专题09 常见函数的性质及应用（讲义）-2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题09 常见函数的性质及应用 【复习目标】 （1） 理解函数的概念，会求简单函数的定义域与值域，能用解析法、列表法、图象法表示函数。 （2） 理解函数的单调性与最大（小）值，掌握判断函数单调性的方法（定义法或图象法）。 （3）理解函数的奇偶性，会用定义判断函数是奇函数还是偶函数。 （4）掌握一次函数、二次函数的概念、图象与基本性质，能利用图象分析函数的性质。 （5）理解函数与方程的关系，会用函数的观点解决简单的实际问题。 考点1 一次函数及反比例函数 1、 一次函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为 。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在上单调递 在上单调递 奇偶性 当时为奇函数图像关于 对称；当时为非奇非偶函数 定义域及值域 2、 反比例函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为 。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在和上是 函数 在和上是 函数 奇偶性 奇函数，图像关于 对称 定义域及值域 【即时训练】 1．下列函数中，在内为增函数的为（    ） A． B． C． D． 2．下列函数为奇函数且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中既是奇函数，又是增函数的是（   ）． A． B． C． D． 4．函数在R上是增函数，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．下列关于函数增减区间的描述正确的是（    ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在其定义域上为减函数 D．在上为增函数 6．下列函数中是偶函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 7．下列函数在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 8．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 9．函数在区间上是_____函数（填“增”或“减”），且______（填“<”或“>”）. 10．若某市出租车资费标准为：行程不超过2千米，收费7元，行程超过2千米的部分按1.7元/千米计价，则乘客需付的乘车费用y（元）与乘车行程x（千米）之间的函数关系式为___________. 11．判断下列函数的单调性，写出单调区间. (1); (2)； (3)； (4)； 12．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点P作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点Q． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 考点2 建立函数模型解应用题的步骤 （1） 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2） 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3） 求解：求解数学模型，得出数学结论； （4） 还原：用数学方法将得到的结论还原到实际问题中.用图形表示如下： 【即时训练】 13．为了鼓励大家节约用水，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示． 分档 户年用水量 综合用水单价元 第一阶梯 含） 3.0 第二阶梯 含） 4.5 第三阶梯 330以上 5.5 假设该市某户2025年缴纳水费855元，则该户2025年用水量为（ ） A．190 B．217 C．270 D．285 14．已知等腰三角形的面积为 ，则它的底边上的高 与底边长 之间的函数解析式为 （    ） A． B． C． D． 15．某品牌汽车购买时的价格为万元，每年的折旧率为，则年后该汽车的价值（万元）与的函数关系为（     ）. A． B． C． D． 16．某基金的净值增长率与投资时间（单位：年）满足.若投资时间为年，那么净值增长率为（    ）. A． B． C． D． 17．某机械装置输出功率恒为240W，牵引力与速度满足 ​，当速度时牵引力为（    ）． A．50N B．60N C．70N D．80N 18．一个机器人在生产线上工作，它的工作效率（单位时间内生产的产品数量）与工作时间成一次函数关系．开始工作 1 小时时，生产了 10 个产品；工作 3 小时时，生产了 30 个产品．设工作时间为小时，生产产品数量为个，则与的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 19．某银行零存整取利息计算规则：每月存入金额元按年利率计息，超过部分按计息.某月存入元，该月利息为 （    ）. A．元 B．元 C．元 D．元 20．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100毫升血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上人定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 21．采购某种商品，要支付固定手续费500元，商品单价为每千克280元，则采购费用y（元）与采购量x（千克）之间的函数关系为________________. 22．某新型电池，其电量（毫安时）、使用时间（小时）和放电效率（）满足反比例关系．当时，，．若使用时间变为小时，放电效率变为，则此时电池电量为____毫安时. 23．已知一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地，问这个矩形宽为多少米时，菜园的面积最大？菜园面积最大是多少平方米？（仅加强班作答）    24．小王去水果店买某种水果，销售价为8元/kg，如果购买10kg及以上可打9折.设水果的质量为xkg，应付款为y元. (1)用解析法表示函数； (2)画出函数的图像. 1.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第12题）下列函数中，哪个为非奇非偶函数（ ） A. B. C. D. 2.（2023年福建省中等职业学校学业水平考试第7题）（2023年福建省中职学考第7题）已知正方形的边长为，则正方形的面积为（ ）． A. B. C. D. 3.（2023年福建省中等职业学校学业水平考试第12题）下列函数关于原点对称的函数是（ ） A B. C. D. 4.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第7题）下列各函数中，是奇函数的是（ ）． A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题09 常见函数的性质及应用 【复习目标】 （1） 理解函数的概念，会求简单函数的定义域与值域，能用解析法、列表法、图象法表示函数。 （2） 理解函数的单调性与最大（小）值，掌握判断函数单调性的方法（定义法或图象法）。 （3）理解函数的奇偶性，会用定义判断函数是奇函数还是偶函数。 （4）掌握一次函数、二次函数的概念、图象与基本性质，能利用图象分析函数的性质。 （5）理解函数与方程的关系，会用函数的观点解决简单的实际问题。 考点1 一次函数及反比例函数 1、 一次函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为一次函数。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在上单调递增 在上单调递减 奇偶性 当时为奇函数图像关于原点对称；当时为非奇非偶函数 定义域及值域 2、 反比例函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为反比例函数。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在和上是增函数 在和上是减函数 奇偶性 奇函数，图像关于原点对称 定义域及值域 【即时训练】 1．下列函数中，在内为增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式进行分析即可. 【详解】为一次函数，，在上单调递减，故A错误； 为一次函数，，在上单调递减，故B错误； 为反比例函数，在上单调递增，故C正确； 为图像开口向下的二次函数，在上单调递减，故D错误． 故选：C． 2．下列函数为奇函数且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一次函数的单调性判断A，利用幂函数的奇偶性与单调性判断B，利用二次函数的对称性判断C，利用指数函数的性质判断D，从而得解. 【详解】对于A，当时，，显然在上为减函数，故A错误； 对于B，幂函数为奇函数且在上为增函数，故B正确； 对于C，二次函数关于轴对称，不是奇函数，故C错误； 对于D，指数函数是非奇非偶函数，故D错误； 故选：B. 3．下列函数中既是奇函数，又是增函数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义及一次函数、二次函数、反比例函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】选项，函数定义域为，，所以为奇函数， 因为斜率，所以为增函数，故符合题意； 选项，函数定义域为，，所以为奇函数， 因为斜率，所以为减函数，故不符合题意； 选项，函数定义域为，，不为奇函数，故不符合题意； 选项，函数定义域为，， 且在上为增函数，在上为增函数，但在整个定义域内不是增函数，故不符合题意， 故选：. 4．函数在R上是增函数，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的单调性求解即可. 【详解】∵函数在R上是增函数， ∴，解得. 故选：C. 5．下列关于函数增减区间的描述正确的是（    ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在其定义域上为减函数 D．在上为增函数 【答案】D 【分析】根据反比例函数的单调性即可求解. 【详解】由函数可得， 函数是反比例函数， 定义域为. 因为， 所以在上是增函数. 故选：D. 6．下列函数中是偶函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由常见的基本初等函数的单调性，奇偶性判断即可. 【详解】A选项，二次函数是非奇非偶函数，在上是减函数，在上是增函数，故A错误； B选项，函数是偶函数，在上是增函数，在上是减函数，故B正确； C选项，指数函数是非奇非偶函数，故C错误； D选项，函数是奇函数，故D错误. 故选：B. 7．下列函数在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式以及单调性的定义判断函数的单调性即可. 【详解】A选项，一次函数中，在上为减函数，故错误； B选项，反比例函数在上为减函数，故错误； C选项，函数的定义域为，任取， ∴， ∵，则有，， ∴，即， ∴在上为减函数； D选项，指数函数在上为增函数，故正确. 故选：D. 8．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一次函数，二次函数和反比例函数的性质判断奇偶性和单调性即可. 【详解】对A：为一次函数，，所以函数是奇函数且为增函数，故A正确， 对B：为反比例函数，，所以函数是奇函数， 在，上单调递减，故B错误， 对C：为二次函数，，所以函数为偶函数，且图像开口向上， 在上单调递减，上单调递增，故C错误， 对D：为一次函数，，所以函数是奇函数且为减函数，故D错误. 故选：A. 9．函数在区间上是_____函数（填“增”或“减”），且______（填“<”或“>”）. 【答案】 增 【分析】利用一次函数性质可解. 【详解】函数，，则在区间上是增函数， 因为函数在区间上是增函数，则. 故答案为：增；. 10．若某市出租车资费标准为：行程不超过2千米，收费7元，行程超过2千米的部分按1.7元/千米计价，则乘客需付的乘车费用y（元）与乘车行程x（千米）之间的函数关系式为___________. 【答案】 【分析】根据题意，将x分为和两类进行分类讨论即可求解. 【详解】当时， 因为行程不超过2千米，收费7元， 所以. 当时， 因为行程超过2千米的部分按1.7元/千米计价， 所以前2千米的费用为7元, 超出2千米之后的费用为元， 所以. 综上所述，. 故答案为：. 11．判断下列函数的单调性，写出单调区间. (1); (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)单调递增函数，增区间 (2)单调递减函数，减区间 (3)单调递增函数，增区间 (4)单调递减函数，减区间 【分析】根据常见函数的单调性求解即可. 【详解】（1）函数中，所以函数为增函数，单调递增函数，增区间为. （2）函数中，所以函数为减函数，单调递减函数，减区间. （3）函数中，函数分别在上为单调递增函数， 增区间为. （4）函数中1>0，所以函数分别在上为单调递减函数， 减区间为. 12．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点P作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点Q． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入求得，从而得点坐标，代入求得即可； （2）把代入得，进而得点Q的坐标，可得，计算的面积即可． 【详解】（1）把代入得， 得到即，即， 把代入，得， 得到 即反比例函数的表达式为． （2）把代入得，， 因为轴，所以点Q的横坐标为， 把代入得，， 得到，即， ． 考点2 建立函数模型解应用题的步骤 （1） 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2） 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3） 求解：求解数学模型，得出数学结论； （4） 还原：用数学方法将得到的结论还原到实际问题中.用图形表示如下： 【即时训练】 13．为了鼓励大家节约用水，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示． 分档 户年用水量 综合用水单价元 第一阶梯 含） 3.0 第二阶梯 含） 4.5 第三阶梯 330以上 5.5 假设该市某户2025年缴纳水费855元，则该户2025年用水量为（ ） A．190 B．217 C．270 D．285 【答案】C 【分析】设用水量为，依据表格信息得到水费关于用水量的分段函数.再判断2025年水费855是哪段函数值域的部分，从而可以得到用水量. 当时，； 当时，； 当时，； 即且在定义域上单调递增， 当时，，而， 所以解得． 14．已知等腰三角形的面积为 ，则它的底边上的高 与底边长 之间的函数解析式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实际条件列出函数解析式，进而得到定义域； 【详解】等腰三角形的面积公式为 ，即 ，解得 . 由于底边长 ，因此函数定义域为 . 故选：D. 15．某品牌汽车购买时的价格为万元，每年的折旧率为，则年后该汽车的价值（万元）与的函数关系为（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的应用模型，建立函数关系即可. 【详解】汽车购买时的价格为万元，每年折旧率， 则年后价值. 故选：B. 16．某基金的净值增长率与投资时间（单位：年）满足.若投资时间为年，那么净值增长率为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意将代入中即可得解. 【详解】当时，， 故选：. 17．某机械装置输出功率恒为240W，牵引力与速度满足 ​，当速度时牵引力为（    ）． A．50N B．60N C．70N D．80N 【答案】B 【分析】根据题意，将代入函数解析式，求解即可. 【详解】因为牵引力与速度满足 ， 所以将代入，得． 故选：B. 18．一个机器人在生产线上工作，它的工作效率（单位时间内生产的产品数量）与工作时间成一次函数关系．开始工作 1 小时时，生产了 10 个产品；工作 3 小时时，生产了 30 个产品．设工作时间为小时，生产产品数量为个，则与的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可设出函数关系式，利用待定系数法，代入即可求解. 【详解】设，把，和，代入， 得到，两式相减得，解得， 把代入，得，解得， 所以， 故选： A． 19．某银行零存整取利息计算规则：每月存入金额元按年利率计息，超过部分按计息.某月存入元，该月利息为 （    ）. A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】由题意，将存入的元拆分成元和元两部分，分别计算月利息即可求解. 【详解】由题意，将存入的元拆分成元和元两部分， 则元部分月利率为：，利息为元； 元部分月利率为：，利息为元 因此月利息为 元. 故选：A. 20．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100毫升血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上人定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】依题意得到指数不等式，利用指数的单调性即可得解. 【详解】依题意,设他至少经过个小时才能驾驶汽车， 则，所以， 因为在上单调递减, 当时，； 当时，； 所以他至少经过4个小时才能驾驶汽车. 故选：C. 21．采购某种商品，要支付固定手续费500元，商品单价为每千克280元，则采购费用y（元）与采购量x（千克）之间的函数关系为________________. 【答案】，其中 【分析】根据题意，转化为函数关系式，即可求解. 【详解】固定手续费 500 元，商品单价280元/千克，采购千克的总价为元. 则，. 因此函数关系为 ，. 故答案为： ，. 22．某新型电池，其电量（毫安时）、使用时间（小时）和放电效率（）满足反比例关系．当时，，．若使用时间变为小时，放电效率变为，则此时电池电量为____毫安时. 【答案】 【分析】由条件可求得，从而得出的关系式，再令，求出即可. 【详解】把，，代入， 得，解得， 所以关系式为. 当，时，毫安时. 故答案为：. 23．已知一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地，问这个矩形宽为多少米时，菜园的面积最大？菜园面积最大是多少平方米？（仅加强班作答）    【答案】当宽为时，面积最大为. 【分析】建立二次函数模型，再运用顶点式确定二次函数的最值即可. 【详解】设矩形的宽分别为x，则长为，， 所以矩形面积 ，， 因为，图像开口向下， 所以当时，， 即当宽为时，面积最大为． 24．小王去水果店买某种水果，销售价为8元/kg，如果购买10kg及以上可打9折.设水果的质量为xkg，应付款为y元. (1)用解析法表示函数； (2)画出函数的图像. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题干信息求分段函数解析式即可； （2）根据分段函数解析式列表作图即可. 【详解】（1）由题可知此函数为分段函数， 如果购买10kg以下时，销售价为8元/kg，此时解析式为， 如果购买10kg及以上可打9折，此时解析式为， 则可得解析式； （2）当时，则列表如下： 10 当时，，则列表如下： 图象如下：    1.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第12题）下列函数中，哪个为非奇非偶函数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数，一次函数与正余弦函数的性质判断选项即可. 【详解】A选项，的定义域为，定义域关于原点对称，是奇函数，不是非奇非偶函数； B选项，的定义域为，定义域关于原点对称，是非奇非偶函数； C选项，的定义域为，定义域关于原点对称，是奇函数，不是非奇非偶函数； D选项，的定义域为，定义域关于原点对称，是偶函数，不是非奇非偶函数. 故选：B. 2.（2023年福建省中等职业学校学业水平考试第7题）（2023年福建省中职学考第7题）已知正方形的边长为，则正方形的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形的面积公式可求. 【详解】正方形的面积等于边长的平方，同时注意定义域要结合实际，边长的值要大于0， 则正方形的面积为 故选：D． 3.（2023年福建省中等职业学校学业水平考试第12题）下列函数关于原点对称的函数是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义判断即可. 【详解】函数若关于原点对称则函数为奇函数， A：的定义域为R，定义域关于原点对称， ，不是奇函数，不关于原点对称，错误， B：的定义域为R，定义域关于原点对称， ，不关于原点对称，错误， C：的定义域为，定义域关于原点对称， ，是奇函数，关于原点对称，正确， D：的定义域为，定义域不关于原点对称，故不关于原点对称，错误. 故选：C． 4.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第7题）下列各函数中，是奇函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质逐项判断即可求解. 【详解】对于A，的定义域为R，函数，所以函数为奇函数； 对于B，的定义域为R，函数，所以函数为偶函数不为奇函数； 对于C，的定义域为R，函数，且函数为非奇非偶函数； 对于D，的定义域为，定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数， 故选：A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $