专题7 三角函数的图像与性质、正余弦定理（讲义）-2027版四川省（对口招生考试）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版四川省（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年四川省（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题7 三角函数的图像与性质、正余弦定理 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 三角函数的图像与性质、正余弦定理 三角函数的图像与性质 2025-11 单选 4 正余弦定理 2025-22 解答 12 三角函数的图像与性质 2024-08 单选 4 正余弦定理 2024-22 解答 12 正余弦定理 2023-24 解答 12 命题轨迹透视： 三角函数的图像与性质、正余弦定理是四川职教高考的高频考点，其中对三角函数的图像与性质的考查常常在选择题中进行，对正余弦的考查往往解答题中进行，前者分值为4分，后者分值为12分。 【考点1：三角函数的图像和特征】 1. （2024年对口招生）函数的部分图象如图所示，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】首先根据图象求得函数的周期，进而求得的值，再由点求得的值. 【解析】由图象可知，， 所以，解得，所以， 因为点在函数图象上，代入得， 即，所以， 因为，所以当时，， 故函数的解析式为. 故选：A. 【考点2：正弦型函数】 1. （2025年对口招生）要得到函数的图像，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】A 【分析】由正弦函数的平移变换规律即可求解. 【解析】因为， 所以将右平移个单位长度，即可得到函数的图象， 即将函数的图象向右平移个单位长度. 故选：A. 2. （2023年对口招生）函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由降幂公式及周期公式可得最小正周期,是基础题. 【解析】∵， ∴的最小正周期， ∴是由向上平移个单位得到，平移没有影响最小正周期. ∴最小正周期依然为. ∴选C. 3. （2023年对口招生）已知函数在上单调递增，则的最大值是_________. 【答案】 【分析】首先根据化一公式将转化为,然后得出一个单调递增区间，进而由题意得出是单调区间的子集,即可求得的最大值. 【解析】∵，令得， ∴的一个单调递增区间为：. ∵在上单调递增， ∴， ∴， ∴的最大值是. 【考点3：正余弦定理的综合应用】 1.（2025年对口招生）在中，若，，则__________. 【答案】 【分析】先由余弦定理求出，进而得到，再由内积定义即可求解. 【解析】由题意知，在中，，， 则由余弦定理可得， 又，所以，则， 所以. 故答案为：. 2. （2025年对口招生）在中，内角的对边分别是，. （1）求角的值； （2）若△的面积为1，求的周长最小值 【答案】（1） （2） 【分析】（1）运用余弦弦定理将角转化为边进行化简求值即可. （2）根据面积公式得出的值，再由基本不等式求最值即可. 【解析】（1）已知， 由余弦定理得， 即，则， 整理得，所以， 即，因为，所以 （2）由（1）可得，因为的面积为1，即，则， 而△的周长为， 由基本不等式可知，，， 当且仅当时，等号成立， 所以当，的周长取最小值为. 3.（2024年对口招生） 已知△的内角的对边分别为，且. （1）求A的大小； （2）若，证明：为直角三角形. 【答案】（1） （2）证明见详解 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式即可求解. （2）根据余弦定理，两角和与差的正弦公式即可求解. 【解析】（1）由题意得，. 则. 即，所以或. 解得或. 因为是△内角，所以. （2）由题意得，. 则，即. 又由余弦定理，则.即. 所以，解得. 因为是内角，所以，由得，所以. 所以为直角三角形. 4. （2023年对口招生）已知中，内角，，的对边分别为，，，满足. （1）求的大小； （2）若，证明：为直角三角形. 【答案】（1）的大小（2）见解答过程 【分析】本题第（1）问中由得到,化简可得，即得=。第（2）问中由得出，进而根据=得出，然后得出，进而得出，展开后根据化一公式（辅助角公式）可以构造关于的方程，最后求得，问题得证. 【解析】（1）∵， ∴， ∴. ∵， ∴=. （2）∵，∴， ∵=，∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是以点A为直角顶点的直角三角形. （一）、 正弦函数的图像与性质 1. 周期函数的定义 周期函数的概念：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，则称为周期函数；函数和的周期均为． 2. 正弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 （二）、 余弦函数的图像与性质 1.余弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 偶函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 （三）、正弦定理和余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 2.三角形中常用的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)． 【题型1：三角函数的图像和性质】 1．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，最小正周期是，又是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的最小正周期为，则实数的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 4．函数是（   ） A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 5．下列关于函数的图像正确的是（    ） A． B． C． D． 6．将函数的图像向左平移个单位后，得到的图像的一条对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 7．设，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 10．下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．函数取得最大值的x的集合为________． 12．函数的最小值是_________. 13．已知函数的最小正周期为. (1)求函数单调递增区间； (2)当时，求函数的值域. 14．已知函数． (1)求的对称轴和单调递增区间； (2)求不等式的解集． 【题型2：正余弦定理】 15．在中，，，，则（    ） A．28 B．76 C． D． 16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（    ） A． B． C． D． 17．的内角的对边分别为.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 18．在中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，且，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角边不相等的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 19．在中，，，，则（    ） A． B． C．6 D．5 20．在中，已知三边a，b，c，满足，则_____. 21．在中，内角所对的边分别为，若，则__________. 22．在中，分别为角的对边，若，则此三角形形状一定是_________三角形. 23．在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 24．在锐角三角形中、、分别为角、、所对的边且. (1)确定角的大小； (2)若，且面积为，求的值. 1.【答案】C 【分析】根据二倍角的正弦公式化简，再由正弦函数周期公式求周期即可 【详解】已知函数， 所以最小正周期是， 故选：C. 2.【答案】B 【分析】根据正弦函数与余弦函数的性质判断即可. 【详解】A：正弦函数的最小正周期是，且为奇函数不是偶函数，故A错误； B：函数的图像是正弦函数的图像将x轴下方的图像向上翻折得到的， 所以函数的最小正周期为， 又因为函数定义域为R，定义域关于原点对称， 所以，是偶函数，故B正确； C：的最小正周期是，且为奇函数不是偶函数，故C错误； D：余弦函数的最小正周期是，且为偶函数，故D错误. 故选：B. 3.【答案】C 【分析】根据二倍角的正弦公式化简，再由正弦函数的周期公式求值即可. 【详解】已知函数， 则该函数的最小正周期为， 解得， 故选：C. 4.【答案】A 【分析】根据题意，结合正弦函数的周期性和奇偶性，即可判断求解. 【详解】因为函数，所以最小正周期； 因为函数的定义域为R，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数； 故该函数是周期为的奇函数. 故选：A. 5.【答案】A 【分析】由正弦函数的图像及性质，结合三角函数图像变化分析判断即可. 【详解】由三角函数图像变换可知， 函数是由正弦函数向上平移一个单位得到的， 所以函数的图像为：， 故选：A. 6.【答案】A 【分析】根据图像平移变换规律写出变换后的解析式，再求正弦函数的对称性即可解得. 【详解】由图像平移变换规律可知， 将函数的图像向左平移个单位后， 可得到函数的图像， 令，得， 令，得所求的一条对称轴为，故A正确； 经检验，其他选项都不满足. 故选：A. 7.【答案】C 【分析】根据指数函数、对数函数、三角函数的单调性判断即可. 【详解】，函数是增函数，则，故A错误， ，函数是上的增函数，则，故B错误， ，是上的增函数，则，故C选项正确， 因为为周期函数，无法判断.故D错误. 故选：C. 8.【答案】D 【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的性质判断即可. 【详解】因为，，所以， ，所以， ，所以. 故选：D 9.【答案】B 【分析】根据正弦型三角函数的单调性求解即可解得. 【详解】因为，令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为； 故选：B. 10.【答案】A 【分析】根据正弦的单调性和特殊角三角函数值易得答案. 【详解】A：当是增函数，所以，故正确； B：，故错误； C：，故错误； D：，故错误. 故选：A. 11.【答案】； 【分析】由正弦函数的图象和性质即可求解. 【详解】解：由正弦函数的图象和性质可得， 当时，取最大值. 解得：. 故答案为： 12.【答案】/ 【分析】将函数转化为正弦型函数进行分析即可. 【详解】 ， 当，即时，函数有最小值. 故答案为：. 13.【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据周期得到解析式，再结合正弦函数单调性求解即可； （2）根据，结合整体代换法求的值域即可. 【详解】（1）由题意得，函数的最小正周期， 所以， 所以函数， 令， 解得， 即函数单调递增区间为； （2）因为，所以， 所以， 所以， 即当时，函数的值域为. 14.【答案】(1)对称轴为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）将看成整体，然后求函数对称轴时，令，求出即可；同样求函数的单调递增区间时，因为，所以令，求出其范围即可. （2）依题意可得，然后求不等式的解集. 【详解】（1）因为， 令，得， 所以函数的对称轴为； 令， 得， 所以的单调递增区间为. （2）由可得，， 因为时，，则， 所以， 解得， 即不等式的解集为. 15.【答案】C 【分析】代余弦定理计算即可. 【详解】由余弦定理可得，， 所以. 故选：C. 16.【答案】C 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由得.则. 在中，由余弦定理得，. 则，解得. 因为，所以. 故选：C. 17.【答案】A 【分析】根据余弦定理以及三角形的面积公式求解即可. 【详解】由余弦定理得，， 所以，即， 解得（舍去）， 所以， 故选：A. 18.【答案】A 【分析】利用余弦定理边角互化及等差中项分析求解即可. 【详解】因为依次成等差数列，所以； 由余弦定理可得， 将代入上式整理得：，所以. 又，所以为等边三角形. 故选：A. 19.【答案】B 【分析】利用正弦定理以及余弦定理，即可求解. 【详解】在中，因为，由正弦定理可得， 又，所以，， 因为，由余弦定理可得， 即，解得． 故选：B. 20.【答案】 【分析】由余弦定理即可得解. 【详解】中， ， ，即， ， 又由，得. 故答案为：. 21.【答案】 【分析】根据余弦定理解三角形即可. 【详解】已知，则， 所以， 因为在中，， 所以， 故答案为：. 22.【答案】等腰 【分析】由正弦定理进行边角互化和正弦的和角公式即可得解. 【详解】由正弦定理，得， 则， ， 化简，得，即， 故，故是等腰三角形. 故答案为：等腰. 23.【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式即可求得. （2）由余弦定理以及三角形面积公式即可解得. 【详解】（1）解：利用正弦定理化简已知的等式得， ， 整理得，， 即， 因为A为三角形的内角，即， 所以，又B为三角形的内角， 所以. （2）解：由余弦定理可得， 即， 整理得， 解得， 则的面积为. 24.【答案】(1) (2) 【分析】（1）由利用正弦定理边化角，即可求出，进而确定角的大小. （2）由面积为利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出. 【详解】（1）在锐角三角形中、、分别为角、、所对的边， 由正弦定理及，可得 ，又，， 所以，又， 所以. （2）由面积为，可得 ，解得，又， 由余弦定理可得，，即 整理得，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $