综合测试卷（四）-《数学 拓展模块一》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材分AB卷分层训练，综合测试卷模拟实战，通过基础巩固与能力提升结合，培养数学思维与应用意识，系统构建知识网络。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |综合测试卷（四）|25题|选择填空侧重概念辨析与基本运算，解答题聚焦数列、向量、实际问题等综合应用|从充分必要条件、向量性质等基础概念，到数列求和、向量夹角计算、实际问题建模，形成概念生成—原理推导—应用拓展的逻辑链条|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一》（高教版第三版）教材，以福建考纲要求的部分教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知是实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 2．如图在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 4．如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．等于（   ） A． B． C． D． 6．等于（   ） A． B． C． D． 7．已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 9．已知，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 10．已知，，则（    ）． A． B． C． D． 11．在等差数列中，则项数n= （     ） A．8 B．9 C．10 D．11 12．在等差数列中，，，则（   ） A．390 B．395 C．400 D．405 13．若数列的前项和为，则（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 14．已知向量，向量，且，则（   ） A． B． C． D．1 15．等比数列的前项和为，公比．若，且对任意的都有，则（   ） A．12 B．20 C．11 D．21 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分). 16．已知命题；命题，问p是q的_______条件. 17．下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，a和c相交，则b和c一定相交；④和已知直线平行且距离等于定长的直线有无数条．其中正确命题的序号是__________． 18．已知平面向量，且，则___________. 19．如图，在四边形中，设，则用表示为______. 20．若2，，成等比数列，则________. 21．已知，且两个数列与各自都成等差数列，则______． 三、解答题（本大题共4小题，第22、23小题6分，第24小题9分，第25小题10分，共31分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．已知为等比数列且，. (1)求数列的通项公式； (2)记为的前项和，求. 23．已知向量，，且与的夹角为.求： (1)； (2)的值； (3)与的夹角. 24．为了改善空气质量，某市大力发展新能源汽车，2020年1月，该市投放到市场300辆新能源汽车，从2020年2月起，计划每月比上一个月多投放80辆． (1)2020年12月，该市投放了多少辆新能源汽车？ (2)要使投放到市场的新能源汽车的总量达到21200辆，需要多少个月？ 25．已知. (1)若，求的值； (2)若，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一》（高教版第三版）教材，以福建考纲要求的部分教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知是实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【分析】根据充要条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，比如，不能推出． 当成立，那么一定有成立，即由“”能推出“”； 所以“”是“”的必要而不充分条件， 故选：B． 2．如图在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到与平行的直线，即可找到异面直线所成角，结合正方体性质即可求解. 【详解】如图所示，连接： 因为正方体中，且，所以四边形是平行四边形， 所以， 所以异面直线与所成的角即角， 设正方体棱长为，则， 所以为等边三角形，角. 即异面直线与所成的角为. 故选：C. 3．下列说法中正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 【答案】D 【分析】由向量的定义逐项判断即可得解. 【详解】不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确； 向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确； 向量的模是一个数量，可以比较大小，D正确. 故选：D. 4．如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的方向、大小以及正六边形的性质求解即可. 【详解】设正六边形的边长为，依次分析各选项： 对于A，由正六边形的性质可得与平行且相等，则有，故A正确； 对于B，由正六边形的性质可得与平行，即，故B正确； 对于C，在正六边形中，与均过中心，则有，即有，故C正确； 对于D，在正六边形中，，则，故D错误． 故选：D. 5．等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算性质求解. 【详解】原式． 故选：D． 6．等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法运算即可求解. 【详解】. 故选：A. 7．已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量夹角的计算，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 8．在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】由向量垂直的条件即可求解. 【详解】因为，所以， 是直角三角形． 故选：B. 9．已知，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】代入平面向量的内积公式即可得解. 【详解】， 故选：. 10．已知，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的坐标表示，即可求解. 【详解】因为点，， 所以向量. 故选：D. 11．在等差数列中，则项数n= （     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式可求. 【详解】由题得，解得； 故选：D. 12．在等差数列中，，，则（   ） A．390 B．395 C．400 D．405 【答案】D 【分析】根据等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，，， 所以. 故选：D. 13．若数列的前项和为，则（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【分析】利用数列的项与前n项和的关系求解具体项即可； 【详解】由题意，． 故选：C 14．已知向量，向量，且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据向量平行的性质及模长公式求解即可. 【详解】向量，向量，且， 则，解得. 则. 故选：B. 15．等比数列的前项和为，公比．若，且对任意的都有，则（   ） A．12 B．20 C．11 D．21 【答案】C 【分析】根据题意结合等比数列的性质化简已知等式得求出公比，代入的公比数列的求和公式即可得解. 【详解】等比数列，设公比为，则， 因为，故，即， 因为，所以， 故， 故选：. 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分). 16．已知命题；命题，问p是q的_______条件. 【答案】既不充分也不必要 【分析】根据充分性与必要性的定义，结合诱导公式即可得解. 【详解】当时，此时无意义，故充分性不成立； 当时，与不一定相等， 例如，此时，故必要性不成立； 所以p是q的既不充分也不必要条件， 故答案为：既不充分也不必要. 17．下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，a和c相交，则b和c一定相交；④和已知直线平行且距离等于定长的直线有无数条．其中正确命题的序号是__________． 【答案】①④ 【分析】根据空间中直线与直线的位置关系即可求解. 【详解】，则，由平行线的传递性，①正确； ，则b与c平行，相交或异面，②错误； ，a与c相交，则b与c相交或异面，③错误； 和已知直线平行且距离等于定长的直线有无数条，④正确． 故答案为：①④. 18．已知平面向量，且，则___________. 【答案】4 【分析】根据向量的平行的性质列式求解即可. 【详解】∵平面向量，且， ∴，解得. 故答案为：4. 19．如图，在四边形中，设，则用表示为______. 【答案】 【分析】根据向量的加减法运算的三角形法则，将用表示即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 20．若2，，成等比数列，则________. 【答案】0或2 【分析】利用等比中项即可求解. 【详解】由等比中项可知，， ，解得或. 故答案为：0或2. 21．已知，且两个数列与各自都成等差数列，则______． 【答案】 【分析】利用等差数列的性质求解即可； 【详解】设这两个等差数列公差分别是，则． 第一个数列共项，； 第二个数列共项，， ． 故答案为： 三、解答题（本大题共4小题，第22、23小题6分，第24小题9分，第25小题10分，共31分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．已知为等比数列且，. (1)求数列的通项公式； (2)记为的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出等比数列的公比，再根据等比数列的通项公式求解即可. （2）根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）因为为等比数列且， 所以，可得，即， 所以. （2）由（1）得，， 所以. 23．已知向量，，且与的夹角为.求： (1)； (2)的值； (3)与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量内积的定义即可得解； （2）利用向量内积的运算律即可得解； （3）利用向量内积的运算律与向量的夹角公式即可得解. 【详解】（1）因为，，且与的夹角为， 所以. （2）由（1）得，， 所以. （3）因为， 设与的夹角为， 则， 所以，因为，所以. 24．为了改善空气质量，某市大力发展新能源汽车，2020年1月，该市投放到市场300辆新能源汽车，从2020年2月起，计划每月比上一个月多投放80辆． (1)2020年12月，该市投放了多少辆新能源汽车？ (2)要使投放到市场的新能源汽车的总量达到21200辆，需要多少个月？ 【答案】(1)1180 (2)20 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式，即可求解； （2）根据题意，结合等差数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】（1）由题意得，该市从2020年1月起每月投放到市场的新能源汽车的数量构成等差数列， 且，公差， 所以， 即2020年12月，该市投放了1180辆新能源汽车； （2）由题意，， 所以， 即，所以， 所以. 即要使投放到市场的新能源汽车的总量达到21200辆，需要20个月. 25．已知. (1)若，求的值； (2)若，求. 【答案】(1)或 (2)3 【分析】（1）根据向量共线的坐标运算，结合已知条件列式求解即可. （2）根据向量线性运算的坐标表示和向量模的坐标表示，即可求解. 【详解】（1）因为，且， 所以，即， 解得或. （2）若，则， 所以. 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $