3.2.2向量的减法-（人教版）高二《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

3.2.2向量的减法 一、知识梳理 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 （口诀：首尾相连，首指向尾） 平行四边形 法则 （口诀：同起点，指对角） (1)交换律： a＋b＝ b＋a　； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)　 减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 （口诀：同起点，连终点，减指向被减） a－b＝a＋(－b) 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数． (1) λ(μa)　＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa　 (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb　. 2.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. 二、题型精练 题型1 向量的减法--作图 【典例1】：作图题（请用直尺作图）. (1)已知向量，求作； (2)已知向量，求作. 【答案】(1)作图见解析. (2)作图见解析. 【分析】（1）根据平行四边形法则即可得解. （2）根据向量的减法法则作出图像即可得解. 【详解】（1） 如图所示，作出. （2） 如图所示，作出. 题型2 向量的减法--运算 【典例1】：平面向量（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的减法求解. 【详解】平面向量. 故选：C. 【典例2】：计算：（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】． 故选：A 题型3 向量的减法--运算律 【典例1】：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的运算律化简即可. 【详解】原式. 故选：B. 【典例2】：已知，，求的取值范围． 【答案】. 【分析】由向量的减法法则即可得解. 【详解】由向量的减法性质知. 当、同向时，取得最小值，此时. 当、反向时，取得最大值，此时. ∴的取值范围为． 故答案为：. 题型4 向量的减法--几何1 【典例1】：如图，已知平行四边形中，，，，则向量可表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则即可解答. 【详解】已知为平行四边形， 所以， 其中， ， 即， 所以， 故选：B. 【典例2】：已知正方形的边长为1，，则 ． 【答案】2 【分析】由向量减法法则和几何意义进行运算，并求得向量的模. 【详解】如图，延长到E，使，则， ． 故答案为：2. 题型5 向量的减法--几何2 【典例1】：已知点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法以及向量的减法的几何应用求解即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，由于，所以，故B正确； 对于C，，，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：B． 【典例2】：设是所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量减法法则结合几何图形判断即可. 【详解】因为， 所以点为线段靠近C的四等分点， 如图：  ， 由图可知，ACD选项错误，B选项正确. 故选：B. 题型6 向量的减法--方向 【典例1】：“向北飞行”，“向东飞行”，则（    ） A．向东南飞行 B．向东北飞行 C．向西北飞行 D．向西南飞行 【答案】C 【分析】根据向量的减法运算即可求解. 【详解】    如图所示，向西北飞行． 故选：C. 3、 知识检测 1．下列关于向量的说法正确的是（    ） A． B． C．方向相反的向量即为相反向量 D．非零向量，若，则 【答案】A 【分析】根据向量的定义、向量的减法运算以及相反向量的概念即可求解. 【详解】对A：对于和，它们的终点和起点互换，但长度一致，所以，故A项正确； 对B：，故B项错误； 对C：方向相反、模相等的向量即为相反向量，故C项错误； 对D：向量既有方向也有大小，所以向量不可以比较大小，故D项错误. 故选：A. 2．等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量减法的运算法则，将转化为，再依据向量加法的三角形法则进行计算. 【详解】由题，. 故选：A 3．化简: _____. 【答案】 【分析】根据向量的线性运算法则可求解. 【详解】 . 故答案为： 4．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】根据向量加法的三角形法则， . 故选：A. 5．化简： . 【答案】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意得，. 故答案为：. 6． ． 【答案】 【分析】根据向量的运算求解即可. 【详解】. 故答案为：. 7．等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加减法的运算法则化简即可. 【详解】. 故选：B. 8．与向量相等的向量是__________． 【答案】 【分析】利用向量的基本运算求解即可． 【详解】由于向量，所以， 故答案为：. 9．化简：______． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算可求. 【详解】； 故答案为：. 10．已知平面向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的减法法则可求解. 【详解】. 故选：D 11．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】因为， 故选：A. 12．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】根据向量加法的三角形法则， . 故选：A. 13．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法、减法的运算法则和运算律可求解. 【详解】原式． 故选：D 14．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加减法的混合运算求解. 【详解】. 因此原式. 故选：B. 15．化简： . 【答案】 【分析】根据向量的加法法则与减法法则计算即可. 【详解】 ， 故答案为：. 16．_____. 【答案】 【分析】根据向量的加减法运算计算即可. 【详解】. 故答案为：. 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合向量的加、减运算，即可求解； （2）根据题意，结合向量的加、减运算，即可求解. 【详解】（1）； （2）. 18．化简下列各式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】由向量的加法法则与减法法则求解即可. 【详解】（1）. （2）. （3） （4） 19．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的运算法则，对每个选项逐一进行分析. 【详解】选项A， ，错误， 选项B，，错误， 选项C，，错误， 选项D，，正确. 故选：D. 20．下列运算错误的是（    ） ①；②；③； ④；⑤． A．①② B．②③ C．③ D．④⑤ 【答案】C 【分析】根据向量的运算性质分析求解. 【详解】根据向量加法的交换律，，故①正确. 任何向量与零向量相加都等于它本身，，故②正确. 向量减法不满足交换律，即，故③不正确 任何向量与其相反向量相加都等于零向量，故④正确. 根据向量加法的结合律， ，故⑤正确. 故选：C. 21．已知，则的最大、最小值分别是 ． 【答案】7，0 【分析】当向量同向时，有最大值， 当围成三角形时，有最小值，据此即可求解. 【详解】当同向时， 当围成三角形时，． 故答案为：7,0 22．若中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法法则求解. 【详解】∵， ∴. 故选：C. 23．已知，，，试用向量和分别表示向量和.    【答案】， 【分析】运用向量的加、减法法则求解. 【详解】由向量加法的平行四边形法则， 得. 由向量的减法的定义， 得. 24．如图，在四边形中，记，试用向量，，表示向量与. 【答案】， 【分析】根据给定条件，利用向量减法求解即得. 【详解】如图，，. 25．在四边形中，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加减法运算法则即可求解. 【详解】由题意得，. 故选：D. 26．如图，在四边形中，设，则用表示为______. 【答案】 【分析】根据向量的加减法运算的三角形法则，将用表示即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 27．在三角形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量减法法则和几何意义进行运算. 【详解】因为， 故选：B. 28．已知在平行四边形中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加减法的几何运算即可解得. 【详解】如图，在平行四边形中， . 故选：A． 29．如图，在平行四边形ABCD中，下列式子中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平行四边形的几何性质，可得答案. 【详解】由向量减法的三角形法则可得：，即A正确； 根据相等向量的概念可得：，则，即B错误； 由向量加法的三角形法则可得：，即C正确； 根据平面向量加法的平行四边形法则可得：，所以D正确； 故选：B 30．已知正方形的边长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法，减法法则及向量的模运算即可求解. 【详解】由题意得，在边长为的正方形中， . 则则. 故选：D. 31．在平行四边形中，，则有（   ） A． B．或 C．是矩形 D．是菱形 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量的线性运算，及向量的模，即可判断求解. 【详解】若或，则或，构不成平行四边形，故不符合题意， 故选项A和B错误； 如图，， 又， ， 对角线相等的平行四边形是矩形， 为矩形，故选项C正确，选项D错误； 故选：C. 32．如图所示，向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的三角形法则分析求解. 【详解】根据向量的三角形法则，差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点. 所以. 故选：B. 33．如图，已知平行四边形，，为对角线，则下列等式中正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法以及向量的减法的几何应用求解即可. 【详解】A选项，由图得，故A错误； B选项，，故B错误； C选项，，故C正确； D选项，因为，故D错误. 故选：C. 34．如图所示，在中，三条边长均为1，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下列运算结果为单位向量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算和相等向量和相反向量计算出结果易得答案. 【详解】由题意得： A：， 因为，故为单位向量； B：，，故不是单位向量； C：，故不是单位向量； D：， 因为，故不是单位向量. 故选：A. 35．有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西30°，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向． 【答案】小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向．. 【分析】根据图形由向量的模长运算计算即可. 【详解】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度， 设E为渡口A在对岸对应的点，则，， 在中，∵，∴， ∴E与D重合，， ∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 3.2.2向量的减法 一、知识梳理 向量 定义 法则（或几何意义） 运算律 运算 a+b a 三角形法则 (1)交换律： (口诀：首尾相连，首指向 求两个向量和的 a十b=b+a; 加法 尾) 运算 (2)结合律： 2 (a+b)+c=a+(⑦+c) 平行四边形法则 (口诀：同起点，指对角) 向量a加上向量 b的相反向量 减法 叫做a与b的 三角形法则 a-b=a+(-b) 差，即十(-b) (口诀：同起点，连终点，减 =a-b 指向被减) (1)模：nd=2d: 设，u是实数. 数乘 实数λ与向量m 的积是一个向量 (2)方向： (1)λu=(00）a 11 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 当>0时，λa与a的方向相同 (2)1+0a=1a十ua 记作1a 当<0时，1a与a的方向相反 (3)(+)=a+b 当λ=0时，1a=0 2.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数2，使=g· 二、题型精练 题型1向量的减法-一作图 【典例1】：作图题（请用直尺作图）· (①已知向量06，求作a+6: a.b 6 (2)已知向量4,6】 求作a-b a 22 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 题型2向量的减法-一运算 【典例1】：平面向金B-AC=( A.BA B.BC C.CB D. AB 【典例21：计算，(B-CB)+(D+D1列=() B 4C D.0 题型3向量的减法-运算律 【典例11.(2a--2(a+() A.4a-6 B.36 【典例2：已知同=4，=7，求-可的取值范围。 33 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 题型4向量的减法-几何1 【典例1)：如图，已知平行四边形4BCD中，O1=a,0B=6,0C=C,则向量 OD 可表示为() D Q B A.a+b+c B.a-B+o C.-a-B+6 D.a-b-c 【典例2】：已知正方形4BCD的边长为1,4B=a,BC=6,4C=c,则a-6+d_ 题型5向量的减法-几何2 【典例1】：已知点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则下列结论正确的 是() 44 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com D A.AB+CB=AC B.AC-AB=DC.D-BD=而 D A0+CO=AC 【典创2】：设“是△1BC所在平面内一点，B引-C4C,则( 4 M+M=0B.M+3Mc=0C.Mc+M砺=0D.+历+MC=d 题型6向量的减法一方向 【典例1)：a=“向北飞 300km,五=“向东飞行 0km,则a-6=（) A.向东南飞行300W2km B.向东北飞行300√2km C.向西北飞行300W2km D.向西南飞行300W2km 三、知识检测 1.下列关于向量的说法正确的是( ) A.A例=B B.AB-CB=CA a,b C.方向相反的向量即为相反向量 0.非零向量0,6，若a=-36, 2.AB-CB等于() 55 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com A.AC B Ci C 0 0 D 3.化简：B-AC+DC= 4B+丽-而=() A 4C B.AD c.BC D BD 5.化简：AB+8C-D= 6.0B+BC-AC= 7.BC-+D等于( A.AC B.D BC D. BD 8与向量D正-DF+ 相等的向量是 9.化简： AB-(AD+DC)= 10.已知平面向量A,BC,历，则1-BC-CD-（) 66 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com A AC B C C AD D.DA 1.化简01-0B+D 的结果是() A.BD B.DB C.BA D.AB 12. AB+BD-CD=() A AC B AD D BD 13.化简：孤-C+BD-D=（) A AD B.BC c.Co D o 14.计算，(C+到-（际+@） A.BE B.AC D.AB 15.化简：孤-AC+BD-CD 16. AB+BD+DE-AC= 17.计算： 1-C0-0c (2)MB+04+C-0B+BM 77 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 18.化简下列各式： NO-PO-NM-MP (2)(BA-BC)-(ED-EC) (3)40+0B+0C+C4+BO MN-MD+NO-DO (4) 19.下列等式成立的是() A.4B-AC+BC=0 B 0A+0C+BO+CO=AB c.0c-01+2Ac=4C D.AB-AD-DC-CB 20.下列运算错误的是() 0a+i=6+d:②a+0=0+a=a:®i-6=6-a。 ④i+(-a)=(-a)+a=0,⑤a++c=a+6+d） A.①② B.②③ c.③ D.④⑤ 88 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 21,已知a昨26非3，非2.则a+b+ 的最大、最小值分别是 22.若△ABC 6=aC=6,则c=（) ， Aa+b B a-b C.B-a D-a-b 23.己知1BCD,,D=6,试用向量°和5分别表示向量C和D丽 D a 24.如图，在四边形1BEC中，记 孤=aaC=五征=c,试用向量°，6.C表示向 量死与CE E c b 99 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 25,在四边形4BCD中，设6=aD=6,BC=C,则DC=（) A.-a+B+d B,-+6-c C.a+b+d D.a-B+8 26如图，在四边形48CD中，设孤=a而=6，C=c,则DC用a6,c表示为 D 27.在三角形4BC中，M=aG=6,则C丽=() A.a-6 B.b-a C a+b D.-a-6 28,已知在平行四边形4CD中，若C=a,丽=6.则店=（) Aa-列 B.6-) C.a+b 2 D. a+列 29.如图，在平行四边形ABCD中，下列式子中不正确的是() A.AD-AB=BD B.AB+CD-BC 1010 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com AB+BC=AC D AD+AB=AC 30.已知正方形ABCD的边长为1，则B+丽+历-0=() A I B.V② c.2 D.22 3引1.在平行四边形8CD中，B+DHB-D,则有《) A.AD=0 B.MB=0或D=0 C.ABCD是矩形 D.ABCD是菱形 32.如图所示，向量BC可以表示为() B A AC+AB B AC-AB C.AB-AC D CA+BA 33.如图，已知平行四边形ABCD,AC,BD为对角线，则下列等式中正确的是 B C D AB+AD=DB AB-BC=AC A. C.AB-AD=DB D AB+AC=BC 1111 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 34.如图所示，在△ABC中，三条边长均为1，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点， 则下列运算结果为单位向量的是() B D A.AD+DE+DF B.AD+DE C.AD-DE+DE D.AD-DE 35.有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行速度的大小 为l5km/h,方向为北偏西30°，河水的速度为向东7.5km/h,求小船实际航行速度的 大小与方向. 1212 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！