综合测试卷（二）-《数学 拓展模块一》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 分层设计（AB卷+综合卷）覆盖向量、数列等核心考点，注重基础巩固与知识网络构建，培养运算能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-3、9|考查零向量、充要条件等定义辨析|概念生成→属性理解，强化抽象能力| |空间几何|单选3、填空17|涉及异面直线、正方体结构分析|空间形式观察→几何直观，发展空间观念| |数列应用|单选11、25|结合古代数学情境考查等差等比|实际问题→模型构建，提升应用意识| |向量运算|解答22、24|综合数量积、坐标运算及夹角求解|概念推导→运算应用，培养推理能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一》（高教版第三版）教材，以福建考纲要求的部分教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题正确的是（ ） A．零向量没有方向 B．单位向量的模都相等 C．方向相反的两个向量互为相反向量 D．若，则 【答案】B 【分析】根据向量的基本概念，包括零向量、相反向量、单位向量以及向量平行的性质，逐一分析每个选项. 【详解】选项A：根据零向量的定义，零向量的方向是任意的，并非没有方向，所以选项A错误； 选项B：单位向量是指模等于的向量，所以所有单位向量的模都相等，都为，所以选项B正确； 选项C：相反向量的定义是长度相等且方向相反的两个向量互为相反向量，仅仅方向相反并不足以判定两个向量互为相反向量，还需要长度相等，因此选项C错误； 选项D：当时，对于任意向量和，都有且，但此时与不一定平行，所以选项D错误， 故选：B. 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】由题意，若，则一定成立，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分且不必要条件. 故选：A. 3．下列各组直线中，一定是相交直线的是（    ） A．空间中两条不平行的直线 B．同一平面内两条不平行且不重合的直线 C．空间中两条不异面的直线 D．同一平面内两条不重合的直线 【答案】B 【分析】根据题意，结合空间中两条直线的位置关系，即可判断求解. 【详解】A选项中，空间中不平行的直线可能是相交或异面，不一定相交，错误； B选项中，同一平面内的两条直线有平行、重合和相交三种位置关系，不平行且不重合，则一定相交，正确； C选项中，空间中不异面的直线是共面直线，共面直线可能平行或相交，不一定相交，错误； D选项中，同一平面内不重合的直线可能平行或相交，不一定相交，错误； 故选：B. 4．在中，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的三角形法则即可解答. 【详解】在中，， ， 由，可得. 故选：A. 5．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量减法法则求解即可. 【详解】 . 故选：A. 6．已知，求的值（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据题意,利用向量的内积的计算,即可求出. 【详解】解：因为, 根据向量的数量积得 故选：B 7．已知点，，，且，则点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求，结合平面向量的坐标运算求解即可. 因为点，，，则，， 可得，所以点P的坐标为． 8．按照图中的规律，图中圆黑点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形的点的规律即可解答. 【详解】由题意可知，图形中的点的个数分别为， ， ， 所以图中圆黑点的个数为：． 故选：C． 9．若三个数，m，8成等差数列，则等差中项m的值为（   ）． A．5 B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据等差中项的性质即可求解. 【详解】因为三个数，m，8成等差数列， 所以，解得. 故选：C. 10．等差数列中，，公差，则该数列前6项的和等于（   ） A． B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的前项和公式求值即可. 【详解】已知等差数列中，，公差， 则， 所以， 故选：C. 11．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：一座七层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍．则该塔中间层（即第四层）悬挂灯的盏数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知灯数构成等比数列，用等比数列的通项公式及前n项和公式解得. 【详解】设每层塔的灯数从上到下构成数列， 则数列是公比的等比数列，且， 由等比数列的前n项和公式，得， 由等比数列的通项公式得. 故选：C. 12．已知角，向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【详解】因为，则， 向量，，若， 则，显然， 可得，故. 故选：B. 13．如图，点M是的边上的三等分点，若，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算结合图形列式即可求解. 【详解】因为点M是的边上的三等分点， 所以，又因为，， 所以，则， 所以． 故选：B. 14．已知非零向量满足，若，则向量，夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直以及向量夹角的公式求解即可. 【详解】因为非零向量满足， 所以， 进而. 因为，所以. 故选：C． 15．已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（    ） A．31 B． C． D．63 【答案】C 【分析】结合等差数列和等比数列的性质即可求解. 【详解】正项等比数列中， 成等差数列， 则， 即，解得 或 ， 又因为，所以， 所以， 故选：C 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分). 16．“四边形是菱形”是“四边形对角线互相垂直”的________条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据充分性与必要性的概念求解即可. 【详解】四边形是菱形可以得到四边形对角线互相垂直，故充分性成立； 若四边形对角线互相垂直，那么该四边形可能为筝形或对角线垂直的不规则四边形，不一定为菱形，故必要性不成立； 故“四边形是菱形”是“四边形对角线互相垂直”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 17．如图，点分别是正方体的棱的中点，则异面直线与所成的角是_____________.    【答案】 【分析】根据题意作出辅助线，找到异面直线所成角，结合正方体的性质即可得解. 【详解】    根据题意可知：连接，， 因为点分别是的中点，所以， 又，即是平行四边形，所以， 则异面直线与所成的角即为直线与所成角， 在正方体中，，所以为等边三角形， 所以， 故异面直线与所成的角是， 故答案为：. 18．若向量，且，则_______. 【答案】/ 【分析】根据平面向量垂直的性质即可得解. 【详解】向量，且， 则，解得， 故答案为：. 19．已知向量，那么____________ 【答案】 【分析】根据向量模的坐标表示求值即可. 【详解】已知向量， 则， 故答案为：. 20．在等差数列中，，则=____________ 【答案】 【分析】根据等差数列下标和性质以及前项和公式求解即可. 【详解】因为在等差数列中，， 所以，则. 故答案为： 21．若数列的前项和为，则_____． 【答案】27 【分析】根据数列前项和与通项的关系，分析求解即可. 【详解】由数列前项和与通项的关系可得： ， 因为， 所以， 所以． 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，第22、23小题6分，第24小题9分，第25小题10分，共31分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．已知，与的夹角为.求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量内积的运算公式即可得解； （2）由向量内积的运算公式和向量的运算律即可得解； （3）由向量的模长公式和向量的运算律即可得解. 【详解】（1）由向量的内积公式，得 . （2） ， 由（1）知， 故原式. （3）根据向量模长公式，可知 . 23．在等比数列中，已知，，求： (1)数列的公比； (2)数列的前4项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求值即可. （2）根据等比数列的前项和公式求值即可. 【详解】（1）已知为等比数列， ，， ， . （2），， . 24．已知向量，且， (1)求坐标； (2)求. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）设，由向量平行和向量垂直的坐标表示列方程求解即可. （2）先求出向量的坐标，再由坐标求模长即可. 【详解】（1）设向量， 因为， 所以，， 因为，， 可得，即，解得， 故. （2）由（）得，， 所以， 所以. 25．在等差数列中，是该数列的前项和，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）根据等差数列的性质联立方程组求得数列的首项和公差，再由等差数列通项公式即可解得； （2）根据第（1）问的结论求得数列的前项和公式，进而列出不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】（1）设等差数列首项为，公差为， 因为，即， 又因为，即， 联立方程组：， 解得：，， 所以通项公式为：． （2）因为，，， 所以前项和， 又因为，即， 解得：（舍）或， 所以最小正整数解为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一》（高教版第三版）教材，以福建考纲要求的部分教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题正确的是（ ） A．零向量没有方向 B．单位向量的模都相等 C．方向相反的两个向量互为相反向量 D．若，则 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．下列各组直线中，一定是相交直线的是（    ） A．空间中两条不平行的直线 B．同一平面内两条不平行且不重合的直线 C．空间中两条不异面的直线 D．同一平面内两条不重合的直线 4．在中，， ，则（    ） A． B． C． D． 5．计算：（    ） A． B． C． D． 6．已知，求的值（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 7．已知点，，，且，则点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 8．按照图中的规律，图中圆黑点的个数为（   ） A． B． C． D． 9．若三个数，m，8成等差数列，则等差中项m的值为（   ）． A．5 B．4 C．3 D． 10．等差数列中，，公差，则该数列前6项的和等于（   ） A． B． C．9 D． 11．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：一座七层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍．则该塔中间层（即第四层）悬挂灯的盏数为（   ） A． B． C． D． 12．已知角，向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 13．如图，点M是的边上的三等分点，若，，则（    ）． A． B． C． D． 14．已知非零向量满足，若，则向量，夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 15．已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（    ） A．31 B． C． D．63 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分). 16．“四边形是菱形”是“四边形对角线互相垂直”的________条件. 17．如图，点分别是正方体的棱的中点，则异面直线与所成的角是_____________.    18．若向量，且，则_______. 19．已知向量，那么____________ 20．在等差数列中，，则=____________ 21．若数列的前项和为，则_____． 三、解答题（本大题共4小题，第22、23小题6分，第24小题9分，第25小题10分，共31分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．已知，与的夹角为.求： (1)；(2)；(3). 23．在等比数列中，已知，，求： (1)数列的公比；(2)数列的前4项和． 24．已知向量，且， (1)求坐标； (2)求. 25．在等差数列中，是该数列的前项和，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $