3.2.3数乘向量-（人教版）高二《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 3.2.3数乘向量 一、知识梳理 向量 定义 法则（或几何意义） 运算律 运算 a+b a 三角形法则 (1)交换律： (口诀：首尾相连，首指向 求两个向量和的 a十b=b+a; 加法 尾) 运算 (2)结合律： 2 (a+b)+c=a+(⑦+c) 平行四边形法则 (口诀：同起点，指对角) 向量a加上向量 b的相反向量 减法 叫做a与b的 三角形法则 a-b=a+(-b) 差，即十(-b) (口诀：同起点，连终点，减 =a-b 指向被减) (1)模：nd=2d: 设，u是实数. 数乘 实数λ与向量m 的积是一个向量 (2)方向： (1)λu=(00）a 11 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 当>0时，1a与a的方向相同 (2)1+ma=1a+ua 记作1a 当<0时，1a与a的方向相反 (3)(+)=a+b 当λ=0时，1a=0 2.共线向量定理 向量（≠0）与b共线，当且仅当存在唯一一个实数2，使b=· 3.平面向量的基本定理 如果1,2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且 只有一对实数入1,2使=11十 二、题型精练 题型1数乘向量定义 【典例1】：若t=0,则a=() A.0 B.0 C.a D.-a 【典例2】：8.己知元，“∈R,则在以下各命题中，正确的命题共有() ①当<0，a≠0时，ā与a的方向一定相反： ②当2>0，a≠0时，ā与ā的方向一定相同： ③当九≠0，ā≠0时，1ā与a是共线向量： 22 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com ④当4>0，ā≠0时，Aā与ui的方向一定相同： ⑤当4<0，a≠0时，ā与ā的方向一定相反. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型2向量相等 【典例1】：已知向量a、万不共线，实数、)满足(3x-4y)a+(2x-3y)6=6i+36 则术一y= 题型3平行向量基本定理 【典例1：已知向量m,不共线，a=m+元6=(2-1m-2n,若a6,则1 【典剑21：已知向量a.6不关线，向量6=a+6d=-2五+.1.则=() 1 A.3 B.-12 C.-3 D.12 题型4向量的线性运算性质 33 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 A职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 【典例1】：下列计算正确的是() A.2(a+b)+c=2a+6+c B.3a+6)+3(a-6)=0 C.4B+BA=2AB D a+b+3ā-5b=4a-46 【典例2y.3a+6)2a-)-a=() A.Sa B.6 C.-Sa D.56 题型5数乘向量的几何运算 【典例1】：如图。设P2两点把线段4B三等分，者亚-Q下=m丽 则实数m的值 为( P B 3 A.1 B.3 【典例2】：在平行四边形ABCD中，B为边BC的中点，记4C=a,DB=6 则AE D A -a- B. 2a+6 3 C.a+l6 a+ D.4 4 44 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 题型6向量三点共线 b 【典例1】：已知 是不共线的非零向量，并且 AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b 则一定共线的三个点是() A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 三、知识检测 1.若ā为非零向量，则-2ā与ā的方向() A.相同 B.相反 C.相同或相反 D.不确定 a,b 2.如图所示，已知，求： b (0)4+6 g2a-6 55 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 3.已知a=(3,1,6=(6,2),实数y满足等式a-6=(6,8),求y 4.已知9.6是不共线的向量，若0=-G+3G.6=4g+26,c=-36+12g,则用6与0 表示a为 5.若a=(1,6=(,2),a与5共线，则x=- 6已知向量m不共线，a=+元6=(a-m-2n,若a6,则A 66 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com .设向量a,6不平行，向量2石+5与-5平行，测实数=( B.-2 C.2 D.-2 8.判断向量8=G+6,6=2G-6是否类线（马，日不共线） 9已知两个非零向虽4,6 互相垂直，若向量 m=4a+5b,n=2a+b 共线，则实数的 值为() A.5 B.3 c.2 D.2 10.如果非零向量“=-36 那么下列说法错误的是（) A.同=-31 B.回=3 b c.向量“与平行 D.向量°与5共线 1.者，5是两个不共线的非零向量，则“2=2”是。ā+6与板+46 共线”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.若a=(2,3),6=(4,1+八.且a16,则y等于() 77 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com A.6 B.5 C.7 D.8 13.AB-AD+BC-DC-( 2BD BD 0 A B.0 C. D. 14.化简： (4B-AC+BD+DE (2)AB-AC-BC 15.4(a-6)-3(a+)-i= 16.化简3a+b列25等于() B.36 C.3a+6 D.3a+56 17.5(a-b列-3(2a-) 8.2a-2)-3(-2a+6列= 88 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 A职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 19.化简3a--(G-2 的结果是() A.2a+6 B.2a-6 c.2a-56 D.4a-56 20.3(-a+26)+(5a-36)= 21.化简24a-36)-3a+可 的结果为() A.a+46 B.-a-96 C.2a+6 D.a-36 22.4(a-6)-3(a+6)-6= 23053a+25)-3a-6列， 2-2(a-36-c+3(a+26-e) 24.(2a--(a-2b)() A.a+6 B.a-36 C.3a+36 D.3a-6 99 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 25.化简： 04(a-6)-(a+36)】 a23(a-2b)-a]+4a-万)】 25.计算：2(a+6)小-3(6-)= A.a+6 B.56+a C.5a-6 0 2a-3b 27. (2a-万-(2a+b等于( 4.-26 B.26 0.6-a 28.若点P是线段AB上靠近A的三等分点，则BP= AB B 29.如图所示，而=8,4C=6,D是8C的三等分点，则而用向量°和5线性表示 为() 1010 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com A.4D-3a+16B.4D- C.AD= 2a+26 2 3 3 30+36 3 3 D 3 30.如图，在三角形△ABC中，BD=2DC,AD=() D A+c 3 +4c B.3 .+号c 3 2BP=3PO=OA 31.如图所示， OA=a OB=b ,点O是线段AB外任意一点，如果 试用,6 表示 OP,OO B P 0 b 32.在△1BC ，D是BC的中点， =6,C=6,则D=() 1111 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 2 C.a-B D.a+B 33.已知在△ABC中，点D是线段BC中点，点E是靠近点C的AC三等分点，则 () A.DE-1AC-1AB 6 2 B.DE-1AB-1AC 6 2 C.DE-14C-1AB 2 6 D.DE-148-1AC 2 6 34.如图，在△M8C中，D,B为C边上的三等分点，设5=aC=6,则D- () 2 6 4 B. C.3 46-1 3 D.3 35.如图，在矩形ABCD中，B为CD中点，那么向量)AB+AD=() D E B A.AE B AC c.DC D AB 36,如图所示在△MBC中，D是BC的中点，设0，D=6,则4C=（) 1212 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com A.a-26 B.a+26 c.-a+26 D.-a-26 37.如图所示，向量O1=a,0B=6,0C=c,A8,C在-条直线上，且4C=4CB 则() B -1- A.c= 2 B.c= C.c=-a+2b D.c= 1-,4 3a+3b ABCD 38.已知平行四边形 的两条对角线相交于点M, 设B=aD= b,试用 6MA MB MC MD 表示 D M B 39.如图，在△MBC中，点M满足=2MC,5=aC=6,则N=( ) 1313 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 2+ 2 3 B. 30 3 c. D.3a- 1414 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3.2.3数乘向量 一、知识梳理 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 （口诀：首尾相连，首指向尾） 平行四边形 法则 （口诀：同起点，指对角） (1)交换律： a＋b＝ b＋a　； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)　 减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 （口诀：同起点，连终点，减指向被减） a－b＝a＋(－b) 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数． (1) λ(μa)　＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa　 (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb　. 2.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. 3. 平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝ λ1e1＋λ2e2　. 二、题型精练 题型1 数乘向量定义 【典例1】：若，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数乘向量的定义求解. 【详解】若，则. 故选：B. 【典例2】：8．已知，则在以下各命题中，正确的命题共有（    ） ①当，时，与的方向一定相反； ②当，时，与的方向一定相同； ③当，时，与是共线向量； ④当，时，与的方向一定相同； ⑤当，时，与的方向一定相反． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据向量数乘的性质以及向量的方向进行分析判断即可. 【详解】对于①②③，根据实数与向量的积的方向，易知①②③都是正确的； 对于④，由可得同为正或同为负，所以和或者都与同向， 或者都与反向，所以和是同向的，故④正确； 对于⑤，由可得异号，所以在和中，一个与同向，另一个与反向， 所以和是反向的，故⑤正确． 故选：D. 题型2 向量相等 【典例1】：已知向量、不共线，实数、满足，则 ． 【答案】3 【分析】根据两向量相等，由待定系数法列方程组求解即可. 【详解】解：因为，且不共线， 所以，解得，所以． 故答案为：. 题型3 平行向量基本定理 【典例1】：已知向量不共线，，若，则_________. 【答案】 【分析】由平行向量基本定理即可得解. 【详解】由，不共线，故存在实数，使， 由， 即有， 即有，解得. 故答案为：. 【典例2】：已知向量不共线，向量，则（ ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】根据平面向量共线向量定理，得出，再由对应向量系数相等，即可求出. 【详解】因为不共线，， 所以，即，即，解得. 故选：B. 题型4 向量的线性运算性质 【典例1】：下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的运算法则即可求解. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D. 【典例2】：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算法则及运算律可求解. 【详解】原式． 故选：B 题型5 数乘向量的几何运算 【典例1】：如图，设两点把线段三等分，若，则实数m的值为（    ）．    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为两点把线段三等分，所以， 所以，所以. 故选：B. 【典例2】：在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，记，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法、减法、数乘的几何运算即可求得. 【详解】解：, . 故选：D. 题型6 向量三点共线 【典例1】：已知是不共线的非零向量，并且，则一定共线的三个点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量加法公式得到即可得到共线. 【详解】因为， 所以， 所以，所以三点共线. 故选：A. 3、 知识检测 1．若为非零向量，则与的方向（   ） A．相同 B．相反 C．相同或相反 D．不确定 【答案】B 【分析】根据数乘向量的定义判断即可. 【详解】为非零向量， ，∴与的方向相反． 故选：B. 2．如图所示，已知，求：    (1)； (2)． 【答案】(1)图形见详解 (2)图形见详解 【分析】（1）根据向量加法的三角形法则可求解； （2）根据数乘法则，先作，再根据向量的减法法则可求解. 【详解】（1）    如图，作，， 则为所求； （2）    如图，作，，则， 所以为所求. 3．已知，实数满足等式，求. 【答案】 【分析】根据题干信息和向量的运算法则得到并求解即可. 【详解】， ， 实数满足等式， ， 解得. 4．已知是不共线的向量，若，则用与表示为___________． 【答案】 【分析】根据平面向量共线的基本定理即可得解. 【详解】因为不共线，所以有且只有一对实数，使， 所以， 从而，解得， 所以． 故答案为：． 5．若，与共线，则 【答案】 【分析】根据向量共线坐标表示计算. 【详解】由题可知：与共线，所以. 故答案为：. 6．已知向量不共线，，若，则 . 【答案】 【分析】由平行向量基本定理即可得解. 【详解】由，不共线，故存在实数，使， 由， 即有， 即有，解得. 故答案为：. 7．设向量，不平行，向量与平行，则实数（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据平行向量的性质易得答案. 【详解】因为向量与平行，所以， 即，解得， 故选：D. 8．判断向量，是否共线（，不共线） 【答案】，不共线 【分析】根据向量的共线定理判断即可. 【详解】若与共线，则存在唯一实数，使得， 则， 即，解得，无解， 故，不共线. 9．已知两个非零向量互相垂直，若向量共线，则实数的值为（    ） A．5 B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】根据平面向量共线列出方程组即可得解. 【详解】因为是非零向量，且互相垂直，所以， 因为共线，所以，即， 所以，解得， 故选：. 10．如果非零向量，那么下列说法错误的是（     ） A． B． C．向量与平行 D．向量与共线 【答案】A 【分析】根据向量的模的概念和向量共线定理即可求解. 【详解】因为非零向量，所以，故A项错误；B项正确； 又由，所以向量与平行、共线，故C、D项正确. 故选：A. 11．若，是两个不共线的非零向量，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据平面向量的共线定理，结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】因为若，是两个不共线的非零向量， 当时，与共线，故充分性成立； 当与共线时，则或，故必要性不成立， 所以“”是“与共线”的充分不必要条件. 故选：A. 12．若，，且，则y等于（    ） A．6 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据向量平行的条件，即可求解. 【详解】由题意知，，且， 所以， 解得. 故选：B. 13．（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】运用向量加减法的三角形法则求解. 【详解】， 故选：D. 14．化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】利用向量线性运算的法则化简. 【详解】（1）. （2）. 15． . 【答案】 【分析】根据向量的基本运算法则，即可求解. 【详解】， 故答案为： 16．化简：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意得，. 故选：C. 17． . 【答案】 【分析】利用向量的混合运算可求. 【详解】. 故答案为：. 18． ． 【答案】 【分析】根据向量线性运算即可化简. 【详解】， 故答案为：． 19．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算即可得解. 【详解】. 故选：B. 20．__________； 【答案】 【分析】根据向量加法，减法，数乘的运算定律求解. 【详解】 ， 故答案为：. 21．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算性质即可得出答案. 【详解】 故选：B 22．_________________. 【答案】 【分析】根据向量的基本运算法则，即可求解. 【详解】， 故答案为： 23.(1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）由题意得，. （2）由题意得， . 24．（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量加减法则计算即得. 【详解】. 故选：A. 25．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的加减法和数乘运算法则进行逐步计算即可. （2）利用向量的加减法和数乘运算法则进行逐步计算即可. 【详解】（1）根据向量的加减法和数乘运算法则可得： （2）根据向量的加减法和数乘运算法则可得： 26．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数乘及向量加减的定义求解. 【详解】原式. 故选：C. 27．等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用向量的线性运算法则求解. 【详解】， 故选：B. 28．若点是线段上靠近的三等分点，则___________.    【答案】 【分析】根据数乘向量的概念易得答案. 【详解】如图，是线段上靠近的三等分点，和方向相反， 则. 故答案为：. 29．如图所示，，，是的三等分点，则用向量和线性表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法和减法法则化简即可. 【详解】如图所示，，，是的三等分点， 则， 又， 所以， 故选：B. 30．如图，在三角形中，，（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为在三角形中，， 所以, 所以. 故选：A. 31．如图所示，，点O是线段AB外任意一点，如果，，试用，表示.    【答案】. 【分析】结合图形和向量的性线运算易得答案. 【详解】因为， ∴ ∵， ∴Q为中点， ∴. 32．在中，D是BC的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算即可得解. 【详解】因为，，所以. 因为D是BC的中点，所以. 所以. 故选：B. 33．已知在中，点D是线段BC中点，点E是靠近点C的AC三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的运算即可得解. 【详解】 如图所示，根据题意作出三角形， ，，， 所以， 故选：. 34．如图，在中，D，E为BC边上的三等分点，设，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量分解定理求解即可. 【详解】. 故选：A. 35．如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在矩形中，E为CD中点，则,等量代换即可求得. 【详解】解：由图可知． 故选：A. 36．如图所示在中，是的中点，设，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法法则，即可求解. 【详解】因为是的中点，所以, 即， 又，，所以， 故选：C 37．如图所示，向量，，，在一条直线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算在几何中的应用即可求解. 【详解】因为向量，，，在一条直线上，且， 所以， 所以，即， 即. 故选：D. 38．已知平行四边形的两条对角线相交于点，设，，试用，表示，，，.    【答案】答案见解析 【分析】利用向量加法和减法法则、向量的数乘运算、相反向量的定义即可求解. 【详解】因为平行四边形，，， 所以， ， ， . 39．如图，在中，点满足，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合平面向量的运算法则即可得解. 【详解】在中，点满足， 则， 故选：. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $