3.3平面向量的内积-（人教版）高二《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

3.3平面向量的内积 一、知识梳理 1.向量的夹角 两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角；范围是 [0，π]　. a与b的夹角为 　时，则a与b垂直，记作a⊥b. 2.平面向量的内积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的内积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ　，规定零向量与任一向量的内积为0，即0·a＝0. (2)几何意义：内积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积. (3)平面向量内积的运算律 ①a·b＝b·a(交换律)． ②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 二、题型精练 题型1 向量的内积 【典例1】：化简：（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零向量与任一向量的内积为0求解. 【详解】因为零向量与任一向量的内积为0，所以. 故选：A. 【典例2】：已知向量，若，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量数量积定义求解即可. 【详解】. 故选：A. 题型2 向量夹角的余弦值 【典例1】：已知向量，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求向量夹角的坐标运算公式，代入计算即可． 【详解】因为， 所以. 故选：A. 题型3 向量的内积--求夹角 【典例1】：已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，利用向量的内积即可求解. 【详解】因为，， 所以， 解得，又的取值范围是，所以. 故选：. 题型4 向量的内积的运算法则 【典例1】：若，向量夹角，则 【答案】 【分析】利用向量内积的定义与运算律即可得解. 【详解】因为，， 所以， 则. 故答案为：. 【典例2】：，且两向量垂直，则_____. 【答案】 【分析】根据向量内积的运算律求值即可. 【详解】已知两向量垂直，且，， 则，得 ， 故答案为：. 题型5 向量数量积的运算及模 【典例1】：若向量，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合平面向量数量积的运算法则即可得解. 【详解】向量，，且， 则， 所以， 故选：. 【典例2】：已知向量，均为单位向量，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的模长公式求解即可； 【详解】∵向量，均为单位向量，∴．∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 故选：C 题型6 向量的内积--综合 【典例1】：已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用内积公式求夹角即可； （2）利用内积公式求模即可. 【详解】（1）因为，，， 所以， ， ， 解得，因为， 所以. （2）因为，，与的夹角， 所以 ． 3、 知识检测 1．在中，，则（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角的概念，确定两向量的夹角，再利用内积的定义可求解. 【详解】在中，， 所以. 所以. 故选：C 2．在三角形中，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先判断出三角形为等边三角形，再向量的内积公式求解即可. 【详解】∵， ∴三角形为等边三角形， ∴. 故选：C. 3．中，，，，则等于（    ）． A． B．12 C．0 D．20 【答案】C 【分析】根据勾股定理可知为直角三角形，得到，即可求解. 【详解】由题可知：，，， 所以， 则为直角三角形，为直角， 即，得到. 故选：C 4．在菱形中，，，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的定义，结合菱形的性质和已知条件求解. 【详解】菱形中，，， 则， 故选：. 5．如图所示，在平行四边形中，，，． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】根据向量内积的运算公式，结合几何图形，代数求解即可； 【详解】（1）因为四边形为平行四边形， 所以，且方向相同、， 所以和的夹角为， 所以. （2）因为四边形为平行四边形， 所以，但方向相反、， 所以和的夹角为， 所以. （3）因为， 所以和的夹角为， 又因为，， 所以. 6．已知向量与的夹角为，且，则等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】使用向量内积的定义求解. 【详解】已知向量与的夹角，且， 可得：. 故选：D. 7．已知，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．0 【答案】B 【分析】根据向量的内积的定义即可代入求解． 【详解】， . 故选：B． 8．已知，，，则____________ 【答案】3 【分析】根据题意结合平面向量的内积公式，即可得解. 【详解】因为，，， 则， 故答案为：. 9．已知向量，满足，，与的夹角为30°，则（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据向量内积的定义求解即可. 【详解】因为，，与的夹角为， 则， 故选：B. 10．已知非零向量，若，且与方向相同，则（   ） A．6 B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】根据向量的数量积的概念及运算求解. 【详解】由与方向相同，可知夹角为0，所以． 故选：A. 11．若，，，则（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】根据内积的定义可求解. 【详解】由题可得 . 故选：D 12．已知向量，则___________． 【答案】 【分析】根据向量内积的公式，分析求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以方向相反，即夹角为， 所以. 故答案为：. 13．已知,,,则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的内积即可得解. 【详解】． 故选:. 14．已知，则 ． 【答案】15 【分析】根据数量积公式进行计算即可. 【详解】. 故答案为：15. 15．若已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量内积的定义求值即可. 【详解】已知，，， 则， 故选：C. 16．已知向量和向量是共线向量，，，求 【答案】答案见解析 【分析】根据题意结合平面向量的内积公式即可得解. 【详解】向量和向量是共线向量，，， 当向量和向量同向时，； 当向量和向量反向时，. 17．已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量夹角的计算，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 18．已知，，，则_____. 【答案】/0.5 【分析】根据向量内积的定义求解即可. 【详解】∵，即， ，，， ∴. 故答案为：. 19．已知，，且，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用内积公式求夹角即可. 【详解】因为，，且， 则； 因为，所以向量与向量的夹角为； 故选：B. 20．设，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合夹角公式即可得解. 【详解】，与的夹角为， 则， 因为，所以， 故选：. 21．已知向量、满足，，，则向量、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角公式计算角的余弦值，再结合夹角范围求解即可. 【详解】. ∵，∴. 故选：C. 22．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的内积公式即可求解. 【详解】由向量内积定义可知，， 又因为向量夹角的范围在到之间， 所以. 故选：C 23．已知，，且，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用内积公式求夹角即可. 【详解】因为，，且， 则； 因为，所以向量与向量的夹角为； 故选：B. 24．已知向量，满足，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】根据向量内积的运算律及夹角公式计算即可. 【详解】，， ，， ， 故答案为：. 25．已知向量与夹角为，，，则（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的内积的运算法则和定义即可求解. 【详解】因为向量与夹角为，，， 所以， 所以. 故选：B. 26．已知向量，且，则________． 【答案】 【分析】根据平面向量的运算法则及垂直的性质即可得解. 【详解】向量，且， 则， 故答案为：. 27．已知向量满足，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】结合向量内积的定义及运算律求解. 【详解】因为. 故选：B. 28．已知向量，满足，，，求. 【答案】 【分析】根据平面向量的内积公式进行计算. 【详解】因为向量，满足，，， 所以. 所以. 29．已知，，向量与的夹角为，则 ． 【答案】 【分析】本题利用，再结合向量内积的定义计算即可. 【详解】解：因为，∴． 故答案为：. 30．已知向量，均为单位向量，若夹角为，则________． 【答案】 【分析】根据向量数量积的运算及模长公式，代数求解即可. 【详解】因为向量，均为单位向量，所以， 所以 . 故答案为：. 31．已知，且，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件结合向量内积公式即可求解. 【详解】解：由于，且， 则， 解得， 又， 则向量的夹角为． 故选：A． 32．已知向量．当有最小值时，求实数t的值并求出的最小值． 【答案】当时， 【分析】根据向量坐标的模长公式求解即可. 【详解】， ． ． 当时，． 33．已知． (1)若与的夹角为，求； (2)若与垂直，求与的夹角大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的值，再利用向量的模长公式计算即可. （2）由与垂直，可求解的值，进而得到的值，再由夹角的范围即可求解. 【详解】（1）， . （2）， ， ， . 34．已知，． (1)若，求； (2)若的夹角为，求； (3)若与垂直，求与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线，结合向量的内积公式求解即可； （2）根据向量内积与模长求解模长即可； （3）由条件结合向量的夹角公式求解即可； 【详解】（1）设向量与的夹角为． 当同向，即时，； 当反向，即时，． （2）因为，所以； 所以， 所以． （3）由，得， 所以， 又，所以． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 3.3平面向量的内积 一、知识梳理 1.向量的夹角 两个非零向量a与b,过O点作OA=,OB=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角；范 围是[0，一 a与b的夹角为时，则a与b垂直，记作aLb. 2.平面向量的内积 (1)定义：己知两个非零向量a与b,它们的夹角为0，则数量cos0叫做a与b的内 积（或内积），记作b,即b=dbcos日，规定零向量与任一向量的内积为0，即 0a=0. (2)几何意义：内积cb等于a的长度d与b在a的方向上的投影bcos的乘积. (3)平面向量内积的运算律 ①cb=ba(交换律) ②cb=(cb)=c(b)(结合律). ③（十b)c=c十bc(分配律）. 11 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 SAI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 二、题型精练 题型1向量的内积 【典例1】：化简： 0-( A.0 B.0 C.& 【爽例21：已知向量a,6,若同=2，=l,且位，)=60，则05=( A.1 B.1 c. D.3 题型2向量夹角的余弦值 【典例1】：已知向量a,5满是阿=5，=6，a6=6,则0sa,6）-（) 1 4 4 A.5 B.5 c.5 D.5 题型3向量的内积-一求夹角 【奥1：日如问=1，-5，n6 2,则a,b)=() B.4 c.3 n D. 22 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 SAI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 题型4向量的内积的运算法则 【典例11：若a非3刘b昨4，向量夹角a,=60,则a(a-)= 【典例2y:=2,月=3且两向爸垂直，则a+62a-) 题型5向量数量积的运算及模 【典例1：若向量=2，同-1，且位，6)=60，则点-2=() A.1 B.2 C.3 D.4 【典例2】：己知向量，6均为单位向量，且a+外1，则°与5的夹角为《) b A.6 B.3 c. . 题型6向量的内积一综合 【典例1】：已知向量a,五满足回=1，-2，(2a-列a+2万)=-3 b ①)求”与的夹角°； 33 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com ②求反-2的值 三、知识检测 1.在△A8C中，B3到4CF4∠B1C=60°，则BAC={) A.6 B.4 C.-6 D.-4 2,在三角形BC中，网-GC2,则孤G（) A-2V3 B.25 C.-2 D.2 3.△BC中，=3，G=4,BC-5,则BC等于(). A.-12 B.12 C.0 D.20 4.在菱形ABCD中，∠DAB=60°， 4=2,则BD=() 44 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com A.2 B.2V5 C.4 D.4V3 5.如图所示，在平行四边形ABCD中，丽=4，AD=3,∠D1B=60. 0 B ①D.BC (②)1B.CD (3)4B.DA 6.已知向量ā与5的夹角为150，且问=2，-1，则a6等于( A.1 B.-1 C. D.V3 7.已知l同=2,6=3，<a,660 ,则ab=() A.2 B.3 C.6 D.0 8.已知=3，-2，(a,6)=60°，则a-6= 55 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 9.已知向至可，6满足非2,163，a与5的夹角为30，则a-6=() A.5 B35 C.3 D 3 10.已知非零向a.6,若a非25外3，且0与5方向相时.则a万=（) A.6 B.-6 C.0 D.3 1.若问=4.同=4，a6)=则a6-() A.4 B 4V3 C.83 D.8 12.已知向量46，向=2,6=-2 ,则a-i= 13.已知l园=2，=5《a,6)=30,则a-6=（) A10 B5 c.10w5 D.5V3 14已知=5=3cosa,=1,则a6= 15.若已知=8，=4，(a6)=30°则a6=() A.16 B.-16 C.165 D.-16V3 16.已知向量云和向量6是共线向量，=1，=2，求6 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 66 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 17.已知向量a,万，且同-5-=4a-6=-10,侧则osa,6)=() 18.已知=5，月=6，a6=15,则osa) 19.已知la25,同=4，且a-6=8,则向量a与向量5的夹角为《) A.8 B C.3 D. 20.设=12，=9a-6=-545,则5与a的夹角0为（) π A.4 B.4 C.6 π D.6 21.已知向量a、万满足=7，问=I2,ā-6=42，则向量a、6的夹角为() A.30 B.60 C.120 D.150 2.己知同=3=4ā-6=6，则a,6列=< ) A.30° B.45o C.60° D.120° 77 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 23.已知la25,-4,且a-6=8,则向量a与向量b的夹角为《) A. B.4 c.3 D.2 24.已知向量可，万满足a作2,6非46-a=0,则4与5的夹角为. 25.已知向量a与6夹角为3，d=2,15=1,则a(a+b)=() A.3 B.5 c.4+V2 D.4+5 26.已知向量l=3,同=2且a16,则a(a-6)= 27.已知向量a6满足同=la-6=,则a(2a-)=() A.4 B.3 C.2 D.0 28.已知向量a,6满足l=3,瓦=4，(a,6)=45°，求（a-62a+) 88 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 29.已知同=3，同4，向量同与的夹角为120，则+= 30.已知向是“，6均为单位向量，若夹角为60°，则2a-b 31.已知=同=l,且-=5，则向量a,6的夹角为() A.120° B.90° C.60° D.30° 2已如向鞋-26-().当+61有纸小值求实数的省关求a+6 的最小值. 33.已知=1,16V2 99 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com @若与5的夹角为15”，求a+6: ②若a-6与垂直，求与5的夹角大小， b 34.已知=1，=2 ②考a6的夹角为60，求+A, ③若a-6与垂直，求8与5的夹角 1010 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！