4.（2021·甘肃·真题T01）设全集，，，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的运算即可求解. 【详解】对A，，所以A正确. 对B，，所以B正确. 对C，因为，所以，即C正确. 对D，因为，所以，即D错误. 故选：D. 5.（2020·甘肃·真题T01）已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解集合A，再根据交集的概念求解即可. 【详解】由题意得：集合， 因为集合， 则． 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年甘肃省中职升学考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年甘肃省中职升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合 【复习目标】 1. 理解集合、元素及二者关系，掌握常用数集与符号。 2. 掌握列举法、描述法，能选择合适方法表示简单集合。 3. 理解子集、真子集、集合相等、空集与全集，能判断集合关系并计算子集个数。 4. 理解交集、并集、补集，能进行有限集和区间型集合的基本运算。 【考点1 集合与元素、常用数集及符号】 知识梳理 （1）一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合。集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。 （2）元素与集合之间只有属于和不属于两种关系，分别记作 和 。 （3）常用数集：自然数集 ，正整数集 ，整数集 ，有理数集 ，实数集 。 （4）空集是不含任何元素的集合，记作 ； 与只含元素0的集合 不同。 【即时训练】 1．下列对象能组成集合的是（　） A．某班个子较高的学生 B．接近10的数 C．小于5的正整数 D．我国著名的城市 2．下列关系正确的是（　） A． B． C． D． 3．集合 中元素的个数为（　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列说法错误的是（　） A．集合中的元素必须是数 B．集合中的元素具有无序性 C．集合中的元素具有互异性 D． 5．下列关系中正确的是（　） A． B． C． D． 6．若 ，则下列结论一定正确的是（　） A． B． C． D． 7．集合 与集合 的关系是（　） A． B． 但 C． D． 【考点2 集合的表示方法】 知识梳理 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，并写在花括号内；元素之间用逗号隔开。 （2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合，一般写成 。 （3）有限且元素较少时常用列举法；无限集或元素具有明显共同特征时常用描述法。 （4）点集中的元素是有序数对，例如 ；数集中的元素是数，二者不能混淆。 【即时训练】 8．用列举法表示集合 ，正确的是（　） A． B． C． D． 9．集合 用描述法可表示为（　） A． B． C． D． 10．方程 的解集为（　） A． B． C． D． 11．下列集合表示点集的是（　） A． B． C． D． 12．表示所有偶数组成的集合，最适合使用（　） A．列举法 B．描述法 C．图表法 D．无法表示 13．已知 ，则 （　） A． B． C． D． 14．若集合 ，则实数 的值为______。 【考点3 集合之间的关系】 知识梳理 （1）若集合 中的任意一个元素都是集合 的元素，则 是 的子集，记作 。 （2）若 且 ，则 是 的真子集，记作 。 （3） 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。若 且 ，则 。 （4）含有 个元素的集合有 个子集、 个真子集、 个非空真子集。 （5）常用等价关系：，。 【即时训练】 15．集合 的子集个数为（　） A．3 B．6 C．7 D．8 16．集合 的真子集个数为（　） A．8 B．14 C．15 D．16 17．下列结论正确的是（　） A． B． C． D． 18．已知 ，，则（　） A． B． C． D． 19．已知 ，，若 ，则 的取值集合为（　） A． B． C． D． 20．设 ，。若 ，则实数 的取值范围是（　） A． B． C． D． 21．已知 ，则下列结论正确的是（　） A． B． C． D． 【考点4 集合的基本运算】 知识梳理 （1）由所有属于 或属于 的元素组成的集合叫作并集，记作 。 （2）由所有既属于 又属于 的元素组成的集合叫作交集，记作 。 （3）设全集为 ，由 中不属于 的所有元素组成的集合叫作 在 中的补集，记作 。 （4）区间型集合的运算可借助数轴完成；先画出各集合，再根据“交取公共、并取所有、补取剩余”确定结果。 （5）常用运算律：，，，。 【即时训练】 22．若 ，，则 （　） A． B． C． D． 23．若 ，，则 （　） A． B． C． D． 24．设全集 ，，则 （　） A． B． C． D． 25．已知 ，则（　） A． B． 与 没有公共元素 C． D． 26．设全集 ，，，则 （　） A． B． C． D． 27．设 ，，则 （　） A． B． C． D． 28．某班有40人，参加数学兴趣小组的有25人，参加计算机兴趣小组的有18人，两组都参加的有10人，则至少参加一个小组的有______人。 考点01 集合间的关系 1.（2024·甘肃·真题T04）已知集合，则集合的子集和真子集的个数分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2.（2023·甘肃·真题T02）集合的真子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 考点02 集合的运算 3.（2022·甘肃·真题T03）设集合，，则=（ ） A. B. C. D. 4.（2021·甘肃·真题T01）设全集，，，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 5.（2020·甘肃·真题T01）已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $